Страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Колягин, Ткачева

147. Принадлежит ли графику функции $y = f(x)$ точка $A$, если:

$\frac{x^2-4}{x^2-2}$

1) $y = 2^{x^2+2}$, $A(2; 1)$;

2) $y = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right)$, $A\left(\frac{3\pi}{4}; 0\right)$;

г) Рис. 45

3) $y = 3^{\frac{x-\sqrt{2}}{x^2-2}}$, $A(-\sqrt{2}; 1)$;

4) $y = \operatorname{ctg}\left(\frac{2x}{3} - \frac{\pi}{6}\right)$, $A\left(\frac{3\pi}{4}; \frac{\sqrt{3}}{3}\right)$?

1) Чтобы проверить, принадлежит ли точка $A(2; 1)$ графику функции $y = 2^{\frac{x^2 - 4}{x+2}}$, нужно подставить координаты точки в уравнение функции. Подставим абсциссу точки $x=2$ в уравнение и вычислим соответствующее значение $y$.

Вычисление:

$y(2) = 2^{\frac{2^2 - 4}{2+2}} = 2^{\frac{4 - 4}{4}} = 2^{\frac{0}{4}} = 2^0 = 1$.

Полученное значение $y=1$ совпадает с ординатой точки A. Следовательно, точка A принадлежит графику данной функции.

Ответ: да, принадлежит.

2) Чтобы проверить, принадлежит ли точка $A(\frac{3\pi}{4}; 0)$ графику функции $y = \text{tg}(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4})$, подставим абсциссу точки $x = \frac{3\pi}{4}$ в уравнение функции.

Вычислим значение аргумента функции тангенса:

$\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, требуется найти значение $y = \text{tg}(\frac{\pi}{2})$.

Функция $y = \text{tg}(z)$ не определена в точках $z = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Поскольку при $x = \frac{3\pi}{4}$ аргумент тангенса равен $\frac{\pi}{2}$, значение функции в этой точке не существует. Следовательно, точка A не принадлежит графику функции, так как не входит в ее область определения.

Ответ: нет, не принадлежит.

3) Проверим, принадлежит ли точка $A(-\sqrt{2}; 1)$ графику функции $y = 3^{\frac{x-\sqrt{2}}{x^2-2}}$.

Для этого сначала определим область определения функции. Функция определена, если знаменатель дроби в показателе степени не равен нулю:

$x^2 - 2 \neq 0 \implies x^2 \neq 2 \implies x \neq \pm\sqrt{2}$.

Абсцисса точки A равна $x = -\sqrt{2}$. Это значение не входит в область определения функции, так как обращает знаменатель в ноль. Следовательно, точка A не может принадлежать графику данной функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

4) Чтобы определить, принадлежит ли точка $A(\frac{3\pi}{4}; \frac{\sqrt{3}}{3})$ графику функции $y = \text{ctg}(\frac{2x}{3} - \frac{\pi}{6})$, подставим значение $x = \frac{3\pi}{4}$ в уравнение функции и сравним результат с ординатой точки A.

Выполним вычисления:

$y(\frac{3\pi}{4}) = \text{ctg}(\frac{2}{3} \cdot \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \text{ctg}(\frac{2\pi}{4} - \frac{\pi}{6}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6})$.

Приведем дроби в аргументе к общему знаменателю 6:

$\text{ctg}(\frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) = \text{ctg}(\frac{2\pi}{6}) = \text{ctg}(\frac{\pi}{3})$.

Значение котангенса для угла $\frac{\pi}{3}$ (что соответствует 60°) равно:

$\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Полученное значение $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$ совпадает с ординатой точки A. Следовательно, точка A принадлежит графику функции.

Ответ: да, принадлежит.