Страница 171, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

27.33. a) $\cos 5x + \cos 7x - \cos 6x = 0;$

б) $\sin 9x - \sin 5x + \sin 4x = 0.$

а) $cos(5x) + cos(7x) - cos(6x) = 0$

Сначала сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу суммы косинусов: $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

$ (cos(7x) + cos(5x)) - cos(6x) = 0 $

$ 2cos(\frac{7x+5x}{2})cos(\frac{7x-5x}{2}) - cos(6x) = 0 $

$ 2cos(\frac{12x}{2})cos(\frac{2x}{2}) - cos(6x) = 0 $

$ 2cos(6x)cos(x) - cos(6x) = 0 $

Теперь вынесем общий множитель $cos(6x)$ за скобки:

$ cos(6x)(2cos(x) - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $cos(6x) = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решение имеет вид:

$ 6x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $n \in Z$

$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6} $, где $n \in Z$

2) $2cos(x) - 1 = 0$

$ 2cos(x) = 1 $

$ cos(x) = \frac{1}{2} $

Решение этого уравнения:

$ x = \pm arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k $, где $k \in Z$

$ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k $, где $k \in Z$

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in Z$.

б) $sin(9x) - sin(5x) + sin(4x) = 0$

Сгруппируем первые два слагаемых и применим формулу разности синусов: $sin(\alpha) - sin(\beta) = 2sin(\frac{\alpha-\beta}{2})cos(\frac{\alpha+\beta}{2})$.

$ (sin(9x) - sin(5x)) + sin(4x) = 0 $

$ 2sin(\frac{9x-5x}{2})cos(\frac{9x+5x}{2}) + sin(4x) = 0 $

$ 2sin(\frac{4x}{2})cos(\frac{14x}{2}) + sin(4x) = 0 $

$ 2sin(2x)cos(7x) + sin(4x) = 0 $

Теперь применим формулу синуса двойного угла $sin(2\alpha) = 2sin(\alpha)cos(\alpha)$ для слагаемого $sin(4x)$:

$ sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) $

Подставим это в уравнение:

$ 2sin(2x)cos(7x) + 2sin(2x)cos(2x) = 0 $

Вынесем общий множитель $2sin(2x)$ за скобки:

$ 2sin(2x)(cos(7x) + cos(2x)) = 0 $

Разделим обе части на 2:

$ sin(2x)(cos(7x) + cos(2x)) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1) $sin(2x) = 0$

Это частный случай, решение которого:

$ 2x = \pi n $, где $n \in Z$

$ x = \frac{\pi n}{2} $, где $n \in Z$

2) $cos(7x) + cos(2x) = 0$

Применим формулу суммы косинусов $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2cos(\frac{\alpha+\beta}{2})cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$:

$ 2cos(\frac{7x+2x}{2})cos(\frac{7x-2x}{2}) = 0 $

$ 2cos(\frac{9x}{2})cos(\frac{5x}{2}) = 0 $

$ cos(\frac{9x}{2})cos(\frac{5x}{2}) = 0 $

Это уравнение распадается еще на два случая:

2а) $cos(\frac{9x}{2}) = 0$

$ \frac{9x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $k \in Z$

$ 9x = \pi + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{9} $, где $k \in Z$

2б) $cos(\frac{5x}{2}) = 0$

$ \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m $, где $m \in Z$

$ 5x = \pi + 2\pi m $

$ x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5} $, где $m \in Z$

Объединяем все полученные решения.

Ответ: $x = \frac{\pi n}{2}, x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{9}, x = \frac{\pi}{5} + \frac{2\pi m}{5}$, где $n, k, m \in Z$.

27.34. a) $ \cos 6x - \cos 2x + \cos 8x - \cos 4x = 0; $

б) $ \sin 3x - \sin x + \cos 3x - \cos x = 0. $

Исходное уравнение: $ \cos 6x - \cos 2x + \cos 8x - \cos 4x = 0 $.

Сгруппируем слагаемые для удобного применения формул преобразования суммы в произведение:

$ (\cos 8x + \cos 6x) - (\cos 4x + \cos 2x) = 0 $.

Применим формулу суммы косинусов $ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $ к каждой группе:

$ 2 \cos \frac{8x+6x}{2} \cos \frac{8x-6x}{2} - (2 \cos \frac{4x+2x}{2} \cos \frac{4x-2x}{2}) = 0 $

$ 2 \cos 7x \cos x - 2 \cos 3x \cos x = 0 $.

Вынесем общий множитель $ 2 \cos x $ за скобки:

$ 2 \cos x (\cos 7x - \cos 3x) = 0 $.

Теперь применим формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $ к выражению в скобках:

$ 2 \cos x \left(-2 \sin \frac{7x+3x}{2} \sin \frac{7x-3x}{2}\right) = 0 $

$ 2 \cos x (-2 \sin 5x \sin 2x) = 0 $

$ -4 \cos x \sin 5x \sin 2x = 0 $.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность трех уравнений:

1) $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $;

2) $ \sin 5x = 0 \implies 5x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z} $;

3) $ \sin 2x = 0 \implies 2x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z} $.

Объединим полученные решения. Заметим, что первая серия корней $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $ является подмножеством третьей серии $ x = \frac{\pi m}{2} $ (это соответствует нечетным значениям $ m $). Таким образом, для получения общего решения достаточно объединить вторую и третью серии.

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{5}, x = \frac{\pi m}{2}, $ где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

Исходное уравнение: $ \sin 3x - \sin x + \cos 3x - \cos x = 0 $.

Сгруппируем слагаемые:

$ (\sin 3x - \sin x) + (\cos 3x - \cos x) = 0 $.

Применим формулу разности синусов $ \sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} $ и формулу разности косинусов $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $:

$ \left(2 \sin \frac{3x-x}{2} \cos \frac{3x+x}{2}\right) + \left(-2 \sin \frac{3x+x}{2} \sin \frac{3x-x}{2}\right) = 0 $

$ 2 \sin x \cos 2x - 2 \sin 2x \sin x = 0 $.

Вынесем общий множитель $ 2 \sin x $ за скобки:

$ 2 \sin x (\cos 2x - \sin 2x) = 0 $.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $ \sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z} $;

2) $ \cos 2x - \sin 2x = 0 $.

Решим второе уравнение:

$ \cos 2x = \sin 2x $.

Заметим, что $ \cos 2x \neq 0 $, так как в противном случае из уравнения следовало бы, что и $ \sin 2x = 0 $, что невозможно, так как $ \sin^2(2x) + \cos^2(2x) = 1 $. Поэтому можно разделить обе части уравнения на $ \cos 2x $:

$ \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 1 $

$ \tan 2x = 1 $.

Отсюда находим корни:

$ 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z} $.

Общее решение уравнения — это объединение корней, полученных в обоих случаях.

Ответ: $ x = \pi n, x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, $ где $ n, k \in \mathbb{Z} $.

27.35. a) $3\tan^2 x - 8 = 4 \cos^2 x$;

б) $4\sin^2 x = 4 - 9 \tan^2 x$.

а) $3\text{tg}^2 x - 8 = 4\cos^2 x$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса, то есть $\cos x \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Для решения приведем все функции к одной. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством в виде $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Из этого тождества выразим $\cos^2 x = \frac{1}{1 + \text{tg}^2 x}$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$3\text{tg}^2 x - 8 = 4 \cdot \frac{1}{1 + \text{tg}^2 x}$

Произведем замену переменной. Пусть $y = \text{tg}^2 x$. Поскольку квадрат действительного числа всегда неотрицателен, то $y \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$3y - 8 = \frac{4}{1+y}$

Поскольку $1+y = 1+\text{tg}^2 x$ всегда больше нуля для любого $x$ из ОДЗ, мы можем умножить обе части уравнения на $(1+y)$, не опасаясь появления посторонних корней или потери решений.

$(3y - 8)(1 + y) = 4$

$3y + 3y^2 - 8 - 8y = 4$

$3y^2 - 5y - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Сравним полученные корни с условием $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 3$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Корень $y_2 = -\frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$ и является посторонним.

Выполним обратную замену для $y_1 = 3$:

$\text{tg}^2 x = 3$

Это уравнение распадается на два:

$\text{tg} x = \sqrt{3}$ или $\text{tg} x = -\sqrt{3}$

Решения для каждого случая:

1) $\text{tg} x = \sqrt{3} \implies x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\text{tg} x = -\sqrt{3} \implies x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Эти две серии решений можно объединить в одну:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Полученные значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $4\sin^2 x = 4 - 9\text{tg}^2 x$

Область допустимых значений (ОДЗ) такая же, как и в предыдущем уравнении: $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Для приведения уравнения к одной функции используем тождество, связывающее $\sin^2 x$ и $\text{tg}^2 x$: $\sin^2 x = \frac{\text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$4 \cdot \frac{\text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} = 4 - 9\text{tg}^2 x$

Сделаем замену переменной: $y = \text{tg}^2 x$. Условие для новой переменной: $y \ge 0$.

Уравнение после замены:

$\frac{4y}{1+y} = 4 - 9y$

Умножим обе части на $(1+y)$, так как $1+y > 0$ для всех $x$ из ОДЗ.

$4y = (4 - 9y)(1 + y)$

$4y = 4 + 4y - 9y - 9y^2$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть:

$9y^2 + 9y - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 81 + 144 = 225 = 15^2$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 15}{2 \cdot 9} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 15}{2 \cdot 9} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}$

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию.

Корень $y_2 = -\frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию и является посторонним.

Вернемся к переменной $x$:

$\text{tg}^2 x = \frac{1}{3}$

Следовательно, $\text{tg} x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Решаем два уравнения:

1) $\text{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2) $\text{tg} x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \implies x = \text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Объединим эти две серии решений:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Данные решения входят в ОДЗ.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

27.36. a) $\sin^3 x - \sin^2 x \cos x + 3 \cos^3 x = 3 \sin x \cos^2 x;$

б) $\sin^3 x + 5 \sin^2 x \cos x = 6 \cos^3 x.$

а) $\sin^3 x - \sin^2 x \cos x + 3 \cos^3 x = 3 \sin x \cos^2 x$

Данное уравнение является однородным тригонометрическим уравнением третьей степени. Сначала перенесем все слагаемые в левую часть:

$\sin^3 x - \sin^2 x \cos x - 3 \sin x \cos^2 x + 3 \cos^3 x = 0$

Проверим, являются ли решениями уравнения значения $x$, при которых $\cos x = 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив $\cos x = 0$ в уравнение, получим:

$\sin^3 x - \sin^2 x \cdot 0 - 3 \sin x \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0$

$\sin^3 x = 0$, откуда $\sin x = 0$.

Системы уравнений $\cos x = 0$ и $\sin x = 0$ не имеет решений, так как основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ не выполняется. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Разделим обе части уравнения на $\cos^3 x$, так как мы установили, что он не равен нулю:

$\frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} - \frac{\sin^2 x \cos x}{\cos^3 x} - \frac{3 \sin x \cos^2 x}{\cos^3 x} + \frac{3 \cos^3 x}{\cos^3 x} = 0$

Упростим, используя то, что $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$\tan^3 x - \tan^2 x - 3 \tan x + 3 = 0$

Введем замену переменной $t = \tan x$. Получим кубическое уравнение:

$t^3 - t^2 - 3t + 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(t^3 - t^2) - (3t - 3) = 0$

$t^2(t - 1) - 3(t - 1) = 0$

$(t - 1)(t^2 - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $t - 1 = 0 \implies t_1 = 1$

2) $t^2 - 3 = 0 \implies t^2 = 3 \implies t_{2,3} = \pm\sqrt{3}$

Теперь выполним обратную замену для $\tan x$:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \sqrt{3} \implies x = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $\tan x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Последние два решения можно объединить.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin^3 x + 5 \sin^2 x \cos x = 6 \cos^3 x$

Это также однородное тригонометрическое уравнение третьей степени. Перенесем все слагаемые в левую часть:

$\sin^3 x + 5 \sin^2 x \cos x - 6 \cos^3 x = 0$

Аналогично пункту а), можно показать, что $\cos x \neq 0$. Поэтому разделим обе части уравнения на $\cos^3 x$:

$\frac{\sin^3 x}{\cos^3 x} + \frac{5 \sin^2 x \cos x}{\cos^3 x} - \frac{6 \cos^3 x}{\cos^3 x} = 0$

$\tan^3 x + 5 \tan^2 x - 6 = 0$

Введем замену $t = \tan x$:

$t^3 + 5t^2 - 6 = 0$

Найдем один из корней этого кубического уравнения подбором. Проверим целые делители свободного члена (-6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

При $t = 1$: $1^3 + 5(1)^2 - 6 = 1 + 5 - 6 = 0$. Значит, $t=1$ — корень уравнения. Разделим многочлен $(t^3 + 5t^2 - 6)$ на двучлен $(t-1)$ с помощью деления "уголком" или по схеме Горнера. В результате деления получаем квадратный трехчлен $t^2 + 6t + 6$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(t - 1)(t^2 + 6t + 6) = 0$

Решениями являются:

1) $t - 1 = 0 \implies t_1 = 1$

2) $t^2 + 6t + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 36 - 24 = 12$

$t_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -3 \pm \sqrt{3}$

Выполним обратную замену для $\tan x$:

1) $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -3 + \sqrt{3} \implies x = \arctan(-3 + \sqrt{3}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $\tan x = -3 - \sqrt{3} \implies x = \arctan(-3 - \sqrt{3}) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Последние два решения можно объединить.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = \arctan(-3 \pm \sqrt{3}) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

27.37. a) $\sin x \cos x - 6 \sin x + 6 \cos x + 6 = 0$;

б) $5 \sin 2x - 11 \sin x = 11 \cos x - 7$.

а) Исходное уравнение: $\sin x \cos x - 6 \sin x + 6 \cos x + 6 = 0$.
Сгруппируем слагаемые: $\sin x \cos x + 6(\cos x - \sin x) + 6 = 0$.
Данное уравнение удобно решать с помощью введения новой переменной. Пусть $t = \cos x - \sin x$.
Возведем обе части этого равенства в квадрат: $t^2 = (\cos x - \sin x)^2 = \cos^2 x - 2 \sin x \cos x + \sin^2 x$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем: $t^2 = 1 - 2 \sin x \cos x$.
Отсюда выразим произведение $\sin x \cos x$: $2 \sin x \cos x = 1 - t^2$, следовательно, $\sin x \cos x = \frac{1 - t^2}{2}$.
Подставим выражения для $(\cos x - \sin x)$ и $\sin x \cos x$ в исходное уравнение:
$\frac{1 - t^2}{2} + 6t + 6 = 0$.
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
$1 - t^2 + 12t + 12 = 0$.
$-t^2 + 12t + 13 = 0$.
$t^2 - 12t - 13 = 0$.
Это квадратное уравнение относительно $t$. Решим его по теореме Виета. Сумма корней равна 12, а их произведение равно -13. Корни уравнения: $t_1 = 13$ и $t_2 = -1$.
Теперь выполним обратную замену для каждого корня.
1) Случай $t = 13$:
$\cos x - \sin x = 13$.
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции $y = \cos x - \sin x$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$. Поскольку $13 \notin [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, решений нет.
2) Случай $t = -1$:
$\cos x - \sin x = -1$, что эквивалентно $\sin x - \cos x = 1$.
Преобразуем левую часть с помощью метода вспомогательного угла:
$\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = 1$.
$\sqrt{2}(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}) = 1$.
$\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$.
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет две серии решений:
а) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $x - \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$.
$x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $5 \sin 2x - 11 \sin x = 11 \cos x - 7$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем их:
$5 \sin 2x - 11 \sin x - 11 \cos x + 7 = 0$.
$5 \sin 2x - 11(\sin x + \cos x) + 7 = 0$.
Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$5(2 \sin x \cos x) - 11(\sin x + \cos x) + 7 = 0$.
$10 \sin x \cos x - 11(\sin x + \cos x) + 7 = 0$.
Введем новую переменную $t = \sin x + \cos x$.
Возведем обе части в квадрат: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2 \sin x \cos x$.
Отсюда $2 \sin x \cos x = t^2 - 1$, а значит $10 \sin x \cos x = 5(2 \sin x \cos x) = 5(t^2 - 1)$.
Подставим полученные выражения в уравнение:
$5(t^2 - 1) - 11t + 7 = 0$.
$5t^2 - 5 - 11t + 7 = 0$.
$5t^2 - 11t + 2 = 0$.
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 = 9^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 9}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 9}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.
Выполним обратную замену.
1) Случай $t = 2$:
$\sin x + \cos x = 2$.
Уравнение не имеет решений, так как область значений функции $y = \sin x + \cos x$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$, а число 2 не принадлежит этому отрезку.
2) Случай $t = \frac{1}{5}$:
$\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$.
Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \frac{1}{5}$.
$\sqrt{2}(\sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{5}$.
$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{5}$.
$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{5\sqrt{2}}$.
Общее решение этого уравнения:
$x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{5\sqrt{2}}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = -\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{1}{5\sqrt{2}}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + (-1)^k \arcsin(\frac{1}{5\sqrt{2}}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

27.38. a) $8^{\sqrt{x}} - 3 \cdot 4^{\sqrt{x}} - 3 \cdot 2^{\sqrt{x}+1} + 8 = 0;$

б) $4^{\log_5 x} - 6 \cdot 2^{\log_5 x} + 2^{\log_5 125} = 0.$

а) $8^{\sqrt{x}} - 3 \cdot 4^{\sqrt{x}} - 3 \cdot 2^{\sqrt{x}+1} + 8 = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 2.
$8^{\sqrt{x}} = (2^3)^{\sqrt{x}} = 2^{3\sqrt{x}} = (2^{\sqrt{x}})^3$
$4^{\sqrt{x}} = (2^2)^{\sqrt{x}} = 2^{2\sqrt{x}} = (2^{\sqrt{x}})^2$
$2^{\sqrt{x}+1} = 2^{\sqrt{x}} \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^{\sqrt{x}}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(2^{\sqrt{x}})^3 - 3 \cdot (2^{\sqrt{x}})^2 - 3 \cdot (2 \cdot 2^{\sqrt{x}}) + 8 = 0$
$(2^{\sqrt{x}})^3 - 3 \cdot (2^{\sqrt{x}})^2 - 6 \cdot 2^{\sqrt{x}} + 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^{\sqrt{x}}$. Так как $\sqrt{x} \ge 0$, то $2^{\sqrt{x}} \ge 2^0$, следовательно, $t \ge 1$.
Получаем кубическое уравнение относительно $t$:
$t^3 - 3t^2 - 6t + 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Возможные целые корни являются делителями свободного члена 8: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.
Проверим $t=1$: $1^3 - 3(1)^2 - 6(1) + 8 = 1 - 3 - 6 + 8 = 0$. Значит, $t_1 = 1$ является корнем.
Проверим $t=-2$: $(-2)^3 - 3(-2)^2 - 6(-2) + 8 = -8 - 12 + 12 + 8 = 0$. Значит, $t_2 = -2$ является корнем.
Проверим $t=4$: $4^3 - 3(4)^2 - 6(4) + 8 = 64 - 48 - 24 + 8 = 0$. Значит, $t_3 = 4$ является корнем.

Мы нашли три корня: $t_1 = 1$, $t_2 = -2$, $t_3 = 4$.
Теперь вернемся к замене, учитывая условие $t \ge 1$.
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 1$, поэтому он является посторонним.
Рассмотрим оставшиеся корни:

1) $t = 1$
$2^{\sqrt{x}} = 1$
$2^{\sqrt{x}} = 2^0$
$\sqrt{x} = 0$
$x = 0$

2) $t = 4$
$2^{\sqrt{x}} = 4$
$2^{\sqrt{x}} = 2^2$
$\sqrt{x} = 2$
$x = 4$

Оба найденных значения $x=0$ и $x=4$ удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $0; 4$

б) $4^{\log_5 x} - 6 \cdot 2^{\log_5 x} + 2^{\log_5 125} = 0$

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть строго положительным, т.е. $x > 0$.

Упростим уравнение.
$4^{\log_5 x} = (2^2)^{\log_5 x} = (2^{\log_5 x})^2$
$\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$, поэтому $2^{\log_5 125} = 2^3 = 8$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:
$(2^{\log_5 x})^2 - 6 \cdot 2^{\log_5 x} + 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^{\log_5 x}$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то $y > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 - 6y + 8 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение равно 8.
Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = 4$.
Оба корня удовлетворяют условию $y > 0$.

Выполним обратную замену:
1) $y = 2$
$2^{\log_5 x} = 2$
$2^{\log_5 x} = 2^1$
$\log_5 x = 1$
$x = 5^1 = 5$

2) $y = 4$
$2^{\log_5 x} = 4$
$2^{\log_5 x} = 2^2$
$\log_5 x = 2$
$x = 5^2 = 25$

Оба значения $x=5$ и $x=25$ удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $5; 25$

27.39. a) $2^x \cdot 5^{\frac{1+x}{x}} = 50;$

Б) $3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 24;$

В) $3^{x-1} \cdot 625^{x-1} = 225;$

Г) $5^x \cdot 2^{\frac{2+x}{x}} = 40.$

а) $2^x \cdot 5^{\frac{1+x}{x}} = 50$

Сначала определим область допустимых значений. Так как в показателе степени есть дробь с $x$ в знаменателе, $x \neq 0$.
Преобразуем показатель степени у числа 5: $ \frac{1+x}{x} = \frac{1}{x} + \frac{x}{x} = \frac{1}{x} + 1 $.
Подставим это в исходное уравнение: $ 2^x \cdot 5^{\frac{1}{x} + 1} = 50 $
$ 2^x \cdot 5^{\frac{1}{x}} \cdot 5^1 = 50 $
Разделим обе части уравнения на 5: $ 2^x \cdot 5^{\frac{1}{x}} = 10 $
Представим число 5 как $ \frac{10}{2} $: $ 2^x \cdot (\frac{10}{2})^{\frac{1}{x}} = 10 $
$ 2^x \cdot \frac{10^{\frac{1}{x}}}{2^{\frac{1}{x}}} = 10^1 $
$ 2^{x - \frac{1}{x}} = 10^{1 - \frac{1}{x}} $
$ 2^{\frac{x^2 - 1}{x}} = 10^{\frac{x - 1}{x}} $
Используя формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $, преобразуем показатель у числа 2: $ 2^{\frac{(x-1)(x+1)}{x}} = 10^{\frac{x-1}{x}} $
Это равенство выполняется, если показатели степени равны нулю. $ \frac{x-1}{x} = 0 \implies x-1=0 \implies x=1 $.
При $ x=1 $ получаем $ 2^0 = 10^0 $, что является верным равенством $ 1=1 $. Значит, $ x=1 $ — корень уравнения.
Если $ x \neq 1 $, мы можем возвести обе части уравнения в степень $ \frac{x}{x-1} $: $ (2^{\frac{(x-1)(x+1)}{x}})^{\frac{x}{x-1}} = (10^{\frac{x-1}{x}})^{\frac{x}{x-1}} $
$ 2^{x+1} = 10 $
Прологарифмируем обе части по основанию 2: $ x+1 = \log_2{10} $
$ x = \log_2{10} - 1 $
$ x = \log_2{10} - \log_2{2} $
$ x = \log_2{(\frac{10}{2})} = \log_2{5} $.
Таким образом, у уравнения два корня.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \log_2{5}$.

б) $3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 24$

Область допустимых значений: $ x \neq 0 $.
Разложим правую часть уравнения на простые множители: $ 24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^1 $.
Уравнение принимает вид: $ 3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}} = 3^1 \cdot 2^3 $
Один из возможных случаев, когда такое равенство верно, — это когда показатели степеней при одинаковых основаниях равны. Составим систему уравнений: $ \begin{cases} x = 1 \\ \frac{3}{x} = 3 \end{cases} $
Подставив $ x=1 $ во второе уравнение, получаем $ \frac{3}{1} = 3 $, что является верным. Значит, $ x=1 $ — корень уравнения.
Чтобы найти другие возможные корни, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3: $ \log_3{(3^x \cdot 2^{\frac{3}{x}})} = \log_3{(24)} $
$ \log_3{(3^x)} + \log_3{(2^{\frac{3}{x}})} = \log_3{(3 \cdot 8)} $
$ x + \frac{3}{x}\log_3{2} = \log_3{3} + \log_3{8} $
$ x + \frac{3}{x}\log_3{2} = 1 + 3\log_3{2} $
Умножим обе части на $ x $ (так как $ x \neq 0 $): $ x^2 + 3\log_3{2} = x(1 + 3\log_3{2}) $
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: $ x^2 - (1 + 3\log_3{2})x + 3\log_3{2} = 0 $
По теореме Виета, для корней $ x_1 $ и $ x_2 $ этого уравнения справедливы соотношения: $ x_1 + x_2 = 1 + 3\log_3{2} $
$ x_1 \cdot x_2 = 3\log_3{2} $
Легко видеть, что корнями являются $ x_1=1 $ и $ x_2=3\log_3{2} $.
Преобразуем второй корень: $ x_2 = 3\log_3{2} = \log_3{(2^3)} = \log_3{8} $.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \log_3{8}$.

в) $3^{x-1} \cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}} = 225$

Область допустимых значений: $ x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 $.
Представим числа 625 и 225 в виде степеней простых чисел: $ 625 = 5^4 $, $ 225 = 9 \cdot 25 = 3^2 \cdot 5^2 $.
Подставим эти значения в уравнение: $ 3^{x-1} \cdot (5^4)^{\frac{x-2}{x-1}} = 3^2 \cdot 5^2 $
$ 3^{x-1} \cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}} = 3^2 \cdot 5^2 $
Приравняем показатели степеней при одинаковых основаниях: $ \begin{cases} x-1 = 2 \\ \frac{4(x-2)}{x-1} = 2 \end{cases} $
Из первого уравнения находим $ x=3 $. Проверим, удовлетворяет ли это значение второму уравнению: $ \frac{4(3-2)}{3-1} = \frac{4 \cdot 1}{2} = 2 $. Верно. Таким образом, $ x=3 $ является корнем.
Для поиска других корней преобразуем уравнение, разделив обе части на $ 3^2 \cdot 5^2 $: $ \frac{3^{x-1}}{3^2} \cdot \frac{5^{\frac{4(x-2)}{x-1}}}{5^2} = 1 $
$ 3^{x-1-2} \cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}-2} = 1 $
$ 3^{x-3} \cdot 5^{\frac{4x-8 - 2(x-1)}{x-1}} = 1 $
$ 3^{x-3} \cdot 5^{\frac{4x-8 - 2x+2}{x-1}} = 1 $
$ 3^{x-3} \cdot 5^{\frac{2x-6}{x-1}} = 1 $
$ 3^{x-3} \cdot 5^{\frac{2(x-3)}{x-1}} = 1 $
$ 3^{x-3} \cdot (5^{\frac{2}{x-1}})^{x-3} = 1 $
$ (3 \cdot 5^{\frac{2}{x-1}})^{x-3} = 1 $
Равенство $ A^B = 1 $ выполняется в двух случаях:
1) $ B=0 $ (при $ A \neq 0 $). $ x-3=0 \implies x=3 $. Мы уже нашли этот корень.
2) $ A=1 $. $ 3 \cdot 5^{\frac{2}{x-1}} = 1 $
$ 5^{\frac{2}{x-1}} = \frac{1}{3} $
Прологарифмируем по основанию 5: $ \frac{2}{x-1} = \log_5{(\frac{1}{3})} = -\log_5{3} $
$ x-1 = -\frac{2}{\log_5{3}} = -2\log_3{5} $
$ x = 1 - 2\log_3{5} = 1 - \log_3{(5^2)} = 1 - \log_3{25} $.

Ответ: $x_1 = 3$, $x_2 = 1 - \log_3{25}$.

г) $5^x \cdot 2^{\frac{2+x}{x}} = 40$

Область допустимых значений: $ x \neq 0 $.
Преобразуем показатель степени у числа 2: $ \frac{2+x}{x} = \frac{2}{x} + \frac{x}{x} = \frac{2}{x} + 1 $.
Подставим в уравнение: $ 5^x \cdot 2^{\frac{2}{x} + 1} = 40 $
$ 5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}} \cdot 2^1 = 40 $
Разделим обе части на 2: $ 5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}} = 20 $
Разложим 20 на множители: $ 20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^1 $.
Уравнение примет вид: $ 5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}} = 5^1 \cdot 2^2 $
Приравнивая показатели степеней при одинаковых основаниях, получаем систему: $ \begin{cases} x=1 \\ \frac{2}{x}=2 \end{cases} $
Из первого уравнения $ x=1 $. Подстановка во второе дает $ \frac{2}{1} = 2 $, что верно. Значит, $ x=1 $ является решением.
Чтобы найти другие решения, прологарифмируем уравнение $ 5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}} = 20 $ по основанию 5: $ \log_5{(5^x \cdot 2^{\frac{2}{x}})} = \log_5{(20)} $
$ \log_5{(5^x)} + \log_5{(2^{\frac{2}{x}})} = \log_5{(5 \cdot 4)} $
$ x + \frac{2}{x}\log_5{2} = \log_5{5} + \log_5{4} $
$ x + \frac{2}{x}\log_5{2} = 1 + 2\log_5{2} $
Умножим на $ x $ ($ x \neq 0 $): $ x^2 + 2\log_5{2} = x(1 + 2\log_5{2}) $
$ x^2 - (1 + 2\log_5{2})x + 2\log_5{2} = 0 $
По теореме Виета, сумма корней $ x_1+x_2 = 1+2\log_5{2} $, а произведение $ x_1x_2 = 2\log_5{2} $.
Отсюда корни $ x_1=1 $ и $ x_2=2\log_5{2} $.
Второй корень: $ x_2=2\log_5{2} = \log_5{(2^2)} = \log_5{4} $.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = \log_5{4}$.

○27.40. a) $\log_{0.2} \sqrt{5x - 4} = \log_{0.2} x;$

б) $\log_7 \sqrt{3x^2 - 7x + 9} = \log_7 (x + 2);$

в) $\log_3 (x - 1) = \log_3 \sqrt{6x - 11};$

г) $\log_{0.4} x = \log_{0.4} \sqrt{x^2 + x}.$

а) Исходное уравнение: $ \log_{0,2} \sqrt{5x - 4} = \log_{0,2} x $.
Логарифмическое уравнение вида $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ равносильно системе: $ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $.
В данном случае достаточно решить систему: $ \begin{cases} \sqrt{5x - 4} = x \\ x > 0 \end{cases} $.
Из первого уравнения следует, что $ x \ge 0 $, так как квадратный корень не может быть отрицательным. Условие $ x > 0 $ является более строгим. Также должно выполняться условие подкоренного выражения: $ 5x - 4 \ge 0 $, то есть $ x \ge \frac{4}{5} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется системой: $ \begin{cases} x > 0 \\ 5x - 4 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x > \frac{4}{5} \end{cases} \Rightarrow x > \frac{4}{5} $.
Решим уравнение $ \sqrt{5x - 4} = x $. Возведем обе части в квадрат:
$ 5x - 4 = x^2 $
$ x^2 - 5x + 4 = 0 $
По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни:
$ x_1 = 1 $
$ x_2 = 4 $
Проверим, удовлетворяют ли корни условию ОДЗ $ x > \frac{4}{5} $ (или $ x > 0.8 $).
$ x_1 = 1 > 0.8 $ (подходит)
$ x_2 = 4 > 0.8 $ (подходит)
Ответ: $1; 4$.

б) Исходное уравнение: $ \log_7 \sqrt{3x^2 - 7x + 9} = \log_7 (x + 2) $.
ОДЗ: $ \begin{cases} 3x^2 - 7x + 9 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} $.
Для квадратного трехчлена $ 3x^2 - 7x + 9 $ найдем дискриминант: $ D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 49 - 108 = -59 $. Так как $ D < 0 $ и старший коэффициент $ 3 > 0 $, трехчлен положителен при любых $ x $.
Из второго неравенства получаем $ x > -2 $.
Итак, ОДЗ: $ x > -2 $.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$ \sqrt{3x^2 - 7x + 9} = x + 2 $
Так как левая часть неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательной: $ x + 2 \ge 0 $, что совпадает с ОДЗ. Возводим обе части в квадрат:
$ 3x^2 - 7x + 9 = (x + 2)^2 $
$ 3x^2 - 7x + 9 = x^2 + 4x + 4 $
$ 2x^2 - 11x + 5 = 0 $
Найдем корни через дискриминант: $ D = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 121 - 40 = 81 = 9^2 $.
$ x_1 = \frac{11 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5 $
$ x_2 = \frac{11 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{20}{4} = 5 $
Оба корня удовлетворяют ОДЗ $ x > -2 $.
Ответ: $0,5; 5$.

в) Исходное уравнение: $ \log_3 (x - 1) = \log_3 \sqrt{6x - 11} $.
ОДЗ: $ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ 6x - 11 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x > \frac{11}{6} \end{cases} $.
Так как $ \frac{11}{6} \approx 1.83 $, то ОДЗ: $ x > \frac{11}{6} $.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$ x - 1 = \sqrt{6x - 11} $
Так как правая часть неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной: $ x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 $. Это условие выполняется в рамках ОДЗ. Возводим обе части в квадрат:
$ (x - 1)^2 = 6x - 11 $
$ x^2 - 2x + 1 = 6x - 11 $
$ x^2 - 8x + 12 = 0 $
По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 12. Корни:
$ x_1 = 2 $
$ x_2 = 6 $
Проверим, удовлетворяют ли корни условию ОДЗ $ x > \frac{11}{6} $.
$ x_1 = 2 > \frac{11}{6} $ (подходит)
$ x_2 = 6 > \frac{11}{6} $ (подходит)
Ответ: $2; 6$.

г) Исходное уравнение: $ \log_{0,4} x = \log_{0,4} \sqrt{x^2 + x} $.
ОДЗ: $ \begin{cases} x > 0 \\ x^2 + x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x(x+1) > 0 \end{cases} $.
Неравенство $ x(x+1) > 0 $ выполняется при $ x < -1 $ или $ x > 0 $.
Пересечение условий $ x > 0 $ и ($ x < -1 $ или $ x > 0 $) дает ОДЗ: $ x > 0 $.
Приравниваем аргументы логарифмов:
$ x = \sqrt{x^2 + x} $
Так как правая часть неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной: $ x \ge 0 $. Это условие выполняется в рамках ОДЗ. Возводим обе части в квадрат:
$ x^2 = x^2 + x $
$ 0 = x $
Полученный корень $ x = 0 $ не удовлетворяет ОДЗ $ x > 0 $. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.

27.41. a) $\log^2_{0.5} x + 12 = 7 \log_2 x;$

б) $\log^2_{0.5} x - 6 \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt{x} + 8 = 0;$

в) $9 \log^2_8 x = 11 \log_2 x + 12;$

г) $\sqrt{\log_2 x + 11} = 3 \log_8 x - 1.$

а) $log_{0,5}^2 x + 12 = 7 \log_2 x$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Приведем логарифмы к одному основанию 2. Используем свойство логарифма $log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.
$log_{0,5} x = \log_{2^{-1}} x = -1 \cdot \log_2 x = -\log_2 x$.
Подставим это в исходное уравнение:

$(-\log_2 x)^2 + 12 = 7 \log_2 x$

$(\log_2 x)^2 + 12 = 7 \log_2 x$

$(\log_2 x)^2 - 7 \log_2 x + 12 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
$t_1 + t_2 = 7$
$t_1 \cdot t_2 = 12$
Отсюда $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\log_2 x = 3 \Rightarrow x_1 = 2^3 = 8$.
2) $\log_2 x = 4 \Rightarrow x_2 = 2^4 = 16$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: 8; 16.

б) $\log_{0,5}^2 x - 6 \log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt{x} + 8 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Приведем все логарифмы к основанию 2.
$log_{0,5} x = \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x$.
$\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}} \sqrt{x} = \log_{2^{-1/2}} x^{1/2}$.
Используем свойство $log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b$:
$\log_{2^{-1/2}} x^{1/2} = \frac{1/2}{-1/2} \log_2 x = -1 \cdot \log_2 x = -\log_2 x$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$(-\log_2 x)^2 - 6(-\log_2 x) + 8 = 0$

$(\log_2 x)^2 + 6 \log_2 x + 8 = 0$

Сделаем замену $t = \log_2 x$:

$t^2 + 6t + 8 = 0$

По теореме Виета:
$t_1 + t_2 = -6$
$t_1 \cdot t_2 = 8$
Следовательно, $t_1 = -2$ и $t_2 = -4$.

Выполним обратную замену:

1) $\log_2 x = -2 \Rightarrow x_1 = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.
2) $\log_2 x = -4 \Rightarrow x_2 = 2^{-4} = \frac{1}{16}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{4}$.

в) $9 \log_8^2 x = 11 \log_2 x + 12$

ОДЗ: $x > 0$.
Приведем логарифмы к основанию 2:

$\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x$.

Подставим в уравнение:

$9 \left(\frac{1}{3} \log_2 x\right)^2 = 11 \log_2 x + 12$

$9 \cdot \frac{1}{9} (\log_2 x)^2 = 11 \log_2 x + 12$

$(\log_2 x)^2 - 11 \log_2 x - 12 = 0$

Сделаем замену $t = \log_2 x$:

$t^2 - 11t - 12 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
$t_1 = \frac{11 - 13}{2} = -1$.
$t_2 = \frac{11 + 13}{2} = 12$.

Вернемся к замене:

1) $\log_2 x = -1 \Rightarrow x_1 = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
2) $\log_2 x = 12 \Rightarrow x_2 = 2^{12} = 4096$.
Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{2}$; 4096.

г) $\sqrt{\log_2 x + 11} = 3 \log_8 x - 1$

Найдем ОДЗ:
1) $x > 0$ (аргумент логарифма).
2) $\log_2 x + 11 \ge 0 \Rightarrow \log_2 x \ge -11 \Rightarrow x \ge 2^{-11}$.
3) $3 \log_8 x - 1 \ge 0$ (правая часть не может быть отрицательной, так как равна корню).
Приведем к основанию 2: $3 \cdot \frac{1}{3} \log_2 x - 1 \ge 0 \Rightarrow \log_2 x - 1 \ge 0 \Rightarrow \log_2 x \ge 1 \Rightarrow x \ge 2$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2$.

Теперь решаем уравнение. Приведем логарифм в правой части к основанию 2:
$\log_8 x = \frac{1}{3} \log_2 x$.
$\sqrt{\log_2 x + 11} = 3 \cdot \frac{1}{3} \log_2 x - 1$

$\sqrt{\log_2 x + 11} = \log_2 x - 1$

Сделаем замену $t = \log_2 x$. Из ОДЗ ($x \ge 2$) следует, что $\log_2 x \ge \log_2 2$, то есть $t \ge 1$.
$\sqrt{t + 11} = t - 1$

Возведем обе части в квадрат:

$t + 11 = (t - 1)^2$

$t + 11 = t^2 - 2t + 1$

$t^2 - 3t - 10 = 0$

Решим квадратное уравнение:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2$.
$t_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$.

Проверим корни по условию для $t$: $t \ge 1$.
$t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 1$, это посторонний корень.
$t_2 = 5$ удовлетворяет условию $t \ge 1$.

Вернемся к переменной $x$:

$\log_2 x = 5 \Rightarrow x = 2^5 = 32$.
Корень $x = 32$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 2$).

Ответ: 32.

27.42. a) $\log_{x+1} (x^2 - 3x + 1) = 1;$

б) $\log_x (2x^2 - 3x - 4) = 2.$

а) $\log_{x+1}(x^2 - 3x + 1) = 1$

По определению логарифма, данное уравнение равносильно системе, учитывающей область допустимых значений (ОДЗ): основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице, а подлогарифмическое выражение должно быть равно основанию в степени, стоящей в правой части уравнения.

$ \begin{cases} x^2 - 3x + 1 = (x + 1)^1 \\ x + 1 > 0 \\ x + 1 \neq 1 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$x^2 - 3x + 1 = x + 1$

$x^2 - 3x - x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Теперь проверим эти корни на соответствие двум другим условиям системы:

1. $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$

2. $x + 1 \neq 1 \Rightarrow x \neq 0$

Проверим корень $x_1 = 0$:

Он не удовлетворяет условию $x \neq 0$, значит, $x=0$ является посторонним корнем.

Проверим корень $x_2 = 4$:

$4 > -1$ (верно)

$4 \neq 0$ (верно)

Таким образом, $x=4$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $4$.

б) $\log_{x}(2x^2 - 3x - 4) = 2$

По определению логарифма, данное уравнение равносильно системе, учитывающей ОДЗ:

$ \begin{cases} 2x^2 - 3x - 4 = x^2 \\ x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$2x^2 - 3x - 4 = x^2$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

Теперь проверим найденные корни на соответствие условиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Проверим корень $x_1 = -1$:

Он не удовлетворяет условию $x > 0$, так как $-1 < 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Проверим корень $x_2 = 4$:

$4 > 0$ (верно)

$4 \neq 1$ (верно)

Следовательно, $x=4$ является решением уравнения.

Ответ: $4$.

27.43. a) $ \ln (0,2^x - 7) = \ln (9 - 3 \cdot 0,2^x); $

б) $ 9^{\log_3 x} - 12 \cdot 3^{\log_3 x} + 3^{\log_3 27} = 0; $

В) $ e^{\lg (x-2)} \cdot \frac{1}{e} = (e^{-1})^{\lg (x+1)}; $

Г) $ \log_5 (2 + 3 \cdot 5^{-x}) = x + 1. $

а)

Дано логарифмическое уравнение: $ \ln(0,2 \cdot 2^x - 7) = \ln(9 - 3 \cdot 0,2 \cdot 2^x) $.

Поскольку основания натуральных логарифмов равны, можно приравнять их аргументы. Но сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы оба аргумента были строго положительными:

$ \begin{cases} 0,2 \cdot 2^x - 7 > 0 \\ 9 - 3 \cdot 0,2 \cdot 2^x > 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство:

$ 0,2 \cdot 2^x > 7 \implies \frac{1}{5} \cdot 2^x > 7 \implies 2^x > 35 $.

Рассмотрим второе неравенство:

$ 9 > 3 \cdot 0,2 \cdot 2^x \implies 3 > 0,2 \cdot 2^x \implies 3 > \frac{1}{5} \cdot 2^x \implies 15 > 2^x $.

Таким образом, ОДЗ определяется системой неравенств:

$ \begin{cases} 2^x > 35 \\ 2^x < 15 \end{cases} $

Данная система не имеет решений, так как не существует такого значения $2^x$, которое было бы одновременно больше 35 и меньше 15. Следовательно, область допустимых значений пуста, и уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

б)

Дано уравнение: $ 9^{\log_3 x} - 12 \cdot 3^{\log_3 x} + 3^{\log_3 27} = 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из условия, что аргумент логарифма должен быть положительным: $ x > 0 $.

Упростим члены уравнения, используя основное логарифмическое тождество $ a^{\log_a b} = b $ и свойства степеней:

1. $ 9^{\log_3 x} = (3^2)^{\log_3 x} = (3^{\log_3 x})^2 = x^2 $.

2. $ 12 \cdot 3^{\log_3 x} = 12 \cdot x = 12x $.

3. $ 3^{\log_3 27} = 27 $.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$ x^2 - 12x + 27 = 0 $.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а их произведение равно 27. Легко подобрать корни:

$ x_1 = 3 $ и $ x_2 = 9 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ x > 0 $), так как $ 3 > 0 $ и $ 9 > 0 $.

Ответ: $ 3; 9 $.

в)

Дано уравнение: $ e^{\lg(x-2)} \cdot \frac{1}{e} = (e^{-1})^{\lg(x+1)} $.

Найдем ОДЗ. Аргументы десятичных логарифмов ($ \lg $) должны быть положительны:

$ \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -1 \end{cases} $.

Пересечением этих условий является $ x > 2 $.

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $ и $ (a^m)^n = a^{mn} $:

$ e^{\lg(x-2)} \cdot e^{-1} = e^{-1 \cdot \lg(x+1)} $

$ e^{\lg(x-2) - 1} = e^{-\lg(x+1)} $

Так как основания степеней равны, приравняем показатели:

$ \lg(x-2) - 1 = -\lg(x+1) $

$ \lg(x-2) + \lg(x+1) = 1 $

Используя свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) $:

$ \lg((x-2)(x+1)) = 1 $

По определению десятичного логарифма ($ \lg A = 1 \iff A = 10^1 $):

$ (x-2)(x+1) = 10 $

$ x^2 - x - 2 = 10 $

$ x^2 - x - 12 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $ x_1 + x_2 = 1 $ и $ x_1 \cdot x_2 = -12 $. Корни:

$ x_1 = 4 $, $ x_2 = -3 $.

Проверим соответствие корней ОДЗ ($ x > 2 $).

$ x_1 = 4 $ подходит, так как $ 4 > 2 $.

$ x_2 = -3 $ не подходит, так как $ -3 \ngtr 2 $.

Следовательно, у уравнения один корень.

Ответ: $ 4 $.

г)

Дано уравнение: $ \log_5(2 + 3 \cdot 5^{-x}) = x + 1 $.

ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен $ 2 + 3 \cdot 5^{-x} > 0 $. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как показательная функция $ 5^{-x} $ всегда положительна. Значит, ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff b = a^c $), преобразуем уравнение:

$ 2 + 3 \cdot 5^{-x} = 5^{x+1} $

$ 2 + 3 \cdot \frac{1}{5^x} = 5^1 \cdot 5^x $

Введем замену $ t = 5^x $. Так как $ 5^x > 0 $ для любого $x$, то $ t > 0 $.

$ 2 + \frac{3}{t} = 5t $

Умножим обе части на $ t $ (так как $ t \neq 0 $):

$ 2t + 3 = 5t^2 $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ 5t^2 - 2t - 3 = 0 $

Найдем дискриминант: $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2 $.

Найдем корни для $ t $:

$ t_1 = \frac{2 + 8}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 $

$ t_2 = \frac{2 - 8}{2 \cdot 5} = \frac{-6}{10} = -0,6 $

Возвращаемся к замене. Корень $ t_2 = -0,6 $ является посторонним, так как $ t = 5^x $ должно быть положительным.

Рассмотрим $ t_1 = 1 $:

$ 5^x = 1 $

$ 5^x = 5^0 $

$ x = 0 $

Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 0 $.