Страница 169, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение методом разложения на множители:

27.12. а) $x^3 - 9x^2 + 20x = 0;$

б) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0;$

в) $x^5 + 8x^4 + 12x^3 = 0;$

г) $x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0.$

а) $x^3 - 9x^2 + 20x = 0$

Сначала вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 9x + 20) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, у нас есть два случая:

1) $x_1 = 0$

2) $x^2 - 9x + 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 9, а произведение равно 20. Это числа 4 и 5.

Следовательно, $x_2 = 4$ и $x_3 = 5$.

Также можно решить через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{1}}{2}$

$x_2 = \frac{9 - 1}{2} = 4$

$x_3 = \frac{9 + 1}{2} = 5$

Таким образом, у уравнения три корня.

Ответ: $0; 4; 5$.

б) $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы разложить многочлен на множители:

$(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 - 4) = 0$

Выражение $x^2 - 4$ является разностью квадратов, которую можно разложить как $(x - 2)(x + 2)$.

$(x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

$x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

$x + 2 = 0 \implies x_3 = -2$

Корни уравнения отсортированы в порядке возрастания.

Ответ: $-2; 2; 3$.

в) $x^5 + 8x^4 + 12x^3 = 0$

Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки:

$x^3(x^2 + 8x + 12) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x^3 = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x^2 + 8x + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -8, а произведение равно 12. Это числа -2 и -6.

$x_2 = -2$, $x_3 = -6$.

Решение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-8 \pm 4}{2}$

$x_2 = \frac{-8 - 4}{2} = -6$

$x_3 = \frac{-8 + 4}{2} = -2$

Корни уравнения отсортированы в порядке возрастания.

Ответ: $-6; -2; 0$.

г) $x^3 + x^2 - 9x - 9 = 0$

Применим метод группировки:

$(x^3 + x^2) + (-9x - 9) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 1) - 9(x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$(x + 1)(x^2 - 9) = 0$

Разложим $x^2 - 9$ по формуле разности квадратов:

$(x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю:

$x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

$x - 3 = 0 \implies x_2 = 3$

$x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$

Корни уравнения отсортированы в порядке возрастания.

Ответ: $-3; -1; 3$.

27.13. a) $\sqrt{x^5} - 3\sqrt{x^3} - 18\sqrt{x} = 0;$

б) $\sqrt[4]{x^9} - 2\sqrt[4]{x^5} - 15\sqrt[4]{x} = 0.$

a) $\sqrt{x^5} - 3\sqrt{x^3} - 18\sqrt{x} = 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. В данном уравнении это переменная $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \ge 0$.

2. Преобразуем уравнение, используя свойство корней $\sqrt{a^n} = a^{n/2}$ и $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ для $a,b \ge 0$.

$\sqrt{x^5} = \sqrt{x^4 \cdot x} = \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{x} = x^2\sqrt{x}$

$\sqrt{x^3} = \sqrt{x^2 \cdot x} = \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{x} = x\sqrt{x}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$x^2\sqrt{x} - 3x\sqrt{x} - 18\sqrt{x} = 0$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt{x}$ за скобки:

$\sqrt{x}(x^2 - 3x - 18) = 0$

4. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt{x} = 0$. Возведя обе части в квадрат, получаем $x_1 = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $x^2 - 3x - 18 = 0$. Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 9}{2}$

$x_2 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_3 = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_3 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 < 0$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x=0$ и $x=6$.

Ответ: $0; 6$.

б) $\sqrt[4]{x^9} - 2\sqrt[4]{x^5} - 15\sqrt[4]{x} = 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня четвертой степени должно быть неотрицательным. Следовательно, ОДЗ: $x \ge 0$.

2. Преобразуем уравнение, используя свойство корней $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$ и $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ для $a,b \ge 0$.

$\sqrt[4]{x^9} = \sqrt[4]{x^8 \cdot x} = \sqrt[4]{x^8} \cdot \sqrt[4]{x} = x^2\sqrt[4]{x}$

$\sqrt[4]{x^5} = \sqrt[4]{x^4 \cdot x} = \sqrt[4]{x^4} \cdot \sqrt[4]{x} = x\sqrt[4]{x}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$x^2\sqrt[4]{x} - 2x\sqrt[4]{x} - 15\sqrt[4]{x} = 0$

3. Вынесем общий множитель $\sqrt[4]{x}$ за скобки:

$\sqrt[4]{x}(x^2 - 2x - 15) = 0$

4. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\sqrt[4]{x} = 0$. Возведя обе части в четвертую степень, получаем $x_1 = 0$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $x^2 - 2x - 15 = 0$. Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант.

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 8}{2}$

$x_2 = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_3 = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

5. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_2 = 5$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_3 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $-3 < 0$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x=0$ и $x=5$.

Ответ: $0; 5$.

27.14. a) $2^x \cdot x - 4x - 4 + 2^x = 0;$

б) $3^x \cdot x - 3^{x+1} + 27 = 9x.$

а) $2^x \cdot x - 4x - 4 + 2^x = 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(2^x \cdot x + 2^x) - (4x + 4) = 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп:

$2^x(x + 1) - 4(x + 1) = 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)(2^x - 4) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

1) $x + 1 = 0$, откуда находим $x_1 = -1$.

2) $2^x - 4 = 0$, откуда $2^x = 4$. Так как $4 = 2^2$, получаем $2^x = 2^2$, что дает $x_2 = 2$.

Ответ: $x = -1, x = 2$.

б) $3^x \cdot x - 3^{x+1} + 27 = 9x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$3^x \cdot x - 3^{x+1} - 9x + 27 = 0$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы упростить член $3^{x+1}$:

$3^x \cdot x - 3^x \cdot 3 - 9x + 27 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(3^x \cdot x - 3 \cdot 3^x) - (9x - 27) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$3^x(x - 3) - 9(x - 3) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(3^x - 9) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x - 3 = 0$, откуда $x_1 = 3$.

2) $3^x - 9 = 0$, откуда $3^x = 9$. Так как $9 = 3^2$, получаем $3^x = 3^2$, что дает $x_2 = 2$.

Ответ: $x = 2, x = 3$.

Решите уравнение:

27.15. a) $2x^2 \sin x - 8 \sin x + 4 = x^2;$

б) $2x^2 \cos x + 9 = 18 \cos x + x^2.$

a) $2x^2 \sin x - 8 \sin x + 4 = x^2$

Для решения данного уравнения сгруппируем слагаемые, перенеся все в левую часть:

$2x^2 \sin x - 8 \sin x - x^2 + 4 = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:

$(2x^2 \sin x - 8 \sin x) - (x^2 - 4) = 0$

$2 \sin x (x^2 - 4) - 1 \cdot (x^2 - 4) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x^2 - 4)$ за скобки:

$(x^2 - 4)(2 \sin x - 1) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 4 = 0$

Это квадратное уравнение, которое решается следующим образом:

$x^2 = 4$

$x = \pm\sqrt{4}$

$x_1 = 2$, $x_2 = -2$

2) $2 \sin x - 1 = 0$

Это простейшее тригонометрическое уравнение:

$2 \sin x = 1$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения записывается формулой:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Таким образом, решениями исходного уравнения являются все значения $x$, найденные в обоих случаях.

Ответ: $x = \pm 2$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $2x^2 \cos x + 9 = 18 \cos x + x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы сгруппировать их:

$2x^2 \cos x - 18 \cos x - x^2 + 9 = 0$

Вынесем общие множители из групп слагаемых:

$(2x^2 \cos x - 18 \cos x) - (x^2 - 9) = 0$

$2 \cos x (x^2 - 9) - 1 \cdot (x^2 - 9) = 0$

Вынесем общий множитель $(x^2 - 9)$:

$(x^2 - 9)(2 \cos x - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x^2 - 9 = 0$

Решаем это квадратное уравнение:

$x^2 = 9$

$x = \pm\sqrt{9}$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

2) $2 \cos x - 1 = 0$

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение:

$2 \cos x = 1$

$\cos x = \frac{1}{2}$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Решениями исходного уравнения является объединение решений, полученных в обоих случаях.

Ответ: $x = \pm 3$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

27.16. a) $ \sin 2x = \sin x; $

б) $ \cos^2 (\pi - x) + \sin 2x = 0; $

в) $ \sqrt{3} \cos 3x = \sin 6x; $

г) $ \sin^2 \left(\pi + \frac{x}{2}\right) - \frac{1}{2}\sin x = 0. $

а) Исходное уравнение: $\sin 2x = \sin x$. Перенесем все члены в левую часть: $\sin 2x - \sin x = 0$. Применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$: $2 \sin x \cos x - \sin x = 0$. Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки: $\sin x (2 \cos x - 1) = 0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $\sin x = 0$. Решения этого уравнения: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \cos x - 1 = 0$, откуда $\cos x = \frac{1}{2}$. Решения этого уравнения: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $\cos^2(\pi - x) + \sin 2x = 0$. Используем формулу приведения $\cos(\pi - x) = -\cos x$, тогда $\cos^2(\pi - x) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x$. Также применим формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Уравнение принимает вид: $\cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 0$. Вынесем общий множитель $\cos x$ за скобки: $\cos x (\cos x + 2 \sin x) = 0$. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $\cos x = 0$. Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos x + 2 \sin x = 0$. В этом уравнении $\cos x \neq 0$, иначе из него следовало бы, что и $\sin x = 0$, что невозможно. Поэтому можно разделить обе части уравнения на $\cos x$: $1 + 2 \tan x = 0$, откуда $\tan x = -\frac{1}{2}$. Решения этого уравнения: $x = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $\sqrt{3} \cos 3x = \sin 6x$. Применим формулу синуса двойного угла $\sin 6x = \sin(2 \cdot 3x) = 2 \sin 3x \cos 3x$. Уравнение принимает вид: $\sqrt{3} \cos 3x = 2 \sin 3x \cos 3x$. Перенесем все члены в одну сторону: $2 \sin 3x \cos 3x - \sqrt{3} \cos 3x = 0$. Вынесем общий множитель $\cos 3x$ за скобки: $\cos 3x (2 \sin 3x - \sqrt{3}) = 0$. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $\cos 3x = 0$. Отсюда $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, и $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2 \sin 3x - \sqrt{3} = 0$, откуда $\sin 3x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения этого уравнения для $3x$ имеют вид $3x = (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n$. Тогда $x = \frac{(-1)^n \pi}{9} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{(-1)^n \pi}{9} + \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $\sin^2(\pi + \frac{x}{2}) - \frac{1}{2} \sin x = 0$. Используем формулу приведения $\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$, тогда $\sin(\pi + \frac{x}{2}) = -\sin(\frac{x}{2})$ и $\sin^2(\pi + \frac{x}{2}) = (-\sin(\frac{x}{2}))^2 = \sin^2(\frac{x}{2})$. Применим формулу синуса двойного угла для $\sin x = \sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 2 \sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$. Подставим в уравнение: $\sin^2(\frac{x}{2}) - \frac{1}{2} \cdot 2 \sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 0$, что упрощается до $\sin^2(\frac{x}{2}) - \sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2}) = 0$. Вынесем общий множитель $\sin(\frac{x}{2})$ за скобки: $\sin(\frac{x}{2}) \left( \sin(\frac{x}{2}) - \cos(\frac{x}{2}) \right) = 0$. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $\sin(\frac{x}{2}) = 0$. Отсюда $\frac{x}{2} = \pi k$, и $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\sin(\frac{x}{2}) - \cos(\frac{x}{2}) = 0$, или $\sin(\frac{x}{2}) = \cos(\frac{x}{2})$. В этом уравнении $\cos(\frac{x}{2}) \neq 0$, иначе и $\sin(\frac{x}{2}) = 0$, что невозможно. Разделим обе части на $\cos(\frac{x}{2})$: $\tan(\frac{x}{2}) = 1$. Отсюда $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n$, и $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Решите уравнение методом введения новой переменной:

27.17. a) $8x^6 + 7x^3 - 1 = 0$;

б) $x^8 + 3x^4 - 4 = 0$.

а) Решение уравнения $8x^6 + 7x^3 - 1 = 0$

Это уравнение можно решить методом введения новой переменной. Заметим, что $x^6 = (x^3)^2$.

Пусть $t = x^3$. Тогда уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$8t^2 + 7t - 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 49 + 32 = 81$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$.

Корни для $t$ равны:

$t_1 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 8} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

$t_2 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 8} = \frac{-16}{16} = -1$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, выполнив обратную замену.

1. Если $t = \frac{1}{8}$, то $x^3 = \frac{1}{8}$. Отсюда $x = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$.

2. Если $t = -1$, то $x^3 = -1$. Отсюда $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; \frac{1}{2}$.

б) Решение уравнения $x^8 + 3x^4 - 4 = 0$

Это уравнение также решается методом введения новой переменной. Заметим, что $x^8 = (x^4)^2$.

Пусть $y = x^4$. Так как $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$, то и $y$ должно быть неотрицательным ($y \ge 0$).

Подставим $y$ в уравнение:

$y^2 + 3y - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

Сумма корней $y_1 + y_2 = -3$, произведение корней $y_1 \cdot y_2 = -4$.

Легко подобрать корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -4$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Если $y = 1$, то $x^4 = 1$. Это уравнение имеет два действительных корня: $x = 1$ и $x = -1$.

2. Если $y = -4$, то $x^4 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как четвертая степень любого действительного числа не может быть отрицательной. Этот корень не удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Следовательно, исходное уравнение имеет два корня.

Ответ: $-1; 1$.

27.18. a) $2^x + 2^{1-x} = 3$;

б) $25^{-x} - 50 = 5^{-x+1}$;

В) $5^x + 4 = 5^{2x+1}$;

Г) $3^{x+1} - 29 = -18 \cdot 3^{-x}$.

а) $2^x + 2^{1-x} = 3$

Преобразуем уравнение, используя свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n} = \frac{a^m}{a^n}$.
$2^x + \frac{2^1}{2^x} = 3$
$2^x + \frac{2}{2^x} = 3$
Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.
Подставим $t$ в уравнение: $t + \frac{2}{t} = 3$
Умножим обе части уравнения на $t$ (поскольку $t \neq 0$):
$t^2 + 2 = 3t$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $3$, а произведение равно $2$. Легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену:
1) $2^x = t_1 \Rightarrow 2^x = 1 \Rightarrow 2^x = 2^0 \Rightarrow x_1 = 0$.
2) $2^x = t_2 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x_2 = 1$.
Ответ: $0; 1$.

б) $25^{-x} - 50 = 5^{-x+1}$

Приведем все степени к одному основанию $5$.
$25^{-x} = (5^2)^{-x} = 5^{-2x} = (5^{-x})^2$
$5^{-x+1} = 5^{-x} \cdot 5^1 = 5 \cdot 5^{-x}$
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(5^{-x})^2 - 50 = 5 \cdot 5^{-x}$
Введем замену переменной. Пусть $t = 5^{-x}$. Так как $5^{-x} > 0$, то $t > 0$.
Уравнение принимает вид:
$t^2 - 50 = 5t$
$t^2 - 5t - 50 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 = 15^2$
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 15}{2}$
$t_1 = \frac{5 + 15}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$t_2 = \frac{5 - 15}{2} = \frac{-10}{2} = -5$
Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.
Выполним обратную замену для $t_1 = 10$:
$5^{-x} = 10$
Прологарифмируем обе части по основанию 5:
$\log_5(5^{-x}) = \log_5(10)$
$-x = \log_5(10)$
$x = -\log_5(10)$
Ответ: $-\log_5(10)$.

в) $5^x + 4 = 5^{2x+1}$

Преобразуем правую часть уравнения: $5^{2x+1} = 5^{2x} \cdot 5^1 = 5 \cdot (5^x)^2$.
Уравнение примет вид:
$5^x + 4 = 5 \cdot (5^x)^2$
Введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
$t + 4 = 5t^2$
Перенесем все члены в одну сторону:
$5t^2 - t - 4 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 = 9^2$
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 9}{10}$
$t_1 = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1$
$t_2 = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -0.8$
Корень $t_2 = -0.8$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену для $t_1 = 1$:
$5^x = 1$
$5^x = 5^0$
$x = 0$
Ответ: $0$.

г) $3^{x+1} - 29 = -18 \cdot 3^{-x}$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
$3^{-x} = \frac{1}{3^x}$
Подставим в уравнение:
$3 \cdot 3^x - 29 = -18 \cdot \frac{1}{3^x}$
Введем замену. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
$3t - 29 = -\frac{18}{t}$
Умножим обе части на $t$ ($t \neq 0$):
$3t^2 - 29t = -18$
$3t^2 - 29t + 18 = 0$
Решим квадратное уравнение:
$D = b^2 - 4ac = (-29)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 18 = 841 - 216 = 625 = 25^2$
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{29 \pm 25}{6}$
$t_1 = \frac{29 + 25}{6} = \frac{54}{6} = 9$
$t_2 = \frac{29 - 25}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Оба корня положительны, поэтому оба подходят.
Выполним обратную замену:
1) $3^x = t_1 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x_1 = 2$.
2) $3^x = t_2 \Rightarrow 3^x = \frac{2}{3}$. Прологарифмируем по основанию 3:
$\log_3(3^x) = \log_3(\frac{2}{3})$
$x_2 = \log_3(2) - \log_3(3) = \log_3(2) - 1$.
Ответ: $2; \log_3(2)-1$.

27.19. a) $7^{2x+1} - 50 \cdot 7^x = -7;$

б) $\log^2_2 x + 12 = 7 \log_2 x;$

В) $4 \sin^2 x + 4 = 17 \sin x;$

Г) $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 2 = 0.$

а) $7^{2x+1} - 50 \cdot 7^x = -7$

Преобразуем уравнение, используя свойство степени $a^{m+n} = a^m a^n$. Имеем $7^{2x+1} = 7^1 \cdot 7^{2x} = 7 \cdot (7^x)^2$. Перенесем все члены в одну сторону:

$7 \cdot (7^x)^2 - 50 \cdot 7^x + 7 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$. Так как показательная функция всегда положительна, должно выполняться условие $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$7t^2 - 50t + 7 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{2304} = 48$.

Корни для $t$ равны:

$t_1 = \frac{50 + 48}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7$

$t_2 = \frac{50 - 48}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

Оба корня положительны, поэтому удовлетворяют условию $t > 0$. Выполним обратную замену для каждого корня.

Для $t_1 = 7$ получаем: $7^x = 7$, что равносильно $7^x = 7^1$, откуда $x_1 = 1$.

Для $t_2 = \frac{1}{7}$ получаем: $7^x = \frac{1}{7}$, что равносильно $7^x = 7^{-1}$, откуда $x_2 = -1$.

Ответ: $-1; 1$.

б) $\log_2^2 x + 12 = 7 \log_2 x$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$\log_2^2 x - 7 \log_2 x + 12 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\log_2 x$. Введем замену переменной: $t = \log_2 x$.

Уравнение примет вид: $t^2 - 7t + 12 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение равно 12. Отсюда легко найти корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Выполним обратную замену.

1. Если $\log_2 x = 3$, то по определению логарифма $x_1 = 2^3 = 8$.

2. Если $\log_2 x = 4$, то по определению логарифма $x_2 = 2^4 = 16$.

Оба корня (8 и 16) положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $8; 16$.

в) $4 \sin^2 x + 4 = 17 \sin x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4 \sin^2 x - 17 \sin x + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Область значений синуса: $-1 \le \sin x \le 1$, следовательно, для переменной $t$ должно выполняться условие $-1 \le t \le 1$.

Уравнение примет вид: $4t^2 - 17t + 4 = 0$.

Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.

Найдем корни для $t$:

$t_1 = \frac{17 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$

$t_2 = \frac{17 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Теперь проверим корни на соответствие условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = 4$ не удовлетворяет условию, так как $4 > 1$. Это посторонний корень.

Корень $t_2 = \frac{1}{4}$ удовлетворяет условию, так как $-1 \le \frac{1}{4} \le 1$.

Выполняем обратную замену: $\sin x = \frac{1}{4}$.

Общее решение этого простейшего тригонометрического уравнения имеет вид: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Ответ: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 2 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Корень четной степени $\sqrt[6]{x}$ определен только для неотрицательных чисел, поэтому $x \ge 0$.

Заметим, что $\sqrt[3]{x}$ можно представить как $(\sqrt[6]{x})^2$, так как $x^{1/3} = (x^{1/6})^2$. Уравнение можно переписать в виде:

$(\sqrt[6]{x})^2 - \sqrt[6]{x} - 2 = 0$

Введем замену переменной: $t = \sqrt[6]{x}$. Из ОДЗ следует, что $t \ge 0$.

Уравнение для $t$ будет: $t^2 - t - 2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($ -1 < 0 $), поэтому является посторонним.

Остается одно решение для $t$: $t=2$. Выполним обратную замену:

$\sqrt[6]{x} = 2$

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в шестую степень:

$x = 2^6 = 64$

Найденный корень $x=64$ удовлетворяет ОДЗ ($64 \ge 0$).

Ответ: $64$.

27.20. a) $\lg^2 x^2 + \lg 10x - 6 = 0;$

б) $3^x + 3^{-x+1} = 4;$

в) $2 \cos^2 x - 7 \cos x - 4 = 0;$

г) $5^{2\sqrt{x}} + 125 = 6 \cdot 5^{\sqrt{x}+1}.$

а) $lg^2 x^2 + lg 10x - 6 = 0$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$x^2 > 0 \implies x \neq 0$

$10x > 0 \implies x > 0$

Следовательно, ОДЗ: $x > 0$.

Используя свойства логарифмов, преобразуем уравнение. Для $x > 0$ имеем:

$lg^2 x^2 = (lg x^2)^2 = (2 lg x)^2 = 4 lg^2 x$

$lg 10x = lg 10 + lg x = 1 + lg x$

Подставим преобразования в исходное уравнение:

$4 lg^2 x + (1 + lg x) - 6 = 0$

$4 lg^2 x + lg x - 5 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = lg x$. Уравнение примет вид:

$4t^2 + t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 9}{8} = \frac{8}{8} = 1$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 9}{8} = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$

Вернемся к исходной переменной:

1) Если $lg x = 1$, то $x = 10^1 = 10$.

2) Если $lg x = -\frac{5}{4}$, то $x = 10^{-5/4}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $10; 10^{-5/4}$.

б) $3^x + 3^{-x+1} = 4$

Преобразуем второй член уравнения: $3^{-x+1} = 3^{-x} \cdot 3^1 = \frac{3}{3^x}$.

Уравнение примет вид:

$3^x + \frac{3}{3^x} = 4$

Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

$t + \frac{3}{t} = 4$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \neq 0$):

$t^2 + 3 = 4t$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета корни $t_1 = 1$, $t_2 = 3$. Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной:

1) Если $3^x = 1$, то $3^x = 3^0$, откуда $x = 0$.

2) Если $3^x = 3$, то $3^x = 3^1$, откуда $x = 1$.

Ответ: $0; 1$.

в) $2 \cos^2 x - 7 \cos x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\cos x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1, 1]$, имеем $-1 \leq t \leq 1$.

Уравнение примет вид:

$2t^2 - 7t - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$

$t_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к исходной переменной:

1) $\cos x = 4$. Это уравнение не имеет решений, так как $4 > 1$.

2) $\cos x = -\frac{1}{2}$. Решения этого уравнения находятся по формуле:

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $5^{2\sqrt{x}} + 125 = 6 \cdot 5^{\sqrt{x}+1}$

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $x \ge 0$.

Преобразуем уравнение:

$5^{2\sqrt{x}} = (5^{\sqrt{x}})^2$

$6 \cdot 5^{\sqrt{x}+1} = 6 \cdot 5^{\sqrt{x}} \cdot 5^1 = 30 \cdot 5^{\sqrt{x}}$

Уравнение примет вид:

$(5^{\sqrt{x}})^2 + 125 = 30 \cdot 5^{\sqrt{x}}$

Перенесем все члены в левую часть:

$(5^{\sqrt{x}})^2 - 30 \cdot 5^{\sqrt{x}} + 125 = 0$

Сделаем замену переменной: пусть $t = 5^{\sqrt{x}}$. Так как $x \ge 0$, то $\sqrt{x} \ge 0$, и $t = 5^{\sqrt{x}} \ge 5^0 = 1$.

Уравнение примет вид:

$t^2 - 30t + 125 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета корни $t_1 = 5$, $t_2 = 25$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 1$.

Вернемся к исходной переменной:

1) Если $5^{\sqrt{x}} = 5$, то $5^{\sqrt{x}} = 5^1$, откуда $\sqrt{x} = 1$, и $x = 1$.

2) Если $5^{\sqrt{x}} = 25$, то $5^{\sqrt{x}} = 5^2$, откуда $\sqrt{x} = 2$, и $x = 4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 0$).

Ответ: $1; 4$.

27.21. Решите уравнение, используя функционально-графические методы:

а) $x = \sqrt[3]{x}$;

б) $|x| = \sqrt[5]{x}$.

а) $x = \sqrt[3]{x}$

Для решения данного уравнения функционально-графическим методом построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = x$ и $y_2 = \sqrt[3]{x}$. Решениями уравнения будут абсциссы точек пересечения этих графиков.

1. График функции $y_1 = x$ — это прямая линия, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Она проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

2. График функции $y_2 = \sqrt[3]{x}$ — это график кубического корня. Он также проходит через начало координат, является симметричным относительно начала координат и проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.

При построении видно, что графики пересекаются в трех точках. Найдем их координаты.
- Если $x = -1$, то $y_1 = -1$ и $y_2 = \sqrt[3]{-1} = -1$. Точка $(-1, -1)$ является точкой пересечения.
- Если $x = 0$, то $y_1 = 0$ и $y_2 = \sqrt[3]{0} = 0$. Точка $(0, 0)$ является точкой пересечения.
- Если $x = 1$, то $y_1 = 1$ и $y_2 = \sqrt[3]{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ является точкой пересечения.

При $x > 1$, $x > \sqrt[3]{x}$ (например, при $x=8$, $8 > \sqrt[3]{8}=2$), поэтому график $y=x$ лежит выше графика $y=\sqrt[3]{x}$.
При $0 < x < 1$, $x < \sqrt[3]{x}$ (например, при $x=1/8$, $1/8 < \sqrt[3]{1/8}=1/2$), поэтому график $y=x$ лежит ниже графика $y=\sqrt[3]{x}$.
Аналогично можно рассмотреть отрицательные значения. Таким образом, других точек пересечения нет.

Абсциссы точек пересечения и есть корни уравнения.
Ответ: $x = -1, x = 0, x = 1$.

б) $|x| = \sqrt[5]{x}$

Решим уравнение с помощью построения графиков функций $y_1 = |x|$ и $y_2 = \sqrt[5]{x}$.

1. График функции $y_1 = |x|$ — это "галочка", состоящая из двух лучей: $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$. Весь график расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

2. График функции $y_2 = \sqrt[5]{x}$ — это график корня пятой степени. Он проходит через начало координат, симметричен относительно него.

Поскольку левая часть уравнения $|x|$ всегда неотрицательна, то и правая часть $\sqrt[5]{x}$ также должна быть неотрицательной. Это означает, что $\sqrt[5]{x} \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$. Следовательно, мы ищем решения только для $x \ge 0$.

Для $x \ge 0$ уравнение принимает вид $x = \sqrt[5]{x}$. Мы ищем точки пересечения луча $y=x$ (при $x \ge 0$) и графика $y=\sqrt[5]{x}$ (при $x \ge 0$).
- Если $x = 0$, то $y_1 = |0| = 0$ и $y_2 = \sqrt[5]{0} = 0$. Точка $(0, 0)$ является точкой пересечения.
- Если $x = 1$, то $y_1 = |1| = 1$ и $y_2 = \sqrt[5]{1} = 1$. Точка $(1, 1)$ является точкой пересечения.

При $0 < x < 1$, выполняется неравенство $x < \sqrt[5]{x}$, а при $x > 1$ выполняется неравенство $x > \sqrt[5]{x}$. Таким образом, других точек пересечения в области $x \ge 0$ нет.
В области $x < 0$ график $y=|x|$ лежит во второй координатной четверти (значения $y$ положительны), а график $y=\sqrt[5]{x}$ лежит в третьей координатной четверти (значения $y$ отрицательны), поэтому они не могут пересекаться, кроме как в точке $(0,0)$, которая уже учтена.

Следовательно, уравнение имеет два корня.
Ответ: $x = 0, x = 1$.