Страница 167, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

26.16. Найдите целочисленный корень уравнения:

a) $\frac{\log_2 (7 + 6x - x^2) - \log_2 (x - 2)}{10x - 24 - x^2} = 2;$

б) $\frac{\log_{12} (6 + 5x - x^2)}{x^2 - 9x + 20} = 2^{-\sqrt{x-2}}.$

а)

Исходное уравнение:
$$ \frac{\log_2(7 + 6x - x^2) - \log_2(x-2)}{10x - 24 - x^2} = 2 $$Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Для этого должны выполняться следующие условия:
1. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$7 + 6x - x^2 > 0 \implies x^2 - 6x - 7 < 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2 - 6x - 7 = 0$ находим по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 6, x_1 \cdot x_2 = -7$, откуда $x_1 = -1$ и $x_2 = 7$. Неравенство $(x+1)(x-7) < 0$ выполняется при $-1 < x < 7$.
$x - 2 > 0 \implies x > 2$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$10x - 24 - x^2 \neq 0 \implies x^2 - 10x + 24 \neq 0$. Корни квадратного трехчлена $x^2 - 10x + 24 = 0$ находим по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 10, x_1 \cdot x_2 = 24$, откуда $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$. Следовательно, $x \neq 4$ и $x \neq 6$.

Объединяя все условия ($x \in (-1, 7)$, $x > 2$, $x \neq 4$, $x \neq 6$), получаем ОДЗ: $x \in (2, 4) \cup (4, 6) \cup (6, 7)$.
Целочисленные значения $x$, принадлежащие ОДЗ, это $3$ и $5$.
Так как требуется найти целочисленный корень, проверим каждое из этих значений, подставив их в исходное уравнение.

При $x = 3$:
$$ \frac{\log_2(7 + 6 \cdot 3 - 3^2) - \log_2(3-2)}{10 \cdot 3 - 24 - 3^2} = \frac{\log_2(7 + 18 - 9) - \log_2(1)}{30 - 24 - 9} = \frac{\log_2(16) - 0}{6-9} = \frac{4}{-3} = -\frac{4}{3} $$Поскольку $-\frac{4}{3} \neq 2$, $x = 3$ не является корнем уравнения.

При $x = 5$:
$$ \frac{\log_2(7 + 6 \cdot 5 - 5^2) - \log_2(5-2)}{10 \cdot 5 - 24 - 5^2} = \frac{\log_2(7 + 30 - 25) - \log_2(3)}{50 - 24 - 25} = \frac{\log_2(12) - \log_2(3)}{1} $$Используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$, получаем:
$$ \log_2\left(\frac{12}{3}\right) = \log_2(4) = 2 $$Поскольку $2 = 2$, $x = 5$ является корнем уравнения.
Ответ: 5

б)

Исходное уравнение:
$$ \frac{\log_{12}(6 + 5x - x^2)}{x^2 - 9x + 20} = 2^{-\sqrt{x-2}} $$Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для $x$.
1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$6 + 5x - x^2 > 0 \implies x^2 - 5x - 6 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = 6$. Неравенство $(x+1)(x-6) < 0$ выполняется при $-1 < x < 6$.
2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
3. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$x^2 - 9x + 20 \neq 0$. Корни уравнения $x^2 - 9x + 20 = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = 5$. Следовательно, $x \neq 4$ и $x \neq 5$.

Объединяя все условия ($x \in (-1, 6)$, $x \ge 2$, $x \neq 4$, $x \neq 5$), получаем ОДЗ: $x \in [2, 4) \cup (4, 5) \cup (5, 6)$.
Целочисленные значения $x$, принадлежащие ОДЗ, это $2$ и $3$.
Проверим каждое из этих значений.

При $x = 2$:
Левая часть:
$$ \frac{\log_{12}(6 + 5 \cdot 2 - 2^2)}{2^2 - 9 \cdot 2 + 20} = \frac{\log_{12}(6 + 10 - 4)}{4 - 18 + 20} = \frac{\log_{12}(12)}{6} = \frac{1}{6} $$Правая часть:
$$ 2^{-\sqrt{2-2}} = 2^{-\sqrt{0}} = 2^0 = 1 $$Поскольку $\frac{1}{6} \neq 1$, $x = 2$ не является корнем уравнения.

При $x = 3$:
Левая часть:
$$ \frac{\log_{12}(6 + 5 \cdot 3 - 3^2)}{3^2 - 9 \cdot 3 + 20} = \frac{\log_{12}(6 + 15 - 9)}{9 - 27 + 20} = \frac{\log_{12}(12)}{2} = \frac{1}{2} $$Правая часть:
$$ 2^{-\sqrt{3-2}} = 2^{-\sqrt{1}} = 2^{-1} = \frac{1}{2} $$Поскольку левая и правая части равны ($\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$), $x = 3$ является корнем уравнения.
Ответ: 3

26.17. a) Найдите сумму натуральных значений параметра $a$, при которых уравнение $(\sqrt{x} - 4 - 2)(x - a) = 0$ имеет единственный корень.

б) Сколько имеется натуральных значений параметра $a$, при которых уравнение $(\log_{3}(2x - 11) - 1)(x^2 - a^2) = 0$ имеет единственный корень?

a)

Рассмотрим уравнение $(\sqrt{x-4}-2)(x-a)=0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом определен. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-4 \ge 0$, что дает нам $x \ge 4$.

Теперь решим уравнение, рассмотрев два случая, когда множители равны нулю.

1) $\sqrt{x-4}-2 = 0$.
$\sqrt{x-4} = 2$.
Возведя обе части в квадрат, получаем $x-4 = 4$, откуда $x_1 = 8$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $8 \ge 4$. Следовательно, $x=8$ является корнем исходного уравнения при любом значении параметра $a$.

2) $x-a = 0$.
Отсюда $x_2 = a$.
Этот корень является решением исходного уравнения только если он удовлетворяет ОДЗ, то есть при условии $a \ge 4$.

Уравнение должно иметь единственный корень. Проанализируем, при каких значениях параметра $a$ это возможно.

Случай 1: Второй корень $x_2=a$ не входит в ОДЗ. Это происходит, если $a < 4$. В этом случае единственным действительным корнем уравнения будет $x_1=8$. Поскольку по условию $a$ — натуральное число, то этому условию удовлетворяют значения $a \in \{1, 2, 3\}$.

Случай 2: Второй корень $x_2=a$ входит в ОДЗ, но совпадает с первым корнем $x_1=8$. Это происходит при $a=8$. В этом случае $a=8 \ge 4$, так что корень $x_2=8$ существует. Оба множителя обращаются в ноль при $x=8$, и уравнение имеет единственный корень $x=8$. Значение $a=8$ является натуральным.

Таким образом, натуральные значения параметра $a$, при которых уравнение имеет единственный корень, это $1, 2, 3, 8$.

Найдем сумму этих значений: $1 + 2 + 3 + 8 = 14$.

Ответ: 14.

б)

Рассмотрим уравнение $(\log_3(2x-11)-1)(x^2-a^2)=0$.

Аналогично пункту а), найдем ОДЗ и корни от каждого множителя.

ОДЗ определяется условием для логарифма: аргумент должен быть строго положительным. $2x-11 > 0 \implies 2x > 11 \implies x > 5.5$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $\log_3(2x-11)-1 = 0$.
$\log_3(2x-11) = 1$.
По определению логарифма: $2x-11 = 3^1 \implies 2x-11 = 3 \implies 2x = 14 \implies x_1 = 7$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $7 > 5.5$. Да, удовлетворяет. Значит, $x=7$ всегда является корнем уравнения.

2) $x^2-a^2 = 0$.
$x^2 = a^2 \implies x = a$ или $x = -a$. Получаем еще два потенциальных корня: $x_2 = a$ и $x_3 = -a$.

По условию, параметр $a$ — натуральное число, т.е. $a \in \{1, 2, 3, ...\}$.

Проверим эти корни на соответствие ОДЗ ($x>5.5$):

• Корень $x_3 = -a$: так как $a$ — натуральное число, $-a$ всегда будет отрицательным. Очевидно, что $-a \le -1$, поэтому корень $x_3=-a$ никогда не удовлетворяет условию $x > 5.5$ и не является решением.
• Корень $x_2 = a$: этот корень удовлетворяет ОДЗ, если $a > 5.5$. Поскольку $a$ — натуральное число, это условие эквивалентно $a \ge 6$.

Уравнение должно иметь единственный корень. Это будет корень $x_1=7$. Это возможно в двух ситуациях:

Случай 1: Корень $x_2=a$ не удовлетворяет ОДЗ. Это происходит, когда $a \le 5.5$. Учитывая, что $a$ — натуральное число, получаем значения $a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$. При этих значениях $a$ в уравнении будет только один корень $x=7$. Всего 5 значений.

Случай 2: Корень $x_2=a$ удовлетворяет ОДЗ, но совпадает с корнем $x_1=7$. Это возможно только если $a = 7$. Проверим: при $a=7$ условие $a \ge 6$ выполняется. Корни от второго множителя $x=7$ и $x=-7$. Корень $x=-7$ не входит в ОДЗ. Корень $x=7$ совпадает с $x_1$. Таким образом, при $a=7$ уравнение имеет единственный корень $x=7$. Это еще одно значение.

Итак, натуральные значения $a$, при которых уравнение имеет единственный корень, это $\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$.

Посчитаем их количество: 5 значений из первого случая и 1 значение из второго. Всего $5 + 1 = 6$ значений.

Ответ: 6.

•26.18. Решите уравнение:

a) $ \frac{\lg(7x - x^2 - 9) \cdot \lg(9 - 2x)}{x - 2} = 0; $

б) $ \frac{\lg(8x - x^2 - 14) \cdot \lg(13 - 3x)}{x - 3} = 0. $

а) Исходное уравнение: $\frac{\lg(7x - x^2 - 9) \cdot \lg(9 - 2x)}{x - 2} = 0$
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Кроме того, должны быть выполнены условия существования логарифмов (аргументы логарифмов должны быть строго положительными). Это приводит к системе условий:
$ \begin{cases} \lg(7x - x^2 - 9) \cdot \lg(9 - 2x) = 0 \\ 7x - x^2 - 9 > 0 \\ 9 - 2x > 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:
1. $7x - x^2 - 9 > 0 \implies x^2 - 7x + 9 < 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 9 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 - 36 = 13$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 7x + 9$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 7x + 9 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (\frac{7 - \sqrt{13}}{2}; \frac{7 + \sqrt{13}}{2})$.
2. $9 - 2x > 0 \implies 2x < 9 \implies x < 4.5$.
3. $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.
Найдем пересечение всех условий ОДЗ. Приближенные значения: $\frac{7 - \sqrt{13}}{2} \approx \frac{7 - 3.61}{2} \approx 1.7$ и $\frac{7 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{7 + 3.61}{2} \approx 5.3$.
Пересекая интервалы $(\frac{7 - \sqrt{13}}{2}; \frac{7 + \sqrt{13}}{2})$ и $(-\infty; 4.5)$ и исключая точку $x=2$, получаем ОДЗ: $x \in (\frac{7 - \sqrt{13}}{2}; 2) \cup (2; 4.5)$.
Теперь решим уравнение из системы:
$\lg(7x - x^2 - 9) \cdot \lg(9 - 2x) = 0$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
Случай 1: $\lg(7x - x^2 - 9) = 0$.
$7x - x^2 - 9 = 1 \implies x^2 - 7x + 10 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.
Случай 2: $\lg(9 - 2x) = 0$.
$9 - 2x = 1 \implies 2x = 8 \implies x_3 = 4$.
Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (\frac{7 - \sqrt{13}}{2}; 2) \cup (2; 4.5)$.
- $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 2$.
- $x_2 = 5$ не входит в ОДЗ, так как $5 > 4.5$.
- $x_3 = 4$ входит в ОДЗ, так как $\frac{7 - \sqrt{13}}{2} < 4 < 4.5$.
Следовательно, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: 4.

б) Исходное уравнение: $\frac{\lg(8x - x^2 - 14) \cdot \lg(13 - 3x)}{x - 3} = 0$
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} \lg(8x - x^2 - 14) \cdot \lg(13 - 3x) = 0 \\ 8x - x^2 - 14 > 0 \\ 13 - 3x > 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. $8x - x^2 - 14 > 0 \implies x^2 - 8x + 14 < 0$.
Найдем корни $x^2 - 8x + 14 = 0$.
Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 64 - 56 = 8$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 4 \pm \sqrt{2}$.
Решение неравенства: $x \in (4 - \sqrt{2}; 4 + \sqrt{2})$.
2. $13 - 3x > 0 \implies 3x < 13 \implies x < \frac{13}{3}$.
3. $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Объединим условия ОДЗ. Приближенные значения: $4 - \sqrt{2} \approx 4 - 1.41 = 2.59$, $4 + \sqrt{2} \approx 4 + 1.41 = 5.41$, $\frac{13}{3} \approx 4.33$.
Пересечение интервалов $(4 - \sqrt{2}; 4 + \sqrt{2})$ и $(-\infty; \frac{13}{3})$ дает $(4 - \sqrt{2}; \frac{13}{3})$. Исключая $x=3$, получаем ОДЗ: $x \in (4 - \sqrt{2}; 3) \cup (3; \frac{13}{3})$.
Теперь решим уравнение:
$\lg(8x - x^2 - 14) \cdot \lg(13 - 3x) = 0$
Случай 1: $\lg(8x - x^2 - 14) = 0$.
$8x - x^2 - 14 = 1 \implies x^2 - 8x + 15 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = 5$.
Случай 2: $\lg(13 - 3x) = 0$.
$13 - 3x = 1 \implies 3x = 12 \implies x_3 = 4$.
Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (4 - \sqrt{2}; 3) \cup (3; \frac{13}{3})$.
- $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как $x \neq 3$.
- $x_2 = 5$ не входит в ОДЗ, так как $5 > \frac{13}{3} \approx 4.33$.
- $x_3 = 4$ входит в ОДЗ, так как $3 < 4 < \frac{13}{3}$.
Таким образом, решением является только $x=4$.
Ответ: 4.

26.19. Найдите сумму всех корней уравнения:

a) $\lg(x^2 - 10x + 25) \cdot \log_{11}(3x - 5) \cdot \log_{12}(x^2 - 4x + 4) = 0;$

б) $\log_4(x^2 - 12x + 36) \cdot \log_5(3x - 8) \cdot \log_6(x^2 - 6x + 9) = 0.$

а) Рассмотрим уравнение $lg(x^2 - 10x + 25) \cdot \log_{11}(3x - 5) \cdot \log_{12}(x^2 - 4x + 4) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), для этого аргументы всех логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x^2 - 10x + 25 > 0 \\ 3x - 5 > 0 \\ x^2 - 4x + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} (x - 5)^2 > 0 \\ x > 5/3 \\ (x - 2)^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 5 \\ x > 5/3 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (5/3, 2) \cup (2, 5) \cup (5, \infty)$.

Теперь решим совокупность уравнений, приравнивая каждый множитель к нулю, и проверим корни на соответствие ОДЗ:

1) $\lg(x^2 - 10x + 25) = 0 \implies x^2 - 10x + 25 = 1 \implies x^2 - 10x + 24 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = 6$. Оба корня входят в ОДЗ.

2) $\log_{11}(3x - 5) = 0 \implies 3x - 5 = 1 \implies 3x = 6 \implies x_3 = 2$.
Этот корень не входит в ОДЗ, так как $x \neq 2$.

3) $\log_{12}(x^2 - 4x + 4) = 0 \implies x^2 - 4x + 4 = 1 \implies x^2 - 4x + 3 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_4 = 1$ и $x_5 = 3$.
Корень $x_4 = 1$ не входит в ОДЗ, так как $1 < 5/3$.
Корень $x_5 = 3$ входит в ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет три корня: $3, 4, 6$.

Сумма всех корней: $3 + 4 + 6 = 13$.

Ответ: 13

б) Рассмотрим уравнение $\log_4(x^2 - 12x + 36) \cdot \log_5(3x - 8) \cdot \log_6(x^2 - 6x + 9) = 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x^2 - 12x + 36 > 0 \\ 3x - 8 > 0 \\ x^2 - 6x + 9 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} (x - 6)^2 > 0 \\ x > 8/3 \\ (x - 3)^2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \neq 6 \\ x > 8/3 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (8/3, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$.

Решим совокупность уравнений, приравнивая каждый множитель к нулю, и проверим корни на соответствие ОДЗ:

1) $\log_4(x^2 - 12x + 36) = 0 \implies x^2 - 12x + 36 = 1 \implies x^2 - 12x + 35 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = 7$. Оба корня входят в ОДЗ.

2) $\log_5(3x - 8) = 0 \implies 3x - 8 = 1 \implies 3x = 9 \implies x_3 = 3$.
Этот корень не входит в ОДЗ, так как $x \neq 3$.

3) $\log_6(x^2 - 6x + 9) = 0 \implies x^2 - 6x + 9 = 1 \implies x^2 - 6x + 8 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_4 = 2$ и $x_5 = 4$.
Корень $x_4 = 2$ не входит в ОДЗ, так как $2 < 8/3$.
Корень $x_5 = 4$ входит в ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет три корня: $4, 5, 7$.

Сумма всех корней: $4 + 5 + 7 = 16$.

Ответ: 16

26.20. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$x^2 - ax + \sin a = 0$

является следствием уравнения

$x + \sin x - \sin a = a?$

Условие, что уравнение $x^2 - ax + \sin a = 0$ является следствием уравнения $x + \sin x - \sin a = a$, означает, что все корни второго уравнения также являются корнями первого.

Рассмотрим второе уравнение: $x + \sin x - \sin a = a$.

Перепишем его в виде: $x + \sin x = a + \sin a$

Введем функцию $f(t) = t + \sin t$. Тогда уравнение принимает вид $f(x) = f(a)$.

Для того чтобы найти решения этого уравнения, исследуем функцию $f(t)$ на монотонность. Найдем ее производную: $f'(t) = (t + \sin t)' = 1 + \cos t$

Известно, что значение $\cos t$ находится в пределах от $-1$ до $1$. Следовательно, производная $f'(t) = 1 + \cos t$ всегда неотрицательна, то есть $f'(t) \ge 0$ для всех $t \in \mathbb{R}$.

Производная обращается в ноль только в изолированных точках, где $\cos t = -1$, то есть при $t = \pi + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$. Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Поскольку функция $f(t)$ строго монотонна, уравнение $f(x) = f(a)$ имеет единственное решение. Очевидно, что этим решением является $x = a$.

Итак, второе уравнение при любом значении параметра $a$ имеет единственный корень $x = a$.

По условию задачи этот корень должен удовлетворять и первому уравнению $x^2 - ax + \sin a = 0$. Подставим $x = a$ в это уравнение: $a^2 - a \cdot a + \sin a = 0$

$a^2 - a^2 + \sin a = 0$

$\sin a = 0$

Решениями этого тригонометрического уравнения являются значения $a$, равные: $a = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

При этих значениях $a$ единственный корень второго уравнения является корнем первого, что и требуется по условию задачи.

Ответ: $a = k\pi, k \in \mathbb{Z}$.

Будет ли уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$ равносильно уравнению вида $f(x) = g(x)$?

27.1. а) $3^{2-x} = 3^{x^2-4x}$;

б) $(3x^2 - 2)^4 = (x - 3)^4$;

в) $\sqrt[3]{7 - x} = \sqrt[3]{5x + 1}$;

г) $\lg \frac{1}{x} = \lg (2x - 7)$.

Уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$ не всегда. Равносильность (эквивалентность) преобразования зависит от свойств функции $h(y)$.

1. Если функция $h(y)$ является строго монотонной (строго возрастающей или строго убывающей) на всей своей области определения, то из равенства $h(y_1) = h(y_2)$ следует равенство $y_1 = y_2$. В этом случае переход от уравнения $h(f(x)) = h(g(x))$ к уравнению $f(x) = g(x)$ является равносильным преобразованием (при условии, что области определения $f(x)$ и $g(x)$ не изменяются).

2. Если функция $h(y)$ не является монотонной (например, четная функция, как $h(y)=y^2$ или $h(y)=y^4$), то из $h(y_1) = h(y_2)$ не обязательно следует, что $y_1 = y_2$. Например, для $h(y) = y^4$ равенство $h(y_1) = h(y_2)$ означает, что $y_1^4 = y_2^4$, откуда следует $y_1 = y_2$ или $y_1 = -y_2$. В этом случае уравнение $h(f(x)) = h(g(x))$ равносильно совокупности уравнений $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Переход к одному лишь уравнению $f(x)=g(x)$ приведет к потере корней.

3. Также необходимо учитывать область допустимых значений (ОДЗ). Если область определения функции $h(y)$ ограничена (например, у логарифмической функции $h(y)=\lg y$ аргумент $y>0$), то уравнение $h(f(x)) = h(g(x))$ имеет смысл только для тех $x$, при которых значения $f(x)$ и $g(x)$ попадают в область определения $h$. При переходе к уравнению $f(x) = g(x)$ область допустимых значений может расшириться, что может привести к появлению посторонних корней.

Рассмотрим каждый пример подробно.

а) $3^{2-x} = 3^{x^2-4x}$

Это уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$, где $f(x) = 2-x$, $g(x) = x^2-4x$, а $h(y) = 3^y$.
Показательная функция $h(y) = 3^y$ является строго возрастающей на всей числовой прямой $(-\infty; +\infty)$. Следовательно, переход от уравнения $3^{f(x)} = 3^{g(x)}$ к уравнению $f(x)=g(x)$ является равносильным.
Решим полученное уравнение:
$2 - x = x^2 - 4x$
$x^2 - 4x + x - 2 = 0$
$x^2 - 3x - 2 = 0$
Найдем корни с помощью дискриминанта: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9 + 8 = 17$.
$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.
Данные уравнения равносильны.

Ответ: Да, эти уравнения равносильны. Корни уравнения: $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

б) $(3x^2 - 2)^4 = (x - 3)^4$

Это уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$, где $f(x) = 3x^2-2$, $g(x) = x-3$, а $h(y) = y^4$.
Степенная функция $h(y) = y^4$ не является монотонной. Это четная функция, поэтому из $a^4=b^4$ следует, что $a=b$ или $a=-b$.
Следовательно, исходное уравнение не равносильно уравнению $f(x)=g(x)$, а равносильно совокупности двух уравнений:
1) $3x^2 - 2 = x - 3$ и 2) $3x^2 - 2 = -(x - 3)$.
Решим каждое уравнение:
1) $3x^2 - x + 1 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11 < 0$. Действительных корней нет.
2) $3x^2 - 2 = -x + 3$.
$3x^2 + x - 5 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 1 + 60 = 61 > 0$.
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{6}$.
Уравнение $f(x)=g(x)$ не имеет корней, в то время как исходное уравнение имеет два корня. Значит, они не равносильны.

Ответ: Нет, эти уравнения не равносильны. Переход к уравнению $f(x)=g(x)$ приводит к потере корней $x = \frac{-1 \pm \sqrt{61}}{6}$.

в) $\sqrt[3]{7-x} = \sqrt[3]{5x+1}$

Это уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$, где $f(x) = 7-x$, $g(x) = 5x+1$, а $h(y) = \sqrt[3]{y}$.
Функция "кубический корень" $h(y) = \sqrt[3]{y}$ является строго возрастающей на всей числовой прямой. Поэтому переход от уравнения $\sqrt[3]{f(x)} = \sqrt[3]{g(x)}$ к уравнению $f(x)=g(x)$ является равносильным.
Решим полученное уравнение:
$7 - x = 5x + 1$
$7 - 1 = 5x + x$
$6 = 6x$
$x = 1$
Данные уравнения равносильны.

Ответ: Да, эти уравнения равносильны. Корень уравнения: $x = 1$.

г) $\lg \frac{1}{x} = \lg(2x - 7)$

Это уравнение вида $h(f(x)) = h(g(x))$, где $f(x) = \frac{1}{x}$, $g(x) = 2x-7$, а $h(y) = \lg y$.
Десятичный логарифм $h(y) = \lg y$ — строго возрастающая функция, но ее область определения $y>0$. Поэтому при переходе от $\lg(f(x)) = \lg(g(x))$ к $f(x)=g(x)$ нужно учитывать ОДЗ.
ОДЗ исходного уравнения определяется системой неравенств:
$\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \frac{1}{x} > 0 \\ 2x - 7 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 3.5 \end{cases} \implies x > 3.5$.
Теперь рассмотрим уравнение $f(x) = g(x)$:
$\frac{1}{x} = 2x - 7$
ОДЗ этого уравнения: $x \neq 0$. Область допустимых значений стала шире, чем у исходного уравнения, значит, преобразование не является равносильным и может привести к появлению посторонних корней.
Решим это уравнение:
$1 = x(2x - 7)$
$2x^2 - 7x - 1 = 0$
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 49 + 8 = 57$.
$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{57}}{4}$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 3.5$):
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{57}}{4}$. Так как $7 = \sqrt{49}$, а $\sqrt{57} > \sqrt{49}$, то $7 - \sqrt{57} < 0$, следовательно $x_1 < 0$. Этот корень посторонний.
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$. Так как $7 < \sqrt{57} < 8$, то $14 < 7 + \sqrt{57} < 15$, и $\frac{14}{4} < \frac{7 + \sqrt{57}}{4} < \frac{15}{4}$, то есть $3.5 < x_2 < 3.75$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Уравнение $\frac{1}{x} = 2x - 7$ имеет два корня, а исходное уравнение — только один.

Ответ: Нет, эти уравнения не равносильны. Переход к уравнению $f(x)=g(x)$ является неравносильным, так как расширяет ОДЗ и приводит к появлению постороннего корня $x = \frac{7 - \sqrt{57}}{4}$.

27.2. a) $(2x^4 + 1)^5 = (1 - x^3)^5;$

б) $\log_{0.2} (2 \sin x - 1) = \log_{0.2} (3 - \sin^2 x);$

в) $\sqrt[6]{2^x - 1} = \sqrt[6]{5 - 3 \cdot 2^x};$

г) $\cos (3^x - 1) = \cos (3 - 9^x).$

а) Данное уравнение имеет вид $A^5 = B^5$. Поскольку функция $y = u^5$ является строго возрастающей на всей числовой оси, равенство $A^5 = B^5$ равносильно равенству $A = B$. Приравняем основания степеней: $2x^4 + 1 = 1 - x^3$ Перенесем все члены уравнения в левую часть: $2x^4 + x^3 + 1 - 1 = 0$ $2x^4 + x^3 = 0$ Вынесем общий множитель $x^3$ за скобки: $x^3(2x + 1) = 0$ Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая: 1) $x^3 = 0 \implies x = 0$ 2) $2x + 1 = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -1/2$
Ответ: $x_1 = 0, x_2 = -0.5$.

б) Это логарифмическое уравнение вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$. Оно равносильно системе: $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$ В нашем случае: $\log_{0.2}(2 \sin x - 1) = \log_{0.2}(3 - \sin^2 x)$ Составим систему: $\begin{cases} 2 \sin x - 1 = 3 - \sin^2 x \\ 2 \sin x - 1 > 0 \end{cases}$ (Условие $3 - \sin^2 x > 0$ выполняется всегда, так как $\sin^2 x \le 1$, и следовательно $3 - \sin^2 x \ge 2$). Решим сначала уравнение. Сделаем замену $t = \sin x$. Учитывая область значений синуса, $-1 \le t \le 1$. $2t - 1 = 3 - t^2$ $t^2 + 2t - 4 = 0$ Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$ $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$ Получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = -1 + \sqrt{5}$ $t_2 = -1 - \sqrt{5}$ Теперь проверим, удовлетворяют ли эти значения условиям $-1 \le t \le 1$ и $t > 1/2$ (из $2 \sin x - 1 > 0$). Для $t_1 = -1 + \sqrt{5}$: так как $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$, то $2 < \sqrt{5} < 3$. Значит, $1 < -1 + \sqrt{5} < 2$. Поскольку $t_1 > 1$, это значение не входит в область значений синуса. Следовательно, уравнение $\sin x = -1 + \sqrt{5}$ не имеет решений. Для $t_2 = -1 - \sqrt{5}$: это значение очевидно меньше, чем $-1$. Оно также не входит в область значений синуса. Поскольку ни одно из найденных значений $t$ не является допустимым значением для $\sin x$, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений (∅).

в) Данное уравнение вида $\sqrt[6]{f(x)} = \sqrt[6]{g(x)}$ с четным показателем корня. Оно равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны и неотрицательны: $\begin{cases} 2^x - 1 = 5 - 3 \cdot 2^x \\ 2^x - 1 \ge 0 \end{cases}$ (Условие $5 - 3 \cdot 2^x \ge 0$ будет выполнено автоматически, если выполнено первое уравнение и второе неравенство). Решим уравнение. Сделаем замену $y = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$. $y - 1 = 5 - 3y$ $y + 3y = 5 + 1$ $4y = 6$ $y = 6/4 = 3/2$ Вернемся к переменной $x$: $2^x = 3/2$ Проверим условие ОДЗ: $2^x - 1 \ge 0$. $3/2 - 1 = 1/2 \ge 0$. Условие выполняется. Теперь найдем $x$: $2^x = 3/2$ Прологарифмируем обе части по основанию 2: $\log_2(2^x) = \log_2(3/2)$ $x = \log_2(3) - \log_2(2)$ $x = \log_2(3) - 1$
Ответ: $x = \log_2(3) - 1$.

г) Уравнение вида $\cos(A) = \cos(B)$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B + 2\pi k$ или $A = -B + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В школьном курсе часто рассматривают частный случай при $k=0$, то есть $A = \pm B$. Рассмотрим оба случая для $k=0$. Пусть $A = 3^x - 1$ и $B = 3 - 9^x$. Случай 1: $A = B$ $3^x - 1 = 3 - 9^x$ $9^x + 3^x - 4 = 0$ Сделаем замену $t = 3^x$. Так как $x \in \mathbb{R}$, то $t > 0$. $t^2 + t - 4 = 0$ Найдем корни по формуле: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$ $t = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$ Поскольку $t > 0$, выбираем корень со знаком плюс: $t = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ Возвращаемся к переменной $x$: $3^x = \frac{\sqrt{17} - 1}{2}$ $x_1 = \log_3\left(\frac{\sqrt{17} - 1}{2}\right)$ Случай 2: $A = -B$ $3^x - 1 = -(3 - 9^x)$ $3^x - 1 = -3 + 9^x$ $9^x - 3^x - 2 = 0$ Снова делаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$. $t^2 - t - 2 = 0$ Это квадратное уравнение легко решается по теореме Виета или разложением на множители: $(t - 2)(t + 1) = 0$ Корни $t=2$ и $t=-1$. Так как $t > 0$, нам подходит только $t = 2$. Возвращаемся к переменной $x$: $3^x = 2$ $x_2 = \log_3(2)$ Уравнение имеет два корня (при допущении $k=0$).
Ответ: $x_1 = \log_3(2)$, $x_2 = \log_3\left(\frac{\sqrt{17} - 1}{2}\right)$.