Страница 160, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

24.16. Итоговая оценка за сочинение была выставлена по инструкции: «2», если сумма оценок $< 5$; «3», если сумма оценок $= 5$ или $6$; «4», если сумма оценок $= 7$ или $8$, и «5» — в остальных случаях.

а) Определите число итоговых двоек.

б) Определите число итоговых пятёрок.

в) Составьте таблицу распределения итоговых оценок.

г) Нарисуйте гистограмму распределения итоговых оценок.

Для решения данной задачи необходимо иметь исходные данные — конкретный набор сумм оценок, по которым выставляются итоговые. Так как в предоставленном изображении эти данные отсутствуют, решение будет продемонстрировано на гипотетическом примере. Предположим, что мы анализируем результаты 20 сочинений.

Правила выставления итоговой оценки, согласно инструкции:

• «2», если сумма оценок $S < 5$
• «3», если сумма оценок $S = 5$ или $S = 6$
• «4», если сумма оценок $S = 7$ или $S = 8$
• «5», во всех остальных случаях (т.е. если $S \ge 9$, так как все остальные варианты для меньших сумм уже перечислены)

Допустим, у нас есть следующий гипотетический набор из 20 сумм оценок за сочинения:

7, 4, 9, 6, 5, 8, 10, 5, 6, 7, 3, 8, 9, 4, 7, 7, 6, 9, 5, 4.

Применим правила для определения итоговой оценки для каждой суммы:

• Суммы, для которых итоговая оценка «2» ($S < 5$): 4, 3, 4, 4.
• Суммы, для которых итоговая оценка «3» ($S = 5$ или $S = 6$): 6, 5, 5, 6, 6, 5.
• Суммы, для которых итоговая оценка «4» ($S = 7$ или $S = 8$): 7, 8, 7, 8, 7, 7.
• Суммы, для которых итоговая оценка «5» ($S \ge 9$): 9, 10, 9, 9.

На основе этих расчетов ответим на вопросы.

а) Определите число итоговых двоек.

Итоговая оценка «2» выставляется, если сумма оценок $S$ меньше 5 ($S < 5$). В нашем наборе данных этому условию соответствуют суммы 3 и 4. Подсчитаем их количество: в ряду данных одна сумма, равная 3, и три суммы, равные 4.
Общее число итоговых двоек составляет $1 + 3 = 4$.
Ответ: 4.

б) Определите число итоговых пятёрок.

Итоговая оценка «5» выставляется в «остальных случаях», то есть когда сумма оценок $S$ не удовлетворяет условиям для оценок «2», «3» или «4». Это соответствует условию $S > 8$ или $S \ge 9$ для целых чисел. В нашем наборе данных этому условию соответствуют суммы 9 и 10. Подсчитаем их количество: в ряду есть три суммы, равные 9, и одна сумма, равная 10.
Общее число итоговых пятёрок составляет $3 + 1 = 4$.
Ответ: 4.

в) Составьте таблицу распределения итоговых оценок.

Таблица распределения (частотная таблица) показывает, сколько раз встречается каждая итоговая оценка. На основе нашего гипотетического набора данных:

• Число оценок «2» (для сумм $S < 5$): 4.
• Число оценок «3» (для сумм $S=5$ или $S=6$): в данных три '5' и три '6', итого $3+3=6$.
• Число оценок «4» (для сумм $S=7$ или $S=8$): в данных четыре '7' и две '8', итого $4+2=6$.
• Число оценок «5» (для сумм $S \ge 9$): 4.

Проверим общее количество: $4 + 6 + 6 + 4 = 20$, что соответствует размеру нашего набора данных.

Итоговая таблица распределения:

Ответ: Таблица распределения составлена выше.

г) Нарисуйте гистограмму распределения итоговых оценок.

Гистограмма — это столбчатая диаграмма, показывающая распределение частот. По горизонтальной оси откладываются итоговые оценки, а высота каждого столбца соответствует частоте данной оценки (количеству учеников, получивших её).

Ответ: Гистограмма распределения итоговых оценок построена выше.

○24.17. После урока по теме «Статистика» на доске остался ответ «Среднее значение равно 12» и таблица:

Варианта | 3 | 8 | [пустая клетка]

Кратность | 26 | 13 | 11

а) Какое число должно быть записано в пустой клетке?

б) Укажите размах, моду и медиану распределения.

в) Допустим, что среднее значение равно $M$. Что тогда должно стоять в пустой клетке?

г) Может ли в ответе для среднего значения стоять 15, если все варианты — целые числа?

а) Среднее значение (среднее арифметическое взвешенное) вычисляется по формуле: $ M = \frac{v_1 f_1 + v_2 f_2 + \dots + v_n f_n}{f_1 + f_2 + \dots + f_n} $, где $v_i$ — варианты, а $f_i$ — их кратности (частоты).
Пусть неизвестная варианта равна $x$. По условию, среднее значение равно 12. Подставим известные данные в формулу:
$ 12 = \frac{3 \cdot 26 + 8 \cdot 13 + x \cdot 11}{26 + 13 + 11} $
Вычислим знаменатель (общее количество наблюдений):
$ 26 + 13 + 11 = 50 $
Вычислим известные произведения в числителе:
$ 3 \cdot 26 = 78 $
$ 8 \cdot 13 = 104 $
Теперь уравнение выглядит так:
$ 12 = \frac{78 + 104 + 11x}{50} $
$ 12 = \frac{182 + 11x}{50} $
Умножим обе части на 50:
$ 12 \cdot 50 = 182 + 11x $
$ 600 = 182 + 11x $
$ 11x = 600 - 182 $
$ 11x = 418 $
$ x = \frac{418}{11} $
$ x = 38 $
В пустой клетке должно быть записано число 38.
Ответ: 38.

б) Теперь мы имеем полный набор данных. Варианты: 3, 8, 38. Кратности: 26, 13, 11.
Размах — это разность между наибольшей и наименьшей вариантой.
Размах = $ 38 - 3 = 35 $.
Мода — это варианта, которая встречается чаще всего (имеет наибольшую кратность).
Кратность варианты 3 равна 26, варианты 8 — 13, варианты 38 — 11. Наибольшая кратность — 26, следовательно, мода равна 3.
Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных пополам.
Общее количество наблюдений равно $ 26 + 13 + 11 = 50 $.
Так как число наблюдений четное, медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов, то есть 25-го и 26-го.
Выпишем ряд, учитывая кратности: первые 26 элементов ряда — это число 3. Значит, и 25-й, и 26-й элементы равны 3.
Медиана = $ \frac{3 + 3}{2} = 3 $.
Ответ: размах — 35, мода — 3, медиана — 3.

в) Воспользуемся уравнением из пункта а), заменив среднее значение 12 на переменную $M$:
$ M = \frac{182 + 11x}{50} $
Выразим $x$ из этого уравнения:
$ 50M = 182 + 11x $
$ 11x = 50M - 182 $
$ x = \frac{50M - 182}{11} $
Это формула для нахождения значения в пустой клетке, если среднее значение равно $M$.
Ответ: $ \frac{50M - 182}{11} $.

г) Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся формулой, полученной в пункте в), и подставим в нее $M=15$. По условию, все варианты, включая $x$, должны быть целыми числами.
$ x = \frac{50 \cdot 15 - 182}{11} $
$ x = \frac{750 - 182}{11} $
$ x = \frac{568}{11} $
Проверим, делится ли 568 на 11 нацело:
$ 568 \div 11 \approx 51.63... $
Число 568 не делится на 11 без остатка, следовательно, значение $x$ не будет целым числом. Это противоречит условию, что все варианты — целые числа.
Ответ: нет, не может.

24.18. После урока по теме «Статистика» на доске остался ответ «Среднее значение равно 10» и таблица:

Варианта | 4 | 7 | 11

Кратность | 5 | 2 |

a) Какое число должно быть записано в пустой клетке?

б) Найдите размах и моду распределения.

в) Вычислите среднее квадратическое отклонение.

г) Может ли среднее значение равняться пяти при каком-нибудь заполнении пустой клетки?

а) Какое число должно быть записано в пустой клетке?

Обозначим неизвестную кратность для варианты 11 через $n_3$. Среднее значение выборки ($\bar{x}$) вычисляется по формуле среднего взвешенного:
$\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}$
В нашем случае даны варианты $x_1 = 4$, $x_2 = 7$, $x_3 = 11$ и их кратности $n_1 = 5$, $n_2 = 2$. Из условия известно, что среднее значение равно 10.
Подставим известные значения в формулу:
$10 = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + 11 \cdot n_3}{5 + 2 + n_3}$
$10 = \frac{20 + 14 + 11 n_3}{7 + n_3}$
$10 = \frac{34 + 11 n_3}{7 + n_3}$
Решим это уравнение относительно $n_3$:
$10(7 + n_3) = 34 + 11 n_3$
$70 + 10 n_3 = 34 + 11 n_3$
$11 n_3 - 10 n_3 = 70 - 34$
$n_3 = 36$
Следовательно, в пустой клетке должно быть записано число 36.

Ответ: 36

б) Найдите размах и моду распределения.

После нахождения неизвестной кратности, таблица распределения выглядит следующим образом:
Варианта: 4, 7, 11
Кратность: 5, 2, 36

Размах распределения — это разность между наибольшей и наименьшей вариантой.
Наибольшая варианта: $x_{max} = 11$.
Наименьшая варианта: $x_{min} = 4$.
Размах = $11 - 4 = 7$.

Мода распределения — это варианта с наибольшей кратностью.
Кратности равны 5, 2 и 36. Наибольшая кратность — 36, которая соответствует варианте 11.
Следовательно, мода равна 11.

Ответ: размах равен 7, мода равна 11.

в) Вычислите среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — это корень квадратный из дисперсии ($D$). Дисперсия для сгруппированных данных вычисляется по формуле:
$D = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$
Используем данные из задачи:
Варианты: $x_1=4, x_2=7, x_3=11$.
Кратности: $n_1=5, n_2=2, n_3=36$.
Среднее значение: $\bar{x}=10$.
Общее число наблюдений (сумма кратностей): $N = 5 + 2 + 36 = 43$.

Вычислим дисперсию:
$D = \frac{(4 - 10)^2 \cdot 5 + (7 - 10)^2 \cdot 2 + (11 - 10)^2 \cdot 36}{43}$
$D = \frac{(-6)^2 \cdot 5 + (-3)^2 \cdot 2 + 1^2 \cdot 36}{43}$
$D = \frac{36 \cdot 5 + 9 \cdot 2 + 1 \cdot 36}{43}$
$D = \frac{180 + 18 + 36}{43}$
$D = \frac{234}{43}$

Теперь найдем среднее квадратическое отклонение как корень из дисперсии:
$\sigma = \sqrt{D} = \sqrt{\frac{234}{43}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{234}{43}}$

г) Может ли среднее значение равняться пяти при каком-нибудь заполнении пустой клетки?

Предположим, что среднее значение может равняться 5. Обозначим, как и ранее, неизвестную кратность через $n_3$ и подставим $\bar{x}=5$ в формулу для среднего значения:
$5 = \frac{4 \cdot 5 + 7 \cdot 2 + 11 \cdot n_3}{5 + 2 + n_3}$
$5 = \frac{20 + 14 + 11 n_3}{7 + n_3}$
$5 = \frac{34 + 11 n_3}{7 + n_3}$
Решим полученное уравнение:
$5(7 + n_3) = 34 + 11 n_3$
$35 + 5 n_3 = 34 + 11 n_3$
$35 - 34 = 11 n_3 - 5 n_3$
$1 = 6 n_3$
$n_3 = \frac{1}{6}$
Кратность (частота) варианты по определению является целым неотрицательным числом, так как она показывает, сколько раз данное значение встречается в выборке. Полученное значение $n_3 = \frac{1}{6}$ не является целым числом.
Следовательно, среднее значение не может равняться пяти, так как для этого требуется нецелочисленная кратность.

Ответ: нет, не может.

24.19. Таблица распределения кратностей имеет вид:

Варианта: 0, 1, 3, 5, 6

Кратность: 19, 2, $3x - 1$, 5, $4x - 7$

а) Выразите среднее значение через $x$.

б) Как выглядит график зависимости среднего значения от $x$?

в) Каким может быть число $x$, если модой является 0?

г) Может ли мода распределения равняться трём?

а) Выразите среднее значение через x.

Среднее значение для дискретного вариационного ряда вычисляется по формуле:
$\bar{y} = \frac{\sum{y_i \cdot n_i}}{\sum{n_i}}$
где $y_i$ — это значения варианты, а $n_i$ — соответствующие им кратности (частоты).

В данном случае:
Варианты $y_i$: 0, 1, 3, 5, 6.
Кратности $n_i$: 19, 2, $3x - 1$, 5, $4x - 7$.

Сначала найдем сумму произведений вариант на их кратности:
$\sum{y_i \cdot n_i} = 0 \cdot 19 + 1 \cdot 2 + 3 \cdot (3x - 1) + 5 \cdot 5 + 6 \cdot (4x - 7)$
$= 0 + 2 + 9x - 3 + 25 + 24x - 42$
$= (9x + 24x) + (2 - 3 + 25 - 42) = 33x - 18$.

Теперь найдем сумму всех кратностей (объем выборки):
$\sum{n_i} = 19 + 2 + (3x - 1) + 5 + (4x - 7)$
$= (3x + 4x) + (19 + 2 - 1 + 5 - 7) = 7x + 18$.

Кратности не могут быть отрицательными, поэтому должны выполняться условия:
$3x - 1 \ge 0 \implies 3x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{3}$
$4x - 7 \ge 0 \implies 4x \ge 7 \implies x \ge \frac{7}{4}$
Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому область определения для $x$ есть $x \ge \frac{7}{4}$.

Тогда среднее значение $\bar{y}$ как функция от $x$ равно:
$\bar{y}(x) = \frac{33x - 18}{7x + 18}$.

Ответ: $\bar{y}(x) = \frac{33x - 18}{7x + 18}$, при $x \ge \frac{7}{4}$.

б) Как выглядит график зависимости среднего значения от x?

Функция зависимости среднего значения от $x$ имеет вид $\bar{y}(x) = \frac{33x - 18}{7x + 18}$. Это дробно-линейная функция, графиком которой является гипербола.

Асимптоты гиперболы:
Вертикальная асимптота: $7x + 18 = 0 \implies x = -\frac{18}{7}$.
Горизонтальная асимптота: $y = \frac{33}{7}$.

Область определения функции, как было найдено в пункте а), это $x \ge \frac{7}{4}$. Так как $\frac{7}{4} = 1.75$, а $-\frac{18}{7} \approx -2.57$, вертикальная асимптота находится вне области определения. Следовательно, график представляет собой одну ветвь гиперболы.

Чтобы определить характер монотонности функции, найдем ее производную:
$\bar{y}'(x) = \left(\frac{33x - 18}{7x + 18}\right)' = \frac{33(7x+18) - 7(33x-18)}{(7x+18)^2} = \frac{231x + 594 - 231x + 126}{(7x+18)^2} = \frac{720}{(7x+18)^2}$.
Поскольку $(7x+18)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, производная $\bar{y}'(x)$ всегда положительна. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения $x \ge \frac{7}{4}$.

Найдем начальную точку графика:
При $x = \frac{7}{4}$, $\bar{y}(\frac{7}{4}) = \frac{33(\frac{7}{4}) - 18}{7(\frac{7}{4}) + 18} = \frac{\frac{231-72}{4}}{\frac{49+72}{4}} = \frac{159}{121} \approx 1.31$.

Ответ: График является ветвью гиперболы, которая возрастает на всей области определения $x \ge \frac{7}{4}$, начинается в точке $(\frac{7}{4}; \frac{159}{121})$ и асимптотически приближается снизу к горизонтальной прямой $y = \frac{33}{7}$.

в) Каким может быть число x, если модой является 0?

Мода — это варианта с наибольшей кратностью. В данном распределении кратности равны: $n_0=19$, $n_1=2$, $n_3=3x-1$, $n_5=5$, $n_6=4x-7$.
Чтобы модой была варианта 0, ее кратность (19) должна быть строго больше всех остальных кратностей (чтобы мода была единственной).

Запишем соответствующие неравенства:
$19 > 2$ (верно)
$19 > 5$ (верно)
$19 > 3x - 1 \implies 20 > 3x \implies x < \frac{20}{3} \approx 6.67$
$19 > 4x - 7 \implies 26 > 4x \implies x < \frac{26}{4} = 6.5$

Также необходимо учесть, что кратности по определению являются целыми неотрицательными числами. Условие, что $3x-1$ и $4x-7$ являются целыми, выполняется, если $x$ — целое число. Из условия неотрицательности кратностей ($x \ge \frac{7}{4} = 1.75$) следует, что $x$ должно быть целым числом не меньше 2.

Объединяя все условия, получаем, что $x$ должно быть целым числом, удовлетворяющим условиям $x \ge 2$ и $x < 6.5$.
Таким образом, возможные значения для $x$: 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ: $x$ может быть любым целым числом из множества $\{2, 3, 4, 5, 6\}$.

г) Может ли мода распределения равняться трём?

Чтобы модой была варианта 3, ее кратность $n_3 = 3x - 1$ должна быть наибольшей. Это означает, что она должна быть больше или равна всем остальным кратностям.

Рассмотрим два ключевых неравенства, которые должны выполняться одновременно:
1) Кратность $n_3$ должна быть не меньше самой большой из известных кратностей, то есть $n_0 = 19$:
$3x - 1 \ge 19 \implies 3x \ge 20 \implies x \ge \frac{20}{3} \approx 6.67$.
2) Кратность $n_3$ должна быть не меньше кратности $n_6$:
$3x - 1 \ge 4x - 7 \implies -1 + 7 \ge 4x - 3x \implies 6 \ge x$.

Мы получили систему из двух противоречащих друг другу условий для $x$:
$x \ge \frac{20}{3}$ (т.е. $x \ge 6.67$)
$x \le 6$

Не существует числа $x$, которое одновременно было бы больше или равно 6.67 и меньше или равно 6. Следовательно, мода данного распределения не может равняться трём.

Ответ: Нет, не может.