Страница 156, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

23.20. В $n$ испытаниях Бернулли наивероятнейшим числом успехов оказалось единственное число $k$. Оцените, в каких пределах может находиться вероятность неудачи в одном из этих испытаний Бернулли, если известно, что:

a) $n = 9, k = 3$;

б) $n = 999, k = 300$;

в) $n = 99, k = 30$;

г) $n = 99, k = 3$.

Пусть $p$ — вероятность успеха в одном испытании Бернулли, а $q=1-p$ — вероятность неудачи. Наивероятнейшее число успехов $k$ в $n$ испытаниях удовлетворяет двойному неравенству:

$np - q \le k \le np + p$

Преобразуем это неравенство, чтобы выразить $p$:

$(n+1)p - 1 \le k \le (n+1)p$

Отсюда получаем:

$\frac{k}{n+1} \le p \le \frac{k+1}{n+1}$

В условии задачи сказано, что наивероятнейшее число успехов $k$ является единственным. Это означает, что значение $(n+1)p$ не является целым числом. Если бы $(n+1)p$ было целым, то было бы два наивероятнейших числа: $(n+1)p$ и $(n+1)p - 1$. Таким образом, неравенства становятся строгими:

$\frac{k}{n+1} < p < \frac{k+1}{n+1}$

Нас интересует вероятность неудачи $q = 1-p$. Выразим ее из полученного неравенства:

$1 - \frac{k+1}{n+1} < 1-p < 1 - \frac{k}{n+1}$

$\frac{n+1-(k+1)}{n+1} < q < \frac{n+1-k}{n+1}$

$\frac{n-k}{n+1} < q < \frac{n+1-k}{n+1}$

Теперь применим эту формулу для каждого из случаев.

а) n = 9, k = 3

Подставляем значения в полученное неравенство:

$\frac{9-3}{9+1} < q < \frac{9+1-3}{9+1}$

$\frac{6}{10} < q < \frac{7}{10}$

$0.6 < q < 0.7$

Ответ: $q \in (0.6; 0.7)$.

б) n = 999, k = 300

Подставляем значения в неравенство:

$\frac{999-300}{999+1} < q < \frac{999+1-300}{999+1}$

$\frac{699}{1000} < q < \frac{700}{1000}$

$0.699 < q < 0.7$

Ответ: $q \in (0.699; 0.7)$.

в) n = 99, k = 30

Подставляем значения в неравенство:

$\frac{99-30}{99+1} < q < \frac{99+1-30}{99+1}$

$\frac{69}{100} < q < \frac{70}{100}$

$0.69 < q < 0.7$

Ответ: $q \in (0.69; 0.7)$.

г) n = 99, k = 3

Подставляем значения в неравенство:

$\frac{99-3}{99+1} < q < \frac{99+1-3}{99+1}$

$\frac{96}{100} < q < \frac{97}{100}$

$0.96 < q < 0.97$

Ответ: $q \in (0.96; 0.97)$.

В задачах 24.1—24.5 рассматриваются оценки, которые получили студенты одной группы на экзамене по истории. Оценки эти таковы:

4 3 4 2 3 4 5 3 3 4
3 4 5 4 5 2 4 4 5 2

24.1. а) Сколько получено двоек, т. е. какова кратность варианты $2$?

б) Какова кратность варианты $4$?

в) Перечислите все варианты полученного ряда данных.

г) Выпишите сгруппированный ряд данных.

Для решения задачи сначала выпишем все оценки в один ряд данных. Всего в ряду 20 оценок.

Ряд данных: 4, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 2, 4, 4, 5, 2.

а) Сколько получено двоек, т. е. какова кратность варианты 2?

Кратность варианты — это количество раз, которое данное значение (варианта) встречается в ряду данных. Чтобы найти кратность варианты 2, нужно посчитать все оценки «2» в заданном ряду.

4, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 2, 4, 4, 5, 2.

Оценка «2» встречается 3 раза. Следовательно, кратность варианты 2 равна 3.

Ответ: 3.

б) Какова кратность варианты 4?

Аналогично пункту а), посчитаем количество оценок «4» в ряду.

4, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 2, 4, 4, 5, 2.

Оценка «4» встречается 8 раз. Таким образом, кратность варианты 4 равна 8.

Ответ: 8.

в) Перечислите все варианты полученного ряда данных.

Варианты ряда данных – это все уникальные значения, которые встречаются в этом ряду. В нашем случае это различные оценки, полученные студентами.

Просмотрев ряд 4, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 2, 4, 4, 5, 2, мы видим, что студенты получали оценки 2, 3, 4 и 5.

Ответ: 2, 3, 4, 5.

г) Выпишите сгруппированный ряд данных.

Сгруппированный (или статистический) ряд данных представляет собой таблицу, в которой каждой варианте сопоставляется её кратность (или частота). Мы уже нашли кратности для вариант 2 и 4. Найдем кратности для остальных вариант.

• Кратность варианты 2: 3 (из пункта а)
• Кратность варианты 3: 4, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 2, 4, 4, 5, 2. Встречается 5 раз.
• Кратность варианты 4: 8 (из пункта б)
• Кратность варианты 5: 4, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 2, 4, 4, 5, 2. Встречается 4 раза.

Проверим, что сумма всех кратностей равна общему числу данных: $3 + 5 + 8 + 4 = 20$. Расчет верен.

Представим сгруппированный ряд в виде таблицы:

Ответ: Сгруппированный ряд данных представлен в таблице: оценка 2 имеет кратность 3; оценка 3 – кратность 5; оценка 4 – кратность 8; оценка 5 – кратность 4.

24.2. а) Составьте таблицу распределения кратностей вариант.

б) Нарисуйте многоугольник распределения кратностей.

в) Составьте таблицу распределения частот и нарисуйте многоугольник распределения частот.

г) Для процентных частот нарисуйте гистограмму распределения с шириной столбцов, равной 1.

Поскольку в условии задачи не предоставлен исходный ряд данных (выборка), для демонстрации решения будет использован следующий примерный набор данных.

Предположим, у нас есть результаты контрольной работы 20 студентов, оценки которых составляют следующую выборку:

4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 5, 3, 2, 4, 4, 3, 5, 4, 3, 2, 4, 5.

Объем выборки $N = 20$.

а) Составьте таблицу распределения кратностей вариант.

Для составления таблицы распределения необходимо определить уникальные значения в выборке (варианты) и посчитать, сколько раз каждое из них встречается (кратность или абсолютная частота).

1. Сначала найдем все уникальные варианты в нашем ряду данных. Это оценки: 2, 3, 4, 5.

2. Теперь посчитаем кратность ($n_i$) для каждой варианты ($x_i$):

• Оценка «2» ($x_1=2$) встречается 3 раза, следовательно, ее кратность $n_1 = 3$.
• Оценка «3» ($x_2=3$) встречается 5 раз, следовательно, ее кратность $n_2 = 5$.
• Оценка «4» ($x_3=4$) встречается 7 раз, следовательно, ее кратность $n_3 = 7$.
• Оценка «5» ($x_4=5$) встречается 5 раз, следовательно, ее кратность $n_4 = 5$.

Проверим, что сумма всех кратностей равна объему выборки: $3 + 5 + 7 + 5 = 20$.

3. Занесем эти данные в таблицу.

Ответ:

б) Нарисуйте многоугольник распределения кратностей.

Многоугольник распределения кратностей (полигон частот) строится в системе координат. По оси абсцисс (X) откладываются значения вариант, а по оси ординат (Y) — их кратности. Точки с координатами $(x_i, n_i)$ соединяются отрезками.

Точки для построения, согласно таблице из пункта а):

• (2, 3)
• (3, 5)
• (4, 7)
• (5, 5)

Ответ:

Ниже представлен график многоугольника распределения кратностей. Это ломаная линия, последовательно соединяющая точки (2, 3), (3, 5), (4, 7) и (5, 5).

в) Составьте таблицу распределения частот и нарисуйте многоугольник распределения частот.

Частота (относительная частота) $W_i$ вычисляется как отношение кратности варианты $n_i$ к общему объему выборки $N$. Формула: $W_i = \frac{n_i}{N}$. В нашем случае $N=20$.

Рассчитаем частоты для каждой варианты:

• Для $x_1 = 2$: $W_1 = \frac{3}{20} = 0.15$
• Для $x_2 = 3$: $W_2 = \frac{5}{20} = 0.25$
• Для $x_3 = 4$: $W_3 = \frac{7}{20} = 0.35$
• Для $x_4 = 5$: $W_4 = \frac{5}{20} = 0.25$

Сумма всех частот равна $0.15 + 0.25 + 0.35 + 0.25 = 1.00$.

Составим таблицу распределения частот. Многоугольник распределения частот строится аналогично многоугольнику кратностей, но по оси ординат откладываются относительные частоты $W_i$.

Ответ:

Таблица распределения частот:

Многоугольник распределения частот:

Это ломаная линия, соединяющая точки с координатами (2, 0.15), (3, 0.25), (4, 0.35) и (5, 0.25).

г) Для процентных частот нарисуйте гистограмму распределения с шириной столбцов, равной 1.

Процентная частота $P_i$ получается умножением относительной частоты $W_i$ на 100%.

• $P_1 = 0.15 \times 100\% = 15\%$
• $P_2 = 0.25 \times 100\% = 25\%$
• $P_3 = 0.35 \times 100\% = 35\%$
• $P_4 = 0.25 \times 100\% = 25\%$

Гистограмма — это столбчатая диаграмма. Для дискретных данных с заданной шириной столбца 1, каждый столбец будет центрирован на значении варианты. По оси Y откладывается процентная частота.

• Для $x=2$ (интервал [1.5, 2.5]): высота столбца 15%.
• Для $x=3$ (интервал [2.5, 3.5]): высота столбца 25%.
• Для $x=4$ (интервал [3.5, 4.5]): высота столбца 35%.
• Для $x=5$ (интервал [4.5, 5.5]): высота столбца 25%.

Ответ:

Гистограмма распределения процентных частот представляет собой набор смежных прямоугольников. Высоты прямоугольников соответствуют процентным частотам вариант.

24.3. Вычислите:
а) размах;
б) моду;
в) медиану;
г) среднее ряда данных.

В представленном вопросе отсутствует сам ряд данных, для которого необходимо произвести вычисления. Для демонстрации решения задачи воспользуемся следующим гипотетическим рядом данных: 7, 3, 8, 7, 10, 5, 8, 7.

Для удобства дальнейших вычислений, первым делом упорядочим данный ряд по возрастанию (ранжируем ряд): 3, 5, 7, 7, 7, 8, 8, 10.

а) размах

Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду.

В нашем упорядоченном ряду наибольшее значение (максимум) равно 10, а наименьшее (минимум) — 3.

Размах вычисляется по формуле: $R = x_{max} - x_{min}$.

Подставляем наши значения: $R = 10 - 3 = 7$.

Ответ: 7.

б) моду

Мода ряда данных — это значение, которое встречается в ряду чаще других. Ряд может иметь одну моду, несколько мод (быть мультимодальным) или не иметь моды вовсе.

Рассмотрим наш упорядоченный ряд: 3, 5, 7, 7, 7, 8, 8, 10. Подсчитаем, сколько раз встречается каждое число:

число 3 встречается 1 раз;

число 5 встречается 1 раз;

число 7 встречается 3 раза;

число 8 встречается 2 раза;

число 10 встречается 1 раз.

Наибольшая частота у числа 7, следовательно, оно и является модой данного ряда.

Ответ: 7.

в) медиану

Медиана ряда данных — это значение, которое находится в середине упорядоченного по возрастанию или убыванию ряда. Если в ряду нечетное количество элементов, медиана — это число, стоящее ровно посередине. Если количество элементов четное, медиана — это среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине.

Наш упорядоченный ряд: 3, 5, 7, 7, 7, 8, 8, 10.

Количество элементов в ряду $n=8$, это четное число. Значит, для нахождения медианы нужно взять два центральных элемента и найти их среднее арифметическое. Эти элементы находятся на позициях $n/2$ и $n/2 + 1$.

Номера позиций: $8/2 = 4$ и $8/2 + 1 = 5$.

Четвертый элемент в ряду — это 7, пятый элемент — также 7.

Вычисляем медиану: $M = \frac{7 + 7}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

Ответ: 7.

г) среднее ряда данных

Среднее арифметическое ряда данных — это сумма всех чисел ряда, деленная на их количество.

Сначала найдем сумму всех чисел в ряду:

$3 + 5 + 7 + 7 + 7 + 8 + 8 + 10 = 55$.

Количество чисел в ряду: 8.

Среднее арифметическое ($\bar{x}$) вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\text{Сумма всех элементов}}{\text{Количество элементов}}$

$\bar{x} = \frac{55}{8} = 6.875$.

Ответ: 6.875.

24.4. а) Найдите отклонения вариант от среднего значения.

б) Проверьте, что сумма всех отклонений равна нулю.

в) Найдите квадраты отклонений и сумму квадратов отклонений от среднего.

г) Вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Поскольку в условии задачи не предоставлен ряд данных (набор вариант), для демонстрации решения воспользуемся следующим гипотетическим набором чисел: 2, 4, 5, 6, 8. В этом наборе 5 элементов ($n=5$).

а) Найдите отклонения вариант от среднего значения.

1. Сначала найдем среднее арифметическое значение ($\bar{x}$) для нашего набора данных. Среднее значение вычисляется как сумма всех элементов, деленная на их количество.

Формула среднего значения: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 5 + 6 + 8}{5} = \frac{25}{5} = 5$

2. Теперь найдем отклонение каждой варианты от среднего значения. Отклонение — это разность между значением варианты и средним значением ($x_i - \bar{x}$).

• Для $x_1 = 2$: отклонение = $2 - 5 = -3$
• Для $x_2 = 4$: отклонение = $4 - 5 = -1$
• Для $x_3 = 5$: отклонение = $5 - 5 = 0$
• Для $x_4 = 6$: отклонение = $6 - 5 = 1$
• Для $x_5 = 8$: отклонение = $8 - 5 = 3$

Ответ: Отклонения вариант от среднего значения равны -3, -1, 0, 1, 3.

б) Проверьте, что сумма всех отклонений равна нулю.

Сложим все найденные в пункте а) отклонения:

Сумма отклонений = $(-3) + (-1) + 0 + 1 + 3 = -4 + 4 = 0$.

Сумма действительно равна нулю. Это является свойством среднего арифметического: сумма отклонений значений от среднего всегда равна нулю.

Ответ: Сумма всех отклонений равна $0$, что подтверждает свойство среднего значения.

в) Найдите квадраты отклонений и сумму квадратов отклонений от среднего.

1. Возведем в квадрат каждое отклонение, найденное в пункте а):

• $(-3)^2 = 9$
• $(-1)^2 = 1$
• $0^2 = 0$
• $1^2 = 1$
• $3^2 = 9$

Квадраты отклонений: 9, 1, 0, 1, 9.

2. Найдем сумму этих квадратов отклонений.

Сумма квадратов отклонений = $9 + 1 + 0 + 1 + 9 = 20$.

Ответ: Квадраты отклонений равны 9, 1, 0, 1, 9. Сумма квадратов отклонений равна 20.

г) Вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

1. Дисперсия ($D$) — это среднее арифметическое квадратов отклонений. Она показывает, насколько сильно значения разбросаны вокруг среднего.

Формула дисперсии: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$

Мы уже нашли сумму квадратов отклонений в пункте в), она равна 20. Количество элементов $n=5$.

$D = \frac{20}{5} = 4$

2. Среднее квадратическое отклонение ($\sigma$) — это корень квадратный из дисперсии. Оно измеряет ту же величину разброса, что и дисперсия, но в исходных единицах измерения данных.

Формула среднего квадратического отклонения: $\sigma = \sqrt{D}$

$\sigma = \sqrt{4} = 2$

Ответ: Дисперсия равна 4, среднее квадратическое отклонение равно 2.