Страница 153, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Показательные функции в окружающем мире.

Показательная функция — это функция вида $y = a^x$, где $a$ — постоянное положительное число (основание), не равное 1. Ключевая особенность таких функций в том, что скорость изменения величины пропорциональна самой величине. Если основание $a > 1$, мы наблюдаем экспоненциальный рост; если $0 < a < 1$ — экспоненциальное убывание. Эти процессы повсеместно встречаются в природе, науке и экономике.

Рост популяций и эпидемии
В идеальных условиях, при отсутствии ограничений в ресурсах и пространстве, численность популяции живых организмов (например, бактерий, дрожжей) растет по экспоненциальному закону. Каждая особь за определенный промежуток времени производит несколько потомков, и общая численность лавинообразно увеличивается. Этот процесс описывается формулой $N(t) = N_0 \cdot a^t$, где $N_0$ — начальная численность, $N(t)$ — численность в момент времени $t$, а $a$ — коэффициент роста. Аналогичным образом на начальных этапах распространяются эпидемии: каждый инфицированный заражает несколько здоровых людей, что приводит к экспоненциальному росту числа заболевших.
Ответ: Размножение бактерий и распространение вирусов являются классическими примерами экспоненциального роста, описываемого показательной функцией.

Радиоактивный распад и радиоуглеродный анализ
Процесс распада нестабильных атомных ядер является фундаментальным примером экспоненциального убывания. Количество нераспавшихся ядер вещества уменьшается со временем по закону $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, где $N_0$ — начальное количество ядер, $N(t)$ — количество ядер в момент времени $t$, а $\lambda$ — постоянная распада. Важнейшей характеристикой этого процесса является период полураспада $T_{1/2}$ — время, за которое распадается половина исходного количества ядер. Это свойство используется в радиоуглеродном анализе для определения возраста археологических находок и ископаемых останков.
Ответ: Уменьшение количества радиоактивного вещества со временем подчиняется закону экспоненциального убывания, что позволяет датировать древние артефакты.

Финансы и экономика
В банковском деле и инвестициях широко используется понятие сложного процента. Если проценты начисляются не только на первоначальную сумму вклада (простой процент), но и на уже начисленные проценты, то сумма на счете растет экспоненциально. Формула для расчета итоговой суммы $A$ при начислении сложного процента выглядит так: $A = P(1 + r/n)^{nt}$, где $P$ — первоначальная сумма, $r$ — годовая процентная ставка, $n$ — количество начислений процентов в год, а $t$ — количество лет. Этот же принцип работает и в обратную сторону при расчете долга по кредиту или инфляционного обесценивания денег.
Ответ: Рост капитала при вложении под сложный процент или увеличение долга по кредиту описываются показательной функцией.

Физические процессы
Многие физические явления описываются показательными функциями. Например, закон охлаждения Ньютона гласит, что температура тела, помещенного в среду с постоянной температурой, изменяется экспоненциально, стремясь к температуре среды. Разность температур уменьшается по закону $\Delta T(t) = \Delta T_0 \cdot e^{-kt}$. Другой пример — барометрическая формула, которая показывает, как атмосферное давление экспоненциально убывает с увеличением высоты над уровнем моря: $P(h) = P_0 \cdot e^{-mgh/kT}$.
Ответ: Остывание нагретого объекта или падение атмосферного давления с высотой являются физическими процессами, которые моделируются с помощью показательной функции.

Технологии и закон Мура
Эмпирический закон Мура, сформулированный в 1965 году, гласит, что количество транзисторов, размещаемых на кристалле интегральной схемы, удваивается примерно каждые 24 месяца. Это наблюдение описывает экспоненциальный рост вычислительной мощности компьютеров на протяжении десятилетий. Хотя это не физический закон, а скорее наблюдение и прогноз, он точно описывал развитие полупроводниковой индустрии и может быть представлен в виде показательной функции $N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}$, где $T$ — период удвоения (около 2 лет).
Ответ: Увеличение производительности компьютеров, описываемое законом Мура, является ярким примером экспоненциального роста в сфере технологий.

2. Разработка мультимедиа по теме «Графики показательных (логарифмических) функций».

Разработка мультимедийного образовательного ресурса по теме «Графики показательных и логарифмических функций» представляет собой комплексный проект, который можно разбить на несколько ключевых этапов. Ниже представлен подробный план разработки.

1. Концепция и целевая аудитория

На первом этапе необходимо определить цели, задачи и аудиторию проекта, чтобы конечный продукт был максимально эффективным и востребованным.

• Цель проекта: Создание интерактивного обучающего пособия, которое в наглядной и доступной форме объясняет свойства показательных и логарифмических функций, а также принципы построения и преобразования их графиков.
• Задачи проекта:
  • Визуализировать зависимость вида графика от параметров функции.
  • Объяснить связь между показательной и логарифмической функциями как взаимно обратными.
  • Научить пользователя выполнять стандартные преобразования графиков (сдвиги, растяжения, отражения).
  • Предоставить возможность для самопроверки и закрепления материала через интерактивные задания.
• Целевая аудитория: Учащиеся 10-11 классов общеобразовательных школ, студенты первых курсов технических и экономических специальностей, а также преподаватели математики, которые могут использовать ресурс в качестве демонстрационного материала на уроках.

Ответ: Концепция заключается в создании интерактивного веб-приложения для учащихся и студентов с целью визуализации и изучения графиков показательных и логарифмических функций, их свойств и преобразований.

2. Содержание и структура

Содержание ресурса должно быть логически структурировано, разбито на модули для последовательного изучения материала от простого к сложному.

• Модуль 1. Показательная функция $y=a^x$.
  • Определение функции, условия на основание $a$ ($a > 0$, $a \neq 1$).
  • Базовые графики и свойства:
    - Случай возрастающей функции при $a > 1$ (на примере $y=2^x$).
    - Случай убывающей функции при $0 < a < 1$ (на примере $y=(1/2)^x$).
    - Ключевые свойства: область определения $D(y)=(-\infty; +\infty)$, область значений $E(y)=(0; +\infty)$, прохождение через точку $(0, 1)$, горизонтальная асимптота $y=0$.
  • Интерактивный симулятор: Инструмент с ползунком для изменения параметра $a$, позволяющий в реальном времени наблюдать за изменением кривизны графика.
  • Преобразования графика функции $y=k \cdot a^{m(x-b)} + c$: Интерактивная панель с ползунками для коэффициентов $k$ (растяжение/сжатие по OY), $b$ (сдвиг по OX), $c$ (сдвиг по OY) и $m$ (растяжение/сжатие по OX).
• Модуль 2. Логарифмическая функция $y=\log_a x$.
  • Определение функции как обратной к показательной. Условия на $a$ ($a > 0$, $a \neq 1$).
  • Базовые графики и свойства:
    - Случай возрастающей функции при $a > 1$ (на примере $y=\log_2 x$).
    - Случай убывающей функции при $0 < a < 1$ (на примере $y=\log_{1/2} x$).
    - Ключевые свойства: область определения $D(y)=(0; +\infty)$, область значений $E(y)=(-\infty; +\infty)$, прохождение через точку $(1, 0)$, вертикальная асимптота $x=0$.
  • Связь с показательной функцией: Анимация, демонстрирующая симметрию графиков $y=a^x$ и $y=\log_a x$ относительно прямой $y=x$.
  • Преобразования графика функции $y=k \cdot \log_a (x-b) + c$: Аналогичный интерактивный симулятор с ползунками для параметров.
• Модуль 3. Практика и контроль знаний.
  • Задания на сопоставление формулы и графика.
  • Задачи на определение параметров функции по ее графику.
  • Тест с выбором ответа на знание теоретических свойств функций.
• Модуль 4. Применение в реальной жизни.
  • Краткие примеры: радиоактивный распад, рост популяции, шкала pH, шкала Рихтера.

Ответ: Мультимедийный ресурс будет состоять из четырех модулей: введение в показательную функцию, введение в логарифмическую функцию, интерактивная практика и примеры применения, что обеспечит комплексное изучение темы.

3. Мультимедийные элементы и техническая реализация

Для достижения поставленных целей необходимо использовать разнообразные мультимедийные элементы и выбрать подходящую технологическую платформу.

• Типы контента:
  • Текст: Лаконичные определения, формулировки свойств, пояснения к заданиям.
  • Графика: Статические изображения для иллюстрации базовых графиков и их свойств.
  • Анимация: Анимированное построение графиков, демонстрация преобразований (сдвиги, отражения), анимация симметрии.
  • Интерактивность: "Живые" графики с ползунками, тесты и упражнения с немедленной обратной связью (drag-and-drop, ввод ответа).
  • Аудио (опционально): Голосовое сопровождение с возможностью отключения, звуковые эффекты для интерактива.
• Техническая реализация:
  • Платформа: Адаптивное веб-приложение, доступное через браузер на любых устройствах (ПК, планшет, смартфон).
  • Технологии: HTML5 для структуры, CSS3 для стилей и анимаций, JavaScript для всей логики и интерактивности. Для построения графиков могут быть использованы библиотеки, такие как D3.js, Chart.js, или отрисовка на элементе <canvas>. Для отображения математических формул — библиотека KaTeX.

Ответ: Проект будет реализован в виде веб-приложения с использованием HTML/CSS/JavaScript, включающего анимированные и интерактивные графики, а также тестовые задания для максимальной наглядности и вовлеченности пользователя.

4. Дизайн и пользовательский опыт (UI/UX)

Продуманный дизайн и удобство использования являются критически важными для образовательного ресурса.

• Пользовательский интерфейс (UI): Чистый, интуитивно понятный интерфейс, не перегруженный лишними элементами. Цветовая схема должна быть приятной для глаз, с хорошей контрастностью. Графики и важные элементы должны быть выделены.
• Пользовательский опыт (UX):
  • Простая и логичная навигация (кнопки "вперед/назад", меню, "хлебные крошки").
  • Мгновенная обратная связь на действия пользователя (изменение графика при движении ползунка, результат ответа в тесте).
  • Адаптивность под разные размеры экранов.
  • Наличие всплывающих подсказок для сложных элементов управления.

Ответ: Будет разработан минималистичный и интуитивно понятный адаптивный дизайн с упором на простую навигацию и интерактивную обратную связь, чтобы обеспечить комфортное и эффективное обучение.

3. Замечательное число $e$.

Число e, также известное как число Эйлера или число Непера, является одной из важнейших математических констант, наряду с $π$ и мнимой единицей $i$. Это иррациональное и трансцендентное число, играющее ключевую роль в математическом анализе, теории вероятностей, финансовой математике и многих других областях науки.

Приблизительное значение числа e: $e \approx 2.718281828459045...$

Определения числа e

Существует несколько эквивалентных способов определения числа e. Наиболее известные из них:

1. Через предел (Второй замечательный предел). Число e определяется как предел последовательности, которая возникает при рассмотрении задачи о непрерывном начислении процентов:

   $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$

   Этот предел описывает максимальный возможный рост капитала при 100% годовой ставке, если проценты начисляются непрерывно (бесконечное число раз в год).

2. Через сумму бесконечного ряда. Число e можно представить как сумму ряда обратных факториалов. Эта формула очень удобна для вычисления приближенного значения константы:

   $e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \dots$

   Здесь $n!$ (n-факториал) — это произведение всех целых чисел от 1 до $n$, а $0!$ по определению равен 1.

3. Через интеграл (в математическом анализе). Число e — это единственное положительное число, для которого площадь под гиперболой $y = 1/x$ от 1 до e равна ровно 1.

   $\int_1^e \frac{1}{x} \,dx = 1$

   Это определение напрямую связано с понятием натурального логарифма ($\ln$), который является логарифмом по основанию e. Таким образом, $\ln(e) = 1$.

Ответ: Число e определяется как предел $\lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n$, как сумма бесконечного ряда $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$, или как единственное число, для которого $\int_1^e \frac{1}{x} \,dx = 1$.

Почему число e называют "замечательным"?

Его "замечательность" заключается в уникальных свойствах, которые делают его незаменимым в математике и естественных науках.

• Свойство в математическом анализе. Экспоненциальная функция $f(x) = e^x$ обладает уникальным свойством: ее производная равна самой функции. То есть, $\frac{d}{dx}e^x = e^x$. Это означает, что скорость роста функции в любой точке равна ее значению в этой точке. Это свойство делает число e "естественным" основанием для показательной функции и логарифма, а также значительно упрощает решение дифференциальных уравнений.

• Моделирование природных процессов. Поскольку многие процессы в природе (рост популяции, радиоактивный распад, охлаждение тел) характеризуются скоростью изменения, пропорциональной текущему значению, они описываются функциями, содержащими число e. Например, закон радиоактивного распада имеет вид $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.

• Связь с комплексными числами. Формула Эйлера, которую многие называют самой красивой формулой в математике, связывает число e с тригонометрическими функциями и мнимой единицей $i$:

  $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$

  Частный случай этой формулы при $x = \pi$ дает знаменитое тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант: $e^{i\pi} + 1 = 0$.

• Теория вероятностей. Число e появляется в формулах ключевых распределений, таких как нормальное распределение (гауссиана) и распределение Пуассона, а также в комбинаторных задачах, например, в задаче о беспорядках (вероятность того, что ни один из $n$ предметов не окажется на своем месте, при $n \to \infty$ стремится к $1/e$).

Ответ: "Замечательным" число e является из-за его центральной роли в математическом анализе (функция $e^x$ является собственной производной), его способности описывать экспоненциальный рост и распад в физических и биологических системах, а также благодаря его глубокой связи с комплексными числами через формулу Эйлера.

4. Из истории возникновения логарифмов.

История возникновения логарифмов неразрывно связана с практическими потребностями науки и техники XVI-XVII веков. В эпоху Великих географических открытий, развития астрономии и навигации, ученым и инженерам приходилось выполнять огромное количество сложных расчетов. Умножение и деление многозначных чисел, извлечение корней и возведение в степень отнимали массу времени и часто приводили к ошибкам. Возникла острая необходимость в новом математическом инструменте, который мог бы упростить эти трудоемкие операции.

Первой попыткой упростить умножение был метод простафереза, основанный на тригонометрических формулах, который позволял заменять умножение сложением и вычитанием. Однако этот метод был громоздким и не всегда удобным. Настоящим прорывом стало изобретение логарифмов.

Предпосылки возникновения

К концу XVI века математики осознали взаимосвязь между арифметической и геометрической прогрессиями. Если взять геометрическую прогрессию, например, $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, и арифметическую прогрессию показателей степени $a_n = n-1$, то умножению членов геометрической прогрессии ($b_i \cdot b_j$) соответствует сложение членов арифметической прогрессии ($a_i + a_j$). Эта идея и легла в основу концепции логарифмов: найти способ сопоставить каждому числу (члену геометрической прогрессии) его "показатель" (член арифметической прогрессии), чтобы заменить сложное умножение чисел на простое сложение их показателей.
Ответ: Таким образом, главной предпосылкой для изобретения логарифмов стала острая потребность в ускорении и упрощении сложных вычислительных операций, в первую очередь в астрономии, навигации и торговле.

Джон Непер и его логарифмы

Честь изобретения логарифмов принадлежит шотландскому барону Джону Неперу (1550–1617). После почти двадцати лет работы, в 1614 году он опубликовал в Эдинбурге свой труд "Описание удивительной таблицы логарифмов" (Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). В этой работе он изложил свою теорию и привел таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов. Сам термин "логарифм" был введен Непером и происходит от греческих слов λόγος (логос — "отношение") и ἀριθμός (аритмос — "число").

Логарифмы Непера отличались от современных. В его системе логарифм полной шкалы (синуса 90°, который он принимал за $10^7$) был равен нулю, а логарифм уменьшался по мере роста числа. Его определение было основано на кинематической модели, но суть оставалась той же: заменить умножение на сложение. Работа Непера произвела огромное впечатление на научный мир.
Ответ: Джон Непер в 1614 году первым опубликовал таблицы логарифмов, предложив метод, который заменял трудоемкое умножение и деление на более простое сложение и вычитание, что стало революцией в вычислительной математике.

Йост Бюрги и его таблицы

Независимо от Непера, и, возможно, даже раньше него, к идее логарифмов пришел швейцарский математик и часовщик Йост Бюрги (1552–1632), который работал при дворе императора Рудольфа II в Праге. Он составил свои "Таблицы арифметической и геометрической прогрессий" около 1610 года, но опубликовал их только в 1620 году, на 6 лет позже Непера, и поэтому слава первооткрывателя досталась шотландцу. Система Бюрги была основана на основании, близком к современному числу $e$, но из-за поздней публикации и меньшего распространения его труд не получил такой известности, как работа Непера.
Ответ: Йост Бюрги независимо разработал концепцию логарифмов, но из-за поздней публикации своего труда в 1620 году уступил первенство Джону Неперу.

Генри Бриггс и десятичные логарифмы

Английский профессор математики Генри Бриггс (1561–1630) был настолько восхищен изобретением Непера, что лично посетил его в Шотландии в 1615 году. В ходе их встреч родилась идея усовершенствовать систему. Бриггс предложил использовать основание 10, что было гораздо удобнее для вычислений в десятичной системе счисления. В такой системе логарифм единицы равен нулю ($log_{10}(1) = 0$), а логарифм десяти равен единице ($log_{10}(10) = 1$). Непер согласился с этими предложениями.

После смерти Непера Бриггс посвятил свою жизнь вычислению таблиц десятичных ("обычных") логарифмов. В 1624 году он опубликовал свой труд "Логарифмическая арифметика" (Arithmetica Logarithmica), содержащий таблицы логарифмов для чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000 с точностью до 14 знаков. Именно десятичные логарифмы получили наибольшее распространение в инженерной и научной практике на последующие столетия.
Ответ: Генри Бриггс в сотрудничестве с Непером усовершенствовал идею логарифмов, предложив использовать основание 10, что сделало их чрезвычайно удобными для практических расчетов и привело к созданию таблиц десятичных логарифмов.

Дальнейшее развитие и значение логарифмов

Изобретение логарифмов оказало немедленное и огромное влияние на науку. Иоганн Кеплер с восторгом использовал их для своих астрономических расчетов, которые легли в основу его законов движения планет. Вскоре на основе логарифмической шкалы была изобретена логарифмическая линейка (Уильям Оутред, ок. 1622 г.) — аналоговый вычислительный прибор, ставший главным инструментом инженера вплоть до появления электронных калькуляторов в XX веке.

Современное понимание логарифма как показателя степени, то есть определение $y = \log_a(x)$ как эквивалента $x = a^y$, было окончательно сформулировано в работах Леонарда Эйлера в XVIII веке. Он же ввел обозначение $e$ для основания натуральных логарифмов и показал фундаментальную связь между показательной и логарифмической функциями.

Значение логарифмов для развития науки трудно переоценить. Французский математик Пьер-Симон Лаплас сказал, что логарифмы, "сократив труд астронома, продлили ему жизнь". Это изобретение стало одним из ключевых достижений математики, которое на столетия вперед ускорило научный и технический прогресс.
Ответ: Логарифмы радикально ускорили научные расчеты, способствовали великим открытиям в астрономии, привели к созданию логарифмической линейки и, благодаря работам Эйлера, стали фундаментальной частью современного математического анализа.

23.4. Каждое испытание в задаче 23.1 повторили трижды. Что более вероятно в каждом из случаев а), б), в), г): то, что наступит хотя бы один успех, или то, что наступит хотя бы одна неудача?

Для решения задачи сравним вероятности двух событий: A = {наступит хотя бы один успех} и B = {наступит хотя бы одна неудача} в серии из трех независимых испытаний.

Пусть $p$ — вероятность успеха в одном испытании, а $q=1-p$ — вероятность неудачи. Испытание повторяется трижды.

Вероятность события A (хотя бы один успех) удобнее вычислять через вероятность противоположного события A' = {не наступит ни одного успеха}, то есть {все три испытания завершились неудачей}. Вероятность этого $P(A') = q \cdot q \cdot q = q^3$. Тогда искомая вероятность $P(A) = 1 - P(A') = 1 - q^3$.

Аналогично, вероятность события B (хотя бы одна неудача) вычисляется через вероятность противоположного события B' = {не наступит ни одной неудачи}, то есть {все три испытания завершились успехом}. Вероятность этого $P(B') = p \cdot p \cdot p = p^3$. Тогда искомая вероятность $P(B) = 1 - P(B') = 1 - p^3$.

Теперь сравним $P(A)$ и $P(B)$.

Событие A более вероятно, чем B, если $P(A) > P(B)$, то есть $1 - q^3 > 1 - p^3$. Это неравенство равносильно $-q^3 > -p^3$, или $q^3 < p^3$. Так как функция $y=x^3$ возрастающая, это эквивалентно $q < p$.

Событие B более вероятно, чем A, если $P(B) > P(A)$, что эквивалентно $q > p$.

События A и B равновероятны, если $P(A) = P(B)$, что эквивалентно $q = p$.

Таким образом, чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно для каждого случая из задачи 23.1 определить вероятности успеха $p$ и неудачи $q$ и сравнить их.

В испытании из колоды в 36 карт вынимается одна. Успех — появление карты бубновой масти. В колоде 36 карт, из них 9 карт бубновой масти. Вероятность успеха (вынуть бубновую карту) в одном испытании: $p = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$. Вероятность неудачи (вынуть карту другой масти): $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. Сравниваем вероятности: $p = \frac{1}{4} < q = \frac{3}{4}$. Так как $q > p$, то более вероятно наступление хотя бы одной неудачи. Вероятность хотя бы одного успеха: $P(A) = 1 - q^3 = 1 - (\frac{3}{4})^3 = 1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64}$. Вероятность хотя бы одной неудачи: $P(B) = 1 - p^3 = 1 - (\frac{1}{4})^3 = 1 - \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$. Действительно, $\frac{63}{64} > \frac{37}{64}$.
Ответ: более вероятно, что наступит хотя бы одна неудача.

В испытании бросается игральная кость. Успех — выпадение не менее 5 очков (то есть 5 или 6). Всего исходов 6. Благоприятных исходов 2 (выпадение 5 или 6). Вероятность успеха в одном испытании: $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Вероятность неудачи: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Сравниваем вероятности: $p = \frac{1}{3} < q = \frac{2}{3}$. Так как $q > p$, то более вероятно наступление хотя бы одной неудачи. Вероятность хотя бы одного успеха: $P(A) = 1 - q^3 = 1 - (\frac{2}{3})^3 = 1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$. Вероятность хотя бы одной неудачи: $P(B) = 1 - p^3 = 1 - (\frac{1}{3})^3 = 1 - \frac{1}{27} = \frac{26}{27}$. Действительно, $\frac{26}{27} > \frac{19}{27}$.
Ответ: более вероятно, что наступит хотя бы одна неудача.

В испытании из ящика, в котором 6 белых и 8 черных шаров, вынимается один шар. Успех — появление белого шара. Всего шаров $6 + 8 = 14$. Белых шаров 6. Вероятность успеха (вынуть белый шар) в одном испытании: $p = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$. Вероятность неудачи (вынуть черный шар): $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$. Сравниваем вероятности: $p = \frac{3}{7} < q = \frac{4}{7}$. Так как $q > p$, то более вероятно наступление хотя бы одной неудачи. Вероятность хотя бы одного успеха: $P(A) = 1 - q^3 = 1 - (\frac{4}{7})^3 = 1 - \frac{64}{343} = \frac{279}{343}$. Вероятность хотя бы одной неудачи: $P(B) = 1 - p^3 = 1 - (\frac{3}{7})^3 = 1 - \frac{27}{343} = \frac{316}{343}$. Действительно, $\frac{316}{343} > \frac{279}{343}$.
Ответ: более вероятно, что наступит хотя бы одна неудача.

В испытании производится один выстрел по мишени. Вероятность попадания равна 0,7. Успех — попадание в мишень. Вероятность успеха в одном испытании: $p = 0,7$. Вероятность неудачи (промах): $q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$. Сравниваем вероятности: $p = 0,7 > q = 0,3$. Так как $p > q$, то более вероятно наступление хотя бы одного успеха. Вероятность хотя бы одного успеха: $P(A) = 1 - q^3 = 1 - (0,3)^3 = 1 - 0,027 = 0,973$. Вероятность хотя бы одной неудачи: $P(B) = 1 - p^3 = 1 - (0,7)^3 = 1 - 0,343 = 0,657$. Действительно, $0,973 > 0,657$.
Ответ: более вероятно, что наступит хотя бы один успех.

23.5. Какова вероятность того, что при восьми бросаниях монеты:

а) орёл выпадет ровно пять раз;

б) орлов и решек выпадет поровну;

в) решка выпадет ровно пять раз;

г) решка выпадет чаще орла?

Для решения данной задачи используется формула классической вероятности $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию. При восьми бросаниях монеты каждый бросок имеет два возможных исхода (орёл или решка). Следовательно, общее число всех возможных комбинаций исходов равно $N = 2^8 = 256$.

а) орёл выпадет ровно пять раз

Событие заключается в том, что из 8 бросков 5 раз выпадет орёл, а остальные $8 - 5 = 3$ раза — решка. Число способов, которыми можно выбрать 5 "успешных" бросков (выпадение орла) из 8, определяется числом сочетаний из 8 по 5 ($C_n^k$).

Число благоприятных исходов $m$ равно:$m = C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.

Вероятность этого события $P(A)$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$P(A) = \frac{m}{N} = \frac{56}{256}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8:$P(A) = \frac{56 \div 8}{256 \div 8} = \frac{7}{32}$.

Ответ: $\frac{7}{32}$.

б) орлов и решек выпадет поровну

Это событие означает, что за 8 бросков выпадет 4 орла и 4 решки. Число благоприятных исходов $m$ — это количество способов выбрать 4 броска для выпадения орла из 8.

Рассчитаем число сочетаний из 8 по 4:$m = C_8^4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{1680}{24} = 70$.

Вероятность этого события $P(B)$ равна:$P(B) = \frac{m}{N} = \frac{70}{256}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:$P(B) = \frac{70 \div 2}{256 \div 2} = \frac{35}{128}$.

Ответ: $\frac{35}{128}$.

в) решка выпадет ровно пять раз

Данное событие полностью симметрично событию из пункта а), так как вероятность выпадения орла и решки одинакова ($p=0.5$). Если решка выпадает 5 раз, то орёл выпадает $8 - 5 = 3$ раза. Число благоприятных исходов равно количеству способов выбрать 5 бросков для выпадения решки из 8, то есть $C_8^5$.

Число благоприятных исходов $m$ такое же, как и в пункте а):$m = C_8^5 = 56$.

Соответственно, и вероятность события $P(C)$ будет такой же:$P(C) = \frac{m}{N} = \frac{56}{256} = \frac{7}{32}$.

Ответ: $\frac{7}{32}$.

г) решка выпадет чаще орла

Событие "решка выпадет чаще орла" означает, что количество выпавших решек ($k_Р$) больше количества выпавших орлов ($k_О$). Так как всего 8 бросков, $k_Р + k_О = 8$. Неравенство $k_Р > k_О$ можно переписать как $k_Р > 8 - k_Р$, что равносильно $2k_Р > 8$, или $k_Р > 4$. То есть, решка должна выпасть 5, 6, 7 или 8 раз.

Можно решить эту задачу, используя свойство симметрии. Рассмотрим три несовместных события, которые покрывают все возможные исходы:

1. Событие $A$: решек выпало больше, чем орлов ($k_Р > k_О$).

2. Событие $B$: орлов выпало больше, чем решек ($k_О > k_Р$).

3. Событие $C$: решек и орлов выпало поровну ($k_Р = k_О = 4$).

Сумма их вероятностей равна 1: $P(A) + P(B) + P(C) = 1$.

Поскольку монета симметрична, вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решки. Следовательно, вероятность события $A$ (решек больше) равна вероятности события $B$ (орлов больше): $P(A) = P(B)$.

Вероятность события $C$ (орлов и решек поровну) была найдена в пункте б): $P(C) = \frac{70}{256}$.

Подставим известные значения в формулу: $P(A) + P(A) + \frac{70}{256} = 1$, что дает $2P(A) = 1 - \frac{70}{256}$.

Выполним вычисления:$2P(A) = \frac{256}{256} - \frac{70}{256} = \frac{186}{256}$.

Теперь найдем искомую вероятность $P(A)$, разделив результат на 2:$P(A) = \frac{186}{256} \div 2 = \frac{93}{256}$.

Эта дробь является несократимой, так как числитель $93 = 3 \cdot 31$, а знаменатель $256 = 2^8$.

Ответ: $\frac{93}{256}$.

23.6. Какова вероятность того, что при $n$ бросаниях двух различных игральных костей хотя бы один раз выпадет пара шестёрок, если:

а) $n = 1$;

б) $n = 2$;

в) $n = 3$;

г) $n = 10$?

Для решения этой задачи удобнее всего найти вероятность противоположного события, а именно, что при $n$ бросаниях двух костей пара шестёрок не выпадет ни разу. Затем, вычтя эту вероятность из 1, мы получим искомую вероятность.

Сначала определим вероятность выпадения пары шестёрок при одном бросании двух костей. Всего существует $6 \times 6 = 36$ равновозможных исходов. Единственный исход, который нас интересует (пара шестёрок), это (6, 6). Таким образом, вероятность выпадения пары шестёрок в одном броске равна $p = \frac{1}{36}$.

Вероятность того, что пара шестёрок не выпадет в одном броске, равна $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$.

Поскольку все $n$ бросков являются независимыми событиями, вероятность того, что пара шестёрок не выпадет ни разу за $n$ бросков, равна $q^n = \left(\frac{35}{36}\right)^n$.

Следовательно, вероятность того, что при $n$ бросаниях хотя бы один раз выпадет пара шестёрок, равна $P_n = 1 - q^n = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^n$.

Теперь рассчитаем эту вероятность для каждого заданного значения $n$.

а) При $n = 1$:

Вероятность того, что пара шестёрок выпадет хотя бы один раз за один бросок, равна вероятности ее выпадения в этом единственном броске.

$P_1 = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^1 = 1 - \frac{35}{36} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$

б) При $n = 2$:

$P_2 = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^2 = 1 - \frac{35^2}{36^2} = 1 - \frac{1225}{1296} = \frac{1296 - 1225}{1296} = \frac{71}{1296}$.

Ответ: $\frac{71}{1296}$

в) При $n = 3$:

$P_3 = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^3 = 1 - \frac{35^3}{36^3} = 1 - \frac{42875}{46656} = \frac{46656 - 42875}{46656} = \frac{3781}{46656}$.

Ответ: $\frac{3781}{46656}$

г) При $n = 10$:

$P_{10} = 1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{10}$.

Для таких больших степеней принято оставлять ответ в виде выражения, не вычисляя точное значение дроби.

Ответ: $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{10}$

23.7. Шахматисты А и Б играют несколько партий. Шансы на победу каждого из них в отдельной партии считаются равными. Какой результат $А : Б$ оценивается как более вероятный:

a) $2 : 2$ или $3 : 1$ в четырёх партиях;

б) $2 : 2$ в четырёх партиях или $3 : 3$ в шести партиях;

в) $3 : 1$ в четырёх партиях или $4 : 2$ в шести партиях;

г) $2 : 3$ в пяти партиях или $3 : 3$ в шести партиях?

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу Бернулли, так как каждая партия является независимым испытанием с двумя равновероятными исходами (победа игрока А или победа игрока Б). Вероятность победы каждого игрока в одной партии $p = 0.5$.

Вероятность того, что в $n$ партиях игрок А одержит ровно $k$ побед (и, соответственно, игрок Б одержит $n-k$ побед), вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Поскольку $p = 0.5$, формула упрощается до:

$P_n(k) = C_n^k \cdot (0.5)^k \cdot (0.5)^{n-k} = C_n^k \cdot (0.5)^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

а) 2 : 2 или 3 : 1 в четырёх партиях;

В обоих случаях играется $n=4$ партии. Нам нужно сравнить вероятности двух исходов.

1. Вероятность счёта 2:2 (игрок А выигрывает $k=2$ партии из 4):

$P_4(2) = C_4^2 \cdot (0.5)^4 = \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot \frac{1}{16} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{16} = 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{16}$

2. Вероятность счёта 3:1 (игрок А выигрывает $k=3$ партии из 4):

$P_4(3) = C_4^3 \cdot (0.5)^4 = \frac{4!}{3!(4-3)!} \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{16} = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16}$

Сравнивая вероятности, видим, что $\frac{6}{16} > \frac{4}{16}$. Следовательно, счёт 2:2 более вероятен.

Ответ: результат 2 : 2 более вероятный.

б) 2 : 2 в четырёх партиях или 3 : 3 в шести партиях;

1. Вероятность счёта 2:2 в 4 партиях мы уже вычислили в пункте а):

$P_4(2) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

2. Вероятность счёта 3:3 в 6 партиях ($n=6$, $k=3$):

$P_6(3) = C_6^3 \cdot (0.5)^6 = \frac{6!}{3!(6-3)!} \cdot \frac{1}{64} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{64} = 20 \cdot \frac{1}{64} = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$

Сравним вероятности: $\frac{3}{8}$ и $\frac{5}{16}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{3}{8} = \frac{6}{16}$.

Так как $\frac{6}{16} > \frac{5}{16}$, счёт 2:2 в четырёх партиях более вероятен.

Ответ: результат 2 : 2 в четырёх партиях более вероятный.

в) 3 : 1 в четырёх партиях или 4 : 2 в шести партиях;

1. Вероятность счёта 3:1 в 4 партиях мы уже вычислили в пункте а):

$P_4(3) = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

2. Вероятность счёта 4:2 в 6 партиях ($n=6$, $k=4$):

$P_6(4) = C_6^4 \cdot (0.5)^6 = \frac{6!}{4!(6-4)!} \cdot \frac{1}{64} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{64} = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$

Сравним вероятности: $\frac{1}{4}$ и $\frac{15}{64}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{1}{4} = \frac{16}{64}$.

Так как $\frac{16}{64} > \frac{15}{64}$, счёт 3:1 в четырёх партиях более вероятен.

Ответ: результат 3 : 1 в четырёх партиях более вероятный.

г) 2 : 3 в пяти партиях или 3 : 3 в шести партиях?

1. Вероятность счёта 2:3 в 5 партиях (игрок А выигрывает $k=2$ партии из $n=5$):

$P_5(2) = C_5^2 \cdot (0.5)^5 = \frac{5!}{2!(5-2)!} \cdot \frac{1}{32} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot \frac{1}{32} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$

2. Вероятность счёта 3:3 в 6 партиях мы уже вычислили в пункте б):

$P_6(3) = \frac{20}{64} = \frac{5}{16}$

Сравнивая вероятности, видим, что $\frac{5}{16} = \frac{5}{16}$. Вероятности этих двух результатов равны.

Ответ: эти результаты равновероятны.

23.8. Хоккейные команды А и Б играют в финальной стадии «play-off». Шансы на победу команды А в отдельной встрече оцениваются в 40%. Какова вероятность того, что после четырёх встреч результат А : Б будет:

а) 0 : 4;

б) 2 : 2;

в) 3 : 1;

г) в пользу команды А?

Обозначим вероятность победы команды А в одной встрече как $p$, а вероятность победы команды Б как $q$. По условию задачи, шансы на победу команды А оцениваются в 40%, следовательно, $p = 0.4$. Поскольку в хоккейном матче в стадии «play-off» ничьих не бывает, то вероятность победы команды Б составляет $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$.

Серия состоит из $n=4$ встреч. Так как исходы отдельных встреч являются независимыми событиями, для расчета вероятностей мы можем использовать формулу Бернулли. Эта формула определяет вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях событие с вероятностью $p$ произойдет ровно $k$ раз: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – это биномиальный коэффициент, или число сочетаний из $n$ по $k$.

а) 0 : 4

Результат 0:4 в пользу команды Б означает, что команда А не выиграла ни одной встречи ($k=0$), а команда Б выиграла все четыре. Подставим значения в формулу Бернулли: $n=4$, $k=0$, $p=0.4$, $q=0.6$. $P_4(0) = C_4^0 \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^{4-0} = \frac{4!}{0!(4-0)!} \cdot 1 \cdot (0.6)^4$ $P_4(0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.1296 = 0.1296$.

Ответ: $0.1296$

б) 2 : 2

Результат 2:2 означает, что была зафиксирована ничья по итогам серии, то есть команда А выиграла ровно две встречи ($k=2$) из четырех. Вычисляем вероятность для $n=4$, $k=2$: $P_4(2) = C_4^2 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^{4-2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^2$ $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$. $P_4(2) = 6 \cdot 0.16 \cdot 0.36 = 0.3456$.

Ответ: $0.3456$

в) 3 : 1

Результат 3:1 в пользу команды А означает, что команда А выиграла ровно три встречи ($k=3$) из четырех. Вычисляем вероятность для $n=4$, $k=3$: $P_4(3) = C_4^3 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{4-3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^1$ $C_4^3 = \frac{4}{1} = 4$. $P_4(3) = 4 \cdot 0.064 \cdot 0.6 = 0.1536$.

Ответ: $0.1536$

г) в пользу команды А

Результат "в пользу команды А" означает, что команда А выиграла больше встреч, чем команда Б. В серии из четырех игр это возможно при счете 3:1 или 4:0. Вероятность такого исхода равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий, так как они не могут произойти одновременно. Вероятность счета 3:1 мы уже вычислили в пункте в): $P_4(3) = 0.1536$. Теперь вычислим вероятность счета 4:0 (команда А выигрывает все 4 встречи, $k=4$): $P_4(4) = C_4^4 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^{4-4} = \frac{4!}{4!(4-4)!} \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^0 = 1 \cdot 0.0256 \cdot 1 = 0.0256$. Суммарная вероятность победы команды А в серии: $P(\text{в пользу А}) = P_4(3) + P_4(4) = 0.1536 + 0.0256 = 0.1792$.

Ответ: $0.1792$

23.9. Вероятность успеха в одном испытании равна 0,2. Расположите следующие события в порядке возрастания вероятностей их наступления, предварительно вычислив эти вероятности:

$A_1$ — при двух повторениях испытания успех наступает ровно в одном случае;

$A_2$ — при трёх повторениях испытания успех наступает ровно в одном случае;

$A_3$ — при трёх повторениях испытания успех наступает ровно в двух случаях;

$A_4$ — при трёх повторениях испытания успех не наступает ни разу.

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая позволяет вычислить вероятность того, что в $n$ независимых испытаниях событие с постоянной вероятностью успеха $p$ наступит ровно $k$ раз:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, а $q$ — вероятность неудачи.

По условию, вероятность успеха $p = 0,2$.

Тогда вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$.

Вычислим вероятности для каждого из указанных событий.

A₁ — при двух повторениях испытания успех наступает ровно в одном случае

В этом случае число испытаний $n = 2$, а число успехов $k = 1$.

Вероятность события $A_1$ равна:

$P(A_1) = C_2^1 \cdot (0,2)^1 \cdot (0,8)^{2-1} = \frac{2!}{1!(2-1)!} \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 2 \cdot 0,2 \cdot 0,8 = 0,32$

Ответ: $0,32$.

A₂ — при трёх повторениях испытания успех наступает ровно в одном случае

Здесь число испытаний $n = 3$, а число успехов $k = 1$.

Вероятность события $A_2$ равна:

$P(A_2) = C_3^1 \cdot (0,2)^1 \cdot (0,8)^{3-1} = \frac{3!}{1!(3-1)!} \cdot 0,2 \cdot (0,8)^2 = 3 \cdot 0,2 \cdot 0,64 = 0,384$

Ответ: $0,384$.

A₃ — при трёх повторениях испытания успех наступает ровно в двух случаях

Здесь число испытаний $n = 3$, а число успехов $k = 2$.

Вероятность события $A_3$ равна:

$P(A_3) = C_3^2 \cdot (0,2)^2 \cdot (0,8)^{3-2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} \cdot (0,2)^2 \cdot 0,8 = 3 \cdot 0,04 \cdot 0,8 = 0,096$

Ответ: $0,096$.

A₄ — при трёх повторениях испытания успех не наступает ни разу

Это означает, что число успехов $k = 0$ при $n = 3$ испытаниях.

Вероятность события $A_4$ равна:

$P(A_4) = C_3^0 \cdot (0,2)^0 \cdot (0,8)^{3-0} = \frac{3!}{0!(3-0)!} \cdot 1 \cdot (0,8)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0,512 = 0,512$

Ответ: $0,512$.

Теперь расположим полученные вероятности в порядке возрастания:

$P(A_3) = 0,096$

$P(A_1) = 0,32$

$P(A_2) = 0,384$

$P(A_4) = 0,512$

Следовательно, события в порядке возрастания вероятностей их наступления располагаются следующим образом: $A_3, A_1, A_2, A_4$.

Ответ: $A_3, A_1, A_2, A_4$.