Страница 154, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

23.10. Стрелок не очень меток: вероятность поражения мишени при одном выстреле оценивается в 40%. Оцените (в процентах) вероятности наступления следующих событий при пяти выстрелах этого стрелка:

а) в мишень попадут ровно три пули;

б) в мишень не попадёт ровно одна пуля;

в) мишень останется нетронутой;

г) мишень будет поражена хотя бы раз.

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу Бернулли, которая позволяет найти вероятность наступления события ровно $k$ раз в серии из $n$ независимых испытаний. Вероятность наступления события A в каждом испытании постоянна и равна $p$.

Формула Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где:
$n$ — общее число испытаний (выстрелов);
$k$ — число успешных исходов (попаданий);
$p$ — вероятность успеха в одном испытании (вероятность попадания);
$q$ — вероятность неудачи в одном испытании (вероятность промаха), $q = 1 - p$;
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний (количество способов выбрать $k$ успехов из $n$ испытаний).

В нашем случае:
Число выстрелов $n = 5$.
Вероятность попадания $p = 40\% = 0.4$.
Вероятность промаха $q = 1 - 0.4 = 0.6$.

а) в мишень попадут ровно три пули;
Здесь число попаданий $k = 3$.
Нам нужно найти $P_5(3)$.
Число сочетаний $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$.
Вероятность: $P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5-3} = 10 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^2 = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 0.2304$.
В процентах: $0.2304 \cdot 100\% = 23.04\%$.
Ответ: 23,04 %.

б) в мишень не попадет ровно одна пуля;
Это означает, что остальные $5 - 1 = 4$ пули попали в мишень.
Здесь число попаданий $k = 4$.
Нам нужно найти $P_5(4)$.
Число сочетаний $C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = 5$.
Вероятность: $P_5(4) = C_5^4 \cdot p^4 \cdot q^{5-4} = 5 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^1 = 5 \cdot 0.0256 \cdot 0.6 = 0.0768$.
В процентах: $0.0768 \cdot 100\% = 7.68\%$.
Ответ: 7,68 %.

в) мишень останется нетронутой;
Это означает, что было 0 попаданий.
Здесь число попаданий $k = 0$.
Нам нужно найти $P_5(0)$.
Число сочетаний $C_5^0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = 1$.
Вероятность: $P_5(0) = C_5^0 \cdot p^0 \cdot q^{5-0} = 1 \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.07776 = 0.07776$.
В процентах: $0.07776 \cdot 100\% = 7.776\%$.
Ответ: 7,776 %.

г) мишень будет поражена хотя бы раз.
Событие "мишень поражена хотя бы раз" является противоположным событию "мишень останется нетронутой" (т.е. 0 попаданий).
Вероятность этого события можно найти, вычтя из 1 вероятность противоположного события, которую мы уже нашли в пункте (в).
$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{ноль попаданий}) = 1 - P_5(0)$.
$P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - 0.07776 = 0.92224$.
В процентах: $0.92224 \cdot 100\% = 92.224\%$.
Ответ: 92,224 %.

◦23.11. a) Используя результаты задачи 23.10, составьте таблицу из двух строк: в первой строке запишите варианты количества возможных попаданий стрелка в мишень, во второй — их вероятности. Вычислите и запишите недостающие значения вероятностей.

б) Изобразите многоугольник распределения, откладывая по оси абсцисс число попаданий $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ в мишень, а по оси ординат — вероятности $P_5(k)$.

Для решения задачи необходимо использовать данные из предыдущей задачи (23.10), которые, как правило, в данном контексте следующие: проводится серия из $n=5$ независимых испытаний (выстрелов). Вероятность успеха (попадания) в каждом испытании постоянна и равна $p=0.8$.

Вероятность промаха в каждом испытании равна $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях будет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ - число сочетаний.

Составим таблицу распределения для числа попаданий $k$, где $k$ может принимать значения от 0 до 5. Для этого вычислим вероятности $P_5(k)$ для каждого возможного значения $k$.

• k = 0 (нет попаданий):
  $P_5(0) = C_5^0 \cdot (0.8)^0 \cdot (0.2)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00032 = 0.00032$
• k = 1 (одно попадание):
  $P_5(1) = C_5^1 \cdot (0.8)^1 \cdot (0.2)^4 = 5 \cdot 0.8 \cdot 0.0016 = 0.0064$
• k = 2 (два попадания):
  $P_5(2) = C_5^2 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^3 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 0.64 \cdot 0.008 = 10 \cdot 0.64 \cdot 0.008 = 0.0512$
• k = 3 (три попадания):
  $P_5(3) = C_5^3 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^2 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 0.512 \cdot 0.04 = 10 \cdot 0.512 \cdot 0.04 = 0.2048$
• k = 4 (четыре попадания):
  $P_5(4) = C_5^4 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096$
• k = 5 (пять попаданий):
  $P_5(5) = C_5^5 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768$

Проверка: сумма всех вероятностей должна быть равна 1.
$0.00032 + 0.0064 + 0.0512 + 0.2048 + 0.4096 + 0.32768 = 1$. Вычисления верны.

Теперь составим требуемую таблицу.

Ответ:

Многоугольник распределения — это ломаная линия, соединяющая точки с координатами $(k, P_5(k))$. В нашем случае это точки:
(0; 0.00032), (1; 0.0064), (2; 0.0512), (3; 0.2048), (4; 0.4096), (5; 0.32768).

Изобразим эти точки на координатной плоскости и соединим их отрезками.

Ответ: Многоугольник распределения вероятностей изображен на графике выше.

○23.12. При восьми бросаниях монеты орёл может выпасть $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ раз.

а) Найдите соответствующие вероятности $P_8(k)$ (в процентах).

б) Составьте таблицу распределения вероятностей.

в) Составьте многоугольник распределения вероятностей.

г) Найдите наивероятнейшее число выпадений орла.

Данная задача описывается схемой испытаний Бернулли. У нас есть $n=8$ независимых испытаний (бросание монеты). В каждом испытании есть два исхода: "орёл" (успех) и "решка" (неудача). Вероятность успеха (выпадения орла) в одном испытании $p = 0.5$. Вероятность неудачи (выпадения решки) $q = 1 - p = 0.5$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях успех наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

В нашем случае $n=8$, $p=0.5$, $q=0.5$. Формула упрощается:

$P_8(k) = C_8^k (0.5)^k (0.5)^{8-k} = C_8^k (0.5)^8 = \frac{C_8^k}{2^8} = \frac{C_8^k}{256}$

а) Найдите соответствующие вероятности P₈(k) (в процентах).

Вычислим значения $C_8^k$ и $P_8(k)$ для всех возможных $k$ от 0 до 8.

• $k=0$: $C_8^0 = 1$. $P_8(0) = \frac{1}{256} \approx 0.00390625$. В процентах: $0.390625\%$.
• $k=1$: $C_8^1 = 8$. $P_8(1) = \frac{8}{256} = \frac{1}{32} = 0.03125$. В процентах: $3.125\%$.
• $k=2$: $C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$. $P_8(2) = \frac{28}{256} = \frac{7}{64} = 0.109375$. В процентах: $10.9375\%$.
• $k=3$: $C_8^3 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$. $P_8(3) = \frac{56}{256} = \frac{7}{32} = 0.21875$. В процентах: $21.875\%$.
• $k=4$: $C_8^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$. $P_8(4) = \frac{70}{256} = \frac{35}{128} \approx 0.2734375$. В процентах: $27.34375\%$.

Поскольку $C_n^k = C_n^{n-k}$, вероятности для $k > 4$ будут симметричны:

• $k=5$: $C_8^5 = C_8^3 = 56$. $P_8(5) = \frac{56}{256} = 21.875\%$.
• $k=6$: $C_8^6 = C_8^2 = 28$. $P_8(6) = \frac{28}{256} = 10.9375\%$.
• $k=7$: $C_8^7 = C_8^1 = 8$. $P_8(7) = \frac{8}{256} = 3.125\%$.
• $k=8$: $C_8^8 = C_8^0 = 1$. $P_8(8) = \frac{1}{256} = 0.390625\%$.

Сумма всех вероятностей: $\frac{1+8+28+56+70+56+28+8+1}{256} = \frac{256}{256} = 1$, что соответствует $100\%$.

Ответ: Вероятности выпадения орла $k$ раз (в процентах):

$P_8(0) = 0.390625\%$;
$P_8(1) = 3.125\%$;
$P_8(2) = 10.9375\%$;
$P_8(3) = 21.875\%$;
$P_8(4) = 27.34375\%$;
$P_8(5) = 21.875\%$;
$P_8(6) = 10.9375\%$;
$P_8(7) = 3.125\%$;
$P_8(8) = 0.390625\%$.

б) Составьте таблицу распределения вероятностей.

Таблица распределения для случайной величины $k$ (число выпадений орла) и соответствующих вероятностей $P_8(k)$:

Ответ: Таблица распределения вероятностей представлена выше.

в) Составьте многоугольник распределения вероятностей.

Многоугольник распределения строится в системе координат, где по оси абсцисс откладываются значения случайной величины $k$, а по оси ординат — соответствующие вероятности $P_8(k)$. Точки $(k, P_8(k))$ соединяются отрезками.

Ответ: Многоугольник распределения вероятностей представлен на графике выше.

г) Найдите наивероятнейшее число выпадений орла.

Наивероятнейшее число событий в серии испытаний Бернулли — это значение $k$, при котором вероятность $P_n(k)$ достигает своего максимума. Такое значение называется модой распределения.

Из таблицы распределения (пункт б) или из расчетов (пункт а) видно, что максимальная вероятность соответствует $k=4$:

$P_8(4) = 27.34375\%$

Это значение больше всех остальных вероятностей. Также для биномиального распределения наивероятнейшее число успехов $k_0$ удовлетворяет неравенству $np - q \le k_0 \le np + p$. В нашем случае $n=8, p=0.5, q=0.5$, поэтому $8 \cdot 0.5 - 0.5 \le k_0 \le 8 \cdot 0.5 + 0.5$, что дает $3.5 \le k_0 \le 4.5$. Единственное целое число в этом интервале — это 4.

Ответ: Наивероятнейшее число выпадений орла равно 4.

23.13. Вершины квадрата лежат на сторонах правильного треугольника. В треугольнике независимым образом поочерёдно выбирают четыре точки. Найдите вероятность того, что:

а) все точки окажутся в квадрате;

б) в квадрате и вне квадрата точек окажется поровну;

в) ни одна из точек не окажется в квадрате;

г) хотя бы одна точка окажется в квадрате.

Для решения задачи сначала определим вероятность попадания одной случайно выбранной точки в квадрат. Эта вероятность, по определению геометрической вероятности, равна отношению площади квадрата к площади треугольника.

Пусть $a$ — сторона правильного треугольника. Его площадь $S_T$ равна:

$S_T = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Теперь найдем площадь вписанного квадрата. Пусть сторона квадрата равна $x$. Одна сторона квадрата лежит на стороне треугольника. Высота треугольника, опущенная на эту сторону, равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Вершины квадрата, не лежащие на этой стороне, делят две другие стороны треугольника. Маленький треугольник, отсекаемый верхней стороной квадрата, подобен исходному большому треугольнику.

Высота маленького треугольника равна $h - x$, а его основание равно стороне квадрата $x$. Из подобия треугольников имеем соотношение:

$\frac{x}{a} = \frac{h-x}{h}$

$xh = a(h-x) \Rightarrow xh = ah - ax \Rightarrow x(h+a) = ah \Rightarrow x = \frac{ah}{h+a}$

Подставим значение высоты $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$:

$x = \frac{a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2} + a} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{a(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1)} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}+2}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

Площадь квадрата $S_S$ равна $x^2$:

$S_S = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3a^2}{(2+\sqrt{3})^2}$

Теперь найдем вероятность $p$ того, что одна точка попадет в квадрат:

$p = \frac{S_S}{S_T} = \frac{\frac{3a^2}{(2+\sqrt{3})^2}}{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{12}{\sqrt{3}(2+\sqrt{3})^2} = \frac{12}{\sqrt{3}(4+4\sqrt{3}+3)} = \frac{12}{\sqrt{3}(7+4\sqrt{3})} = \frac{12}{7\sqrt{3}+12}$

Упростим это выражение, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(7\sqrt{3}-12)$:

$p = \frac{12(7\sqrt{3}-12)}{(7\sqrt{3}+12)(7\sqrt{3}-12)} = \frac{12(7\sqrt{3}-12)}{(7\sqrt{3})^2 - 12^2} = \frac{12(7\sqrt{3}-12)}{49 \cdot 3 - 144} = \frac{12(7\sqrt{3}-12)}{147-144} = \frac{12(7\sqrt{3}-12)}{3} = 4(7\sqrt{3}-12) = 28\sqrt{3}-48$

Вероятность $q$ того, что точка не попадет в квадрат, равна $1-p$:

$q = 1 - (28\sqrt{3}-48) = 49-28\sqrt{3}$

Выбор четырех точек является серией из $n=4$ независимых испытаний Бернулли. Вероятность того, что ровно $k$ точек попадут в квадрат, вычисляется по формуле:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Для удобства вычислений представим $p$ и $q$ в виде дробей с одинаковым знаменателем. Заметим, что $(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3}) = 49-48=1$.

$p = 28\sqrt{3}-48 = \frac{4\sqrt{3}(7\sqrt{3}-12)}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}}$ - это неверно. Проверим: $p = 28\sqrt{3}-48 = (28\sqrt{3}-48)\frac{7+4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}} = \frac{196\sqrt{3}+336-336-192\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}$ - это верно.

$p = \frac{4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}$

$q = 1-p = 1 - \frac{4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}} = \frac{7+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}} = \frac{7}{7+4\sqrt{3}}$

Теперь решим подпункты задачи.

а) все точки окажутся в квадрате;

Это соответствует случаю $k=4$. Вероятность этого события $P(A)$ равна:

$P(A) = P_4(4) = C_4^4 p^4 q^0 = p^4$

$p^4 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}\right)^4 = \frac{(4\sqrt{3})^4}{(7+4\sqrt{3})^4} = \frac{4^4 (\sqrt{3})^4}{(7+4\sqrt{3})^4} = \frac{256 \cdot 9}{(7+4\sqrt{3})^4} = \frac{2304}{(7+4\sqrt{3})^4}$

Вычислим знаменатель:

$(7+4\sqrt{3})^2 = 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot 4\sqrt{3} + (4\sqrt{3})^2 = 49 + 56\sqrt{3} + 48 = 97+56\sqrt{3}$

$(7+4\sqrt{3})^4 = (97+56\sqrt{3})^2 = 97^2 + 2 \cdot 97 \cdot 56\sqrt{3} + (56\sqrt{3})^2 = 9409 + 10864\sqrt{3} + 9408 = 18817+10864\sqrt{3}$

$P(A) = \frac{2304}{18817+10864\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{2304}{18817+10864\sqrt{3}}$

б) в квадрате и вне квадрата точек окажется поровну;

Это означает, что 2 точки окажутся в квадрате ($k=2$) и 2 вне его. Вероятность этого события $P(B)$ равна:

$P(B) = P_4(2) = C_4^2 p^2 q^2 = \frac{4!}{2!2!} p^2 q^2 = 6 p^2 q^2$

$p^2 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{16 \cdot 3}{(7+4\sqrt{3})^2} = \frac{48}{97+56\sqrt{3}}$

$q^2 = \left(\frac{7}{7+4\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{49}{(7+4\sqrt{3})^2} = \frac{49}{97+56\sqrt{3}}$

$P(B) = 6 \cdot \frac{48}{97+56\sqrt{3}} \cdot \frac{49}{97+56\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 48 \cdot 49}{(97+56\sqrt{3})^2} = \frac{14112}{18817+10864\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{14112}{18817+10864\sqrt{3}}$

в) ни одна из точек не окажется в квадрате;

Это соответствует случаю $k=0$. Вероятность этого события $P(C)$ равна:

$P(C) = P_4(0) = C_4^0 p^0 q^4 = q^4$

$q^4 = \left(\frac{7}{7+4\sqrt{3}}\right)^4 = \frac{7^4}{(7+4\sqrt{3})^4} = \frac{2401}{18817+10864\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{2401}{18817+10864\sqrt{3}}$

г) хотя бы одна точка окажется в квадрате.

Это событие, противоположное событию "ни одна из точек не окажется в квадрате". Его вероятность $P(D)$ равна $1 - P(C)$:

$P(D) = 1 - q^4 = 1 - \frac{2401}{18817+10864\sqrt{3}} = \frac{18817+10864\sqrt{3}-2401}{18817+10864\sqrt{3}} = \frac{16416+10864\sqrt{3}}{18817+10864\sqrt{3}}$

Ответ: $\frac{16416+10864\sqrt{3}}{18817+10864\sqrt{3}}$

23.14. Плоскость, проходящая через концы трёх рёбер куба, выходящих из одной вершины, отсекает от куба треугольную пирамиду. В кубе независимым образом поочерёдно выбирают три точки. Найдите вероятность того, что:

а) все точки окажутся вне пирамиды;

б) в пирамиде окажется ровно одна точка;

в) ровно одна точка окажется вне пирамиды;

г) хотя бы одна точка окажется вне пирамиды.

Данная задача относится к геометрической вероятности. Сначала найдем соотношение объемов отсеченной пирамиды и всего куба.

Пусть ребро куба равно $a$. Тогда объем куба $V_{куб} = a^3$. Плоскость, проходящая через концы трех ребер, выходящих из одной вершины, отсекает от куба правильную треугольную пирамиду (тетраэдр). Три ребра этой пирамиды, выходящие из общей вершины, являются ребрами куба, они взаимно перпендикулярны и имеют длину $a$.

Объем такой пирамиды вычисляется по формуле $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} h$. Если в качестве основания взять один из трех прямоугольных треугольников, образованных ребрами, например, тот, что лежит в плоскости $xy$ с катетами $a$ и $a$, то его площадь $S_{осн} = \frac{1}{2}a^2$. Высота пирамиды к этому основанию будет равна $a$. Тогда объем пирамиды: $V_{пир} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2\right) \cdot a = \frac{1}{6}a^3$.

Объем оставшейся части куба, которая находится "вне пирамиды", равен: $V_{вне} = V_{куб} - V_{пир} = a^3 - \frac{1}{6}a^3 = \frac{5}{6}a^3$.

Вероятность того, что одна случайно выбранная в кубе точка окажется внутри пирамиды, равна отношению объемов: $p = \frac{V_{пир}}{V_{куб}} = \frac{\frac{1}{6}a^3}{a^3} = \frac{1}{6}$.

Вероятность того, что одна случайно выбранная точка окажется вне пирамиды, равна: $q = \frac{V_{вне}}{V_{куб}} = \frac{\frac{5}{6}a^3}{a^3} = \frac{5}{6}$. Заметим, что $p + q = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1$.

Поскольку три точки выбираются независимо, мы можем использовать формулу Бернулли для решения поставленных задач.

а) все точки окажутся вне пирамиды;

Это означает, что каждая из трех точек попала в область вне пирамиды. Вероятность этого для одной точки равна $q = \frac{5}{6}$. Так как события независимы, вероятности перемножаются.

$P_а = q \cdot q \cdot q = q^3 = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$.

Ответ: $\frac{125}{216}$

б) в пирамиде окажется ровно одна точка;

Это означает, что одна точка находится внутри пирамиды (с вероятностью $p=\frac{1}{6}$), а две другие — вне ее (с вероятностью $q=\frac{5}{6}$ каждая). Существует три варианта, какая именно из трех точек окажется внутри: первая, вторая или третья. По формуле Бернулли для $n=3$ испытаний и $k=1$ "успеха" (попадания в пирамиду):

$P_б = \binom{3}{1} p^1 q^{3-1} = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} = \frac{75}{216} = \frac{25}{72}$.

Ответ: $\frac{25}{72}$

в) ровно одна точка окажется вне пирамиды;

Это означает, что одна точка находится вне пирамиды (с вероятностью $q=\frac{5}{6}$), а две другие — внутри нее (с вероятностью $p=\frac{1}{6}$ каждая). Это также задача на применение формулы Бернулли, где "успех" — это попадание точки вне пирамиды.

$P_в = \binom{3}{1} q^1 p^{3-1} = 3 \cdot \frac{5}{6} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 = 3 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{36} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$.

Ответ: $\frac{5}{72}$

г) хотя бы одна точка окажется вне пирамиды.

Событие "хотя бы одна точка окажется вне пирамиды" является противоположным событию "все три точки окажутся внутри пирамиды". Проще найти вероятность противоположного события и вычесть ее из 1.

Вероятность того, что все три точки окажутся внутри пирамиды: $P(\text{все внутри}) = p \cdot p \cdot p = p^3 = \left(\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{1}{216}$.

Тогда искомая вероятность: $P_г = 1 - P(\text{все внутри}) = 1 - \frac{1}{216} = \frac{215}{216}$.

Ответ: $\frac{215}{216}$