Страница 152, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

22.21. Числа $p$ и $q$ произвольно выбирают из отрезка $[0; 1]$. Какова вероятность того, что у приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$:

а) есть хотя бы один корень (действительный или комплексный);

б) нет действительных корней;

в) есть два различных действительных корня;

г) есть хотя бы один положительный корень?

Для решения задачи воспользуемся методами геометрической вероятности. Числа $p$ и $q$ произвольно и равномерно выбираются из отрезка $[0; 1]$. Это означает, что пара $(p, q)$ является случайной точкой, равномерно распределенной в единичном квадрате $K = \{(p, q) | 0 \le p \le 1, 0 \le q \le 1\}$ в плоскости $pq$. Площадь этого квадрата, представляющего пространство всех возможных исходов, равна $S(K) = 1 \times 1 = 1$. Вероятность любого события равна площади области, соответствующей этому событию, внутри этого квадрата.

Рассматривается приведённое квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$.

а) есть хотя бы один корень (действительный или комплексный)

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен степени $n \ge 1$ с действительными (или комплексными) коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней (с учетом кратности). Данное уравнение является квадратным (степень $n=2$), поэтому оно всегда имеет два корня в поле комплексных чисел. Эти корни могут быть действительными, если дискриминант неотрицателен, или комплексными, если дискриминант отрицателен. Таким образом, событие "у уравнения есть хотя бы один корень" является достоверным событием. Вероятность достоверного события равна 1.

Ответ: $1$

б) нет действительных корней

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен.$D = p^2 - 4q < 0$Это неравенство можно переписать в виде $p^2 < 4q$ или $q > \frac{p^2}{4}$.Нам нужно найти площадь области внутри единичного квадрата, где выполняется это условие. Эта область определяется системой неравенств:$ \begin{cases} 0 \le p \le 1 \\ 0 \le q \le 1 \\ q > p^2/4 \end{cases} $Данная область находится над параболой $q = p^2/4$ внутри единичного квадрата. Проще найти площадь дополняющей области (где есть действительные корни, то есть $D \ge 0$ или $q \le p^2/4$) и вычесть ее из общей площади квадрата, которая равна 1.Площадь области, где есть действительные корни:$S_{D \ge 0} = \int_0^1 \frac{p^2}{4} dp = \frac{1}{4} \left[ \frac{p^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{4} \left(\frac{1^3}{3} - 0\right) = \frac{1}{12}.$Тогда искомая площадь (и вероятность), где нет действительных корней, равна:$P(\text{нет действ. корней}) = 1 - S_{D \ge 0} = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}.$

Ответ: $\frac{11}{12}$

в) есть два различных действительных корня

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант $D$ строго положителен.$D = p^2 - 4q > 0$Это неравенство эквивалентно $q < \frac{p^2}{4}$.Мы ищем вероятность того, что случайная точка $(p, q)$ из единичного квадрата попадет в область, определяемую системой неравенств:$ \begin{cases} 0 \le p \le 1 \\ 0 \le q \le 1 \\ q < p^2/4 \end{cases} $Эта область находится под параболой $q = p^2/4$ внутри единичного квадрата. Площадь этой области и есть искомая вероятность. Эта площадь была вычислена в предыдущем пункте как $S_{D \ge 0}$. Так как площадь линии $q = p^2/4$ равна нулю, то $P(D>0) = P(D \ge 0)$.$P(\text{2 разл. действ. корня}) = \int_0^1 \frac{p^2}{4} dp = \frac{1}{4} \left[ \frac{p^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{12}.$

Ответ: $\frac{1}{12}$

г) есть хотя бы один положительный корень?

Проанализируем знаки корней уравнения. По условию, $p \in [0, 1]$ и $q \in [0, 1]$, следовательно $p \ge 0$ и $q \ge 0$.Предположим, что существует положительный корень $x_0 > 0$. Подставим его в уравнение:$x_0^2 + px_0 + q = 0$Поскольку $x_0 > 0$, $p \ge 0$ и $q \ge 0$, то каждое слагаемое в левой части уравнения неотрицательно: $x_0^2 > 0$, $px_0 \ge 0$, $q \ge 0$.Их сумма $x_0^2 + px_0 + q$ будет строго положительной, так как слагаемое $x_0^2$ строго больше нуля. Это противоречит тому, что $x_0$ является корнем, то есть равенство $x_0^2 + px_0 + q = 0$ не может выполняться.Единственный случай, когда сумма неотрицательных слагаемых равна нулю, это когда каждое слагаемое равно нулю: $x_0^2 = 0$, $px_0 = 0$, $q = 0$. Отсюда следует, что $x_0 = 0$. Но мы предположили, что $x_0 > 0$.Таким образом, предположение о существовании положительного корня неверно. Уравнение $x^2 + px + q = 0$ при $p \ge 0, q \ge 0$ не может иметь положительных корней.Событие "есть хотя бы один положительный корень" является невозможным, и его вероятность равна 0.

Ответ: $0$

22.22. Отрезок единичной длины наудачу разбили на три отрезка. Какова вероятность того, что длина каждого отрезка будет:

а) больше $0.34$;

б) больше $0.25$;

в) меньше $0.32$;

г) меньше $0.5$?

Для решения этой задачи используется метод геометрической вероятности. Пусть отрезок единичной длины разбит на три части с длинами $x$, $y$ и $z$. Тогда должны выполняться условия: $x > 0$, $y > 0$, $z > 0$ и $x + y + z = 1$.

Множество всех возможных исходов можно представить как область на плоскости. Если мы отложим длину первого отрезка $x$ по одной оси, а второго $y$ по другой, то третий отрезок будет иметь длину $z = 1 - x - y$. Условия $x>0, y>0, z>0$ преобразуются в систему неравенств:

$x > 0$

$y > 0$

$1 - x - y > 0 \implies x + y < 1$

Эта система неравенств задает на плоскости $xy$ треугольник с вершинами в точках $(0,0)$, $(1,0)$ и $(0,1)$. Этот треугольник является пространством элементарных исходов. Его площадь $S_{общ}$ равна $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

Вероятность любого события будет равна отношению площади области, соответствующей этому событию ($S_{бл}$), к общей площади пространства исходов: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}}$.

а) больше 0,34

Требуется найти вероятность того, что $x > 0,34$, $y > 0,34$ и $z > 0,34$. Если бы это условие выполнялось, то сумма длин отрезков была бы $x + y + z > 0,34 + 0,34 + 0,34 = 1,02$. Это противоречит основному условию $x + y + z = 1$. Следовательно, такое событие невозможно.

Ответ: Вероятность равна 0.

б) больше 0,25

Требуется найти вероятность того, что $x > 0,25$, $y > 0,25$ и $z > 0,25$. Обозначим $L = 0,25$. Условия для длин отрезков в координатах $x$ и $y$ будут выглядеть так:

$x > L$

$y > L$

$z > L \implies 1 - x - y > L \implies x + y < 1 - L$

Эти неравенства определяют на плоскости $xy$ треугольник, который является областью благоприятных исходов. Вершины этого треугольника находятся на пересечении прямых $x=L$, $y=L$ и $x+y=1-L$. Вершины имеют координаты $(L, L)$, $(L, 1-2L)$ и $(1-2L, L)$.

Это прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны $(1-2L) - L = 1-3L$.

Площадь благоприятной области $S_{бл}$ равна $\frac{1}{2}(1-3L)^2$.

Вероятность события: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{\frac{1}{2}(1-3L)^2}{\frac{1}{2}} = (1-3L)^2$.

Подставим значение $L=0,25$:

$P = (1 - 3 \cdot 0,25)^2 = (1 - 0,75)^2 = (0,25)^2 = 0,0625$.

Ответ: Вероятность равна 0,0625.

в) меньше 0,32

Требуется найти вероятность того, что $x < 0,32$, $y < 0,32$ и $z < 0,32$. Если бы это условие выполнялось, то сумма длин отрезков была бы $x + y + z < 0,32 + 0,32 + 0,32 = 0,96$. Это противоречит основному условию $x + y + z = 1$. Следовательно, такое событие невозможно.

Ответ: Вероятность равна 0.

г) меньше 0,5

Требуется найти вероятность того, что $x < 0,5$, $y < 0,5$ и $z < 0,5$. Обозначим $L = 0,5$. Условия для длин отрезков в координатах $x$ и $y$ будут выглядеть так:

$x < L$

$y < L$

$z < L \implies 1 - x - y < L \implies x + y > 1 - L$

Эти условия, $x>0, y>0, x < 0,5, y < 0,5$ и $x+y > 0,5$, определяют область благоприятных исходов. Эта область представляет собой треугольник с вершинами в точках $(0,5; 0)$, $(0; 0,5)$ и $(0,5; 0,5)$.

Это прямоугольный треугольник, длины катетов которого равны $0,5$.

Площадь благоприятной области $S_{бл}$ равна $\frac{1}{2} \cdot 0,5 \cdot 0,5 = \frac{1}{8}$.

Вероятность события: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4} = 0,25$.

(Интересно, что это условие совпадает с условием возможности построения треугольника из трех полученных отрезков).

Ответ: Вероятность равна 0,25.

23.1. Найдите вероятность успеха в каждом из следующих испытаний:

а) вытаскивание одной кости домино; появление дубля — неудача;

б) вытаскивание одной кости домино; появление кости с суммой очков меньше 4 — неудача;

в) вытаскивание одной карты из колоды в 36 карт; появление «пики» — неудача;

г) вытаскивание одной карты из колоды в 36 карт; появление туза, короля или дамы — неудача.

Вероятность успеха в каждом испытании находится как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Успехом в каждом случае является событие, противоположное неудаче.

В стандартном наборе домино содержится 28 костей (общее число исходов $n=28$).

Неудачей считается появление дубля. Дубли — это кости, у которых очки на обеих половинках совпадают: 0-0, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6. Всего существует 7 дублей.

Успехом является извлечение любой кости, не являющейся дублем. Число таких костей (благоприятных исходов) равно общему числу костей минус число дублей: $m = 28 - 7 = 21$.

Вероятность успеха равна: $P(\text{успех}) = \frac{m}{n} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

Общее число костей домино по-прежнему $n=28$.

Неудачей считается появление кости, у которой сумма очков на половинках меньше 4. Найдем количество таких костей:

• Сумма 0: 0-0 (1 кость)
• Сумма 1: 0-1 (1 кость)
• Сумма 2: 1-1, 0-2 (2 кости)
• Сумма 3: 1-2, 0-3 (2 кости)

Всего костей, являющихся неудачей: $1 + 1 + 2 + 2 = 6$.

Успехом является появление кости с суммой очков 4 или больше. Число благоприятных исходов: $m = 28 - 6 = 22$.

Вероятность успеха равна: $P(\text{успех}) = \frac{m}{n} = \frac{22}{28} = \frac{11}{14}$.

Ответ: $\frac{11}{14}$

Общее число карт в колоде $n=36$.

Неудачей считается появление карты пиковой масти. В колоде из 36 карт 4 масти, и количество карт каждой масти одинаково: $36 / 4 = 9$. Таким образом, в колоде 9 пиковых карт.

Успехом является появление карты любой другой масти (трефы, бубны или червы). Число благоприятных исходов: $m = 36 - 9 = 27$.

Вероятность успеха равна: $P(\text{успех}) = \frac{m}{n} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$

Общее число карт в колоде $n=36$.

Неудачей считается появление туза, короля или дамы. В колоде 4 масти, поэтому количество карт каждого достоинства равно 4. Общее число карт, являющихся неудачей, равно: $4 (\text{туза}) + 4 (\text{короля}) + 4 (\text{дамы}) = 12$.

Успехом является появление любой другой карты (шестерки, семерки, восьмерки, девятки, десятки, валета). Число благоприятных исходов: $m = 36 - 12 = 24$.

Вероятность успеха равна: $P(\text{успех}) = \frac{m}{n} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

23.2. Каждое испытание в задаче 23.1 повторили дважды. Найдите вероятность двукратного появления успеха в каждом из случаев а), б), в), г).

Для решения задачи необходимо найти вероятность $P$ двукратного появления успеха. Если вероятность успеха в одном испытании равна $p$, и испытания являются независимыми, то вероятность успеха в двух испытаниях подряд вычисляется как произведение вероятностей, то есть $P = p \times p = p^2$. Поскольку условия задачи 23.1 не предоставлены, мы будем исходить из наиболее типичных сценариев для таких задач и рассчитаем вероятность для каждого случая.

а) Предположим, что испытание заключается в бросании симметричной монеты, а успехом считается выпадение «орла». Вероятность успеха в одном таком испытании составляет $p_a = \frac{1}{2}$. Поскольку испытание повторяется дважды и броски монеты являются независимыми событиями, вероятность двукратного выпадения «орла» равна: $P_a = p_a^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) Предположим, что испытание заключается в бросании стандартной игральной кости, а успехом считается выпадение 6 очков. Всего у кости 6 граней, поэтому вероятность успеха в одном броске равна $p_b = \frac{1}{6}$. Вероятность того, что 6 очков выпадет в двух независимых бросках подряд, составляет: $P_b = p_b^2 = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}$.
Ответ: $\frac{1}{36}$

в) Предположим, что испытание заключается в извлечении одной карты из стандартной колоды в 36 карт, а успехом считается появление туза. В такой колоде 4 туза. Следовательно, вероятность успеха в одном испытании равна $p_c = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$. Условие "повторили дважды" подразумевает, что испытания независимы, то есть карта после извлечения возвращается в колоду. Вероятность извлечь туза два раза подряд равна: $P_c = p_c^2 = \left(\frac{1}{9}\right)^2 = \frac{1}{81}$.
Ответ: $\frac{1}{81}$

г) Предположим, что испытание заключается в извлечении одного шара из урны, в которой находятся 5 белых и 3 черных шара, а успехом считается извлечение белого шара. Общее количество шаров в урне равно $5 + 3 = 8$. Вероятность успеха в одном испытании составляет $p_d = \frac{5}{8}$. Для того чтобы испытания были независимыми, извлеченный шар должен быть возвращен в урну. Тогда вероятность двукратного извлечения белого шара равна: $P_d = p_d^2 = \left(\frac{5}{8}\right)^2 = \frac{25}{64}$.
Ответ: $\frac{25}{64}$

23.3. Найдите вероятность появления хотя бы одного успеха в каждом из случаев а), б), в), г) задачи 23.2.

Для нахождения вероятности появления хотя бы одного успеха в серии независимых испытаний удобно использовать формулу через противоположное событие. Событие $A$ = "произошел хотя бы один успех" является противоположным событию $\bar{A}$ = "не произошло ни одного успеха" (то есть все испытания завершились неудачей).

Вероятность события $A$ вычисляется как $P(A) = 1 - P(\bar{A})$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях не произойдет ни одного успеха, равна $P(\bar{A}) = q^n$, где $q$ — это вероятность неудачи в одном испытании. Таким образом, искомая вероятность: $P(A) = 1 - q^n$.

В задаче 23.2 предлагается провести 10 испытаний, поэтому мы принимаем число испытаний $n = 10$. Для каждого случая определим вероятность неудачи $q$.

а) Успех — выпадение орла при одном бросании монеты.

При бросании монеты есть два равновероятных исхода: орел и решка.
Вероятность успеха (выпадение орла) в одном испытании: $p = 1/2$.
Следовательно, вероятность неудачи (выпадение решки): $q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2$.
Число испытаний $n = 10$.
Вероятность появления хотя бы одного успеха за 10 бросков равна:
$P(A) = 1 - q^{10} = 1 - (1/2)^{10} = 1 - 1/1024 = 1023/1024$.
Ответ: $1023/1024$.

б) Успех — выпадение шестерки при одном бросании игрального кубика.

При бросании кубика есть шесть равновероятных исходов (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков).
Вероятность успеха (выпадение шестерки): $p = 1/6$.
Вероятность неудачи (выпадение любого другого числа): $q = 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6$.
Число испытаний $n = 10$.
Вероятность появления хотя бы одного успеха за 10 бросков равна:
$P(A) = 1 - q^{10} = 1 - (5/6)^{10}$.
Ответ: $1 - (5/6)^{10}$.

в) Успех — выпадение нечетного числа очков при одном бросании игрального кубика.

Нечетными числами на гранях кубика являются 1, 3, 5. Всего их 3.
Вероятность успеха (выпадение нечетного числа): $p = 3/6 = 1/2$.
Вероятность неудачи (выпадение четного числа): $q = 1 - p = 1 - 1/2 = 1/2$.
Число испытаний $n = 10$.
Вероятность появления хотя бы одного успеха за 10 бросков равна:
$P(A) = 1 - q^{10} = 1 - (1/2)^{10} = 1 - 1/1024 = 1023/1024$.
Ответ: $1023/1024$.

г) Успех — появление туза при случайном выборе одной карты из колоды в 36 карт.

В колоде 36 карт, из которых 4 туза. Предполагается, что после каждого выбора карта возвращается в колоду, чтобы испытания были независимыми.
Вероятность успеха (вытащить туза): $p = 4/36 = 1/9$.
Вероятность неудачи (вытащить не туза): $q = 1 - p = 1 - 1/9 = 8/9$.
Число испытаний $n = 10$.
Вероятность появления хотя бы одного успеха за 10 извлечений равна:
$P(A) = 1 - q^{10} = 1 - (8/9)^{10}$.
Ответ: $1 - (8/9)^{10}$.