Страница 146, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.72. a) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$, касательной к нему в точке $x = 1$ и осью $y$.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3$ и касательными к нему в точках $x = 0$ и $x = 1$.

a)

Сначала найдем уравнение касательной к графику функции $y = f(x) = x^3$ в точке $x_0 = 1$. Уравнение касательной в общем виде: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем значение функции в точке касания: $f(x_0) = f(1) = 1^3 = 1$. Точка касания — $(1, 1)$.

2. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3)' = 3x^2$.

3. Найдем значение производной в точке касания (это угловой коэффициент касательной): $f'(x_0) = f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной: $y = 1 + 3(x - 1)$ $y = 1 + 3x - 3$ $y = 3x - 2$. Это и есть уравнение касательной.

Теперь нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной линиями: $y = x^3$ (график функции), $y = 3x - 2$ (касательная) и $x = 0$ (ось $y$). Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми $y_{верх}(x)$ и $y_{нижн}(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле: $S = \int_a^b (y_{верх}(x) - y_{нижн}(x)) dx$.

Границы интегрирования в данном случае от $x = 0$ до точки касания $x = 1$. Таким образом, $a = 0$, $b = 1$. На интервале $(0, 1)$ функция $y=x^3$ является выпуклой ($f''(x) = 6x > 0$), поэтому ее график лежит выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала. Значит, $y_{верх}(x) = x^3$, а $y_{нижн}(x) = 3x - 2$.

Вычисляем интеграл: $S = \int_0^1 (x^3 - (3x - 2)) dx = \int_0^1 (x^3 - 3x + 2) dx$.

Находим первообразную: $\int (x^3 - 3x + 2) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $S = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_0^1 = \left( \frac{1^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1 \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0 \right) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 - 0 = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4} = \frac{1 - 6 + 8}{4} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б)

Найдем уравнения касательных к графику функции $y = x^3$ в точках $x = 0$ и $x = 1$.

1. Касательная в точке $x = 1$: Из пункта а) мы уже знаем ее уравнение: $y_1 = 3x - 2$.

2. Касательная в точке $x = 0$: $f(x) = x^3$, $x_0 = 0$. $f(0) = 0^3 = 0$. $f'(x) = 3x^2 \implies f'(0) = 3 \cdot 0^2 = 0$. Уравнение касательной: $y_0 = f(0) + f'(0)(x-0) = 0 + 0 \cdot x = 0$. Касательная в точке $x=0$ — это ось абсцисс ($y=0$).

Фигура ограничена сверху графиком функции $y = x^3$, а снизу — двумя касательными $y_0 = 0$ и $y_1 = 3x - 2$. Найдем точку пересечения касательных: $0 = 3x - 2 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.

Таким образом, нижняя граница фигуры состоит из двух отрезков прямых: - на отрезке $[0, \frac{2}{3}]$ нижняя граница — это $y=0$; - на отрезке $[\frac{2}{3}, 1]$ нижняя граница — это $y=3x-2$.

Площадь фигуры можно найти как разность площади под кривой $y=x^3$ на отрезке $[0, 1]$ и суммы площадей под касательными.

1. Площадь под кривой $y = x^3$ от $x=0$ до $x=1$: $S_{верх} = \int_0^1 x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4}$.

2. Площадь под нижней границей, образованной касательными. Эту площадь можно разбить на две части или заметить, что фигура, ограниченная линиями $y=0$, $y=3x-2$ и $x=1$, является треугольником. Его вершины: точка пересечения касательных $(\frac{2}{3}, 0)$, точка $(1, 0)$ и точка на касательной $y=3x-2$ при $x=1$, то есть $(1, 3(1)-2) = (1, 1)$. Это прямоугольный треугольник с катетами, равными $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ (основание) и $1 - 0 = 1$ (высота). Площадь этого треугольника: $S_{нижн} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{6}$.

Искомая площадь равна разности этих площадей: $S = S_{верх} - S_{нижн} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{1}{12}$.

Альтернативный способ — вычисление через два интеграла: $S = \int_0^{2/3} (x^3 - 0) dx + \int_{2/3}^1 (x^3 - (3x - 2)) dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^{2/3} + \left[\frac{x^4}{4} - \frac{3x^2}{2} + 2x\right]_{2/3}^1$ $= \frac{(2/3)^4}{4} + \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2\right) - \left(\frac{(2/3)^4}{4} - \frac{3(2/3)^2}{2} + 2(\frac{2}{3})\right)$ $= \frac{4}{81} + \frac{3}{4} - \left(\frac{4}{81} - \frac{2}{3} + \frac{4}{3}\right) = \frac{4}{81} + \frac{3}{4} - \left(\frac{4}{81} + \frac{2}{3}\right) = \frac{3}{4} - \frac{2}{3} = \frac{9-8}{12} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$.

21.73. a) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 3 - \frac{1}{2}x^2$ и двумя касательными, проведёнными к нему из точки на оси y так, что угол между касательными равен 90°.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 0,5(x^2 + 5)$ и двумя касательными, проведёнными к нему из точки на оси y так, что угол между касательными равен 90°.

a)

1. Найдём уравнение касательной к графику функции $y(x) = 3 - \frac{1}{2}x^2$ в произвольной точке $x_0$.
Производная функции: $y'(x) = -x$.
Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной: $k = y'(x_0) = -x_0$.
Уравнение касательной имеет вид $y_{кас} = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.
$y_{кас} = (3 - \frac{1}{2}x_0^2) - x_0(x - x_0) = 3 - \frac{1}{2}x_0^2 - x_0x + x_0^2 = -x_0x + \frac{1}{2}x_0^2 + 3$.

2. Касательные проводятся из точки на оси $y$. Обозначим эту точку как $(0, y_p)$. Так как касательная проходит через эту точку, её координаты удовлетворяют уравнению:
$y_p = -x_0(0) + \frac{1}{2}x_0^2 + 3 \Rightarrow y_p = \frac{1}{2}x_0^2 + 3$.

3. По условию, угол между двумя касательными равен 90°. Это означает, что их угловые коэффициенты $k_1$ и $k_2$ удовлетворяют условию $k_1 \cdot k_2 = -1$.
Парабола $y = 3 - \frac{1}{2}x^2$ симметрична относительно оси $y$. Следовательно, точки касания также будут симметричны: $x_1$ и $x_2 = -x_1$.
Угловые коэффициенты: $k_1 = y'(x_1) = -x_1$ и $k_2 = y'(-x_1) = -(-x_1) = x_1$.
Подставляем в условие перпендикулярности: $(-x_1)(x_1) = -1 \Rightarrow -x_1^2 = -1 \Rightarrow x_1^2 = 1$.
Отсюда получаем две абсциссы точек касания: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

4. Найдём уравнения касательных и точку их пересечения.
Точка пересечения на оси $y$: $y_p = \frac{1}{2}(1)^2 + 3 = 3.5$. Точка $(0, 3.5)$.
Точки касания:
- при $x=1$: $y = 3 - \frac{1}{2}(1)^2 = 2.5$. Точка $(1, 2.5)$. Угловой коэффициент $k = -1$.
- при $x=-1$: $y = 3 - \frac{1}{2}(-1)^2 = 2.5$. Точка $(-1, 2.5)$. Угловой коэффициент $k = 1$.
Уравнения касательных:
- $y = -x + 3.5$
- $y = x + 3.5$

5. Вычислим площадь фигуры. Фигура ограничена снизу параболой $y = 3 - \frac{1}{2}x^2$ и сверху двумя касательными. Площадь можно найти как разность интегралов.
$S = \int_{-1}^{1} (y_{кас} - y_{парабола}) dx$.
В силу симметрии фигуры относительно оси $y$, можно вычислить площадь для $x \in [0, 1]$ и умножить на 2. На этом интервале верхняя граница — касательная $y = -x + 3.5$.
$S = 2 \int_{0}^{1} \left( (-x + 3.5) - \left(3 - \frac{1}{2}x^2\right) \right) dx = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} \right) dx$.
$S = 2 \left[ \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

б)

1. Найдём уравнение касательной к графику функции $y(x) = 0.5(x^2 + 5) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}$ в произвольной точке $x_0$.
Производная функции: $y'(x) = x$.
Угловой коэффициент касательной: $k = y'(x_0) = x_0$.
Уравнение касательной: $y_{кас} = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$.
$y_{кас} = (\frac{1}{2}x_0^2 + \frac{5}{2}) + x_0(x - x_0) = \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{5}{2} + x_0x - x_0^2 = x_0x - \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{5}{2}$.

2. Касательные проводятся из точки $(0, y_p)$ на оси $y$. Подставим её координаты в уравнение касательной:
$y_p = x_0(0) - \frac{1}{2}x_0^2 + \frac{5}{2} \Rightarrow y_p = -\frac{1}{2}x_0^2 + \frac{5}{2}$.

3. Используем условие перпендикулярности касательных: $k_1 \cdot k_2 = -1$.
Парабола $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}$ симметрична относительно оси $y$, поэтому точки касания симметричны: $x_1$ и $x_2 = -x_1$.
Угловые коэффициенты: $k_1 = y'(x_1) = x_1$ и $k_2 = y'(-x_1) = -x_1$.
Подставляем в условие: $(x_1)(-x_1) = -1 \Rightarrow -x_1^2 = -1 \Rightarrow x_1^2 = 1$.
Абсциссы точек касания: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

4. Найдём уравнения касательных и точку их пересечения.
Точка пересечения на оси $y$: $y_p = -\frac{1}{2}(1)^2 + \frac{5}{2} = 2$. Точка $(0, 2)$.
Точки касания:
- при $x=1$: $y = \frac{1}{2}(1)^2 + \frac{5}{2} = 3$. Точка $(1, 3)$. Угловой коэффициент $k = 1$.
- при $x=-1$: $y = \frac{1}{2}(-1)^2 + \frac{5}{2} = 3$. Точка $(-1, 3)$. Угловой коэффициент $k = -1$.
Уравнения касательных:
- $y = x + 2$
- $y = -x + 2$

5. Вычислим площадь фигуры. Фигура ограничена сверху параболой $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}$ и снизу двумя касательными.
$S = \int_{-1}^{1} (y_{парабола} - y_{кас}) dx$.
В силу симметрии, $S = 2 \int_{0}^{1} (y_{парабола} - y_{кас}) dx$. На интервале $[0, 1]$ нижняя граница — касательная $y = x+2$.
$S = 2 \int_{0}^{1} \left( \left(\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}\right) - (x + 2) \right) dx = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} \right) dx$.
$S = 2 \left[ \frac{1}{2}\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2}x \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 0 \right) = 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

21.74. a) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \frac{x^2\sqrt{3}}{2}$ и двумя касательными, проведёнными к нему из точки на оси y так, что угол между касательными равен 60°.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = -\frac{x^2}{2\sqrt{3}}$ и двумя касательными, проведёнными к нему из точки на оси y так, что угол между касательными равен 120°.

a)

Дан график функции $y = \frac{x^2\sqrt{3}}{2}$. Это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. Функция является четной, следовательно, ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Касательные проведены из точки на оси $Oy$. В силу симметрии, точка пересечения касательных лежит на оси симметрии параболы, то есть на оси $Oy$. Точки касания также будут симметричны относительно оси $Oy$. Обозначим их как $A(-x_0, y_0)$ и $B(x_0, y_0)$, где $x_0 > 0$.

Угол между касательными равен $60^\circ$. Так как ось $Oy$ является осью симметрии для касательных, она же является и биссектрисой угла между ними. Следовательно, каждая касательная образует с осью $Oy$ угол в $60^\circ / 2 = 30^\circ$.

Найдем угловой коэффициент $k$ касательной, проведенной в точке $B(x_0, y_0)$ с абсциссой $x_0 > 0$. Эта касательная находится в первой и четвертой четвертях. Угол, который она образует с положительным направлением оси $Ox$, равен $\alpha = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Следовательно, ее угловой коэффициент равен: $k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке. Найдем производную: $y' = \left(\frac{x^2\sqrt{3}}{2}\right)' = \frac{2x\sqrt{3}}{2} = x\sqrt{3}$.

Приравняем значение производной к найденному угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$: $x_0\sqrt{3} = \sqrt{3} \implies x_0 = 1$.

Теперь найдем ординату точки касания: $y_0 = \frac{1^2 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Таким образом, точки касания: $A(-1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $B(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Уравнение касательной в точке $B(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ имеет вид $y - y_0 = k(x - x_0)$: $y - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}(x - 1)$, $y = \sqrt{3}x - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$, $y = \sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена сверху параболой $y = \frac{x^2\sqrt{3}}{2}$, а снизу — двумя касательными. Найдем площадь этой фигуры как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от $-1$ до $1$. В силу симметрии, можно вычислить площадь для $x \in [0, 1]$ и удвоить результат.

$S = 2 \int_{0}^{1} \left( y_{\text{парабола}} - y_{\text{касательная}} \right) dx = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{x^2\sqrt{3}}{2} - \left(\sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) dx$.

$S = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 - \sqrt{3}x + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) dx = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) dx$.

$S = \sqrt{3} \int_{0}^{1} (x-1)^2 dx = \sqrt{3} \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{0}^{1} = \sqrt{3} \left( \frac{(1-1)^3}{3} - \frac{(0-1)^3}{3} \right) = \sqrt{3} \left( 0 - \frac{-1}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б)

Дан график функции $y = -\frac{x^2}{2\sqrt{3}}$. Это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз. Функция также является четной и ее график симметричен относительно оси $Oy$.

Как и в предыдущем пункте, касательные пересекаются на оси $Oy$, а точки касания симметричны: $A(-x_0, y_0)$ и $B(x_0, y_0)$, где $x_0 > 0$.

Угол между касательными равен $120^\circ$. Ось $Oy$ является биссектрисой, поэтому каждая касательная образует с осью $Oy$ угол в $120^\circ / 2 = 60^\circ$.

Рассмотрим касательную в точке $B(x_0, y_0)$ с абсциссой $x_0 > 0$. Парабола находится ниже оси $Ox$, поэтому касательная будет иметь отрицательный наклон. Она образует угол $60^\circ$ с отрицательной частью оси $Oy$. Следовательно, угол между касательной и отрицательным направлением оси $Ox$ равен $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Угол $\alpha$ с положительным направлением оси $Ox$ равен $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. Угловой коэффициент $k$: $k = \tan(150^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Найдем производную функции: $y' = \left(-\frac{x^2}{2\sqrt{3}}\right)' = -\frac{2x}{2\sqrt{3}} = -\frac{x}{\sqrt{3}}$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту для нахождения $x_0$: $-\frac{x_0}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \implies x_0 = 1$.

Найдем ординату точки касания: $y_0 = -\frac{1^2}{2\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Точки касания: $A(-1, -\frac{1}{2\sqrt{3}})$ и $B(1, -\frac{1}{2\sqrt{3}})$.

Уравнение касательной в точке $B(1, -\frac{1}{2\sqrt{3}})$: $y - \left(-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 1)$, $y + \frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}$, $y = -\frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена сверху двумя касательными, а снизу — параболой $y = -\frac{x^2}{2\sqrt{3}}$. Пределы интегрирования по $x$ от $-1$ до $1$. Используем симметрию и удвоим интеграл от $0$ до $1$:

$S = 2 \int_{0}^{1} \left( y_{\text{касательная}} - y_{\text{парабола}} \right) dx = 2 \int_{0}^{1} \left( \left(-\frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2\sqrt{3}}\right) - \left(-\frac{x^2}{2\sqrt{3}}\right) \right) dx$.

$S = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{x^2}{2\sqrt{3}} - \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{1}{2\sqrt{3}} \right) dx = \frac{2}{2\sqrt{3}} \int_{0}^{1} (x^2 - 2x + 1) dx$.

$S = \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{0}^{1} (x-1)^2 dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{(1-1)^3}{3} - \frac{(0-1)^3}{3} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( 0 - \frac{-1}{3} \right) = \frac{1}{3\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $S = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{9}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{9}$.

21.75. а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ и касательной к нему в точке $x = 3$.

б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3 - 3x$ и касательной к нему в точке $x = -1$.

а) Для того, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ и касательной к нему в точке $x = 3$, необходимо сначала найти уравнение этой касательной.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ и $x_0 = 3$.

1. Найдем значение функции в точке касания:

$f(3) = 3^3 - 6 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 1 = 27 - 6 \cdot 9 + 27 + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(3, 1)$.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 9x + 1)' = 3x^2 - 12x + 9$.

3. Найдем значение производной в точке касания (угловой коэффициент касательной):

$f'(3) = 3 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 9 = 3 \cdot 9 - 36 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0$.

4. Составим уравнение касательной:

$y = 1 + 0 \cdot (x - 3)$, следовательно, $y = 1$.

Теперь найдем точки пересечения графика функции $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ и касательной $y = 1$.

$x^3 - 6x^2 + 9x + 1 = 1$

$x^3 - 6x^2 + 9x = 0$

$x(x^2 - 6x + 9) = 0$

$x(x - 3)^2 = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$. Это и будут пределы интегрирования.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности функции и касательной в найденных пределах. На интервале $(0, 3)$ график функции находится выше касательной (например, в точке $x=1$ значение функции $y(1)=1-6+9+1=5$, что больше $1$).

$S = \int_{0}^{3} ((x^3 - 6x^2 + 9x + 1) - 1) dx = \int_{0}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left( \frac{x^4}{4} - 6\frac{x^3}{3} + 9\frac{x^2}{2} \right) \Big|_0^3 = \left( \frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{9}{2}x^2 \right) \Big|_0^3$

$S = \left( \frac{3^4}{4} - 2 \cdot 3^3 + \frac{9}{2} \cdot 3^2 \right) - 0 = \frac{81}{4} - 2 \cdot 27 + \frac{9 \cdot 9}{2} = \frac{81}{4} - 54 + \frac{81}{2}$

$S = \frac{81}{4} - \frac{216}{4} + \frac{162}{4} = \frac{81 - 216 + 162}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$

Ответ: $6.75$

б) Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^3 - 3x$ и касательной к нему в точке $x = -1$.

Аналогично пункту а), сначала найдем уравнение касательной к функции $g(x) = x^3 - 3x$ в точке $x_0 = -1$.

1. Значение функции в точке касания:

$g(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.

Точка касания: $(-1, 2)$.

2. Производная функции:

$g'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

3. Значение производной в точке касания:

$g'(-1) = 3(-1)^2 - 3 = 3 \cdot 1 - 3 = 0$.

4. Уравнение касательной:

$y = 2 + 0 \cdot (x - (-1))$, следовательно, $y = 2$.

Найдем точки пересечения графика функции $y = x^3 - 3x$ и касательной $y = 2$.

$x^3 - 3x = 2$

$x^3 - 3x - 2 = 0$

Так как $x = -1$ является точкой касания, то это корень кратности не менее 2. Разделим многочлен $(x^3 - 3x - 2)$ на $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

Либо, зная один корень $x = -1$, разделим многочлен на $(x+1)$:

$(x^3 - 3x - 2) : (x+1) = x^2 - x - 2$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. Его корни $x = -1$ и $x = 2$.

Таким образом, исходное уравнение имеет вид $(x+1)^2(x-2) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это пределы интегрирования.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности касательной и функции (на интервале $(-1, 2)$ касательная $y=2$ находится выше графика функции $y = x^3 - 3x$, что можно проверить, подставив $x=0$: $y(0)=0 < 2$).

$S = \int_{-1}^{2} (2 - (x^3 - 3x)) dx = \int_{-1}^{2} (-x^3 + 3x + 2) dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left( -\frac{x^4}{4} + \frac{3x^2}{2} + 2x \right) \Big|_{-1}^2$

$S = \left( -\frac{2^4}{4} + \frac{3 \cdot 2^2}{2} + 2 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-1)^4}{4} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 2(-1) \right)$

$S = \left( -\frac{16}{4} + \frac{12}{2} + 4 \right) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{3}{2} - 2 \right)$

$S = (-4 + 6 + 4) - \left( -\frac{1}{4} + \frac{6}{4} - \frac{8}{4} \right) = 6 - \left( \frac{-3}{4} \right) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{27}{4} = 6.75$

Ответ: $6.75$

21.76. a) При каком положительном значении параметра a площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = a$, равна $\frac{7}{8}$?

б) При каком отрицательном значении параметра a площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = -1$, $x = a$, равна $\frac{10}{11}$?

а)

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=x_1$, $x=x_2$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Если $f(x) \ge 0$ на отрезке $[x_1, x_2]$, то площадь $S$ равна $\int_{x_1}^{x_2} f(x) dx$.

В данной задаче фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = a$. Функция $y = \frac{1}{x^2}$ положительна для всех $x \neq 0$. По условию, параметр $a$ также положителен. Площадь $S$ можно выразить как интеграл от $x=1$ до $x=a$:

$S = \int_1^a \frac{1}{x^2} dx$

Для нахождения этого интеграла сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$:

$F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [-\frac{1}{x}]_1^a = (-\frac{1}{a}) - (-\frac{1}{1}) = 1 - \frac{1}{a}$

По условию задачи, площадь $S$ равна $\frac{7}{8}$. Приравниваем полученное выражение к этому значению:

$1 - \frac{1}{a} = \frac{7}{8}$

Теперь решим это уравнение относительно $a$:

$\frac{1}{a} = 1 - \frac{7}{8}$

$\frac{1}{a} = \frac{8}{8} - \frac{7}{8}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{8}$

$a = 8$

Полученное значение $a=8$ является положительным, как и требовалось в условии. Геометрически, чтобы площадь, вычисленная как $\int_1^a f(x)dx$, была положительной, необходимо, чтобы $a > 1$, чему удовлетворяет найденное решение.
Ответ: $a=8$.

б)

Аналогично, площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x^2}$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = a$, вычисляется через определенный интеграл. По условию, параметр $a$ отрицателен ($a < 0$).

Выразим площадь $S$ через интеграл:

$S = \int_{-1}^a \frac{1}{x^2} dx$

Используя первообразную $F(x) = -\frac{1}{x}$, найденную в предыдущем пункте, вычислим интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [-\frac{1}{x}]_{-1}^a = (-\frac{1}{a}) - (-\frac{1}{-1}) = -\frac{1}{a} - 1$

По условию, площадь $S$ равна $\frac{10}{11}$. Приравниваем полученное выражение к этому значению:

$-\frac{1}{a} - 1 = \frac{10}{11}$

Решим полученное уравнение относительно $a$:

$-\frac{1}{a} = 1 + \frac{10}{11}$

$-\frac{1}{a} = \frac{11}{11} + \frac{10}{11}$

$-\frac{1}{a} = \frac{21}{11}$

$a = -\frac{11}{21}$

Полученное значение $a = -\frac{11}{21}$ является отрицательным. Геометрически, для того чтобы значение интеграла $\int_{-1}^a f(x)dx$ было положительным, необходимо, чтобы $-1 < a < 0$, чему удовлетворяет найденное решение.
Ответ: $a = -\frac{11}{21}$.