Страница 143, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какое из двух утверждений верно, если $a > 1$, $f(x) > 0$, $g(x) > 0$:

a) неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$;

б) неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать свойства логарифмической функции $y = \log_a t$ и ее поведение в зависимости от основания $a$.

В условии задачи дано, что основание логарифма $a > 1$. При таком условии логарифмическая функция является строго возрастающей. Это означает, что для любых положительных аргументов $t_1$ и $t_2$ справедливо следующее: неравенство $\log_a t_1 > \log_a t_2$ равносильно неравенству $t_1 > t_2$. Другими словами, при переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства сохраняется.

Исходное неравенство в задаче — $\log_a f(x) > \log_a g(x)$. Условия $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$ гарантируют, что оба логарифма определены.

Поскольку $a > 1$, мы можем применить свойство возрастающей логарифмической функции. Это значит, что неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$.

Теперь рассмотрим предложенные утверждения.

а) неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) < g(x)$;

Это утверждение неверно. Равносильность со сменой знака неравенства ($f(x) < g(x)$) была бы верна только в случае, если бы основание логарифма было в интервале $0 < a < 1$, так как тогда логарифмическая функция была бы убывающей. Однако по условию $a > 1$.

Ответ: утверждение неверно.

б) неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) > g(x)$?

Это утверждение верно. Оно является прямым следствием свойства возрастания логарифмической функции с основанием $a > 1$. Как было показано выше, при $a > 1$ знак неравенства при переходе от логарифмов к их аргументам сохраняется.

Ответ: утверждение верно.

2. Какое из двух утверждений верно, если $0 < a < 1$, $f(x) > 0$, $g(x) > 0$:

а) неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$;

б) неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)$?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо проанализировать свойства логарифмической функции $y = \log_a x$ при заданных условиях.

По условию, основание логарифма $a$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$. Логарифмическая функция с таким основанием является монотонно убывающей на всей своей области определения. Область определения логарифма требует, чтобы его аргумент был строго больше нуля, что соответствует условиям $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

Свойство убывающей функции заключается в том, что для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из области определения, если $x_1 \ge x_2$, то $\log_a x_1 \le \log_a x_2$. И наоборот, при решении неравенств, если $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$, то знак неравенства для аргументов меняется на противоположный: $f(x) \ge g(x)$.

Исходя из этого правила, проанализируем каждое утверждение.

а) неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \le g(x)$;

Данное утверждение неверно. Оно предполагает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется. Это характерно для возрастающей функции, то есть для случая, когда основание $a > 1$. В условиях задачи $0 < a < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства должен меняться.

Ответ: утверждение неверно.

б) неравенство $\log_a f(x) \le \log_a g(x)$ равносильно неравенству $f(x) \ge g(x)?$

Данное утверждение верно. Поскольку логарифмическая функция с основанием $a$ ($0 < a < 1$) является убывающей, при потенцировании (переходе от логарифмов к их аргументам) знак неравенства $\le$ должен измениться на $\ge$.

Ответ: утверждение верно.

21.54. a) $y = \sqrt{x}$, $y = -2\sqrt{x}$, $x = 4$;

б) $y = 2\sqrt{x}$, $y = -\sqrt{x}$, $x = 9$.

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{x}$, $y = -2\sqrt{x}$ и $x = 4$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура ограничена слева точкой пересечения графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = -2\sqrt{x}$. Их ординаты равны только при $x = 0$. Справа фигура ограничена вертикальной прямой $x = 4$. Таким образом, пределы интегрирования от $a=0$ до $b=4$.

На отрезке $[0, 4]$ функция $f(x) = \sqrt{x}$ принимает неотрицательные значения, а функция $g(x) = -2\sqrt{x}$ — неположительные. Следовательно, для любого $x$ из данного интервала график $y = \sqrt{x}$ расположен выше графика $y = -2\sqrt{x}$.

Площадь $S$ фигуры, ограниченной кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ ($f(x) \ge g(x)$) и прямыми $x=a$, $x=b$, вычисляется по формуле:

$S = \int_a^b (f(x) - g(x)) \,dx$

Подставляем наши функции и пределы интегрирования:

$S = \int_0^4 (\sqrt{x} - (-2\sqrt{x})) \,dx = \int_0^4 (\sqrt{x} + 2\sqrt{x}) \,dx = \int_0^4 3\sqrt{x} \,dx$

Выносим константу за знак интеграла и представляем корень как степень:

$S = 3 \int_0^4 x^{1/2} \,dx$

Находим первообразную для $x^{1/2}$. Она равна $\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.

Теперь вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = 3 \cdot \left. \frac{2}{3}x^{3/2} \right|_0^4 = 2 \cdot \left. x^{3/2} \right|_0^4 = 2 \cdot (4^{3/2} - 0^{3/2})$

Вычисляем значение $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

$S = 2 \cdot (8 - 0) = 16$.

Ответ: 16.

б)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2\sqrt{x}$, $y = -\sqrt{x}$ и $x = 9$, поступим аналогично. Фигура ограничена слева точкой пересечения графиков при $x = 0$ и справа прямой $x = 9$. Пределы интегрирования от $a=0$ до $b=9$.

На отрезке $[0, 9]$ график функции $f(x) = 2\sqrt{x}$ расположен выше графика функции $g(x) = -\sqrt{x}$, так как $f(x) = 2\sqrt{x} \ge 0$, а $g(x) = -\sqrt{x} \le 0$ для всех $x$ из области определения.

Площадь $S$ вычисляется по той же формуле:

$S = \int_a^b (f(x) - g(x)) \,dx$

Подставляем наши функции и пределы интегрирования:

$S = \int_0^9 (2\sqrt{x} - (-\sqrt{x})) \,dx = \int_0^9 (2\sqrt{x} + \sqrt{x}) \,dx = \int_0^9 3\sqrt{x} \,dx$

Выносим константу и вычисляем интеграл, используя ту же первообразную:

$S = 3 \int_0^9 x^{1/2} \,dx = 3 \cdot \left. \frac{2}{3}x^{3/2} \right|_0^9 = 2 \cdot \left. x^{3/2} \right|_0^9$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = 2 \cdot (9^{3/2} - 0^{3/2})$

Вычисляем значение $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$.

$S = 2 \cdot (27 - 0) = 54$.

Ответ: 54.

21.55. a) $y = 2 - \sqrt{x}$, $y = \sqrt{x}$, $3x + 5y = 22$;

б) $y = \sqrt{x}$, $y = 3 - 2\sqrt{x}$, $4x - 5y - 21 = 0$.

а)

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 2 - \sqrt{x}$, $y = \sqrt{x}$ и $3x + 5y = 22$, сначала найдем точки пересечения этих линий.

1. Найдем точку пересечения $y = 2 - \sqrt{x}$ и $y = \sqrt{x}$:

$2 - \sqrt{x} = \sqrt{x} \implies 2 = 2\sqrt{x} \implies \sqrt{x} = 1 \implies x = 1$.

При $x=1$, $y = \sqrt{1} = 1$. Точка пересечения A(1, 1).

2. Найдем точку пересечения $y = \sqrt{x}$ и $3x + 5y = 22$:

Подставим $y = \sqrt{x}$ в уравнение прямой: $3x + 5\sqrt{x} - 22 = 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$, $t \ge 0$. Тогда $3t^2 + 5t - 22 = 0$. Решая квадратное уравнение, получаем $t=2$ или $t = -11/3$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t=2$.

$\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$. При $x=4$, $y = \sqrt{4} = 2$. Точка пересечения B(4, 2).

3. Найдем точку пересечения $y = 2 - \sqrt{x}$ и $3x + 5y = 22$:

Подставим $y = 2 - \sqrt{x}$: $3x + 5(2 - \sqrt{x}) = 22 \implies 3x + 10 - 5\sqrt{x} = 22 \implies 3x - 5\sqrt{x} - 12 = 0$.

Пусть $t = \sqrt{x}$, $t \ge 0$. Тогда $3t^2 - 5t - 12 = 0$. Решая, получаем $t=3$ или $t = -4/3$. Подходит $t=3$.

$\sqrt{x} = 3 \implies x = 9$. При $x=9$, $y = 2 - \sqrt{9} = -1$. Точка пересечения C(9, -1).

Фигура является криволинейным треугольником с вершинами в точках A(1, 1), B(4, 2), C(9, -1). Площадь будем вычислять как сумму двух интегралов, разделив область по прямой $x=4$.

В интервале $x \in [1, 4]$ фигура ограничена сверху кривой $y = \sqrt{x}$ и снизу кривой $y = 2 - \sqrt{x}$.

$S_1 = \int_1^4 (\sqrt{x} - (2 - \sqrt{x})) dx = \int_1^4 (2\sqrt{x} - 2) dx = \left[ 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - 2x \right]_1^4 = \left[ \frac{4}{3}x\sqrt{x} - 2x \right]_1^4$

$S_1 = \left(\frac{4}{3} \cdot 4\sqrt{4} - 2 \cdot 4\right) - \left(\frac{4}{3} \cdot 1\sqrt{1} - 2 \cdot 1\right) = \left(\frac{32}{3} - 8\right) - \left(\frac{4}{3} - 2\right) = \frac{8}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{10}{3}$.

В интервале $x \in [4, 9]$ фигура ограничена сверху прямой $y = \frac{22-3x}{5}$ и снизу кривой $y = 2 - \sqrt{x}$.

$S_2 = \int_4^9 \left( \frac{22-3x}{5} - (2 - \sqrt{x}) \right) dx = \int_4^9 \left( \frac{12}{5} - \frac{3}{5}x + \sqrt{x} \right) dx = \left[ \frac{12}{5}x - \frac{3}{10}x^2 + \frac{2}{3}x\sqrt{x} \right]_4^9$

$S_2 = \left(\frac{12 \cdot 9}{5} - \frac{3 \cdot 9^2}{10} + \frac{2}{3} \cdot 9\sqrt{9}\right) - \left(\frac{12 \cdot 4}{5} - \frac{3 \cdot 4^2}{10} + \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4}\right)$

$S_2 = \left(\frac{108}{5} - \frac{243}{10} + 18\right) - \left(\frac{48}{5} - \frac{48}{10} + \frac{16}{3}\right) = \frac{153}{10} - \left(\frac{48}{10} + \frac{16}{3}\right) = \frac{153}{10} - \frac{152}{15} = \frac{459 - 304}{30} = \frac{155}{30} = \frac{31}{6}$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = \frac{10}{3} + \frac{31}{6} = \frac{20}{6} + \frac{31}{6} = \frac{51}{6} = \frac{17}{2}$.

Ответ: $\frac{17}{2}$.

б)

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{x}$, $y = 3 - 2\sqrt{x}$ и $4x - 5y - 21 = 0$.

1. Найдем точки пересечения линий:

$y = \sqrt{x}$ и $y = 3 - 2\sqrt{x} \implies \sqrt{x} = 3 - 2\sqrt{x} \implies 3\sqrt{x} = 3 \implies x = 1, y = 1$. Точка A(1, 1).

$y = \sqrt{x}$ и $4x - 5y - 21 = 0 \implies 4x - 5\sqrt{x} - 21 = 0$. Пусть $t = \sqrt{x} \ge 0$, тогда $4t^2 - 5t - 21 = 0$. Корни $t=3$ и $t=-7/4$. Подходит $t=3$, откуда $x=9, y=3$. Точка B(9, 3).

$y = 3 - 2\sqrt{x}$ и $4x - 5y - 21 = 0 \implies 4x - 5(3 - 2\sqrt{x}) - 21 = 0 \implies 4x + 10\sqrt{x} - 36 = 0 \implies 2x + 5\sqrt{x} - 18 = 0$. Пусть $t = \sqrt{x} \ge 0$, тогда $2t^2 + 5t - 18 = 0$. Корни $t=2$ и $t=-9/2$. Подходит $t=2$, откуда $x=4, y = 3 - 2\sqrt{4} = -1$. Точка C(4, -1).

Фигура ограничена сверху кривой $y = \sqrt{x}$. Нижняя граница состоит из двух частей, меняющихся в точке $x=4$.

В интервале $x \in [1, 4]$ нижняя граница - это $y = 3 - 2\sqrt{x}$.

$S_1 = \int_1^4 (\sqrt{x} - (3 - 2\sqrt{x})) dx = \int_1^4 (3\sqrt{x} - 3) dx = \left[ 3 \frac{x^{3/2}}{3/2} - 3x \right]_1^4 = \left[ 2x\sqrt{x} - 3x \right]_1^4$

$S_1 = (2 \cdot 4\sqrt{4} - 3 \cdot 4) - (2 \cdot 1\sqrt{1} - 3 \cdot 1) = (16 - 12) - (2 - 3) = 4 - (-1) = 5$.

В интервале $x \in [4, 9]$ нижняя граница - это прямая $y = \frac{4x - 21}{5}$.

$S_2 = \int_4^9 \left( \sqrt{x} - \frac{4x - 21}{5} \right) dx = \int_4^9 \left( \sqrt{x} - \frac{4}{5}x + \frac{21}{5} \right) dx = \left[ \frac{2}{3}x\sqrt{x} - \frac{2}{5}x^2 + \frac{21}{5}x \right]_4^9$

$S_2 = \left( \frac{2}{3} \cdot 9\sqrt{9} - \frac{2}{5} \cdot 9^2 + \frac{21}{5} \cdot 9 \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 4\sqrt{4} - \frac{2}{5} \cdot 4^2 + \frac{21}{5} \cdot 4 \right)$

$S_2 = \left( 18 - \frac{162}{5} + \frac{189}{5} \right) - \left( \frac{16}{3} - \frac{32}{5} + \frac{84}{5} \right) = \left( 18 + \frac{27}{5} \right) - \left( \frac{16}{3} + \frac{52}{5} \right) = \frac{117}{5} - \frac{236}{15} = \frac{351-236}{15} = \frac{115}{15} = \frac{23}{3}$.

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = 5 + \frac{23}{3} = \frac{15}{3} + \frac{23}{3} = \frac{38}{3}$.

Ответ: $\frac{38}{3}$.

21.56. а) $y = 0$, $x = 0$, $x = 3$, $y = e^x$;

б) $y = 0$, $x = 0$, $x = 4$, $y = e^{-x}$;

в) $y = 0$, $x = -1$, $x = 1$, $y = e^x$;

г) $y = 0$, $x = -2$, $x = 0$, $y = e^{-x}$.

а)

Заданная фигура является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком функции $y = e^x$, снизу осью абсцисс ($y=0$), и с боков прямыми $x=0$ и $x=3$. Площадь такой фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

В данном случае $f(x) = e^x$, $a = 0$ и $b = 3$. Функция $y=e^x$ положительна на отрезке $[0, 3]$, поэтому формула применима.

Вычисляем интеграл: $S = \int_{0}^{3} e^x \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = e^x$ есть $F(x) = e^x$. Подставляем пределы интегрирования: $S = [e^x]_{0}^{3} = F(3) - F(0) = e^3 - e^0 = e^3 - 1$.

Ответ: $e^3 - 1$.

б)

Фигура ограничена линиями $y = e^{-x}$, $y = 0$, $x = 0$ и $x = 4$. Площадь вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$, где $f(x) = e^{-x}$, $a=0$, $b=4$. Функция $y = e^{-x}$ положительна на данном отрезке.

Вычисляем интеграл: $S = \int_{0}^{4} e^{-x} \,dx$

Первообразная для функции $f(x) = e^{-x}$ есть $F(x) = -e^{-x}$. Выполняем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница: $S = [-e^{-x}]_{0}^{4} = F(4) - F(0) = (-e^{-4}) - (-e^{-0}) = -e^{-4} - (-1) = 1 - e^{-4}$.

Ответ: $1 - e^{-4}$.

в)

Фигура ограничена линиями $y = e^x$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = 1$. Площадь вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$, где $f(x) = e^x$, $a=-1$, $b=1$. Функция $y = e^x$ положительна.

Вычисляем интеграл: $S = \int_{-1}^{1} e^x \,dx$

Первообразная для $f(x) = e^x$ есть $F(x) = e^x$. $S = [e^x]_{-1}^{1} = F(1) - F(-1) = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}$.

Ответ: $e - \frac{1}{e}$.

г)

Фигура ограничена линиями $y = e^{-x}$, $y = 0$, $x = -2$ и $x = 0$. Площадь вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$, где $f(x) = e^{-x}$, $a=-2$, $b=0$. Функция $y = e^{-x}$ положительна.

Вычисляем интеграл: $S = \int_{-2}^{0} e^{-x} \,dx$

Первообразная для $f(x) = e^{-x}$ есть $F(x) = -e^{-x}$. $S = [-e^{-x}]_{-2}^{0} = F(0) - F(-2) = (-e^{-0}) - (-e^{-(-2)}) = -e^0 - (-e^2) = -1 + e^2 = e^2 - 1$.

Ответ: $e^2 - 1$.

21.57. a) $x = 1$, $y = e^x$, $y = e^{-x}$;

б) $y = \frac{1}{e^x}$, $y = 1$, $x = -1$;

в) $y = e^x$, $x = 2$, $x + 2y = 2$;

г) $y = e^x$, $x = 2$, $x = 0$, $y = -e^x$.

а) Фигура ограничена кривыми $y=e^x$, $y=e^{-x}$ и прямой $x=1$. Для нахождения пределов интегрирования найдем точку пересечения кривых $y=e^x$ и $y=e^{-x}$:
$e^x = e^{-x} \implies e^{2x} = 1 \implies 2x = 0 \implies x=0$.
Таким образом, интегрирование производится по отрезку $[0, 1]$. На этом отрезке для $x>0$ справедливо неравенство $e^x > e^{-x}$, следовательно, кривая $y=e^x$ является верхней границей, а $y=e^{-x}$ — нижней.
Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл разности функций:
$S = \int_{0}^{1} (e^x - e^{-x}) dx = [e^x - (-e^{-x})]_{0}^{1} = [e^x + e^{-x}]_{0}^{1}$
$S = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^{-0}) = (e + \frac{1}{e}) - (1+1) = e + \frac{1}{e} - 2$.
Ответ: $e + \frac{1}{e} - 2$

б) Фигура ограничена кривыми $y = \frac{1}{e^x} = e^{-x}$, $y=1$ и прямой $x=-1$.
Найдем точку пересечения кривых $y=e^{-x}$ и $y=1$, чтобы определить второй предел интегрирования:
$e^{-x} = 1 \implies -x=0 \implies x=0$.
Интегрирование производится по отрезку $[-1, 0]$. На этом отрезке для $x<0$ справедливо неравенство $e^{-x} > 1$, значит, кривая $y=e^{-x}$ находится выше прямой $y=1$.
Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{-1}^{0} (e^{-x} - 1) dx = [-e^{-x} - x]_{-1}^{0}$
$S = (-e^{-0} - 0) - (-e^{-(-1)} - (-1)) = (-1) - (-e^1 + 1) = -1 + e - 1 = e-2$.
Ответ: $e-2$

в) Фигура ограничена кривыми $y=e^x$, $x=2$ и $x+2y=2$. Выразим $y$ из последнего уравнения: $y = 1 - \frac{1}{2}x$.
Найдем точку пересечения кривых $y=e^x$ и $y=1-\frac{1}{2}x$, чтобы найти левую границу интегрирования:
$e^x = 1 - \frac{1}{2}x$.
Подбором находим корень $x=0$, так как $e^0=1$ и $1-\frac{0}{2}=1$. Поскольку функция $f(x)=e^x$ является строго возрастающей, а функция $g(x)=1-\frac{1}{2}x$ — строго убывающей, точка пересечения у них единственная.
Пределы интегрирования: от $x=0$ до $x=2$. На этом отрезке $e^x \ge 1-\frac{1}{2}x$.
Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле:
$S = \int_{0}^{2} \left(e^x - \left(1 - \frac{1}{2}x\right)\right) dx = \int_{0}^{2} \left(e^x - 1 + \frac{x}{2}\right) dx = \left[e^x - x + \frac{x^2}{4}\right]_{0}^{2}$
$S = \left(e^2 - 2 + \frac{2^2}{4}\right) - \left(e^0 - 0 + \frac{0^2}{4}\right) = (e^2 - 2 + 1) - 1 = e^2 - 2$.
Ответ: $e^2-2$

г) Фигура ограничена кривыми $y=e^x$, $y=-e^x$ и прямыми $x=0$, $x=2$.
Пределы интегрирования заданы условием: от $x=0$ до $x=2$.
На отрезке $[0, 2]$ для любого $x$ справедливо неравенство $e^x > -e^x$, так как показательная функция $e^x$ всегда положительна.
Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл разности верхней и нижней функций:
$S = \int_{0}^{2} (e^x - (-e^x)) dx = \int_{0}^{2} 2e^x dx = [2e^x]_{0}^{2}$
$S = 2e^2 - 2e^0 = 2e^2 - 2(1) = 2e^2 - 2$.
Ответ: $2e^2-2$

21.58. a) $y = 0$, $x = 1$, $x = e$, $y = \frac{1}{x}$;

б) $y = 0$, $x = 3$, $x = -1$, $y = \frac{1}{2x + 3}$;

в) $y = 0$, $x = e$, $x = e^2$, $y = \frac{2}{x}$;

г) $y = 0$, $x = 2$, $x = 5$, $y = \frac{1}{3x - 5}$.

Данная задача заключается в нахождении площади фигуры, ограниченной заданными линиями. Такая площадь, если фигура ограничена графиком неотрицательной функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

а)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = e$. Здесь $f(x) = \frac{1}{x}$, $a=1$, $b=e$. Функция $f(x)$ на отрезке $[1, e]$ положительна.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \,dx$

Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ является функция $F(x) = \ln|x|$. Поскольку на отрезке $[1, e]$ значение $x$ положительно, $|x| = x$.

Вычисляем интеграл:

$S = [\ln(x)]_{1}^{e} = \ln(e) - \ln(1) = 1 - 0 = 1$

Ответ: $1$

б)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{2x+3}$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 3$. Здесь $f(x) = \frac{1}{2x+3}$, $a=-1$, $b=3$. На отрезке $[-1, 3]$ знаменатель $2x+3$ принимает значения от $2(-1)+3=1$ до $2(3)+3=9$, поэтому функция $f(x)$ положительна.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{-1}^{3} \frac{1}{2x+3} \,dx$

Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{kx+m}$ является функция $F(x) = \frac{1}{k}\ln|kx+m|$. В данном случае $k=2, m=3$.

Вычисляем интеграл:

$S = \left[\frac{1}{2}\ln|2x+3|\right]_{-1}^{3} = \frac{1}{2}\ln(2 \cdot 3 + 3) - \frac{1}{2}\ln(2 \cdot (-1) + 3) = \frac{1}{2}\ln(9) - \frac{1}{2}\ln(1)$

Так как $\ln(1)=0$ и $\ln(9)=\ln(3^2)=2\ln(3)$, получаем:

$S = \frac{1}{2}\ln(9) = \frac{1}{2} \cdot 2\ln(3) = \ln(3)$

Ответ: $\ln(3)$

в)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{2}{x}$, $y = 0$, $x = e$, $x = e^2$. Здесь $f(x) = \frac{2}{x}$, $a=e$, $b=e^2$. Функция $f(x)$ на отрезке $[e, e^2]$ положительна.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{e}^{e^2} \frac{2}{x} \,dx = 2 \int_{e}^{e^2} \frac{1}{x} \,dx$

Первообразной для $f(x) = \frac{1}{x}$ является $F(x) = \ln(x)$ (так как $x>0$).

Вычисляем интеграл:

$S = 2[\ln(x)]_{e}^{e^2} = 2(\ln(e^2) - \ln(e))$

Используя свойства логарифмов, $\ln(e^2) = 2\ln(e) = 2$ и $\ln(e) = 1$:

$S = 2(2 - 1) = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: $2$

г)

Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{3x-5}$, $y = 0$, $x = 2$, $x = 5$. Здесь $f(x) = \frac{1}{3x-5}$, $a=2$, $b=5$. На отрезке $[2, 5]$ знаменатель $3x-5$ принимает значения от $3(2)-5=1$ до $3(5)-5=10$, поэтому функция $f(x)$ положительна.

Площадь фигуры равна:

$S = \int_{2}^{5} \frac{1}{3x-5} \,dx$

Первообразной для $f(x) = \frac{1}{3x-5}$ является $F(x) = \frac{1}{3}\ln|3x-5|$.

Вычисляем интеграл:

$S = \left[\frac{1}{3}\ln|3x-5|\right]_{2}^{5} = \frac{1}{3}\ln(3 \cdot 5 - 5) - \frac{1}{3}\ln(3 \cdot 2 - 5) = \frac{1}{3}\ln(10) - \frac{1}{3}\ln(1)$

Так как $\ln(1)=0$, получаем:

$S = \frac{1}{3}\ln(10)$

Ответ: $\frac{1}{3}\ln(10)$

21.59. a) $y = e^x$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 2$, $x = 3$;

б) $y = \frac{1}{x}$, $y = 1$, $x = 5$;

в) $y = \sqrt{x}$, $y = \frac{1}{x}$, $x = 4$;

г) $y = -\frac{1}{x}$, $y = -1$, $x = e$.

а) Фигура ограничена графиками функций $y = e^x$, $y = \frac{1}{x}$ и прямыми $x = 2$, $x = 3$.
Для нахождения площади воспользуемся формулой $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$.
На отрезке $[2, 3]$ сравним значения функций $y = e^x$ и $y = \frac{1}{x}$. При $x \ge 2$, $e^x$ является возрастающей функцией, и $e^x \ge e^2 \approx 7.39$. Функция $y = \frac{1}{x}$ является убывающей, и $\frac{1}{x} \le \frac{1}{2}$. Таким образом, на всем отрезке $[2, 3]$ выполняется неравенство $e^x > \frac{1}{x}$.
Следовательно, искомая площадь вычисляется по интегралу:
$S = \int_{2}^{3} \left(e^x - \frac{1}{x}\right) dx$
Найдем первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = e^x - \ln|x|$. Так как на отрезке $[2, 3]$ $x > 0$, то $|x|=x$.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$S = \left. (e^x - \ln x) \right|_{2}^{3} = (e^3 - \ln 3) - (e^2 - \ln 2) = e^3 - e^2 - \ln 3 + \ln 2$.
Используя свойство логарифмов $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$, получаем:
$S = e^3 - e^2 + \ln\left(\frac{2}{3}\right)$.

Ответ: $e^3 - e^2 + \ln\frac{2}{3}$.

б) Фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 1$ и $x = 5$.
Найдем точку пересечения графиков $y = \frac{1}{x}$ и $y = 1$, чтобы определить пределы интегрирования.
$\frac{1}{x} = 1 \implies x = 1$.
Таким образом, фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = 1$, $x = 1$ и $x = 5$. Интегрирование будет производиться по отрезку $[1, 5]$.
На этом отрезке $x \ge 1$, следовательно $\frac{1}{x} \le 1$. Значит, график функции $y=1$ лежит выше графика функции $y=\frac{1}{x}$.
Площадь фигуры равна:
$S = \int_{1}^{5} \left(1 - \frac{1}{x}\right) dx$
Найдем первообразную: $F(x) = x - \ln|x|$. На отрезке $[1, 5]$ $x > 0$, поэтому $|x|=x$.
Вычислим интеграл:
$S = \left. (x - \ln x) \right|_{1}^{5} = (5 - \ln 5) - (1 - \ln 1)$
Так как $\ln 1 = 0$, получаем:
$S = 5 - \ln 5 - 1 = 4 - \ln 5$.

Ответ: $4 - \ln 5$.

в) Фигура ограничена линиями $y = \sqrt{x}$, $y = \frac{1}{x}$ и $x = 4$.
Найдем точку пересечения графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$.
$\sqrt{x} = \frac{1}{x} \implies x \sqrt{x} = 1 \implies x^{3/2} = 1 \implies x = 1$.
Область интегрирования — отрезок $[1, 4]$.
На этом отрезке сравним функции. При $x > 1$, $\sqrt{x} > 1$ и $\frac{1}{x} < 1$, следовательно $\sqrt{x} > \frac{1}{x}$.
Площадь фигуры вычисляется по интегралу:
$S = \int_{1}^{4} \left(\sqrt{x} - \frac{1}{x}\right) dx = \int_{1}^{4} \left(x^{1/2} - \frac{1}{x}\right) dx$
Первообразная функции: $F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} - \ln|x| = \frac{2}{3}x^{3/2} - \ln x$ (так как $x>0$).
Вычислим интеграл:
$S = \left. \left(\frac{2}{3}x^{3/2} - \ln x\right) \right|_{1}^{4} = \left(\frac{2}{3}(4)^{3/2} - \ln 4\right) - \left(\frac{2}{3}(1)^{3/2} - \ln 1\right)$
Так как $4^{3/2} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$ и $\ln 1 = 0$:
$S = \left(\frac{2}{3} \cdot 8 - \ln 4\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 1 - 0\right) = \frac{16}{3} - \ln 4 - \frac{2}{3} = \frac{14}{3} - \ln 4$.

Ответ: $\frac{14}{3} - \ln 4$.

г) Фигура ограничена линиями $y = -\frac{1}{x}$, $y = -1$ и $x = e$.
Найдем точку пересечения графиков $y = -\frac{1}{x}$ и $y = -1$.
$-\frac{1}{x} = -1 \implies x = 1$.
Таким образом, интегрирование будет производиться по отрезку $[1, e]$.
На отрезке $[1, e]$ сравним функции. Так как $1 \le x \le e$, то $1 \ge \frac{1}{x} \ge \frac{1}{e}$. Умножая на $-1$, получаем $-1 \le -\frac{1}{x} \le -\frac{1}{e}$. Следовательно, на данном отрезке $-\frac{1}{x} \ge -1$.
Площадь фигуры равна:
$S = \int_{1}^{e} \left(-\frac{1}{x} - (-1)\right) dx = \int_{1}^{e} \left(1 - \frac{1}{x}\right) dx$
Первообразная: $F(x) = x - \ln|x| = x - \ln x$ (так как $x>0$).
Вычислим интеграл:
$S = \left. (x - \ln x) \right|_{1}^{e} = (e - \ln e) - (1 - \ln 1)$
Так как $\ln e = 1$ и $\ln 1 = 0$:
$S = (e - 1) - (1 - 0) = e - 2$.

Ответ: $e - 2$.

21.60. a) $y = 2^x$, $y = 3 - x$, $y = 0$, $x = 0$;

б) $y = 3^x$, $y = 5 - 2x$, $y = 0$, $x = 0$.

а)

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 2^x$, $y = 3 - x$, $y = 0$ и $x = 0$, необходимо сначала построить эскиз графиков этих функций и определить границы интегрирования.

1. Анализ границ.
Линии $x=0$ (ось ординат) и $y=0$ (ось абсцисс) задают границы фигуры в первом квадранте. Фигура ограничена снизу осью $y=0$, а слева — осью $x=0$. Верхняя граница фигуры формируется графиками $y=2^x$ и $y=3-x$.

2. Нахождение точки пересечения.
Найдем точку пересечения графиков $y=2^x$ и $y=3-x$, решив уравнение: $2^x = 3 - x$ Методом подбора легко найти, что $x=1$ является решением, так как $2^1 = 2$ и $3 - 1 = 2$. Таким образом, графики пересекаются в точке $(1, 2)$.

3. Определение области интегрирования.
Фигура ограничена осью $x=0$ слева. Прямая $y=3-x$ пересекает ось $y=0$ при $x=3$. Верхняя граница фигуры является составной:

• На отрезке $x \in [0, 1]$ фигура ограничена сверху графиком $y=2^x$.
• На отрезке $x \in [1, 3]$ фигура ограничена сверху графиком $y=3-x$.

Поэтому для вычисления площади $S$ нужно разбить интеграл на две части.

4. Вычисление площади.
Площадь фигуры равна сумме двух интегралов: $S = \int_{0}^{1} 2^x \,dx + \int_{1}^{3} (3-x) \,dx$

Вычислим первый интеграл: $S_1 = \int_{0}^{1} 2^x \,dx = \left. \frac{2^x}{\ln 2} \right|_{0}^{1} = \frac{2^1}{\ln 2} - \frac{2^0}{\ln 2} = \frac{2-1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$

Вычислим второй интеграл: $S_2 = \int_{1}^{3} (3-x) \,dx = \left. \left(3x - \frac{x^2}{2}\right) \right|_{1}^{3} = \left(3 \cdot 3 - \frac{3^2}{2}\right) - \left(3 \cdot 1 - \frac{1^2}{2}\right) = \left(9 - \frac{9}{2}\right) - \left(3 - \frac{1}{2}\right) = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = \frac{1}{\ln 2} + 2$

Ответ: $S = 2 + \frac{1}{\ln 2}$.

б)

Аналогично решим задачу для фигуры, ограниченной линиями $y = 3^x$, $y = 5 - 2x$, $y = 0$ и $x = 0$.

1. Анализ границ.
Фигура расположена в первом квадранте, ограничена осями $x=0$ и $y=0$. Верхняя граница состоит из частей графиков $y=3^x$ и $y=5-2x$.

2. Нахождение точки пересечения.
Найдем точку пересечения графиков $y=3^x$ и $y=5-2x$: $3^x = 5 - 2x$ Подбором находим корень $x=1$, так как $3^1 = 3$ и $5 - 2 \cdot 1 = 3$. Точка пересечения — $(1, 3)$.

3. Определение области интегрирования.
Прямая $y=5-2x$ пересекает ось $y=0$ при $5-2x=0$, то есть $x=2.5$. Верхняя граница фигуры является составной:

• На отрезке $x \in [0, 1]$ фигура ограничена сверху графиком $y=3^x$.
• На отрезке $x \in [1, 2.5]$ фигура ограничена сверху графиком $y=5-2x$.

4. Вычисление площади.
Площадь фигуры $S$ вычисляется как сумма двух интегралов: $S = \int_{0}^{1} 3^x \,dx + \int_{1}^{2.5} (5-2x) \,dx$

Вычислим первый интеграл: $S_1 = \int_{0}^{1} 3^x \,dx = \left. \frac{3^x}{\ln 3} \right|_{0}^{1} = \frac{3^1}{\ln 3} - \frac{3^0}{\ln 3} = \frac{3-1}{\ln 3} = \frac{2}{\ln 3}$

Вычислим второй интеграл: $S_2 = \int_{1}^{2.5} (5-2x) \,dx = \left. \left(5x - x^2\right) \right|_{1}^{2.5} = \left(5 \cdot 2.5 - (2.5)^2\right) - \left(5 \cdot 1 - 1^2\right) = (12.5 - 6.25) - (5 - 1) = 6.25 - 4 = 2.25 = \frac{9}{4}$

Общая площадь: $S = S_1 + S_2 = \frac{2}{\ln 3} + \frac{9}{4}$

Ответ: $S = \frac{9}{4} + \frac{2}{\ln 3}$.