Страница 137, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Можно ли утверждать, что уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где $a > 0$, $a \neq 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$?

1.

Да, можно утверждать, что данные уравнения равносильны. Разберем почему.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Это означает, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот. Для доказательства равносильности уравнений $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ и $f(x) = g(x)$ нужно рассмотреть переход от одного к другому в обе стороны.

Во-первых, рассмотрим переход от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $a^{f(x)} = a^{g(x)}$. Пусть $x_0$ является корнем уравнения $f(x) = g(x)$. Это значит, что при подстановке $x_0$ в обе части уравнения получается верное числовое равенство $f(x_0) = g(x_0)$. При этом, естественно, $x_0$ входит в область определения функций $f(x)$ и $g(x)$. Если два числа равны, то и показательные функции с одинаковым основанием $a$ от этих чисел также будут равны. То есть из $f(x_0) = g(x_0)$ следует $a^{f(x_0)} = a^{g(x_0)}$. Следовательно, любой корень уравнения $f(x) = g(x)$ является корнем уравнения $a^{f(x)} = a^{g(x)}$.

Во-вторых, рассмотрим обратный переход: от уравнения $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$. Пусть $x_1$ является корнем уравнения $a^{f(x)} = a^{g(x)}$. Это означает, что $x_1$ принадлежит области определения функций $f(x)$ и $g(x)$, и выполняется равенство $a^{f(x_1)} = a^{g(x_1)}$. Показательная функция $y = a^t$ с основанием $a > 0$ и $a \neq 1$ является строго монотонной (возрастает при $a > 1$ и убывает при $0 < a < 1$). Ключевым свойством строго монотонной функции является ее взаимная однозначность (или инъективность): если значения функции равны, то равны и аргументы. Таким образом, из равенства $a^{f(x_1)} = a^{g(x_1)}$ однозначно следует, что $f(x_1) = g(x_1)$. Это означает, что любой корень уравнения $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ является и корнем уравнения $f(x) = g(x)$.

Важно также отметить, что область допустимых значений (ОДЗ) у обоих уравнений одинакова. Для существования выражений в уравнении $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ необходимо, чтобы были определены функции $f(x)$ и $g(x)$ (так как показательная функция $a^t$ определена для любого действительного $t$). Для уравнения $f(x) = g(x)$ ОДЗ определяется теми же условиями. Так как ОДЗ не изменяется при переходе между уравнениями, мы не теряем и не приобретаем посторонних корней.

Поскольку мы доказали, что множества решений обоих уравнений полностью совпадают, мы можем утверждать, что они равносильны.

Ответ: Да, можно утверждать, что уравнение $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ (где $a > 0, a \neq 1$) равносильно уравнению $f(x) = g(x)$, так как показательная функция является взаимно однозначной, а области определения обоих уравнений совпадают.

2. Можно ли утверждать, что уравнение $log_a f(x) = log_a g(x)$, где $a > 0$, $a \neq 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$?

Нет, в общем случае утверждать, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$, нельзя.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Чтобы выяснить, равносильны ли данные уравнения, необходимо сравнить их области допустимых значений (ОДЗ) и множества решений.

ОДЗ уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ определяется условиями существования логарифмов. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому ОДЗ задается системой неравенств: $$ \begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $$

В то же время, ОДЗ уравнения $f(x) = g(x)$ включает все значения $x$, для которых определены обе функции $f(x)$ и $g(x)$, без требования их положительности. Таким образом, ОДЗ логарифмического уравнения является подмножеством ОДЗ уравнения $f(x) = g(x)$, причём часто — строгим подмножеством.

Из-за этого различия в ОДЗ уравнения не всегда равносильны. Любой корень $x_0$ уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ является корнем уравнения $f(x) = g(x)$. Это следует из свойства монотонности (взаимной однозначности) логарифмической функции. Однако обратное утверждение не всегда верно. Уравнение $f(x) = g(x)$ может иметь корни, при которых $f(x)$ и $g(x)$ отрицательны или равны нулю. Такие корни называются посторонними для исходного логарифмического уравнения, так как при этих значениях $x$ логарифмы не определены.

Рассмотрим конкретный пример.

Пусть дано уравнение $\log_2(x) = \log_2(x^2 - 2)$.

Его ОДЗ: $$ \begin{cases} x > 0 \\ x^2 - 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty) \end{cases} \implies x \in (\sqrt{2}, +\infty) $$

Решим уравнение $x = x^2 - 2$, которое получается после снятия логарифмов (потенцирования).

$x^2 - x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь сравним эти корни с ОДЗ логарифмического уравнения ($x > \sqrt{2}$):

- Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > \sqrt{2}$, следовательно, это корень исходного уравнения.

- Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1$ не больше $\sqrt{2}$), следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, уравнение $\log_2(x) = \log_2(x^2 - 2)$ имеет единственный корень: $x = 2$.

При этом уравнение $x = x^2 - 2$ имеет два корня: $x=2$ и $x=-1$.

Поскольку множества решений ($\{2\}$ и $\{2, -1\}$) не совпадают, уравнения не являются равносильными.

Равносильным для уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ является переход к системе, которая включает в себя проверку ОДЗ: $$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases} $$ Достаточно проверить положительность только одной из функций (обычно выбирают ту, что проще), так как из равенства $f(x)=g(x)$ автоматически следует положительность и второй функции.

Ответ: Нет, утверждать, что уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ равносильно уравнению $f(x) = g(x)$, нельзя. Равносильность нарушается из-за того, что область допустимых значений (ОДЗ) логарифмического уравнения (требующая, чтобы $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$) строже, чем ОДЗ уравнения $f(x) = g(x)$. В результате у уравнения $f(x) = g(x)$ могут появиться посторонние корни, которые не являются решениями исходного логарифмического уравнения.

3. При каких условиях уравнение $log_a f(x) = log_a g(x)$, где $a > 0$, $a \neq 1$, равносильно уравнению $f(x) = g(x)$?

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений полностью совпадают. Рассмотрим оба уравнения, чтобы определить условия их равносильности.

1. Анализ уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $

Это логарифмическое уравнение. Его область допустимых значений (ОДЗ) определяется тем, что выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными. Таким образом, для любого решения $ x $ должны выполняться следующие условия:

$ f(x) > 0 $ и $ g(x) > 0 $.

На этой ОДЗ, благодаря свойству инъективности (взаимной однозначности) логарифмической функции при основании $ a > 0 $ и $ a \neq 1 $, равенство логарифмов равносильно равенству их аргументов:

$ \log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x) $

Следовательно, множество решений уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ является множеством решений системы:

$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases} $

Обратим внимание, что если $ f(x) = g(x) $, то условие $ f(x) > 0 $ автоматически влечет за собой условие $ g(x) > 0 $. Поэтому систему можно упростить, оставив только одно из неравенств. Множество решений первого уравнения — это множество всех $ x $, удовлетворяющих системе:

$ \begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases} $

2. Анализ уравнения $ f(x) = g(x) $

Множество решений этого уравнения — это все значения $ x $, для которых функции $ f(x) $ и $ g(x) $ принимают одинаковые значения. В общем случае на знаки этих функций не накладывается никаких ограничений.

3. Условие равносильности

Чтобы два уравнения были равносильны, их множества решений должны быть идентичны. Сравнивая результаты анализа, мы видим, что множество решений уравнения $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ является подмножеством множества решений уравнения $ f(x) = g(x) $. Это те решения уравнения $ f(x) = g(x) $, которые дополнительно удовлетворяют условию $ f(x) > 0 $.

Равносильность будет достигнута тогда и только тогда, когда эти множества совпадут. Это произойдет, если дополнительное условие $ f(x) > 0 $ не отсеивает ни одного из корней уравнения $ f(x) = g(x) $. Иными словами, каждый корень уравнения $ f(x) = g(x) $ должен также удовлетворять и условию $ f(x) > 0 $.

Ответ: Уравнение $ \log_a f(x) = \log_a g(x) $ равносильно уравнению $ f(x) = g(x) $ при условии, что все решения уравнения $ f(x) = g(x) $ принадлежат области допустимых значений логарифмического уравнения. То есть, для любого корня $ x_0 $ уравнения $ f(x) = g(x) $ должно выполняться неравенство $ f(x_0) > 0 $ (и, как следствие, $ g(x_0) > 0 $).

4. Перечислите основные методы решения логарифмических уравнений.

Логарифмические уравнения — это уравнения, в которых переменная находится под знаком логарифма или в его основании. Существует несколько основных методов их решения.

1. Использование определения логарифма

Этот метод применяется для простейших логарифмических уравнений вида $\log_a f(x) = b$. Согласно определению логарифма, такое уравнение равносильно уравнению $f(x) = a^b$ при выполнении условий области допустимых значений (ОДЗ): $a > 0$, $a \ne 1$, и $f(x) > 0$. После нахождения корней уравнения $f(x) = a^b$ необходимо проверить, удовлетворяют ли они условию $f(x) > 0$.

Пример: $\log_3(2x - 5) = 2$.

Решение:

По определению логарифма переходим к уравнению:

$2x - 5 = 3^2$

$2x - 5 = 9$

$2x = 14$

$x = 7$

Проверим ОДЗ: выражение под логарифмом должно быть положительным: $2x - 5 > 0$.

Подставляем найденный корень: $2 \cdot 7 - 5 = 14 - 5 = 9 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: 7

2. Метод потенцирования

Этот метод используется для уравнений вида $\log_a f(x) = \log_a g(x)$. Потенцирование — это переход от равенства логарифмов к равенству выражений под ними. Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} f(x) = g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$

Достаточно проверить выполнение условия только для одной из функций ($f(x)$ или $g(x)$, обычно для той, что проще), так как из равенства $f(x) = g(x)$ следует, что если одна из них положительна, то и вторая тоже.

Пример: $\log_{0.5}(3x - 1) = \log_{0.5}(x + 7)$.

Решение:

Приравниваем выражения под знаками логарифмов:

$3x - 1 = x + 7$

$2x = 8$

$x = 4$

Проверим ОДЗ. Выберем более простое выражение, например, $x + 7 > 0$.

Подставляем найденный корень: $4 + 7 = 11 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: 4

3. Метод введения новой переменной (замены)

Если уравнение можно привести к алгебраическому уравнению относительно $\log_a x$, используется метод замены. Часто это приводит к квадратному уравнению.

Пример: $\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0$.

Решение:

ОДЗ уравнения: $x > 0$.

Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение принимает вид:

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решаем квадратное уравнение (например, по теореме Виета): $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Выполняем обратную замену:

1) $\lg x = 1 \implies x_1 = 10^1 = 10$.

2) $\lg x = 2 \implies x_2 = 10^2 = 100$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: 10; 100

4. Метод логарифмирования

Этот метод применяется к уравнениям, в которых переменная находится и в основании, и в показателе степени, например, $f(x)^{g(x)} = h(x)$. Обе части уравнения логарифмируют по некоторому удобному основанию. Важно помнить, что логарифмировать можно только положительные выражения.

Пример: $x^{\log_5 x} = 125$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$. При этом левая и правая части уравнения положительны, поэтому можно их логарифмировать. Прологарифмируем обе части по основанию 5:

$\log_5(x^{\log_5 x}) = \log_5(125)$

Используем свойство логарифма степени $\log_a(b^p) = p \log_a b$:

$(\log_5 x) \cdot (\log_5 x) = \log_5(5^3)$

$(\log_5 x)^2 = 3$

Отсюда получаем два случая:

1) $\log_5 x = \sqrt{3} \implies x_1 = 5^{\sqrt{3}}$.

2) $\log_5 x = -\sqrt{3} \implies x_2 = 5^{-\sqrt{3}} = \frac{1}{5^{\sqrt{3}}}$.

Оба корня положительны, значит, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $5^{\sqrt{3}}$; $5^{-\sqrt{3}}$

5. Метод приведения к одному основанию

Если в уравнении встречаются логарифмы с разными основаниями, их можно привести к одному основанию с помощью формулы перехода: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$.

Пример: $\log_3 x + \log_9 x + \log_{81} x = 7$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$.

Приведем все логарифмы к основанию 3:

$\log_9 x = \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = \frac{\log_3 x}{2}$

$\log_{81} x = \frac{\log_3 x}{\log_3 81} = \frac{\log_3 x}{4}$

Подставляем в исходное уравнение:

$\log_3 x + \frac{1}{2}\log_3 x + \frac{1}{4}\log_3 x = 7$

Выносим $\log_3 x$ за скобки:

$\log_3 x \cdot (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}) = 7$

$\log_3 x \cdot (\frac{4+2+1}{4}) = 7$

$\log_3 x \cdot \frac{7}{4} = 7$

$\log_3 x = 4$

$x = 3^4 = 81$.

Корень $x=81$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 81

6. Функционально-графический метод

Иногда уравнение невозможно решить аналитически. В таких случаях можно представить уравнение в виде $f(x) = g(x)$, исследовать функции в левой и правой частях на монотонность, ограниченность и т.д. Если, например, одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, то уравнение может иметь не более одного корня. Этот корень часто можно найти подбором.

Пример: $\log_2(x+1) = 3 - x$.

Решение:

ОДЗ: $x+1 > 0 \implies x > -1$.

Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_2(x+1)$ и $g(x) = 3 - x$.

Функция $f(x)$ является логарифмической с основанием $2 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей своей области определения.

Функция $g(x)$ является линейной с угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она строго убывает на всей числовой прямой.

Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более чем в одной точке. Значит, уравнение имеет не более одного корня. Попробуем найти его подбором.

Пусть $x=1$: $\log_2(1+1) = \log_2 2 = 1$; $3-1 = 2$. $1 \ne 2$.

Пусть $x=2$: $\log_2(2+1) = \log_2 3$; $3-2=1$. $\log_2 3 \ne 1$.

Пусть $x=3$: $\log_2(3+1) = \log_2 4 = 2$; $3-3=0$. $2 \ne 0$.

Давайте вернемся и проверим значение $x=1$ еще раз. $\log_2(1+1) = 1$, $3-1=2$. Не подходит.

Попробуем $x=0$: $\log_2(0+1) = \log_2 1 = 0$; $3-0=3$. $0 \ne 3$.

Что-то не так. Давайте проверим значение $x=1$ в похожем уравнении, например $\log_2 x = 3-x$. Тогда при $x=2$ будет $\log_2 2 = 1$ и $3-2=1$. Корень $x=2$.

Для исходного уравнения $\log_2(x+1) = 3-x$ подберем корень. При $x=1.5$ (примерно) $\log_2(2.5) \approx 1.3$, $3-1.5 = 1.5$. Близко.

Попробуем целые числа. Пусть $x=1$: $f(1) = \log_2(2)=1$, $g(1)=3-1=2$. Левая часть меньше правой.

Пусть $x=2$: $f(2) = \log_2(3) \approx 1.58$, $g(2)=3-2=1$. Левая часть больше правой.

Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, и при $x=1$ $f(1)<g(1)$, а при $x=2$ $f(2)>g(2)$, то корень находится в интервале $(1, 2)$. Этот корень, скорее всего, иррационален и не может быть найден простым подбором. Но сам метод заключается в этом.

Возьмем другой, более удачный пример для демонстрации метода.

Новый пример: $\log_3 x = 4 - x$.

Решение:

ОДЗ: $x > 0$.

$f(x) = \log_3 x$ — строго возрастающая функция.

$g(x) = 4 - x$ — строго убывающая функция.

Уравнение имеет не более одного корня. Найдем его подбором.

Пусть $x=3$: $\log_3 3 = 1$; $4-3=1$. Равенство верное.

Следовательно, $x=3$ — единственный корень уравнения.

Ответ: 3

5. Сколько корней имеет уравнение $\log_2 x = \frac{1}{x}$? уравнение $\log_2 x = 3 - x$? Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Сколько корней имеет уравнение $\log_2 x = \frac{1}{x}$?

Для определения количества корней уравнения рассмотрим две функции: $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = \frac{1}{x}$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

Область определения для обеих функций в данном уравнении — $x > 0$.

Проанализируем поведение функций на этом интервале:

• Функция $y_1 = \log_2 x$ является логарифмической с основанием больше 1, поэтому она строго возрастает на всей своей области определения $(0, +\infty)$.
• Функция $y_2 = \frac{1}{x}$ (гипербола) для $x > 0$ является строго убывающей.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более одного раза.

Чтобы доказать, что пересечение действительно существует, проверим значения функций на границах интервала.

• При $x \to 0^+$, $y_1 = \log_2 x \to -\infty$, а $y_2 = \frac{1}{x} \to +\infty$. То есть, $y_1 < y_2$.
• При $x = 2$, $y_1 = \log_2 2 = 1$, а $y_2 = \frac{1}{2}$. То есть, $y_1 > y_2$.

Так как обе функции непрерывны на $(0, +\infty)$ и разность $y_1 - y_2$ меняет знак (с отрицательного на положительный), то по теореме о промежуточном значении существует точка, в которой $y_1 = y_2$. Учитывая, что такая точка может быть только одна, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: уравнение имеет один корень.

Сколько корней имеет уравнение $\log_2 x = 3 - x$?

Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим функции $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = 3 - x$.

Область определения $x > 0$.

• Функция $y_1 = \log_2 x$ — строго возрастающая.
• Функция $y_2 = 3 - x$ — линейная функция с отрицательным угловым коэффициентом, следовательно, она строго убывающая.

Из-за различной монотонности функции могут иметь не более одной точки пересечения.

Попробуем найти корень подбором, проверяя небольшие целые числа, которые являются степенями двойки, чтобы упростить логарифм.

Проверим $x=2$:

Левая часть: $\log_2 2 = 1$.

Правая часть: $3 - 2 = 1$.

Поскольку $1 = 1$, то $x=2$ является корнем уравнения. Так как мы уже установили, что корень может быть только один, это и есть единственное решение.

Ответ: уравнение имеет один корень.

Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Решить уравнение устно — значит найти его точное значение без сложных вычислений, как правило, путем подбора.

• Для уравнения $\log_2 x = \frac{1}{x}$ мы доказали, что корень существует и он один. Мы также видели, что при $x=1$ левая часть (0) меньше правой (1), а при $x=2$ левая часть (1) больше правой (0.5). Значит, корень находится в интервале $(1, 2)$. Это не целое число, и найти его точное значение устно не представляется возможным.
• Для уравнения $\log_2 x = 3 - x$ мы легко нашли корень $x=2$ путем простой подстановки. Так как корень единственный, мы полностью решили уравнение.

Следовательно, второе уравнение можно решить устно.

Ответ: устно можно решить уравнение $\log_2 x = 3 - x$.

21.26. Вычислите интеграл:

a) $\int_{-2}^{1} f(x) d x$, если график функции $y = f(x)$ (парабола) изображён на рис. 5;

б) $\int_{-1}^{2} f(x) d x$, если график функции $y = f(x)$ (парабола) изображён на рис. 6.

Рис. 5

Рис. 6

a) Для вычисления интеграла $\int_{-2}^{1} f(x)dx$ необходимо сначала найти уравнение параболы $y = f(x)$, изображенной на рис. 5.

Из графика видно, что вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$. Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(x_v, y_v)$ имеет вид $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. Подставив координаты вершины, получим: $y = a(x - (-1))^2 + (-1) = a(x+1)^2 - 1$.

Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся еще одной точкой на графике, например, $(0, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение: $0 = a(0+1)^2 - 1$ $0 = a \cdot 1 - 1$ $a = 1$

Таким образом, уравнение параболы: $f(x) = 1 \cdot (x+1)^2 - 1 = x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 + 2x$.

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{-2}^{1} (x^2 + 2x)dx = \left[ \frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{1} = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_{-2}^{1}$

Подставим пределы интегрирования: $\left( \frac{1^3}{3} + 1^2 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 \right) = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - \left( \frac{-8}{3} + 4 \right) = \frac{4}{3} - \left( \frac{-8+12}{3} \right) = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 0$.

Ответ: 0

б) Аналогично, для вычисления интеграла $\int_{-1}^{2} f(x)dx$ найдем уравнение параболы $y = f(x)$, изображенной на рис. 6.

Из графика видно, что парабола проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 1)$ и $(2, 1)$. Запишем уравнение параболы в общем виде $y = ax^2 + bx + c$ и составим систему уравнений, подставляя координаты этих точек.

Для точки $(0, 1)$: $a(0)^2 + b(0) + c = 1 \implies c = 1$.

Для точки $(-1, -1)$: $a(-1)^2 + b(-1) + 1 = -1 \implies a - b + 1 = -1 \implies a - b = -2$.

Для точки $(2, 1)$: $a(2)^2 + b(2) + 1 = 1 \implies 4a + 2b + 1 = 1 \implies 4a + 2b = 0 \implies 2a + b = 0$.

Решим систему уравнений: $\begin{cases} a - b = -2 \\ 2a + b = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b$: $b = -2a$. Подставим в первое уравнение: $a - (-2a) = -2 \implies 3a = -2 \implies a = -\frac{2}{3}$.

Тогда $b = -2 \cdot (-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$.

Уравнение параболы: $f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + \frac{4}{3}x + 1$.

Вычислим определенный интеграл: $\int_{-1}^{2} \left(-\frac{2}{3}x^2 + \frac{4}{3}x + 1\right)dx = \left[ -\frac{2}{3}\frac{x^3}{3} + \frac{4}{3}\frac{x^2}{2} + x \right]_{-1}^{2} = \left[ -\frac{2}{9}x^3 + \frac{2}{3}x^2 + x \right]_{-1}^{2}$

Подставим пределы интегрирования: $\left( -\frac{2}{9}(2)^3 + \frac{2}{3}(2)^2 + 2 \right) - \left( -\frac{2}{9}(-1)^3 + \frac{2}{3}(-1)^2 + (-1) \right) = \left( -\frac{16}{9} + \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{2}{9} + \frac{2}{3} - 1 \right)$

Приведем дроби к общему знаменателю: $\left( -\frac{16}{9} + \frac{24}{9} + \frac{18}{9} \right) - \left( \frac{2}{9} + \frac{6}{9} - \frac{9}{9} \right) = \frac{-16+24+18}{9} - \frac{2+6-9}{9} = \frac{26}{9} - \left(-\frac{1}{9}\right) = \frac{26}{9} + \frac{1}{9} = \frac{27}{9} = 3$.

Ответ: 3