Страница 135, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

21.20. Вычислите:

a) $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(x) dx$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{\cos^2 2x} - 1, & \text{если } x < 0, \\ \sin \frac{x}{2}, & \text{если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx$, где $f(x) = \begin{cases} -\sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right), & \text{если } x \le 0, \\ \frac{1}{\sqrt{x+1}}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

а)

Для вычисления интеграла $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(x) dx$, где функция $f(x)$ задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{\cos^2 2x} - 1, & \text{если } x < 0 \\ \sin \frac{x}{2}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$, необходимо разбить интеграл на два в точке $x=0$, так как в этой точке меняется аналитическое выражение для функции.

$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} f(x) dx$

Подставим соответствующие выражения для $f(x)$ в каждый из интегралов:
$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} \left(\frac{2}{\cos^2 2x} - 1\right) dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin \frac{x}{2} dx$

Вычислим первый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для $\frac{1}{\cos^2(2x)}$ есть $\frac{1}{2}\tan(2x)$, а для $1$ — $x$.
$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} \left(\frac{2}{\cos^2 2x} - 1\right) dx = \left[2 \cdot \frac{1}{2}\tan(2x) - x\right]_{-\frac{\pi}{6}}^{0} = [\tan(2x) - x]_{-\frac{\pi}{6}}^{0}$
$= (\tan(2 \cdot 0) - 0) - (\tan(2 \cdot (-\frac{\pi}{6})) - (-\frac{\pi}{6}))$
$= (0 - 0) - (\tan(-\frac{\pi}{3}) + \frac{\pi}{6}) = -(-\sqrt{3} + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{6}$

Вычислим второй интеграл. Первообразная для $\sin(\frac{x}{2})$ есть $-2\cos(\frac{x}{2})$.
$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin \frac{x}{2} dx = \left[-2\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$
$= \left(-2\cos\left(\frac{\pi/3}{2}\right)\right) - \left(-2\cos\left(\frac{0}{2}\right)\right) = -2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) - (-2\cos(0))$
$= -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot 1 = -\sqrt{3} + 2$

Теперь сложим значения двух интегралов, чтобы найти итоговый результат:
$(\sqrt{3} - \frac{\pi}{6}) + (-\sqrt{3} + 2) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{6} - \sqrt{3} + 2 = 2 - \frac{\pi}{6}$

Ответ: $2 - \frac{\pi}{6}$

б)

Для вычисления интеграла $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx$, где функция $f(x)$ задана кусочно: $f(x) = \begin{cases} -\sin(x - \frac{\pi}{2}), & \text{если } x \le 0 \\ \frac{1}{\sqrt{x+1}}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$, также разобьем интеграл на два в точке $x=0$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{3} f(x) dx$

Подставим соответствующие выражения для $f(x)$:
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{3} f(x) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (-\sin(x - \frac{\pi}{2})) dx + \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx$

Упростим подынтегральную функцию в первом интеграле, используя формулы приведения:
$-\sin(x - \frac{\pi}{2}) = -\sin(-(\frac{\pi}{2} - x)) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$

Теперь вычислим первый интеграл:
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos x dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = \sin(0) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - (-1) = 1$

Вычислим второй интеграл. Запишем подынтегральную функцию в виде $(x+1)^{-\frac{1}{2}}$. Её первообразная равна $\frac{(x+1)^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x+1}$.
$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx = \int_{0}^{3} (x+1)^{-\frac{1}{2}} dx = [2\sqrt{x+1}]_{0}^{3}$
$= 2\sqrt{3+1} - 2\sqrt{0+1} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$

Сложим полученные значения:
$1 + 2 = 3$

Ответ: $3$

21.21. Вычислите $\int_{0}^{2} f(x) dx$, если:

a) $f(x) = \begin{cases} 4^x, & x \le 1, \\ 4x^3, & x > 1; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} \sqrt{x}, & 0 \le x \le 1, \\ \frac{1}{x}, & x > 1. \end{cases}$

а)

Для вычисления определенного интеграла $\int_0^2 f(x) dx$ от кусочно-заданной функции, необходимо разбить интервал интегрирования $[0, 2]$ на части в точке, где функция меняет свое определение, то есть в точке $x=1$. Согласно свойству аддитивности определенного интеграла, мы можем представить его в виде суммы двух интегралов:

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 f(x) dx$

На интервале $[0, 1]$ (где $x \le 1$), функция задана как $f(x) = 4^x$.
На интервале $(1, 2]$ (где $x > 1$), функция задана как $f(x) = 4x^3$.

Подставим соответствующие выражения для функции в каждый из интегралов:

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 4^x dx + \int_1^2 4x^3 dx$

Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b g(x) dx = G(b) - G(a)$, где $G(x)$ — первообразная для $g(x)$.

1. Вычисляем первый интеграл:
Первообразная для $4^x$ равна $\frac{4^x}{\ln 4}$.
$\int_0^1 4^x dx = \left[ \frac{4^x}{\ln 4} \right]_0^1 = \frac{4^1}{\ln 4} - \frac{4^0}{\ln 4} = \frac{4}{\ln 4} - \frac{1}{\ln 4} = \frac{3}{\ln 4}$.

2. Вычисляем второй интеграл:
Первообразная для $4x^3$ равна $4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$.
$\int_1^2 4x^3 dx = \left[ x^4 \right]_1^2 = 2^4 - 1^4 = 16 - 1 = 15$.

Складываем полученные значения, чтобы найти итоговый результат:
$\int_0^2 f(x) dx = \frac{3}{\ln 4} + 15$.

Ответ: $15 + \frac{3}{\ln 4}$

б)

Аналогично пункту а), разобьем интеграл $\int_0^2 f(x) dx$ на два, так как функция $f(x)$ меняет свое аналитическое выражение в точке $x=1$.

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 f(x) dx + \int_1^2 f(x) dx$

На интервале $[0, 1]$, функция задана как $f(x) = \sqrt{x}$.
На интервале $(1, 2]$, функция задана как $f(x) = \frac{1}{x}$.

Подставим соответствующие выражения в интегралы:

$\int_0^2 f(x) dx = \int_0^1 \sqrt{x} dx + \int_1^2 \frac{1}{x} dx$

Вычислим каждый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница.

1. Вычисляем первый интеграл. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:
Первообразная для $x^{1/2}$ равна $\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}$.
$\int_0^1 x^{1/2} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{2}{3}(0)^{3/2} = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3}$.

2. Вычисляем второй интеграл:
Первообразная для $\frac{1}{x}$ равна $\ln|x|$.
$\int_1^2 \frac{1}{x} dx = \left[ \ln|x| \right]_1^2 = \ln|2| - \ln|1| = \ln 2 - 0 = \ln 2$.
(На интервале $[1, 2]$ значение $x$ положительно, поэтому знак модуля можно опустить).

Складываем полученные результаты:
$\int_0^2 f(x) dx = \frac{2}{3} + \ln 2$.

Ответ: $\frac{2}{3} + \ln 2$

Вычислите:

21.22. a) $\int_2^3 (|x^2 - 4| + 2x) dx$

б) $\int_0^1 (|x^2 + 2| + |x - 5|) dx$

в) $\int_{-2}^2 (|x^2 - 4| + 2x) dx$

г) $\int_{-2}^{-1} (|x^4 + 2x^2 + 3| + |x + 1|) dx$

а) Вычислим интеграл $\int_{2}^{3} (|x^2 - 4| + 2x) dx$.

Сначала рассмотрим выражение под знаком модуля: $x^2 - 4$. Найдём его корни: $x^2 - 4 = 0$, откуда $x_1 = -2$, $x_2 = 2$.

Интегрирование производится по отрезку $[2, 3]$. На этом отрезке выражение $x^2 - 4$ неотрицательно, так как для любого $x \ge 2$ выполняется $x^2 \ge 4$. Следовательно, $|x^2 - 4| = x^2 - 4$ на отрезке $[2, 3]$.

Таким образом, интеграл принимает вид:

$\int_{2}^{3} (x^2 - 4 + 2x) dx = \int_{2}^{3} (x^2 + 2x - 4) dx$.

Найдём первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^2 + 2x - 4$:

$F(x) = \frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} - 4x = \frac{x^3}{3} + x^2 - 4x$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{2}^{3} (x^2 + 2x - 4) dx = (\frac{x^3}{3} + x^2 - 4x) \Big|_{2}^{3}$

$= (\frac{3^3}{3} + 3^2 - 4 \cdot 3) - (\frac{2^3}{3} + 2^2 - 4 \cdot 2)$

$= (\frac{27}{3} + 9 - 12) - (\frac{8}{3} + 4 - 8)$

$= (9 + 9 - 12) - (\frac{8}{3} - 4) = 6 - (\frac{8 - 12}{3}) = 6 - (-\frac{4}{3}) = 6 + \frac{4}{3} = \frac{18 + 4}{3} = \frac{22}{3}$.

Ответ: $\frac{22}{3}$.

б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} (|x^2 + 2| + |x - 5|) dx$.

Раскроем модули на отрезке интегрирования $[0, 1]$.

1. Выражение $x^2 + 2$ всегда положительно для любых действительных $x$, так как $x^2 \ge 0$. Поэтому $|x^2 + 2| = x^2 + 2$.

2. Выражение $x - 5$ на отрезке $[0, 1]$ всегда отрицательно, так как $x \le 1$ и, следовательно, $x - 5 \le 1 - 5 = -4$. Поэтому $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$.

Подставим раскрытые модули в интеграл:

$\int_{0}^{1} (x^2 + 2 + 5 - x) dx = \int_{0}^{1} (x^2 - x + 7) dx$.

Найдём первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^2 - x + 7$:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 7x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{1} (x^2 - x + 7) dx = (\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 7x) \Big|_{0}^{1}$

$= (\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 7 \cdot 1) - (\frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} + 7 \cdot 0)$

$= (\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 7) - 0 = \frac{2 - 3 + 42}{6} = \frac{41}{6}$.

Ответ: $\frac{41}{6}$.

в) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{2} (|x^2 - 4| + 2x) dx$.

Рассмотрим выражение под знаком модуля $x^2 - 4$ на отрезке интегрирования $[-2, 2]$.

Корни уравнения $x^2 - 4 = 0$ равны $x = -2$ и $x = 2$. Между корнями, то есть на интервале $(-2, 2)$, парабола $y = x^2 - 4$ находится ниже оси Ox, следовательно, $x^2 - 4 \le 0$ на отрезке $[-2, 2]$.

Поэтому на этом отрезке $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{-2}^{2} (4 - x^2 + 2x) dx = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 2x + 4) dx$.

Найдём первообразную для подынтегральной функции $f(x) = -x^2 + 2x + 4$:

$F(x) = -\frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + 4x = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 4x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{2} (-x^2 + 2x + 4) dx = (-\frac{x^3}{3} + x^2 + 4x) \Big|_{-2}^{2}$

$= (-\frac{2^3}{3} + 2^2 + 4 \cdot 2) - (-\frac{(-2)^3}{3} + (-2)^2 + 4 \cdot (-2))$

$= (-\frac{8}{3} + 4 + 8) - (\frac{8}{3} + 4 - 8)$

$= (12 - \frac{8}{3}) - (\frac{8}{3} - 4) = \frac{36 - 8}{3} - \frac{8 - 12}{3} = \frac{28}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{28 + 4}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.

г) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} (|x^4 + 2x^2 + 3| + |x + 1|) dx$.

Раскроем модули на отрезке интегрирования $[-2, -1]$.

1. Выражение $x^4 + 2x^2 + 3$. Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любых $x$, то их сумма $x^4 + 2x^2 \ge 0$, а значит и $x^4 + 2x^2 + 3 > 0$. Следовательно, $|x^4 + 2x^2 + 3| = x^4 + 2x^2 + 3$.

2. Выражение $x + 1$. На отрезке $[-2, -1]$ значение $x$ не превышает $-1$, то есть $x \le -1$, из чего следует, что $x + 1 \le 0$. Поэтому на данном отрезке $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$.

Подставим раскрытые модули в интеграл:

$\int_{-2}^{-1} (x^4 + 2x^2 + 3 - x - 1) dx = \int_{-2}^{-1} (x^4 + 2x^2 - x + 2) dx$.

Найдём первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^4 + 2x^2 - x + 2$:

$F(x) = \frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{-1} (x^4 + 2x^2 - x + 2) dx = (\frac{x^5}{5} + \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x) \Big|_{-2}^{-1}$

Сначала вычислим значение первообразной в верхней точке $x = -1$:

$F(-1) = \frac{(-1)^5}{5} + \frac{2(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) = -\frac{1}{5} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 2 = \frac{-6 - 20 - 15}{30} - \frac{60}{30} = -\frac{101}{30}$.

Теперь вычислим значение в нижней точке $x = -2$:

$F(-2) = \frac{(-2)^5}{5} + \frac{2(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) = -\frac{32}{5} - \frac{16}{3} - \frac{4}{2} - 4 = -\frac{32}{5} - \frac{16}{3} - 6 = \frac{-96 - 80}{15} - \frac{90}{15} = -\frac{176}{15} - \frac{90}{15} = -\frac{266}{15}$.

Вычислим разность $F(-1) - F(-2)$:

$-\frac{101}{30} - (-\frac{266}{15}) = -\frac{101}{30} + \frac{266 \cdot 2}{15 \cdot 2} = -\frac{101}{30} + \frac{532}{30} = \frac{532 - 101}{30} = \frac{431}{30}$.

Ответ: $\frac{431}{30}$.

21.23. a) $\int_{-1}^{1} (|x - 1| + |x + 1|) dx;$

б) $\int_{-4}^{0} (|x - 2| - |x + 3|) dx;$

в) $\int_{1}^{2} (|x - 1| + |x + 1|) dx;$

г) $\int_{-4}^{4} (|x - 2| - |x + 3|) dx.$

Для вычисления интеграла $ \int_{-1}^{1} (|x - 1| + |x + 1|) dx $ необходимо раскрыть модули на отрезке интегрирования $ [-1, 1] $.
На этом отрезке выполняются неравенства $ x \le 1 $ и $ x \ge -1 $.
Следовательно, $ |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x $ и $ |x + 1| = x + 1 $.
Подынтегральная функция упрощается: $ |x - 1| + |x + 1| = (1 - x) + (x + 1) = 2 $.
Вычисляем интеграл:
$ \int_{-1}^{1} 2 \,dx = 2x \Big|_{-1}^{1} = 2(1) - 2(-1) = 2 + 2 = 4 $.
Ответ: 4.

Рассмотрим интеграл $ \int_{-4}^{0} (|x - 2| - |x + 3|) dx $.
Точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $ x = 2 $ и $ x = -3 $.
Точка $ x = 2 $ не входит в отрезок интегрирования $ [-4, 0] $. Точка $ x = -3 $ делит отрезок на два подинтервала: $ [-4, -3] $ и $ [-3, 0] $.
Разобьем интеграл на два:
$ \int_{-4}^{0} (|x-2| - |x+3|)dx = \int_{-4}^{-3} (|x-2| - |x+3|)dx + \int_{-3}^{0} (|x-2| - |x+3|)dx $.
1. На интервале $ [-4, -3] $: $ x-2 < 0 \implies |x-2|=-(x-2)=2-x $, и $ x+3 \le 0 \implies |x+3|=-(x+3)=-x-3 $.
Подынтегральная функция: $ (2-x) - (-x-3) = 2-x+x+3=5 $.
$ \int_{-4}^{-3} 5 \,dx = 5x \Big|_{-4}^{-3} = 5(-3) - 5(-4) = -15 + 20 = 5 $.
2. На интервале $ [-3, 0] $: $ x-2 < 0 \implies |x-2|=2-x $, и $ x+3 \ge 0 \implies |x+3|=x+3 $.
Подынтегральная функция: $ (2-x) - (x+3) = 2-x-x-3=-2x-1 $.
$ \int_{-3}^{0} (-2x-1) \,dx = (-x^2 - x) \Big|_{-3}^{0} = (0) - (-(-3)^2 - (-3)) = -(-9+3) = 6 $.
Суммируя результаты, получаем: $ 5 + 6 = 11 $.
Ответ: 11.

Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{2} (|x - 1| + |x + 1|) dx $ раскроем модули на отрезке интегрирования $ [1, 2] $.
На этом отрезке выполняются неравенства $ x \ge 1 $ и $ x \ge -1 $.
Следовательно, $ |x - 1| = x - 1 $ и $ |x + 1| = x + 1 $.
Подынтегральная функция упрощается: $ |x - 1| + |x + 1| = (x - 1) + (x + 1) = 2x $.
Вычисляем интеграл:
$ \int_{1}^{2} 2x \,dx = x^2 \Big|_{1}^{2} = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 $.
Ответ: 3.

Рассмотрим интеграл $ \int_{-4}^{4} (|x - 2| - |x + 3|) dx $.
Точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $ x = 2 $ и $ x = -3 $.
Обе точки лежат внутри отрезка интегрирования $ [-4, 4] $. Они делят его на три подинтервала: $ [-4, -3] $, $ [-3, 2] $ и $ [2, 4] $.
Разобьем интеграл на три части:
$ I = \int_{-4}^{-3} (|x-2|-|x+3|)dx + \int_{-3}^{2} (|x-2|-|x+3|)dx + \int_{2}^{4} (|x-2|-|x+3|)dx $.
1. На интервале $ [-4, -3] $: $ |x-2|=2-x $, $ |x+3|=-x-3 $. Подынтегральная функция: $ (2-x) - (-x-3) = 5 $.
$ \int_{-4}^{-3} 5 \,dx = 5x \Big|_{-4}^{-3} = 5(-3) - 5(-4) = 5 $.
2. На интервале $ [-3, 2] $: $ |x-2|=2-x $, $ |x+3|=x+3 $. Подынтегральная функция: $ (2-x) - (x+3) = -2x-1 $.
$ \int_{-3}^{2} (-2x-1) \,dx = (-x^2 - x) \Big|_{-3}^{2} = (-(2^2)-2) - (-(-3)^2-(-3)) = (-6) - (-9+3) = -6 - (-6) = 0 $.
3. На интервале $ [2, 4] $: $ |x-2|=x-2 $, $ |x+3|=x+3 $. Подынтегральная функция: $ (x-2) - (x+3) = -5 $.
$ \int_{2}^{4} (-5) \,dx = -5x \Big|_{2}^{4} = -5(4) - (-5(2)) = -20 + 10 = -10 $.
Суммируя результаты, получаем: $ I = 5 + 0 + (-10) = -5 $.
Ответ: -5.