Страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите определённый интеграл:

21.5. a) $\int_1^2 \frac{4x^5 - 3x^4 + x^3 - 1}{x^2} dx$

б) $\int_{-2}^{-1} \frac{5x^7 - 4x^6 + 2x}{x^3} dx$

в) $\int_2^3 \frac{6x^4 - 4x^3 + 7x^2 - 1}{x^2} dx$

г) $\int_{-2}^{-1} \frac{3x^6 - 4x^5 - 7x^4 + 3x^2}{x^4} dx$

а) Для вычисления определённого интеграла $ \int_{1}^{2} \frac{4x^5 - 3x^4 + x^3 - 1}{x^2} dx $ сначала упростим подынтегральное выражение, разделив каждый член числителя на знаменатель:
$ \frac{4x^5 - 3x^4 + x^3 - 1}{x^2} = \frac{4x^5}{x^2} - \frac{3x^4}{x^2} + \frac{x^3}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 4x^3 - 3x^2 + x - x^{-2} $
Теперь найдём первообразную для полученной функции, используя правило интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $:
$ \int (4x^3 - 3x^2 + x - x^{-2}) dx = 4\frac{x^4}{4} - 3\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1}}{-1} = x^4 - x^3 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} $
Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная:
$ \int_{1}^{2} (4x^3 - 3x^2 + x - x^{-2}) dx = \left. \left(x^4 - x^3 + \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x}\right) \right|_{1}^{2} $
$ = \left(2^4 - 2^3 + \frac{2^2}{2} + \frac{1}{2}\right) - \left(1^4 - 1^3 + \frac{1^2}{2} + \frac{1}{1}\right) $
$ = \left(16 - 8 + \frac{4}{2} + \frac{1}{2}\right) - \left(1 - 1 + \frac{1}{2} + 1\right) = \left(8 + 2 + \frac{1}{2}\right) - \left(\frac{1}{2} + 1\right) = 10\frac{1}{2} - 1\frac{1}{2} = 9 $
Ответ: 9

б) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{-1} \frac{5x^7 - 4x^6 + 2x}{x^3} dx $. Упростим подынтегральное выражение:
$ \frac{5x^7 - 4x^6 + 2x}{x^3} = \frac{5x^7}{x^3} - \frac{4x^6}{x^3} + \frac{2x}{x^3} = 5x^4 - 4x^3 + 2x^{-2} $
Найдём первообразную:
$ \int (5x^4 - 4x^3 + 2x^{-2}) dx = 5\frac{x^5}{5} - 4\frac{x^4}{4} + 2\frac{x^{-1}}{-1} = x^5 - x^4 - \frac{2}{x} $
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-2}^{-1} (5x^4 - 4x^3 + 2x^{-2}) dx = \left. \left(x^5 - x^4 - \frac{2}{x}\right) \right|_{-2}^{-1} $
$ = \left((-1)^5 - (-1)^4 - \frac{2}{-1}\right) - \left((-2)^5 - (-2)^4 - \frac{2}{-2}\right) $
$ = (-1 - 1 + 2) - (-32 - 16 + 1) = 0 - (-47) = 47 $
Ответ: 47

в) Вычислим интеграл $ \int_{2}^{3} \frac{6x^4 - 4x^3 + 7x^2 - 1}{x^2} dx $. Упростим подынтегральное выражение:
$ \frac{6x^4 - 4x^3 + 7x^2 - 1}{x^2} = \frac{6x^4}{x^2} - \frac{4x^3}{x^2} + \frac{7x^2}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 6x^2 - 4x + 7 - x^{-2} $
Найдём первообразную:
$ \int (6x^2 - 4x + 7 - x^{-2}) dx = 6\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} + 7x - \frac{x^{-1}}{-1} = 2x^3 - 2x^2 + 7x + \frac{1}{x} $
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{2}^{3} (6x^2 - 4x + 7 - x^{-2}) dx = \left. \left(2x^3 - 2x^2 + 7x + \frac{1}{x}\right) \right|_{2}^{3} $
$ = \left(2 \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2 + 7 \cdot 3 + \frac{1}{3}\right) - \left(2 \cdot 2^3 - 2 \cdot 2^2 + 7 \cdot 2 + \frac{1}{2}\right) $
$ = \left(2 \cdot 27 - 2 \cdot 9 + 21 + \frac{1}{3}\right) - \left(2 \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 14 + \frac{1}{2}\right) $
$ = \left(54 - 18 + 21 + \frac{1}{3}\right) - \left(16 - 8 + 14 + \frac{1}{2}\right) = \left(57 + \frac{1}{3}\right) - \left(22 + \frac{1}{2}\right) $
$ = 57 + \frac{1}{3} - 22 - \frac{1}{2} = 35 + \frac{2-3}{6} = 35 - \frac{1}{6} = 34\frac{5}{6} $
Ответ: $ 34\frac{5}{6} $

г) Вычислим интеграл $ \int_{-2}^{-1} \frac{3x^6 - 4x^5 - 7x^4 + 3x^2}{x^4} dx $. Упростим подынтегральное выражение:
$ \frac{3x^6 - 4x^5 - 7x^4 + 3x^2}{x^4} = \frac{3x^6}{x^4} - \frac{4x^5}{x^4} - \frac{7x^4}{x^4} + \frac{3x^2}{x^4} = 3x^2 - 4x - 7 + 3x^{-2} $
Найдём первообразную:
$ \int (3x^2 - 4x - 7 + 3x^{-2}) dx = 3\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} - 7x + 3\frac{x^{-1}}{-1} = x^3 - 2x^2 - 7x - \frac{3}{x} $
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \int_{-2}^{-1} (3x^2 - 4x - 7 + 3x^{-2}) dx = \left. \left(x^3 - 2x^2 - 7x - \frac{3}{x}\right) \right|_{-2}^{-1} $
$ = \left((-1)^3 - 2(-1)^2 - 7(-1) - \frac{3}{-1}\right) - \left((-2)^3 - 2(-2)^2 - 7(-2) - \frac{3}{-2}\right) $
$ = (-1 - 2 \cdot 1 + 7 + 3) - (-8 - 2 \cdot 4 + 14 + \frac{3}{2}) $
$ = (-1 - 2 + 7 + 3) - (-8 - 8 + 14 + 1.5) = 7 - (-16 + 14 + 1.5) = 7 - (-2 + 1.5) = 7 - (-0.5) = 7.5 $
Ответ: 7,5

21.6.

a) $\int_{-1}^{0} \frac{(x^2 - 2x)(3 - 2x)}{x - 2} dx;$

Б) $\int_{2}^{3} \frac{(x^2 - 4)(x^2 - 1)}{x^2 + x - 2} dx;$

В) $\int_{2}^{3} \frac{(x^2 - 3x + 2)(2 + x)}{x - 1} dx;$

Г) $\int_{-1}^{1} \frac{(9 - x^2)(x^2 - 16)}{x^2 - 7x + 12} dx.$

а) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0} \frac{(x^2 - 2x)(3 - 2x)}{x - 2}dx$.

Сначала упростим подынтегральное выражение. Разложим числитель на множители: $x^2 - 2x = x(x - 2)$.

$\frac{(x^2 - 2x)(3 - 2x)}{x - 2} = \frac{x(x - 2)(3 - 2x)}{x - 2}$

На промежутке интегрирования $[-1, 0]$ знаменатель $x - 2 \neq 0$, поэтому мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:

$x(3 - 2x) = 3x - 2x^2$

Теперь вычислим определенный интеграл от полученного выражения:

$\int_{-1}^{0} (3x - 2x^2)dx$

Найдем первообразную для $3x - 2x^2$.

$\int (3x - 2x^2)dx = 3\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} + C$

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{-1}^{0} (3x - 2x^2)dx = \left. \left( \frac{3}{2}x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right) \right|_{-1}^{0} = \left( \frac{3}{2}(0)^2 - \frac{2}{3}(0)^3 \right) - \left( \frac{3}{2}(-1)^2 - \frac{2}{3}(-1)^3 \right)$

$= 0 - \left( \frac{3}{2}(1) - \frac{2}{3}(-1) \right) = - \left( \frac{3}{2} + \frac{2}{3} \right) = - \left( \frac{9}{6} + \frac{4}{6} \right) = -\frac{13}{6}$

Ответ: $-\frac{13}{6}$

б) Вычислим интеграл $\int_{2}^{3} \frac{(x^2 - 4)(x^2 - 1)}{x^2 + x - 2}dx$.

Упростим подынтегральное выражение. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $(x^2 - 4)(x^2 - 1) = (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$.

Знаменатель: $x^2 + x - 2$. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ это $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Таким образом, $x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$.

$\frac{(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+2)}$

На промежутке интегрирования $[2, 3]$ множители $(x-1)$ и $(x+2)$ не равны нулю, поэтому их можно сократить:

$(x-2)(x+1) = x^2 + x - 2x - 2 = x^2 - x - 2$

Вычислим интеграл от упрощенного выражения:

$\int_{2}^{3} (x^2 - x - 2)dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x \right) \right|_{2}^{3}$

$= \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} - 2(3) \right) - \left( \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} - 2(2) \right)$

$= \left( 9 - \frac{9}{2} - 6 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 - 4 \right) = \left( 3 - \frac{9}{2} \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right)$

$= \left( \frac{6-9}{2} \right) - \left( \frac{8-18}{3} \right) = -\frac{3}{2} - \left( -\frac{10}{3} \right) = -\frac{3}{2} + \frac{10}{3} = \frac{-9+20}{6} = \frac{11}{6}$

Ответ: $\frac{11}{6}$

в) Вычислим интеграл $\int_{2}^{3} \frac{(x^2 - 3x + 2)(2 + x)}{x - 1}dx$.

Упростим подынтегральное выражение. Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 3x + 2$.

Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ это $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Таким образом, $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

$\frac{(x-1)(x-2)(x+2)}{x-1}$

На промежутке интегрирования $[2, 3]$ множитель $(x-1)$ не равен нулю, поэтому его можно сократить:

$(x-2)(x+2) = x^2 - 4$

Вычислим интеграл от упрощенного выражения:

$\int_{2}^{3} (x^2 - 4)dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} - 4x \right) \right|_{2}^{3}$

$= \left( \frac{3^3}{3} - 4(3) \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 4(2) \right) = (9 - 12) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right)$

$= -3 - \left( \frac{8-24}{3} \right) = -3 - \left( -\frac{16}{3} \right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{-9+16}{3} = \frac{7}{3}$

Ответ: $\frac{7}{3}$

г) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} \frac{(9 - x^2)(x^2 - 16)}{x^2 - 7x + 12}dx$.

Упростим подынтегральное выражение. Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $(9 - x^2)(x^2 - 16) = (3-x)(3+x)(x-4)(x+4)$.

Знаменатель: $x^2 - 7x + 12$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$ это $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Таким образом, $x^2 - 7x + 12 = (x-3)(x-4)$.

$\frac{(3-x)(3+x)(x-4)(x+4)}{(x-3)(x-4)}$

Заметим, что $3-x = -(x-3)$.

$\frac{-(x-3)(x+3)(x-4)(x+4)}{(x-3)(x-4)}$

На промежутке интегрирования $[-1, 1]$ множители $(x-3)$ и $(x-4)$ не равны нулю, поэтому их можно сократить:

$-(x+3)(x+4) = -(x^2 + 4x + 3x + 12) = -x^2 - 7x - 12$

Вычислим интеграл от упрощенного выражения:

$\int_{-1}^{1} (-x^2 - 7x - 12)dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} - 12x \right) \right|_{-1}^{1}$

$= \left( -\frac{1^3}{3} - \frac{7(1)^2}{2} - 12(1) \right) - \left( -\frac{(-1)^3}{3} - \frac{7(-1)^2}{2} - 12(-1) \right)$

$= \left( -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 12 \right)$

$= -\frac{1}{3} - \frac{7}{2} - 12 - \frac{1}{3} + \frac{7}{2} - 12 = -\frac{2}{3} - 24 = \frac{-2 - 72}{3} = -\frac{74}{3}$

Ответ: $-\frac{74}{3}$

21.7. a) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx;$

б) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x};$

в) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx;$

г) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x}.$

а) Для вычисления определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

В данном случае, подынтегральная функция $f(x) = \sin x$. Ее первообразная $F(x) = -\cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов интегрирования от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$:

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin x \, dx = (-\cos x) \Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - (-\cos(\frac{\pi}{2}))$.

Зная, что $\cos(\pi) = -1$ и $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:

$(-(-1)) - (-0) = 1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

б) Необходимо вычислить интеграл $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x}$.

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ есть $F(x) = \tan x$.

Подставим пределы интегрирования от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4}$ в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{\cos^2 x} = (\tan x) \Big|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(-\frac{\pi}{4})$.

Так как $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\tan(-x) = -\tan(x)$, то $\tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

Следовательно, $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

в) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов интегрирования от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = (\sin x) \Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(-x) = -\sin(x)$, то $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

Таким образом, $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: $2$.

г) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x}$.

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ есть $F(x) = -\cot x$.

Подставим пределы интегрирования от $\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{2}$ в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sin^2 x} = (-\cot x) \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cot(\frac{\pi}{2})) - (-\cot(\frac{\pi}{4}))$.

Так как $\cot(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\pi/2)}{\sin(\pi/2)} = \frac{0}{1} = 0$ и $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Следовательно, $(-0) - (-1) = 0 + 1 = 1$.

Ответ: $1$.

21.8. a) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \,dx;$

Б) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{5}{\sin^2 \left(x + \frac{\pi}{3}\right)} \,dx;$

В) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 2 \sin \frac{x}{3} \,dx;$

Г) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{7}{\cos^2 3x} \,dx.$

а)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \,dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = \cos(2x)$. Первообразная для $\cos(u)$ равна $\sin(u)$. Так как у нас аргумент $2x$, то первообразная будет $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

2. Подставим пределы интегрирования в первообразную:

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) \,dx = \left. \frac{1}{2}\sin(2x) \right|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \frac{1}{2}\sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{4}))$

3. Вычислим значения:

$\frac{1}{2}\sin(\pi) - \frac{1}{2}\sin(-\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} \cdot (-1) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{5}{\sin^2(x + \frac{\pi}{3})} \,dx$.

1. Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{5}{\sin^2(x + \frac{\pi}{3})}$. Первообразная для $\frac{1}{\sin^2(u)}$ равна $-\cot(u)$. В нашем случае $u = x + \frac{\pi}{3}$, и $du=dx$.

Следовательно, первообразная $F(x) = -5\cot(x + \frac{\pi}{3})$.

2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{5}{\sin^2(x + \frac{\pi}{3})} \,dx = \left. -5\cot(x + \frac{\pi}{3}) \right|_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -5\cot(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) - (-5\cot(0 + \frac{\pi}{3}))$

3. Вычислим значения:

$-5\cot(\frac{2\pi}{3}) + 5\cot(\frac{\pi}{3}) = -5(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + 5(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{5\sqrt{3}}{3} + \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{10\sqrt{3}}{3}$

в)

Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 2\sin\frac{x}{3} \,dx$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = 2\sin\frac{x}{3}$. Первообразная для $\sin(u)$ равна $-\cos(u)$. В нашем случае $u = \frac{x}{3}$, поэтому при интегрировании появится множитель $3$.

Первообразная $F(x) = 2 \cdot 3 \cdot (-\cos\frac{x}{3}) = -6\cos\frac{x}{3}$.

2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} 2\sin\frac{x}{3} \,dx = \left. -6\cos\frac{x}{3} \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -6\cos(\frac{\pi}{3}) - (-6\cos(\frac{\pi/2}{3})) = -6\cos(\frac{\pi}{3}) + 6\cos(\frac{\pi}{6})$

3. Вычислим значения:

$-6 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -3 + 3\sqrt{3} = 3(\sqrt{3} - 1)$.

Ответ: $3(\sqrt{3} - 1)$

г)

Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{7}{\cos^2 3x} \,dx$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{7}{\cos^2 3x}$. Первообразная для $\frac{1}{\cos^2(u)}$ равна $\tan(u)$. В нашем случае $u = 3x$, поэтому при интегрировании появится множитель $\frac{1}{3}$.

Первообразная $F(x) = 7 \cdot \frac{1}{3} \tan(3x) = \frac{7}{3}\tan(3x)$.

2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{7}{\cos^2 3x} \,dx = \left. \frac{7}{3}\tan(3x) \right|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{7}{3}\tan(3 \cdot \frac{\pi}{3}) - \frac{7}{3}\tan(3 \cdot \frac{\pi}{4})$

3. Вычислим значения:

$\frac{7}{3}\tan(\pi) - \frac{7}{3}\tan(\frac{3\pi}{4}) = \frac{7}{3} \cdot 0 - \frac{7}{3} \cdot (-1) = 0 + \frac{7}{3} = \frac{7}{3}$.

Ответ: $\frac{7}{3}$

21.9. Вычислите интеграл:

a) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cos 3x dx$

б) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos^2 \frac{x}{2} dx$

в) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cos 7x \cos 5x dx$

г) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 3x dx$

а) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \cos 3x \,dx$

Для вычисления этого интеграла используем тригонометрическую формулу преобразования произведения в сумму: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 3x$. Подставляем в формулу:

$\sin 2x \cos 3x = \frac{1}{2}(\sin(2x + 3x) + \sin(2x - 3x)) = \frac{1}{2}(\sin 5x + \sin(-x)) = \frac{1}{2}(\sin 5x - \sin x)$.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}(\sin 5x - \sin x) \,dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin 5x - \sin x) \,dx$

Найдем первообразную. Первообразная для $\sin(kx)$ равна $-\frac{1}{k}\cos(kx)$.

$\frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{5}\cos 5x - (-\cos x) \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left[ \cos x - \frac{1}{5}\cos 5x \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left( \left( \cos \frac{\pi}{2} - \frac{1}{5}\cos \frac{5\pi}{2} \right) - \left( \cos 0 - \frac{1}{5}\cos 0 \right) \right)$

Так как $\cos \frac{\pi}{2} = 0$, $\cos \frac{5\pi}{2} = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos 0 = 1$, получаем:

$\frac{1}{2} \left( (0 - \frac{1}{5} \cdot 0) - (1 - \frac{1}{5} \cdot 1) \right) = \frac{1}{2} \left( 0 - (1 - \frac{1}{5}) \right) = \frac{1}{2} ( - \frac{4}{5} ) = -\frac{2}{5}$.

Ответ: $-\frac{2}{5}$.

б) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \cos^2 \frac{x}{2} \,dx$

Для вычисления этого интеграла используем формулу понижения степени: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $2\alpha = x$. Формула принимает вид:

$\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$.

Подставляем в интеграл:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} \frac{1 + \cos x}{2} \,dx = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi} (1 + \cos x) \,dx$

Находим первообразную:

$\frac{1}{2} \left[ x + \sin x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left( (\pi + \sin \pi) - (\frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4}) \right)$

Так как $\sin \pi = 0$ и $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$\frac{1}{2} \left( (\pi + 0) - (\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \right) = \frac{1}{2} \left( \pi - \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{3\pi}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{3\pi}{8} - \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{8} - \frac{\sqrt{2}}{4}$.

в) $\int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos 7x \cos 5x \,dx$

Используем тригонометрическую формулу преобразования произведения в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Здесь $\alpha = 7x$ и $\beta = 5x$. Подставляем:

$\cos 7x \cos 5x = \frac{1}{2}(\cos(7x - 5x) + \cos(7x + 5x)) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 12x)$.

Интегрируем полученное выражение:

$\int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos 12x) \,dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{3}} (\cos 2x + \cos 12x) \,dx$

Первообразная для $\cos(kx)$ равна $\frac{1}{k}\sin(kx)$.

$\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2}\sin 2x + \frac{1}{12}\sin 12x \right]_0^{\frac{\pi}{3}}$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{2}\sin(2\frac{\pi}{3}) + \frac{1}{12}\sin(12\frac{\pi}{3}) \right) - \left( \frac{1}{2}\sin 0 + \frac{1}{12}\sin 0 \right) \right)$

Вычисляем значения синусов: $\sin \frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin(4\pi) = 0$ и $\sin 0 = 0$.

$\frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{12} \cdot 0 \right) - (0) \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$.

г) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 3x \,dx$

Для вычисления интеграла применим формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

В данном случае $\alpha = 3x$, поэтому $2\alpha = 6x$. Формула выглядит так:

$\sin^2 3x = \frac{1 - \cos 6x}{2}$.

Подставляем в интеграл:

$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos 6x}{2} \,dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} (1 - \cos 6x) \,dx$

Находим первообразную:

$\frac{1}{2} \left[ x - \frac{1}{6}\sin 6x \right]_{-\pi}^{\pi}$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} \left( \left( \pi - \frac{1}{6}\sin(6\pi) \right) - \left( -\pi - \frac{1}{6}\sin(-6\pi) \right) \right)$

Так как $\sin(6\pi) = 0$ и $\sin(-6\pi) = 0$, получаем:

$\frac{1}{2} \left( (\pi - 0) - (-\pi - 0) \right) = \frac{1}{2} (\pi - (-\pi)) = \frac{1}{2} (2\pi) = \pi$.

Ответ: $\pi$.