Страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

20.19. Найдите функцию $y = f(x)$, удовлетворяющую заданному условию (дифференциальному уравнению):

a) $y' = \frac{13}{x^2} + x;$

в) $y' = \frac{4}{x^2} - 4x;$

б) $y' = -\frac{9}{x^2} + \sin x;$

г) $y' = -\frac{5}{x^2} - \cos x.$

а)

Чтобы найти функцию $y = f(x)$, необходимо найти первообразную (проинтегрировать) для её производной $y'$.

Дано дифференциальное уравнение: $y' = \frac{13}{x^2} + x$.

Интегрируем правую часть уравнения по переменной $x$:

$y = \int \left( \frac{13}{x^2} + x \right) dx = \int 13x^{-2} dx + \int x^1 dx$

Используем формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int 13x^{-2} dx = 13 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 13 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -13x^{-1} = -\frac{13}{x}$

$\int x^1 dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2}$

Суммируя полученные выражения и добавляя константу интегрирования $C$, получаем общее решение:

$y = -\frac{13}{x} + \frac{x^2}{2} + C$

Ответ: $y = -\frac{13}{x} + \frac{x^2}{2} + C$.

б)

Дано дифференциальное уравнение: $y' = -\frac{9}{x^2} + \sin x$.

Чтобы найти $y(x)$, интегрируем правую часть уравнения:

$y = \int \left( -\frac{9}{x^2} + \sin x \right) dx = \int (-9x^{-2}) dx + \int \sin x dx$

Используем табличные интегралы: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \sin x dx = -\cos x + C$.

$\int (-9x^{-2}) dx = -9 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -9 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = 9x^{-1} = \frac{9}{x}$

$\int \sin x dx = -\cos x$

Складываем результаты и добавляем константу интегрирования $C$:

$y = \frac{9}{x} - \cos x + C$

Ответ: $y = \frac{9}{x} - \cos x + C$.

в)

Дано дифференциальное уравнение: $y' = \frac{4}{x^2} - 4x$.

Находим функцию $y(x)$ путем интегрирования:

$y = \int \left( \frac{4}{x^2} - 4x \right) dx = \int 4x^{-2} dx - \int 4x dx$

Используем формулу для интегрирования степенной функции:

$\int 4x^{-2} dx = 4 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = -4x^{-1} = -\frac{4}{x}$

$\int 4x dx = 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования $C$:

$y = -\frac{4}{x} - 2x^2 + C$

Ответ: $y = -\frac{4}{x} - 2x^2 + C$.

г)

Дано дифференциальное уравнение: $y' = -\frac{5}{x^2} - \cos x$.

Интегрируем правую часть для нахождения $y(x)$:

$y = \int \left( -\frac{5}{x^2} - \cos x \right) dx = \int (-5x^{-2}) dx - \int \cos x dx$

Используем табличные интегралы: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и $\int \cos x dx = \sin x + C$.

$\int (-5x^{-2}) dx = -5 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = -5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = 5x^{-1} = \frac{5}{x}$

$\int \cos x dx = \sin x$

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования $C$:

$y = \frac{5}{x} - \sin x + C$

Ответ: $y = \frac{5}{x} - \sin x + C$.

Для данной функции найдите ту первообразную, график которой проходит через указанную точку M:

20.20. a) $y = 3x^2 - 4x$, M(2; 19);

б) $y = \frac{3}{x^2} + 1$, M(-0,5; -3);

в) $y = 4x^3 + 3x^2$, M(1; -12);

г) $y = 2x - \frac{5}{x^2}$, $M\left(\frac{1}{4}; 7\right)$.

а)

Для функции $y = 3x^2 - 4x$ нужно найти первообразную, график которой проходит через точку $M(2; 19)$.

1. Сначала найдём общий вид первообразной $F(x)$, вычислив неопределённый интеграл от данной функции:

$F(x) = \int (3x^2 - 4x) dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^3 - 2x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Теперь найдём значение константы $C$, используя условие, что график проходит через точку $M(2; 19)$. Это означает, что $F(2) = 19$. Подставим координаты точки в выражение для $F(x)$:

$19 = 2^3 - 2 \cdot 2^2 + C$

$19 = 8 - 8 + C$

$C = 19$.

3. Подставив найденное значение $C=19$ в общий вид первообразной, получим искомую функцию:

$y = x^3 - 2x^2 + 19$.

Ответ: $y = x^3 - 2x^2 + 19$.

б)

Для функции $y = \frac{3}{x^2} + 1$ нужно найти первообразную, график которой проходит через точку $M(-0,5; -3)$.

1. Найдём общий вид первообразной $F(x)$. Для этого представим функцию в виде $y = 3x^{-2} + 1$ и проинтегрируем:

$F(x) = \int (3x^{-2} + 1) dx = 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + x + C = -\frac{3}{x} + x + C$.

2. Найдём значение константы $C$, используя условие, что $F(-0,5) = -3$. Подставим координаты точки $M(-0,5; -3)$:

$-3 = -\frac{3}{-0,5} + (-0,5) + C$

$-3 = 6 - 0,5 + C$

$-3 = 5,5 + C$

$C = -3 - 5,5 = -8,5$.

3. Подставив $C=-8,5$ в общий вид, получаем искомую первообразную:

$y = -\frac{3}{x} + x - 8,5$.

Ответ: $y = -\frac{3}{x} + x - 8,5$.

в)

Для функции $y = 4x^3 + 3x^2$ нужно найти первообразную, график которой проходит через точку $M(1; -12)$.

1. Найдём общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (4x^3 + 3x^2) dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^4 + x^3 + C$.

2. Найдём значение константы $C$, используя условие, что $F(1) = -12$. Подставим координаты точки $M(1; -12)$:

$-12 = 1^4 + 1^3 + C$

$-12 = 1 + 1 + C$

$-12 = 2 + C$

$C = -12 - 2 = -14$.

3. Подставив $C=-14$ в общий вид, получаем искомую первообразную:

$y = x^4 + x^3 - 14$.

Ответ: $y = x^4 + x^3 - 14$.

г)

Для функции $y = 2x - \frac{5}{x^2}$ нужно найти первообразную, график которой проходит через точку $M(\frac{1}{4}; 7)$.

1. Найдём общий вид первообразной $F(x)$. Для этого представим функцию в виде $y = 2x - 5x^{-2}$ и проинтегрируем:

$F(x) = \int (2x - 5x^{-2}) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = x^2 + \frac{5}{x} + C$.

2. Найдём значение константы $C$, используя условие, что $F(\frac{1}{4}) = 7$. Подставим координаты точки $M(\frac{1}{4}; 7)$:

$7 = (\frac{1}{4})^2 + \frac{5}{\frac{1}{4}} + C$

$7 = \frac{1}{16} + 5 \cdot 4 + C$

$7 = \frac{1}{16} + 20 + C$

$C = 7 - 20 - \frac{1}{16} = -13 - \frac{1}{16} = -\frac{13 \cdot 16}{16} - \frac{1}{16} = -\frac{208 + 1}{16} = -\frac{209}{16}$.

3. Подставив $C = -\frac{209}{16}$ в общий вид, получаем искомую первообразную:

$y = x^2 + \frac{5}{x} - \frac{209}{16}$.

Ответ: $y = x^2 + \frac{5}{x} - \frac{209}{16}$.

20.21. a) $y = \sin x$, $M\left(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{4}\right)$;

б) $y = \frac{5}{\cos^2 5x}$, $M\left(\frac{\pi}{4}; -1\right)$;

в) $y = \cos x$, $M\left(\frac{\pi}{6}; 1\right)$;

г) $y = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{3}}$, $M\left(\frac{3\pi}{4}; 0\right)$.

а) Задача состоит в нахождении первообразной $F(x)$ для функции $y=\sin x$, график которой проходит через точку $M(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{4})$.
1. Сначала найдем общий вид первообразных для данной функции. Это делается с помощью интегрирования:
$F(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
2. Далее, чтобы найти конкретное значение константы $C$, используем условие, что график первообразной проходит через точку $M(\frac{\pi}{3}; \frac{1}{4})$. Это означает, что при $x = \frac{\pi}{3}$ значение функции $F(x)$ равно $\frac{1}{4}$. Подставляем эти значения в полученное выражение для $F(x)$:
$F(\frac{\pi}{3}) = -\cos(\frac{\pi}{3}) + C = \frac{1}{4}$.
3. Мы знаем, что значение косинуса в этой точке равно $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Подставим это значение в уравнение:
$-\frac{1}{2} + C = \frac{1}{4}$.
Решаем уравнение относительно $C$:
$C = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$.
4. Теперь, подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:
$F(x) = -\cos x + \frac{3}{4}$.
Ответ: $F(x) = -\cos x + \frac{3}{4}$.

б) Для функции $y = \frac{5}{\cos^2 5x}$ и точки $M(\frac{\pi}{4}; -1)$ требуется найти соответствующую первообразную $F(x)$.
1. Находим общий вид первообразных путем интегрирования:
$F(x) = \int \frac{5}{\cos^2 5x} dx = 5 \int \frac{dx}{\cos^2 5x}$.
Для вычисления этого интеграла используем табличный интеграл $\int \frac{dx}{\cos^2(kx)} = \frac{1}{k}\tan(kx) + C$. В нашем случае $k=5$.
$F(x) = 5 \cdot (\frac{1}{5}\tan(5x)) + C = \tan(5x) + C$.
2. Подставим координаты точки $M(\frac{\pi}{4}; -1)$ в уравнение $F(x) = \tan(5x) + C$ для нахождения $C$:
$F(\frac{\pi}{4}) = \tan(5 \cdot \frac{\pi}{4}) + C = -1$.
3. Вычислим значение тангенса: $\tan(\frac{5\pi}{4}) = \tan(\pi + \frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Подставляем это значение в уравнение для $C$:
$1 + C = -1$,
$C = -2$.
4. Искомая первообразная:
$F(x) = \tan(5x) - 2$.
Ответ: $F(x) = \tan(5x) - 2$.

в) Для функции $y = \cos x$ и точки $M(\frac{\pi}{6}; 1)$ найдем первообразную $F(x)$.
1. Общий вид первообразных для $y=\cos x$:
$F(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$.
2. Подставим координаты точки $M(\frac{\pi}{6}; 1)$:
$F(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) + C = 1$.
3. Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем уравнение:
$\frac{1}{2} + C = 1$.
Отсюда $C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
4. Искомая первообразная:
$F(x) = \sin x + \frac{1}{2}$.
Ответ: $F(x) = \sin x + \frac{1}{2}$.

г) Для функции $y = \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{3}}$ и точки $M(\frac{3\pi}{4}; 0)$ найдем первообразную $F(x)$.
1. Находим общий вид первообразных, используя табличный интеграл $\int \frac{dx}{\sin^2(kx)} = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C$. В данном случае $k=\frac{1}{3}$.
$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2 \frac{x}{3}} dx = -\frac{1}{1/3}\cot(\frac{x}{3}) + C = -3\cot(\frac{x}{3}) + C$.
2. Подставим координаты точки $M(\frac{3\pi}{4}; 0)$ для нахождения $C$:
$F(\frac{3\pi}{4}) = -3\cot(\frac{1}{3} \cdot \frac{3\pi}{4}) + C = 0$.
$F(\frac{3\pi}{4}) = -3\cot(\frac{\pi}{4}) + C = 0$.
3. Зная, что $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:
$-3 \cdot 1 + C = 0$,
$C = 3$.
4. Искомая первообразная:
$F(x) = -3\cot(\frac{x}{3}) + 3$.
Ответ: $F(x) = -3\cot(\frac{x}{3}) + 3$.

20.22. a) $y = 8 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}, M\left(\frac{\pi}{2}; 3\right)$;

б) $y = 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1, M\left(\frac{\pi}{2}; 16\right)$;

в) $y = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}, M(0; 7)$;

г) $y = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}, M\left(\frac{\pi}{2}; 15\right)$.

а) Для того чтобы определить, принадлежит ли точка $M(\frac{\pi}{2}; 3)$ графику функции $y = 8 \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$, подставим координаты точки в уравнение функции.

Сначала преобразуем функцию, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$:

$y = 8 \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 4 \cdot (2 \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}) = 4\sin(2 \cdot \frac{x}{2}) = 4\sin x$.

Теперь подставим абсциссу точки $M$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$, в полученное уравнение функции:

$y = 4\sin(\frac{\pi}{2}) = 4 \cdot 1 = 4$.

Полученное значение $y=4$ не равно ординате точки $M$, которая равна 3. Так как $4 \neq 3$, точка $M$ не принадлежит графику данной функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

б) Для того чтобы определить, принадлежит ли точка $M(\frac{\pi}{2}; 16)$ графику функции $y = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$, подставим координаты точки в уравнение функции.

Сначала преобразуем функцию, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$:

$y = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1 = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.

Теперь подставим абсциссу точки $M$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$, в полученное уравнение функции:

$y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Полученное значение $y=0$ не равно ординате точки $M$, которая равна 16. Так как $0 \neq 16$, точка $M$ не принадлежит графику данной функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

в) Для того чтобы определить, принадлежит ли точка $M(0; 7)$ графику функции $y = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2}$, подставим координаты точки в уравнение функции.

Сначала преобразуем функцию, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$:

$y = \cos^2\frac{x}{2} - \sin^2\frac{x}{2} = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.

Теперь подставим абсциссу точки $M$, то есть $x = 0$, в полученное уравнение функции:

$y = \cos(0) = 1$.

Полученное значение $y=1$ не равно ординате точки $M$, которая равна 7. Так как $1 \neq 7$, точка $M$ не принадлежит графику данной функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

г) Для того чтобы определить, принадлежит ли точка $M(\frac{\pi}{2}; 15)$ графику функции $y = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2}$, подставим координаты точки в уравнение функции.

Сначала преобразуем функцию, используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$:

$y = 1 - 2\sin^2\frac{x}{2} = \cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = \cos x$.

Теперь подставим абсциссу точки $M$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$, в полученное уравнение функции:

$y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Полученное значение $y=0$ не равно ординате точки $M$, которая равна 15. Так как $0 \neq 15$, точка $M$ не принадлежит графику данной функции.

Ответ: нет, не принадлежит.