Страница 129, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

20.27. Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную $y = F(x)$, которая принимает данное значение в указанной точке:

a) $f(x) = \frac{12}{\sqrt{3x - 6}} + 1, F(5) = 4;$

б) $f(x) = \frac{-3}{\sqrt{5x + 4}} - 8, F(1) = -12.$

а)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{12}{\sqrt{3x - 6}} + 1$, которая удовлетворяет условию $F(5) = 4$.

1. Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \left(\frac{12}{\sqrt{3x - 6}} + 1\right) dx = \int 12(3x - 6)^{-\frac{1}{2}} dx + \int 1 dx$.

Вычислим каждый интеграл по отдельности. Для первого интеграла воспользуемся формулой $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a}\frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int 12(3x - 6)^{-\frac{1}{2}} dx = 12 \int (3x - 6)^{-\frac{1}{2}} dx = 12 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x - 6)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = 4 \cdot \frac{(3x - 6)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{3x - 6}$.

Второй интеграл: $\int 1 dx = x$.

Сложив результаты и добавив константу интегрирования $C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = 8\sqrt{3x - 6} + x + C$.

2. Теперь используем данное условие $F(5) = 4$, чтобы найти значение константы $C$. Подставим $x=5$ в полученное выражение для $F(x)$:

$F(5) = 8\sqrt{3 \cdot 5 - 6} + 5 + C = 4$.

$8\sqrt{15 - 6} + 5 + C = 4$.

$8\sqrt{9} + 5 + C = 4$.

$8 \cdot 3 + 5 + C = 4$.

$24 + 5 + C = 4$.

$29 + C = 4$.

$C = 4 - 29 = -25$.

3. Подставим найденное значение $C = -25$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую функцию.

Ответ: $F(x) = 8\sqrt{3x - 6} + x - 25$.

б)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{-3}{\sqrt{5x + 4}} - 8$, которая удовлетворяет условию $F(1) = -12$.

1. Сначала найдем общий вид первообразной для функции $f(x)$, вычислив неопределенный интеграл:

$F(x) = \int f(x) dx = \int \left(\frac{-3}{\sqrt{5x + 4}} - 8\right) dx = \int -3(5x + 4)^{-\frac{1}{2}} dx - \int 8 dx$.

Вычислим каждый интеграл по отдельности.

$\int -3(5x + 4)^{-\frac{1}{2}} dx = -3 \int (5x + 4)^{-\frac{1}{2}} dx = -3 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x + 4)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = -\frac{3}{5} \cdot \frac{(5x + 4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = -\frac{6}{5}\sqrt{5x + 4}$.

Второй интеграл: $\int -8 dx = -8x$.

Сложив результаты и добавив константу интегрирования $C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = -\frac{6}{5}\sqrt{5x + 4} - 8x + C$.

2. Теперь используем данное условие $F(1) = -12$, чтобы найти значение константы $C$. Подставим $x=1$ в полученное выражение для $F(x)$:

$F(1) = -\frac{6}{5}\sqrt{5 \cdot 1 + 4} - 8 \cdot 1 + C = -12$.

$-\frac{6}{5}\sqrt{9} - 8 + C = -12$.

$-\frac{6}{5} \cdot 3 - 8 + C = -12$.

$-\frac{18}{5} - 8 + C = -12$.

$-3.6 - 8 + C = -12$.

$-11.6 + C = -12$.

$C = -12 + 11.6 = -0.4 = -\frac{2}{5}$.

3. Подставим найденное значение $C = -\frac{2}{5}$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую функцию.

Ответ: $F(x) = -\frac{6}{5}\sqrt{5x + 4} - 8x - \frac{2}{5}$.

Решите уравнение $F(x) = 0$, где $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$, если известно, что $F(x_0) = 0$:

20.28. a) $f(x) = 3x^2 - 2x - 25$, $x_0 = 1$;

б) $f(x) = 3x^2 + 4x - 1$, $x_0 = -2$.

а)

По условию, $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$. Это значит, что $F(x) = \int f(x)dx$.
1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x) = 3x^2 - 2x - 25$:
$F(x) = \int (3x^2 - 2x - 25)dx = 3\frac{x^{2+1}}{2+1} - 2\frac{x^{1+1}}{1+1} - 25x + C = 3\frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} - 25x + C = x^3 - x^2 - 25x + C$.

2. Найдём значение константы $C$, используя начальное условие $F(x_0) = 0$ при $x_0 = 1$:
$F(1) = 1^3 - 1^2 - 25(1) + C = 0$
$1 - 1 - 25 + C = 0$
$-25 + C = 0$
$C = 25$
Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x^3 - x^2 - 25x + 25$.

3. Теперь решим уравнение $F(x) = 0$:
$x^3 - x^2 - 25x + 25 = 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 - x^2) - (25x - 25) = 0$
$x^2(x - 1) - 25(x - 1) = 0$
$(x^2 - 25)(x - 1) = 0$
$(x - 5)(x + 5)(x - 1) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$
$x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5$
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

Ответ: $-5; 1; 5$.

б)

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x) = 3x^2 + 4x - 1$:
$F(x) = \int (3x^2 + 4x - 1)dx = 3\frac{x^3}{3} + 4\frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + 2x^2 - x + C$.

2. Найдём значение константы $C$, используя начальное условие $F(x_0) = 0$ при $x_0 = -2$:
$F(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 - (-2) + C = 0$
$-8 + 2(4) + 2 + C = 0$
$-8 + 8 + 2 + C = 0$
$2 + C = 0$
$C = -2$
Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$.

3. Теперь решим уравнение $F(x) = 0$:
$x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0$
Разложим левую часть на множители методом группировки:
$(x^3 + 2x^2) - (x + 2) = 0$
$x^2(x + 2) - 1(x + 2) = 0$
$(x^2 - 1)(x + 2) = 0$
$(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$
$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$

Ответ: $-2; -1; 1$.

20.29. a) $f(x) = 2 \sin 2x$, $x_0 = \frac{\pi}{2}$;

б) $f(x) = 2 \cos 0.5x$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

a)

Чтобы найти значение производной функции $f(x) = 2 \sin 2x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$, необходимо выполнить два шага: найти общую формулу производной $f'(x)$ и затем подставить в нее значение $x_0$.

1. Находим производную функции. Используем правило дифференцирования произведения константы на функцию и правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (2 \sin 2x)' = 2 \cdot (\sin 2x)'$

Для производной $(\sin 2x)'$ используем правило: $(\sin(kx))' = k \cos(kx)$. В нашем случае $k=2$.

$f'(x) = 2 \cdot (2 \cos 2x) = 4 \cos 2x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = 4 \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 4 \cos(\pi)$.

Так как значение $\cos(\pi) = -1$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{2}) = 4 \cdot (-1) = -4$.

Ответ: -4.

б)

Чтобы найти значение производной функции $f(x) = 2 \cos 0.5x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$, необходимо найти производную $f'(x)$ и вычислить ее значение в точке $x_0$.

1. Находим производную функции. Используем те же правила, что и в предыдущем пункте. Обратим внимание, что $0.5x = \frac{x}{2}$ и $(\cos x)' = -\sin x$.

$f'(x) = (2 \cos 0.5x)' = 2 \cdot (\cos 0.5x)'$

Для производной $(\cos 0.5x)'$ используем правило: $(\cos(kx))' = -k \sin(kx)$. В нашем случае $k=0.5$.

$f'(x) = 2 \cdot (-0.5 \sin 0.5x) = -1 \cdot \sin 0.5x = -\sin 0.5x$.

2. Вычисляем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\sin(0.5 \cdot \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.

Так как значение $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$f'(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2} = -0.5$.

Ответ: -0.5.

○20.30. Найдите ту первообразную для функции $y = f(x)$, областью значений которой является луч $(-\infty; 4]$:

a) $f(x) = 7 - 6x$;

б) $f(x) = 3 - 2x$.

а) f(x) = 7 - 6x;

Первообразной для функции $f(x)$ является функция $F(x)$, такая что $F'(x) = f(x)$. Найдем общий вид первообразной для данной функции:

$F(x) = \int (7 - 6x) dx = 7x - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -3x^2 + 7x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Графиком функции $F(x) = -3x^2 + 7x + C$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-3$, он отрицателен, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Областью значений такой функции является промежуток $(-\infty; y_{верш}]$, где $y_{верш}$ — ордината вершины параболы.

По условию, область значений первообразной — это луч $(-\infty; 4]$. Значит, максимальное значение функции $F(x)$ равно 4, то есть $y_{верш} = 4$.

Найдем координаты вершины параболы $F(x) = ax^2+bx+d$, где $a=-3$, $b=7$, $d=C$.

Абсцисса вершины: $x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot (-3)} = \frac{7}{6}$.

Ордината вершины: $y_{верш} = F(x_{верш}) = -3(\frac{7}{6})^2 + 7(\frac{7}{6}) + C = -3 \cdot \frac{49}{36} + \frac{49}{6} + C = -\frac{49}{12} + \frac{98}{12} + C = \frac{49}{12} + C$.

Приравняем ординату вершины к 4:

$\frac{49}{12} + C = 4$

$C = 4 - \frac{49}{12} = \frac{48}{12} - \frac{49}{12} = -\frac{1}{12}$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = -3x^2 + 7x - \frac{1}{12}$.

Ответ: $F(x) = -3x^2 + 7x - \frac{1}{12}$.

б) f(x) = 3 - 2x.

Найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 3 - 2x$:

$F(x) = \int (3 - 2x) dx = 3x - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -x^2 + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Графиком функции $F(x) = -x^2 + 3x + C$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-1$). Ее область значений — $(-\infty; y_{верш}]$.

По условию, область значений равна $(-\infty; 4]$, следовательно, $y_{верш} = 4$.

Найдем координаты вершины параболы $F(x) = ax^2+bx+d$, где $a=-1$, $b=3$, $d=C$.

Абсцисса вершины: $x_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \cdot (-1)} = \frac{3}{2}$.

Ордината вершины: $y_{верш} = F(x_{верш}) = -(\frac{3}{2})^2 + 3(\frac{3}{2}) + C = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} + C = -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} + C = \frac{9}{4} + C$.

Приравняем ординату вершины к 4:

$\frac{9}{4} + C = 4$

$C = 4 - \frac{9}{4} = \frac{16}{4} - \frac{9}{4} = \frac{7}{4}$

Таким образом, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = -x^2 + 3x + \frac{7}{4}$.

Ответ: $F(x) = -x^2 + 3x + \frac{7}{4}$.

20.31. Пусть $G_1(x)$ и $G_2(x)$ — две различные первообразные для функции $y = g(x)$, причём $G_1(2) = 3$, $G_2(3) = 4$, $G_1(3) = 3$.

Найдите $G_2(2)$.

Поскольку $G_1(x)$ и $G_2(x)$ являются двумя различными первообразными для одной и той же функции $y = g(x)$, они отличаются друг от друга на некоторую постоянную величину $C$. Это фундаментальное свойство первообразных, которое можно записать в виде равенства:
$G_2(x) = G_1(x) + C$

Для нахождения константы $C$ воспользуемся значениями функций в точке $x=3$, которые даны в условии: $G_1(3) = 3$ и $G_2(3) = 4$. Подставим эти значения в наше уравнение:
$G_2(3) = G_1(3) + C$
$4 = 3 + C$

Решая это простое уравнение относительно $C$, получаем:
$C = 4 - 3 = 1$

Теперь мы знаем точную взаимосвязь между двумя первообразными:
$G_2(x) = G_1(x) + 1$

Нам необходимо найти значение $G_2(2)$. Для этого подставим $x=2$ в найденное нами соотношение:
$G_2(2) = G_1(2) + 1$

Из условия задачи нам известно, что $G_1(2) = 3$. Подставляем это значение в формулу:
$G_2(2) = 3 + 1 = 4$

Ответ: 4

20.32. Найдите ту первообразную для заданной функции $y = f(x)$, график которой касается оси $x$:

а) $f(x) = 2x + 3;$

б) $f(x) = 12(3x - 1)^3.$

а)

Дана функция $f(x) = 2x + 3$.
Первообразная для функции $f(x)$ имеет общий вид $F(x) = \int f(x)dx$.
$F(x) = \int (2x + 3) dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = x^2 + 3x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Условие, что график первообразной $F(x)$ касается оси $x$, означает, что существует точка $x_0$, в которой одновременно выполняются два условия:
1. График проходит через точку на оси $x$, то есть $F(x_0) = 0$.
2. Касательная к графику в этой точке горизонтальна (параллельна оси $x$), то есть ее производная равна нулю: $F'(x_0) = 0$.
По определению первообразной, $F'(x) = f(x)$. Следовательно, второе условие можно записать как $f(x_0) = 0$.
Найдем $x_0$ из этого условия:
$2x_0 + 3 = 0$
$2x_0 = -3$
$x_0 = -\frac{3}{2}$
Теперь, зная $x_0$, используем первое условие $F(x_0) = 0$ для нахождения постоянной $C$.
$F(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})^2 + 3(-\frac{3}{2}) + C = 0$
$\frac{9}{4} - \frac{9}{2} + C = 0$
$\frac{9}{4} - \frac{18}{4} + C = 0$
$-\frac{9}{4} + C = 0$
$C = \frac{9}{4}$
Подставляем найденное значение $C$ в общую формулу первообразной:
$F(x) = x^2 + 3x + \frac{9}{4}$.
Эту формулу можно также представить в виде полного квадрата: $F(x) = (x + \frac{3}{2})^2$.

Ответ: $F(x) = x^2 + 3x + \frac{9}{4}$.

б)

Дана функция $f(x) = 12(3x - 1)^3$.
Найдём общий вид первообразной $F(x) = \int 12(3x - 1)^3 dx$.
Воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции сложного аргумента $\int k(ax+b)^n dx = \frac{k}{a} \cdot \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.
$F(x) = 12 \int (3x - 1)^3 dx = 12 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x-1)^{3+1}}{3+1} + C = 4 \cdot \frac{(3x-1)^4}{4} + C = (3x - 1)^4 + C$.
Как и в предыдущем пункте, условие касания оси $x$ в точке $x_0$ означает, что $F(x_0) = 0$ и $F'(x_0) = f(x_0) = 0$.
Найдем $x_0$ из условия $f(x_0) = 0$:
$12(3x_0 - 1)^3 = 0$
$(3x_0 - 1)^3 = 0$
$3x_0 - 1 = 0$
$3x_0 = 1$
$x_0 = \frac{1}{3}$
Теперь найдем $C$ из условия $F(x_0) = 0$.
$F(\frac{1}{3}) = (3 \cdot \frac{1}{3} - 1)^4 + C = 0$
$(1 - 1)^4 + C = 0$
$0^4 + C = 0$
$C = 0$
Подставляем найденное значение $C=0$ в общую формулу первообразной:
$F(x) = (3x - 1)^4$.

Ответ: $F(x) = (3x - 1)^4$.

20.33. Найдите ту первообразную для заданной функции $y = f(x)$, график которой касается заданной прямой $y = kx + m$:

a) $f(x) = 2x$, $y = x + 2$;

б) $f(x) = 3x^3$, $y = 3x + 5$.

а)

Требуется найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 2x$, график которой касается прямой $y = x + 2$.

1. Найдем общий вид первообразных для функции $f(x)$.

$F(x) = \int f(x) \,dx = \int 2x \,dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = x^2 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Условие касания графика функции $y = F(x)$ и прямой $y = kx + m$ в точке с абсциссой $x_0$ означает выполнение двух равенств:

• $F(x_0) = kx_0 + m$ (значения функций в точке касания совпадают)
• $F'(x_0) = k$ (угловые коэффициенты касательных в точке касания равны)

В нашем случае $k=1$ и $m=2$. Так как по определению первообразной $F'(x) = f(x)$, второе условие принимает вид $f(x_0) = k$.

3. Найдем абсциссу точки касания $x_0$.

$f(x_0) = 1$

$2x_0 = 1$

$x_0 = \frac{1}{2}$

4. Найдем значение постоянной $C$, используя первое условие $F(x_0) = x_0 + 2$.

$F\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + 2$

Подставим найденное значение $x_0$ в выражение для $F(x)$:

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + C = \frac{5}{2}$

$\frac{1}{4} + C = \frac{5}{2}$

$C = \frac{5}{2} - \frac{1}{4} = \frac{10}{4} - \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$

5. Таким образом, искомая первообразная имеет вид $F(x) = x^2 + \frac{9}{4}$.

Ответ: $F(x) = x^2 + \frac{9}{4}$

б)

Требуется найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 3x^3$, график которой касается прямой $y = 3x + 5$.

1. Найдем общий вид первообразных для функции $f(x)$.

$F(x) = \int f(x) \,dx = \int 3x^3 \,dx = 3 \cdot \frac{x^4}{4} + C = \frac{3}{4}x^4 + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

2. Условия касания в точке $x_0$ для прямой $y = 3x + 5$ (здесь $k=3, m=5$):

• $F(x_0) = 3x_0 + 5$
• $F'(x_0) = 3$

Поскольку $F'(x) = f(x)$, второе условие записывается как $f(x_0) = 3$.

3. Найдем абсциссу точки касания $x_0$.

$f(x_0) = 3$

$3x_0^3 = 3$

$x_0^3 = 1$

$x_0 = 1$

4. Найдем значение постоянной $C$, используя первое условие $F(x_0) = 3x_0 + 5$.

$F(1) = 3(1) + 5$

Подставим $x_0 = 1$ в выражение для $F(x)$:

$\frac{3}{4}(1)^4 + C = 8$

$\frac{3}{4} + C = 8$

$C = 8 - \frac{3}{4} = \frac{32}{4} - \frac{3}{4} = \frac{29}{4}$

5. Таким образом, искомая первообразная имеет вид $F(x) = \frac{3}{4}x^4 + \frac{29}{4}$.

Ответ: $F(x) = \frac{3}{4}x^4 + \frac{29}{4}$

20.34. Некоторая первообразная функции $y = 3 \cos 3x + 6 \sin 6x$ принимает в точке $x = \frac{\pi}{2}$ значение 6. Какое значение принимает та же первообразная в точке $x = \frac{\pi}{6}$?

Для решения задачи сначала найдем общий вид первообразной для функции $y = 3 \cos 3x + 6 \sin 6x$. Первообразная $F(x)$ находится путем интегрирования исходной функции $y(x)$.

$F(x) = \int (3 \cos 3x + 6 \sin 6x) dx = \int 3 \cos 3x dx + \int 6 \sin 6x dx$

Используя табличные интегралы $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C$ и $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = 3 \cdot \frac{1}{3} \sin 3x + 6 \cdot (-\frac{1}{6} \cos 6x) + C = \sin 3x - \cos 6x + C$

где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

По условию задачи, значение этой первообразной в точке $x = \frac{\pi}{2}$ равно 6. Это позволяет нам найти значение константы $C$. Подставим $x = \frac{\pi}{2}$ и $F(\frac{\pi}{2}) = 6$ в полученное уравнение:

$F(\frac{\pi}{2}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{2}) - \cos(6 \cdot \frac{\pi}{2}) + C = 6$

Вычислим значения тригонометрических функций:

$\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$

$\cos(6 \cdot \frac{\pi}{2}) = \cos(3\pi) = -1$

Подставим эти значения в уравнение для $C$:

$-1 - (-1) + C = 6$

$-1 + 1 + C = 6$

$0 + C = 6 \implies C = 6$

Таким образом, искомая первообразная, удовлетворяющая условию, имеет вид:

$F(x) = \sin 3x - \cos 6x + 6$

Теперь найдем значение этой первообразной в точке $x = \frac{\pi}{6}$:

$F(\frac{\pi}{6}) = \sin(3 \cdot \frac{\pi}{6}) - \cos(6 \cdot \frac{\pi}{6}) + 6$

$F(\frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2}) - \cos(\pi) + 6$

Вычислим значения тригонометрических функций:

$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

$\cos(\pi) = -1$

Подставляем и находим окончательный результат:

$F(\frac{\pi}{6}) = 1 - (-1) + 6 = 1 + 1 + 6 = 8$

Ответ: 8

20.35. Точка движется по координатной прямой, её скорость выражается формулой $v = 1 + 2t$. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени $t = 2$ координата точки равнялась числу 5.

Закон движения точки, то есть зависимость ее координаты $x$ от времени $t$, обозначается как $x(t)$. Скорость $v(t)$ является производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.

Чтобы найти закон движения $x(t)$ по известной скорости $v(t)$, необходимо выполнить обратную операцию — найти первообразную (или, что то же самое, неопределенный интеграл) от функции скорости.

Дана функция скорости: $v(t) = 1 + 2t$.

Найдем общий вид закона движения $x(t)$ путем интегрирования функции $v(t)$:

$x(t) = \int v(t) dt = \int (1 + 2t) dt = t + 2 \cdot \frac{t^2}{2} + C = t^2 + t + C$.

В этой формуле $C$ — это некоторая постоянная (константа интегрирования). Чтобы найти ее значение, воспользуемся условием, данным в задаче: в момент времени $t=2$ координата точки равнялась 5, то есть $x(2) = 5$.

Подставим значения $t=2$ и $x(2)=5$ в полученное уравнение:

$5 = (2)^2 + 2 + C$

$5 = 4 + 2 + C$

$5 = 6 + C$

Отсюда находим значение константы $C$:

$C = 5 - 6 = -1$.

Теперь подставим найденное значение $C = -1$ в общий вид закона движения, чтобы получить искомую формулу:

$x(t) = t^2 + t - 1$.

Ответ: $x(t) = t^2 + t - 1$.

20.36. Скорость движения точки по координатной прямой выражается формулой $v = -4 \sin 3t$. Найдите закон движения, если известно, что в момент времени $t = 0$ координата точки равнялась числу 2.

Закон движения точки $x(t)$ — это первообразная для функции скорости $v(t)$. Чтобы найти закон движения, нужно найти неопределенный интеграл от функции скорости. Скорость является производной от координаты по времени: $v(t) = x'(t)$.

Дана функция скорости: $v(t) = -4 \sin(3t)$.

Найдем закон движения $x(t)$, взяв интеграл от функции скорости:

$x(t) = \int v(t) dt = \int (-4 \sin(3t)) dt$

Вынесем постоянный множитель $-4$ за знак интеграла:

$x(t) = -4 \int \sin(3t) dt$

Используем известную формулу интегрирования $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$. В данном случае $k=3$, переменная — $t$.

$x(t) = -4 \left( -\frac{1}{3}\cos(3t) \right) + C$

Упростив выражение, получаем общий вид закона движения:

$x(t) = \frac{4}{3}\cos(3t) + C$

где $C$ — константа интегрирования.

Для нахождения значения константы $C$ используем начальное условие: в момент времени $t = 0$ координата точки $x(0)$ равнялась 2.

Подставим $t=0$ и $x(0)=2$ в полученное уравнение:

$2 = \frac{4}{3}\cos(3 \cdot 0) + C$

Так как $\cos(0) = 1$, получаем:

$2 = \frac{4}{3} \cdot 1 + C$

$2 = \frac{4}{3} + C$

Выразим $C$:

$C = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$

Теперь подставим найденное значение $C$ обратно в общий вид закона движения, чтобы получить искомый закон движения:

$x(t) = \frac{4}{3}\cos(3t) + \frac{2}{3}$

Ответ: $x(t) = \frac{4}{3}\cos(3t) + \frac{2}{3}$