Страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

20.4. a) $F(x) = \cos \left(4x - \frac{\pi}{9}\right) + 26$, $f(x) = -4 \sin \left(4x - \frac{\pi}{9}\right)$;

б) $F(x) = \sin^3 x - 3$, $f(x) = 3 \sin^2 x \cos x$;

в) $F(x) = \sqrt{x^2 + 3x - \frac{6}{x}}$, $f(x) = \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x}} + \frac{6}{x^2}$;

г) $F(x) = \sqrt{5x^4 + 9x^2} + \sqrt{x}$, $f(x) = \frac{10x^3 + 9x}{\sqrt{5x^4 + 9x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.

а) Даны функции $F(x) = \cos(4x - \frac{\pi}{9}) + 26$ и $f(x) = -4 \sin(4x - \frac{\pi}{9})$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\cos(4x - \frac{\pi}{9}) + 26)' = (\cos(4x - \frac{\pi}{9}))' + (26)'$.

Для первого слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции: $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$. В нашем случае $u = 4x - \frac{\pi}{9}$, и ее производная $u' = 4$. Производная константы 26 равна 0.

Получаем: $F'(x) = -\sin(4x - \frac{\pi}{9}) \cdot 4 + 0 = -4 \sin(4x - \frac{\pi}{9})$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

б) Даны функции $F(x) = \sin^3 x - 3$ и $f(x) = 3 \sin^2 x \cos x$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\sin^3 x - 3)' = (\sin^3 x)' - (3)'$.

Для первого слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции (степенной функции): $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$. В нашем случае $u = \sin x$, $n=3$, и производная $u' = \cos x$. Производная константы 3 равна 0.

Получаем: $F'(x) = 3 \sin^{3-1} x \cdot (\sin x)' - 0 = 3 \sin^2 x \cdot \cos x$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

в) Даны функции $F(x) = \sqrt{x^2 + 3x} - \frac{6}{x}$ и $f(x) = \frac{2x + 3}{2\sqrt{x^2 + 3x}} + \frac{6}{x^2}$.

Найдем производную функции $F(x)$, дифференцируя каждое слагаемое отдельно:

$F'(x) = (\sqrt{x^2 + 3x})' - (\frac{6}{x})'$.

Производная первого слагаемого (сложная функция): $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$. Здесь $u = x^2 + 3x$, $u' = 2x+3$.

$(\sqrt{x^2 + 3x})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 3x}} \cdot (2x+3) = \frac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x}}$.

Производная второго слагаемого (степенная функция): $(\frac{6}{x})' = (6x^{-1})' = 6 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{6}{x^2}$.

Объединяем результаты: $F'(x) = \frac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x}} - (-\frac{6}{x^2}) = \frac{2x+3}{2\sqrt{x^2+3x}} + \frac{6}{x^2}$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

г) Даны функции $F(x) = \sqrt{5x^4 + 9x^2} + \sqrt{x}$ и $f(x) = \frac{10x^3 + 9x}{\sqrt{5x^4 + 9x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Найдем производную функции $F(x)$, дифференцируя каждое слагаемое отдельно:

$F'(x) = (\sqrt{5x^4 + 9x^2})' + (\sqrt{x})'$.

Производная первого слагаемого (сложная функция): $(\sqrt{u})' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$. Здесь $u = 5x^4 + 9x^2$, $u' = 20x^3 + 18x$.

$(\sqrt{5x^4 + 9x^2})' = \frac{20x^3 + 18x}{2\sqrt{5x^4 + 9x^2}} = \frac{2(10x^3 + 9x)}{2\sqrt{5x^4 + 9x^2}} = \frac{10x^3 + 9x}{\sqrt{5x^4 + 9x^2}}$.

Производная второго слагаемого: $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Объединяем результаты: $F'(x) = \frac{10x^3 + 9x}{\sqrt{5x^4 + 9x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Сравнивая результат с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$.

Ответ: Так как $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

20.5. a) $F(x) = |x^2 - 1| - 3x$, $f(x) = 2x - 3$, $x \in (1; +\infty);$

б) $F(x) = |x^2 - 1| + 8x$, $f(x) = -2x + 8$, $x \in (-1; 1);$

в) $F(x) = |x^2 + 1| + |x - 3|$, $f(x) = 2x + 1$, $x \in (3; +\infty);$

г) $F(x) = |x^4 + 3x^2 + 1| + |x|$,

$f(x) = 4x^3 + 6x^2 - 1$, $x \in (-\infty; 0).$

а) Чтобы проверить, является ли функция $f(x)$ производной функции $F(x)$ на заданном промежутке, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить её с $f(x)$.
Рассмотрим промежуток $x \in (1; +\infty)$. На этом промежутке $x > 1$, следовательно $x^2 > 1$, и выражение под модулем $x^2 - 1$ положительно. Это означает, что $|x^2 - 1| = x^2 - 1$.
Тогда функция $F(x)$ на данном промежутке принимает вид: $F(x) = (x^2 - 1) - 3x = x^2 - 3x - 1$.
Теперь найдем её производную: $F'(x) = (x^2 - 3x - 1)' = 2x - 3$.
Сравнивая полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x) = 2x - 3$, мы видим, что они полностью совпадают.
Ответ: да, $f(x)$ является производной $F(x)$ на промежутке $(1; +\infty)$.

б) Рассмотрим функции $F(x) = |x^2 - 1| + 8x$ и $f(x) = -2x + 8$ на промежутке $x \in (-1; 1)$.
На этом промежутке $-1 < x < 1$, следовательно $x^2 < 1$, и выражение под модулем $x^2 - 1$ отрицательно. Это означает, что $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$.
Тогда функция $F(x)$ на данном промежутке принимает вид: $F(x) = (1 - x^2) + 8x = -x^2 + 8x + 1$.
Найдем производную этой функции: $F'(x) = (-x^2 + 8x + 1)' = -2x + 8$.
Сравнивая полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x) = -2x + 8$, мы видим, что они совпадают.
Ответ: да, $f(x)$ является производной $F(x)$ на промежутке $(-1; 1)$.

в) Рассмотрим функции $F(x) = |x^2 + 1| + |x - 3|$ и $f(x) = 2x + 1$ на промежутке $x \in (3; +\infty)$.
На этом промежутке $x > 3$.
Раскроем модули. Выражение $x^2 + 1$ всегда положительно при любом значении $x$, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $|x^2 + 1| = x^2 + 1$.
Поскольку $x > 3$, выражение $x - 3$ также положительно, следовательно $|x - 3| = x - 3$.
Тогда функция $F(x)$ на данном промежутке принимает вид: $F(x) = (x^2 + 1) + (x - 3) = x^2 + x - 2$.
Найдем производную этой функции: $F'(x) = (x^2 + x - 2)' = 2x + 1$.
Сравнивая полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x) = 2x + 1$, мы видим, что они совпадают.
Ответ: да, $f(x)$ является производной $F(x)$ на промежутке $(3; +\infty)$.

г) Рассмотрим функции $F(x) = |x^4 + 3x^2 + 1| + |x|$ и $f(x) = 4x^3 + 6x^2 - 1$ на промежутке $x \in (-\infty; 0)$.
На этом промежутке $x < 0$.
Раскроем модули. Выражение $x^4 + 3x^2 + 1$ всегда положительно, так как степени $x^4$ и $x^2$ неотрицательны, следовательно $|x^4 + 3x^2 + 1| = x^4 + 3x^2 + 1$.
Поскольку $x < 0$, то $|x| = -x$.
Тогда функция $F(x)$ на данном промежутке принимает вид: $F(x) = (x^4 + 3x^2 + 1) + (-x) = x^4 + 3x^2 - x + 1$.
Найдем производную этой функции: $F'(x) = (x^4 + 3x^2 - x + 1)' = 4x^3 + 6x - 1$.
Сравним полученную производную $F'(x) = 4x^3 + 6x - 1$ с функцией $f(x) = 4x^3 + 6x^2 - 1$.
Эти функции не равны, так как слагаемое $6x$ в $F'(x)$ не равно слагаемому $6x^2$ в $f(x)$ (кроме точек $x=0$ и $x=1$, которые не принадлежат всему интервалу).
Ответ: нет, $f(x)$ не является производной $F(x)$ на промежутке $(-\infty; 0)$.

20.6. a) F(x) = $F(x) = \begin{cases} \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 4x + \frac{16}{3}, & \text{если } |x| > 2 \\ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 4x - \frac{16}{3}, & \text{если } |x| < 2 \end{cases}$

$f(x) = |x^2 - 4| + x;$

б) F(x) = $F(x) = \begin{cases} \frac{x^3}{3} - 3x^2 - 9x, & \text{если } |x| > 3 \\ -\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x - 36, & \text{если } |x| < 3 \end{cases}$

$f(x) = |x^2 - 9| - 6x.$

а) Чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо показать, что $F'(x) = f(x)$.

Сначала раскроем модуль в выражении для функции $f(x) = |x^2 - 4| + x$.

1. Если $|x| > 2$, то есть $x > 2$ или $x < -2$, то $x^2 - 4 > 0$. В этом случае $|x^2 - 4| = x^2 - 4$.
Тогда функция $f(x)$ принимает вид:
$f(x) = (x^2 - 4) + x = x^2 + x - 4$.

2. Если $|x| < 2$, то есть $-2 < x < 2$, то $x^2 - 4 < 0$. В этом случае $|x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$.
Тогда функция $f(x)$ принимает вид:
$f(x) = (4 - x^2) + x = -x^2 + x + 4$.

Таким образом, функцию $f(x)$ можно представить в кусочно-заданном виде:$f(x) = \begin{cases} x^2 + x - 4, & \text{если } |x| > 2 \\ -x^2 + x + 4, & \text{если } |x| < 2 \end{cases}$

Теперь найдем производную функции $F(x)$ на каждом из интервалов.

1. При $|x| > 2$, $F(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 4x + \frac{16}{3}$.
$F'(x) = \left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 4x + \frac{16}{3}\right)' = \frac{3x^2}{3} + \frac{2x}{2} - 4 + 0 = x^2 + x - 4$.

2. При $|x| < 2$, $F(x) = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 4x - \frac{16}{3}$.
$F'(x) = \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 4x - \frac{16}{3}\right)' = -\frac{3x^2}{3} + \frac{2x}{2} + 4 - 0 = -x^2 + x + 4$.

Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$ на соответствующих интервалах, видим, что они совпадают. Таким образом, $F'(x) = f(x)$ для всех $x \neq \pm 2$.

Ответ: Утверждение доказано, так как производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$ на указанных промежутках.

б) Решим задачу аналогичным образом для $f(x) = |x^2 - 9| - 6x$.

Сначала раскроем модуль в выражении для функции $f(x)$.

1. Если $|x| > 3$, то есть $x > 3$ или $x < -3$, то $x^2 - 9 > 0$. В этом случае $|x^2 - 9| = x^2 - 9$.
Тогда функция $f(x)$ принимает вид:
$f(x) = (x^2 - 9) - 6x = x^2 - 6x - 9$.

2. Если $|x| < 3$, то есть $-3 < x < 3$, то $x^2 - 9 < 0$. В этом случае $|x^2 - 9| = -(x^2 - 9) = 9 - x^2$.
Тогда функция $f(x)$ принимает вид:
$f(x) = (9 - x^2) - 6x = -x^2 - 6x + 9$.

Таким образом, функцию $f(x)$ можно представить в виде:$f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x - 9, & \text{если } |x| > 3 \\ -x^2 - 6x + 9, & \text{если } |x| < 3 \end{cases}$

Теперь найдем производную функции $F(x)$ на каждом из интервалов.

1. При $|x| > 3$, $F(x) = \frac{x^3}{3} - 3x^2 - 9x$.
$F'(x) = \left(\frac{x^3}{3} - 3x^2 - 9x\right)' = \frac{3x^2}{3} - 3(2x) - 9 = x^2 - 6x - 9$.

2. При $|x| < 3$, $F(x) = -\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x - 36$.
$F'(x) = \left(-\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x - 36\right)' = -\frac{3x^2}{3} - 3(2x) + 9 - 0 = -x^2 - 6x + 9$.

Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$ на соответствующих интервалах, видим, что они совпадают. Таким образом, $F'(x) = f(x)$ для всех $x \neq \pm 3$.

Ответ: Утверждение доказано, так как производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$ на указанных промежутках.