Страница 130, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

20.37. Скорость движения точки по координатной прямой задаётся формулой $v = - \frac{6}{\sqrt{2t + 1}}$. Найдите закон движения, если $s(0) = 3$.

Закон движения $s(t)$ является первообразной для функции скорости $v(t)$. Чтобы найти закон движения, необходимо найти неопределенный интеграл от функции скорости по времени $t$.

$s(t) = \int v(t) dt$

Подставим данную в условии формулу скорости:

$s(t) = \int \left(-\frac{6}{\sqrt{2t+1}}\right) dt = -6 \int \frac{1}{\sqrt{2t+1}} dt$

Представим подынтегральную функцию в виде степени для удобства вычисления:

$s(t) = -6 \int (2t+1)^{-\frac{1}{2}} dt$

Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $a=2$, $b=1$ и $n = -\frac{1}{2}$.

$s(t) = -6 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{(2t+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right) + C$

$s(t) = -6 \cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{(2t+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right) + C$

$s(t) = -6 \cdot (2t+1)^{\frac{1}{2}} + C$

$s(t) = -6\sqrt{2t+1} + C$

Мы получили общее решение. Теперь необходимо найти значение константы интегрирования $C$, используя начальное условие $s(0) = 3$. Для этого подставим $t=0$ и $s(0)=3$ в полученное уравнение:

$3 = -6\sqrt{2 \cdot 0 + 1} + C$

$3 = -6\sqrt{1} + C$

$3 = -6 + C$

Отсюда находим $C$:

$C = 3 + 6 = 9$

Теперь подставим найденное значение $C=9$ в общее решение, чтобы получить искомый закон движения:

$s(t) = -6\sqrt{2t+1} + 9$

Ответ: $s(t) = 9 - 6\sqrt{2t+1}$.

20.38. Ускорение движения точки по координатной прямой задаётся формулой $a(t) = 2(t + 1)^2$. Найдите закон изменения скорости движения и закон движения, если $v(0) = 1$, $s(0) = 1$.

Закон изменения скорости движения

Скорость $v(t)$ является первообразной для ускорения $a(t)$, то есть $v(t) = \int a(t) \,dt$. Чтобы найти закон изменения скорости, необходимо проинтегрировать заданную функцию ускорения $a(t) = 2(t + 1)^2$.

$v(t) = \int 2(t + 1)^2 \,dt$

Воспользуемся формулой для интеграла степенной функции $\int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $u = t+1$ и $du = dt$.

$v(t) = 2 \int (t + 1)^2 \,d(t+1) = 2 \cdot \frac{(t+1)^{3}}{3} + C_1 = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + C_1$

Здесь $C_1$ — постоянная интегрирования. Для её определения используем начальное условие $v(0) = 1$. Подставим $t=0$ в полученное выражение для скорости:

$v(0) = \frac{2}{3}(0 + 1)^3 + C_1 = 1$

$\frac{2}{3} \cdot 1 + C_1 = 1$

$\frac{2}{3} + C_1 = 1$

$C_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Следовательно, закон изменения скорости движения имеет вид:

Ответ: $v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$.

Закон движения

Закон движения $s(t)$ (координата) является первообразной для скорости $v(t)$, то есть $s(t) = \int v(t) \,dt$. Проинтегрируем найденную функцию скорости $v(t) = \frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}$.

$s(t) = \int \left(\frac{2}{3}(t + 1)^3 + \frac{1}{3}\right) \,dt = \int \frac{2}{3}(t + 1)^3 \,dt + \int \frac{1}{3} \,dt$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

$\int \frac{2}{3}(t + 1)^3 \,dt = \frac{2}{3} \int (t+1)^3 \,d(t+1) = \frac{2}{3} \cdot \frac{(t+1)^{4}}{4} = \frac{1}{6}(t + 1)^4$

$\int \frac{1}{3} \,dt = \frac{1}{3}t$

Суммируя результаты и добавляя новую постоянную интегрирования $C_2$, получаем общее решение для $s(t)$:

$s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + C_2$

Для нахождения $C_2$ используем начальное условие $s(0) = 1$. Подставим $t=0$ в уравнение для $s(t)$:

$s(0) = \frac{1}{6}(0 + 1)^4 + \frac{1}{3}(0) + C_2 = 1$

$\frac{1}{6} \cdot 1 + 0 + C_2 = 1$

$\frac{1}{6} + C_2 = 1$

$C_2 = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

Следовательно, закон движения точки имеет вид:

Ответ: $s(t) = \frac{1}{6}(t + 1)^4 + \frac{1}{3}t + \frac{5}{6}$.

20.39. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = F(x)$ в точке $x = a$, если известно, что $y = F(x)$ — первообразная для функции $y = f(x)$:

а) $f(x) = x \sin x + x^2 \cos x + 5, a = 0;$

б) $f(x) = \log_2 x + \log_3(x+1), a = 8;$

в) $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 3x + 3}, a = 20;$

г) $f(x) = x^{\frac{1}{5}} - (2x)^{\frac{1}{3}}, a = 32.$

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $y=F(x)$ в точке $x=a$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = F'(a)$.

По условию задачи, функция $y=F(x)$ является первообразной для функции $y=f(x)$. По определению первообразной, это означает, что $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Следовательно, для нахождения искомого углового коэффициента касательной в точке $x=a$ достаточно вычислить значение функции $f(x)$ в этой точке: $k = f(a)$.

а)

Дана функция $f(x) = x \sin x + x^2 \cos x + 5$ и точка $a = 0$.

Вычислим значение $f(0)$:

$k = f(0) = 0 \cdot \sin(0) + 0^2 \cdot \cos(0) + 5 = 0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 5 = 5$.

Ответ: 5.

б)

Дана функция $f(x) = \log_2 x + \log_3(x+1)$ и точка $a = 8$.

Вычислим значение $f(8)$:

$k = f(8) = \log_2 8 + \log_3(8+1) = \log_2 (2^3) + \log_3 (3^2) = 3 + 2 = 5$.

Ответ: 5.

в)

Дана функция $f(x) = \sqrt[3]{x^2 - 3x + 3}$ и точка $a = 20$.

Вычислим значение $f(20)$:

$k = f(20) = \sqrt[3]{20^2 - 3 \cdot 20 + 3} = \sqrt[3]{400 - 60 + 3} = \sqrt[3]{343} = 7$.

Ответ: 7.

г)

Дана функция $f(x) = x^{\frac{1}{5}} - (2x)^{\frac{1}{3}}$ и точка $a = 32$.

Вычислим значение $f(32)$:

$k = f(32) = 32^{\frac{1}{5}} - (2 \cdot 32)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[5]{32} - \sqrt[3]{64} = 2 - 4 = -2$.

Ответ: -2.

20.40. Сравните числа $F(a)$ и $F(b)$, если известно, что $y = F(x)$ – первообразная для функции $y = f(x)$:

а) $f(x) = x^2 \ln x$, $a = 2$, $b = 3$;

б) $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{x^3 - 27}$, $a = 0$, $b = 1$;

в) $f(x) = \sin^3 x$, $a = \frac{7\pi}{6}$, $b = \frac{4\pi}{3}$;

г) $f(x) = \sqrt[5]{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}$, $a = \lg 1001$, $b = \log_2 7$.

а)

По условию, $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$, что означает $F'(x) = f(x)$. Чтобы сравнить значения $F(a)$ и $F(b)$, необходимо определить, является ли функция $F(x)$ возрастающей или убывающей на отрезке $[a, b]$. Это, в свою очередь, зависит от знака её производной $F'(x)$, то есть от знака функции $f(x)$ на этом отрезке.

В данном случае $f(x) = x^2 \ln x$, $a = 2$, $b = 3$. Мы рассматриваем отрезок $[2, 3]$.

Проанализируем знак функции $f(x)$ на отрезке $[2, 3]$:

• Множитель $x^2$ всегда положителен при $x \ne 0$. На отрезке $[2, 3]$ он строго положителен.
• Множитель $\ln x$ положителен при $x > 1$. На отрезке $[2, 3]$ он также строго положителен.

Поскольку оба множителя положительны на отрезке $[2, 3]$, их произведение $f(x) = x^2 \ln x$ также положительно на этом отрезке.

Так как $F'(x) = f(x) > 0$ на отрезке $[2, 3]$, функция $F(x)$ является возрастающей на этом отрезке. Для возрастающей функции, если $a < b$, то $F(a) < F(b)$.

Поскольку $a = 2 < b = 3$, мы заключаем, что $F(2) < F(3)$.

Ответ: $F(a) < F(b)$.

б)

Дано $f(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{x^3 - 27}$, $a = 0$, $b = 1$. Мы исследуем знак $f(x)$ на отрезке $[0, 1]$.

Проанализируем знак числителя $x^2 - 6x + 8$. Корни этого квадратного трехчлена находятся из уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$, что дает $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви, направленные вверх, и положительна вне интервала между корнями. Так как отрезок $[0, 1]$ лежит левее корня $x_1=2$, числитель на этом отрезке положителен.

Проанализируем знак знаменателя $x^3 - 27$. Знаменатель обращается в ноль при $x = 3$. Для всех $x < 3$, знаменатель $x^3 - 27$ отрицателен. На отрезке $[0, 1]$ знаменатель отрицателен.

Таким образом, на отрезке $[0, 1]$ функция $f(x)$ представляет собой частное от деления положительного числителя на отрицательный знаменатель, следовательно, $f(x) < 0$.

Поскольку $F'(x) = f(x) < 0$ на отрезке $[0, 1]$, функция $F(x)$ является убывающей на этом отрезке. Для убывающей функции, если $a < b$, то $F(a) > F(b)$.

Поскольку $a = 0 < b = 1$, мы заключаем, что $F(0) > F(1)$.

Ответ: $F(a) > F(b)$.

в)

Дано $f(x) = \sin^3 x$, $a = \frac{7\pi}{6}$, $b = \frac{4\pi}{3}$.

Сначала сравним $a$ и $b$: $a = \frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ и $b = \frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{2\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{3}$. Так как $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{3}$, то $a < b$.

Рассмотрим отрезок $[\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}]$. Этот отрезок полностью находится в третьей координатной четверти (от $\pi$ до $\frac{3\pi}{2}$).

В третьей четверти синус любого угла отрицателен: $\sin x < 0$.

Следовательно, $f(x) = (\sin x)^3$ также будет отрицательна на всем отрезке $[\frac{7\pi}{6}, \frac{4\pi}{3}]$.

Поскольку $F'(x) = f(x) < 0$ на отрезке $[a, b]$, функция $F(x)$ является убывающей на этом отрезке. Для убывающей функции, если $a < b$, то $F(a) > F(b)$.

Так как $a < b$, мы заключаем, что $F(a) > F(b)$.

Ответ: $F(a) > F(b)$.

г)

Дано $f(x) = \sqrt[5]{x^3 + 2x^2 - 5x - 6}$, $a = \lg 1001$, $b = \log_2 7$.

Сравним значения $a$ и $b$:

• $a = \lg 1001$. Мы знаем, что $\lg 1000 = 3$. Так как логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, то $\lg 1001 > \lg 1000 = 3$.
• $b = \log_2 7$. Мы знаем, что $\log_2 4 = 2$ и $\log_2 8 = 3$. Так как логарифмическая функция с основанием 2 является возрастающей, $2 < \log_2 7 < 3$.

Отсюда следует, что $b < 3 < a$, то есть $b < a$. Нам нужно исследовать знак $f(x)$ на отрезке $[b, a] = [\log_2 7, \lg 1001]$.

Знак функции $f(x)$ совпадает со знаком подкоренного выражения $g(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$, так как корень нечетной степени. Найдем корни многочлена $g(x)$. Проверяя делители свободного члена (-6), находим корни: $x_1=2$, $x_2=-1$, $x_3=-3$.

Таким образом, $g(x) = (x-2)(x+1)(x+3)$.

Нас интересует знак $g(x)$ на отрезке $[\log_2 7, \lg 1001]$. Поскольку $2 < \log_2 7 < 3$, любая точка $x$ на этом отрезке удовлетворяет условию $x > 2$.

Если $x > 2$, то все три множителя в разложении $g(x)$ положительны:

• $x - 2 > 0$
• $x + 1 > 0$
• $x + 3 > 0$

Произведение трех положительных множителей положительно, поэтому $g(x) > 0$ и, следовательно, $f(x) > 0$ на всем отрезке $[\log_2 7, \lg 1001]$.

Поскольку $F'(x) = f(x) > 0$ на отрезке $[b, a]$, функция $F(x)$ является возрастающей на этом отрезке. Для возрастающей функции, если $b < a$, то $F(b) < F(a)$.

Ответ: $F(a) > F(b)$.

20.41. Исследуйте функцию $y = F(x)$ на монотонность и экстремумы, если известно, что она является первообразной для функции $y = f(x)$:

а) $f(x) = 2x^2 + 5x - 7;$

б) $f(x) = \sqrt{5x - 24} \cdot \lg (x^2 - 6x + 6);$

в) $f(x) = 2^{x^2 - \sqrt{x} + 1};$

г) $f(x) = (x^2 - 5x - 14) \log_2 (5 - 2x).$

Поскольку функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$, то по определению первообразной $F'(x) = f(x)$. Для исследования функции $F(x)$ на монотонность и экстремумы, необходимо исследовать знак её производной $F'(x)$, то есть знак функции $f(x)$.

• Если $f(x) > 0$ на некотором интервале, то функция $F(x)$ на этом интервале возрастает.
• Если $f(x) < 0$ на некотором интервале, то функция $F(x)$ на этом интервале убывает.
• Точки, в которых $f(x) = 0$ или не существует, являются критическими точками для $F(x)$. В этих точках могут быть экстремумы (максимумы или минимумы), если при переходе через них знак $f(x)$ меняется.

а) $f(x) = 2x^2 + 5x - 7$

1. Производная функции $F(x)$ равна $F'(x) = f(x) = 2x^2 + 5x - 7$. Область определения функции $f(x)$ — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдём критические точки функции $F(x)$, решив уравнение $f(x) = 0$:

$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5$ и $x_2 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

3. Определим знаки $f(x)$ на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty, -3.5)$, $(-3.5, 1)$ и $(1, +\infty)$. График функции $f(x)$ — парабола с ветвями, направленными вверх ($a=2 > 0$).

• На интервале $(-\infty, -3.5)$, $f(x) > 0$, следовательно, $F(x)$ возрастает.
• На интервале $(-3.5, 1)$, $f(x) < 0$, следовательно, $F(x)$ убывает.
• На интервале $(1, +\infty)$, $f(x) > 0$, следовательно, $F(x)$ возрастает.

4. В точке $x = -3.5$ производная $F'(x)$ меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума. В точке $x = 1$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.

Ответ: функция $F(x)$ возрастает на промежутках $(-\infty, -3.5]$ и $[1, +\infty)$; убывает на промежутке $[-3.5, 1]$; $x_{max} = -3.5$; $x_{min} = 1$.

б) $f(x) = \sqrt{5x - 24} \cdot \lg(x^2 - 6x + 6)$

1. $F'(x) = f(x)$. Найдём область определения $f(x)$ из системы неравенств:

$\begin{cases} 5x - 24 \ge 0 \\ x^2 - 6x + 6 > 0 \end{cases}$

Из первого неравенства: $5x \ge 24 \implies x \ge 4.8$.

Для второго неравенства найдём корни уравнения $x^2 - 6x + 6 = 0$: $x = \frac{6 \pm \sqrt{36-24}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 3-\sqrt{3}) \cup (3+\sqrt{3}, +\infty)$.

Учитывая, что $3+\sqrt{3} \approx 3 + 1.732 = 4.732$, пересечение решений двух неравенств даёт область определения $D(f) = [4.8, +\infty)$.

2. Найдём критические точки, решив $f(x) = 0$ на области определения:

$\sqrt{5x - 24} \cdot \lg(x^2 - 6x + 6) = 0$

Это возможно, если:

• $\sqrt{5x - 24} = 0 \implies 5x = 24 \implies x = 4.8$. Эта точка принадлежит $D(f)$.
• $\lg(x^2 - 6x + 6) = 0 \implies x^2 - 6x + 6 = 1 \implies x^2 - 6x + 5 = 0$. Корни этого уравнения $x=1$ и $x=5$. Из них только $x=5$ принадлежит $D(f)$.

Критические точки: $x=4.8$ и $x=5$.

3. Определим знаки $f(x)$ на интервалах $(4.8, 5)$ и $(5, +\infty)$. Множитель $\sqrt{5x-24}$ положителен на этих интервалах. Знак $f(x)$ совпадает со знаком $\lg(x^2 - 6x + 6)$.

• На интервале $(4.8, 5)$: выражение $x^2 - 6x + 5$ отрицательно. Следовательно, $x^2 - 6x + 6 < 1$. Так как $x > 3+\sqrt{3}$, то $x^2 - 6x + 6 > 0$. Таким образом, $0 < x^2 - 6x + 6 < 1$, и $\lg(x^2 - 6x + 6) < 0$. Значит, $f(x) < 0$ и $F(x)$ убывает.
• На интервале $(5, +\infty)$: выражение $x^2 - 6x + 5$ положительно. Следовательно, $x^2 - 6x + 6 > 1$, и $\lg(x^2 - 6x + 6) > 0$. Значит, $f(x) > 0$ и $F(x)$ возрастает.

4. В точке $x=4.8$ (граница области определения) функция начинает убывать, это точка локального максимума. В точке $x = 5$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.

Ответ: функция $F(x)$ возрастает на промежутке $[5, +\infty)$; убывает на промежутке $[4.8, 5]$; $x_{max} = 4.8$; $x_{min} = 5$.

в) $f(x) = 2x^2 - \sqrt{x} + 1$

1. $F'(x) = f(x) = 2x^2 - \sqrt{x} + 1$. Область определения $f(x)$ задаётся условием $x \ge 0$, то есть $D(f) = [0, +\infty)$.

2. Найдём критические точки, решив $f(x) = 0$:

$2x^2 - \sqrt{x} + 1 = 0$.

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x=t^2$ и $x^2=t^4$. Уравнение примет вид:

$2t^4 - t + 1 = 0$.

Исследуем функцию $g(t) = 2t^4 - t + 1$ при $t \ge 0$. Найдём её наименьшее значение. $g'(t) = 8t^3 - 1$. Найдём критическую точку из $g'(t)=0$: $8t^3 = 1 \implies t^3 = 1/8 \implies t = 1/2$. Это точка минимума для $g(t)$, так как $g''(t) = 24t^2 > 0$ при $t=1/2$.

Минимальное значение функции $g(t)$ равно $g(1/2) = 2(1/2)^4 - 1/2 + 1 = 2(1/16) - 1/2 + 1 = 1/8 - 4/8 + 8/8 = 5/8$.

Поскольку минимальное значение функции $g(t)$ равно $5/8$ и оно положительно, то $g(t) > 0$ для всех $t \ge 0$. Следовательно, уравнение $2t^4 - t + 1 = 0$ не имеет корней.

3. Это означает, что $f(x) = 2x^2 - \sqrt{x} + 1 > 0$ для всех $x$ из области определения. Критических точек нет.

4. Так как $F'(x) = f(x) > 0$ на всей области определения $[0, +\infty)$, функция $F(x)$ является монотонно возрастающей. Экстремумов во внутренних точках области определения нет. В граничной точке $x=0$ функция имеет минимум.

Ответ: функция $F(x)$ возрастает на промежутке $[0, +\infty)$; промежутков убывания нет; $x_{min} = 0$; точек максимума нет.

г) $f(x) = (x^2 - 5x - 14)\log_2(5 - 2x)$

1. $F'(x) = f(x)$. Область определения $f(x)$ задаётся условием $5 - 2x > 0 \implies 2x < 5 \implies x < 2.5$. Итак, $D(f) = (-\infty, 2.5)$.

2. Найдём критические точки из уравнения $f(x) = 0$:

$(x^2 - 5x - 14)\log_2(5 - 2x) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

• $x^2 - 5x - 14 = 0$. Корни $x_1 = 7, x_2 = -2$. Корень $x=7$ не входит в область определения. Подходит только $x=-2$.
• $\log_2(5 - 2x) = 0 \implies 5 - 2x = 2^0 = 1 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Корень $x=2$ входит в область определения.

Критические точки: $x=-2$ и $x=2$.

3. Определим знаки $f(x)$ на интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, 2.5)$. Для этого определим знаки каждого множителя.

Знак $g(x) = x^2 - 5x - 14$: парабола с ветвями вверх и корнями -2 и 7. $g(x)>0$ при $x<-2$; $g(x)<0$ при $-2<x<7$.

Знак $h(x) = \log_2(5 - 2x)$: $h(x)>0$ при $5-2x > 1 \implies x<2$; $h(x)<0$ при $0<5-2x<1 \implies 2<x<2.5$.

Теперь определим знак произведения $f(x)=g(x)h(x)$:

• На интервале $(-\infty, -2)$: $g(x)>0$, $h(x)>0 \implies f(x) > 0$. $F(x)$ возрастает.
• На интервале $(-2, 2)$: $g(x)<0$, $h(x)>0 \implies f(x) < 0$. $F(x)$ убывает.
• На интервале $(2, 2.5)$: $g(x)<0$ (т.к. $x<7$), $h(x)<0 \implies f(x) > 0$. $F(x)$ возрастает.

4. В точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «−», значит, это точка максимума. В точке $x = 2$ производная меняет знак с «−» на «+», значит, это точка минимума.

Ответ: функция $F(x)$ возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[2, 2.5)$; убывает на промежутке $[-2, 2]$; $x_{max} = -2$; $x_{min} = 2$.

20.42. Найдите неопределённый интеграл:

а) $\int \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2e^x - \frac{3}{x}\right) dx;$

б) $\int \left(\frac{1}{x^2} + x^2 + 3\right) dx;$

в) $\int \left(3x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{\sqrt[4]{x}} + x^5\right) dx;$

г) $\int \left(5x - \frac{1}{x^2} + x^5\right) dx.$

а) Для нахождения неопределенного интеграла воспользуемся свойством линейности (интеграл суммы/разности равен сумме/разности интегралов) и таблицей основных интегралов. Сначала разобьем интеграл на три отдельных интеграла:

$ \int (\frac{1}{2\sqrt{x}} + 2e^x - \frac{3}{x}) dx = \int \frac{1}{2\sqrt{x}} dx + \int 2e^x dx - \int \frac{3}{x} dx $

Вынесем константы за знак интеграла и представим $ \frac{1}{\sqrt{x}} $ как $ x^{-1/2} $:

$ \frac{1}{2}\int x^{-1/2} dx + 2\int e^x dx - 3\int \frac{1}{x} dx $

Теперь применим формулы интегрирования: $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $, $ \int e^x dx = e^x $, $ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| $.

$ \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + 2e^x - 3\ln|x| + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + 2e^x - 3\ln|x| + C = \sqrt{x} + 2e^x - 3\ln|x| + C $

где $ C $ — произвольная постоянная.

Ответ: $ \sqrt{x} + 2e^x - 3\ln|x| + C $

б) Аналогично предыдущему пункту, разобьем интеграл на сумму интегралов:

$ \int (\frac{1}{x^2} + x^2 + 3) dx = \int \frac{1}{x^2} dx + \int x^2 dx + \int 3 dx $

Представим $ \frac{1}{x^2} $ как $ x^{-2} $ и применим формулу для степенной функции:

$ \int x^{-2} dx + \int x^2 dx + \int 3 dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3x + C = \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^3}{3} + 3x + C = -\frac{1}{x} + \frac{x^3}{3} + 3x + C $

где $ C $ — произвольная постоянная.

Ответ: $ -\frac{1}{x} + \frac{x^3}{3} + 3x + C $

в) Применим свойство линейности интеграла:

$ \int (3x^{2/3} - \frac{4}{\sqrt[4]{x}} + x^5) dx = \int 3x^{2/3} dx - \int \frac{4}{\sqrt[4]{x}} dx + \int x^5 dx $

Вынесем константы и представим корень в виде степени $ \frac{1}{\sqrt[4]{x}} = x^{-1/4} $:

$ 3\int x^{2/3} dx - 4\int x^{-1/4} dx + \int x^5 dx $

Интегрируем каждую степенную функцию:

$ 3 \cdot \frac{x^{2/3 + 1}}{2/3 + 1} - 4 \cdot \frac{x^{-1/4 + 1}}{-1/4 + 1} + \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = 3 \cdot \frac{x^{5/3}}{5/3} - 4 \cdot \frac{x^{3/4}}{3/4} + \frac{x^6}{6} + C = \frac{9}{5}x^{5/3} - \frac{16}{3}x^{3/4} + \frac{x^6}{6} + C $

где $ C $ — произвольная постоянная.

Ответ: $ \frac{9}{5}x^{5/3} - \frac{16}{3}x^{3/4} + \frac{x^6}{6} + C $

г) Разобьем интеграл на сумму и разность интегралов:

$ \int (5^x - \frac{1}{x^2} + x^5) dx = \int 5^x dx - \int \frac{1}{x^2} dx + \int x^5 dx $

Представим $ \frac{1}{x^2} $ как $ x^{-2} $:

$ \int 5^x dx - \int x^{-2} dx + \int x^5 dx $

Применим формулы интегрирования: $ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} $ и $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $.

$ \frac{5^x}{\ln 5} - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{5^x}{\ln 5} - \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^6}{6} + C = \frac{5^x}{\ln 5} + \frac{1}{x} + \frac{x^6}{6} + C $

где $ C $ — произвольная постоянная.

Ответ: $ \frac{5^x}{\ln 5} + \frac{1}{x} + \frac{x^6}{6} + C $