Страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите интеграл:

21.10. а) $\int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \left( 6 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} \right) dx;$

б) $\int_{-\pi}^{0} \left( 2 \sin^2 \frac{x}{4} - 1 \right) dx;$

в) $\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \left( \sin^2 2x - \cos^2 2x \right) dx;$

г) $\int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \left( 1 - 2 \cos^2 \frac{x}{3} \right) dx.$

а) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \left( 6 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} \right) dx $ воспользуемся тригонометрической формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) $.
Преобразуем подынтегральное выражение:
$ 6 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} = 3 \cdot \left( 2 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{x}{3} \right) = 3 \sin \left( 2 \cdot \frac{x}{3} \right) = 3 \sin \left(\frac{2x}{3}\right) $.
Теперь интеграл имеет вид: $ \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} 3 \sin \left(\frac{2x}{3}\right) dx $.
Найдем первообразную для $ 3 \sin \left(\frac{2x}{3}\right) $. Первообразная для $ \sin(kx) $ есть $ -\frac{1}{k}\cos(kx) $.
$ \int 3 \sin \left(\frac{2x}{3}\right) dx = 3 \cdot \left( -\frac{1}{2/3} \cos\left(\frac{2x}{3}\right) \right) = -\frac{9}{2} \cos\left(\frac{2x}{3}\right) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:
$ \left[ -\frac{9}{2} \cos\left(\frac{2x}{3}\right) \right]_{0}^{\frac{3\pi}{4}} = \left( -\frac{9}{2} \cos\left(\frac{2 \cdot \frac{3\pi}{4}}{3}\right) \right) - \left( -\frac{9}{2} \cos\left(\frac{2 \cdot 0}{3}\right) \right) = -\frac{9}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) - \left( -\frac{9}{2} \cos(0) \right) $.
Так как $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $ и $ \cos(0) = 1 $, получаем:
$ -\frac{9}{2} \cdot 0 + \frac{9}{2} \cdot 1 = \frac{9}{2} $.
Ответ: $ \frac{9}{2} $.

б) Для вычисления интеграла $ \int_{-\pi}^{0} \left( 2 \sin^2 \frac{x}{4} - 1 \right) dx $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha) $.
Преобразуем подынтегральное выражение:
$ 2 \sin^2 \frac{x}{4} - 1 = -\left(1 - 2 \sin^2 \frac{x}{4}\right) = -\cos\left(2 \cdot \frac{x}{4}\right) = -\cos\left(\frac{x}{2}\right) $.
Интеграл принимает вид: $ \int_{-\pi}^{0} -\cos\left(\frac{x}{2}\right) dx $.
Найдем первообразную для $ -\cos\left(\frac{x}{2}\right) $. Первообразная для $ \cos(kx) $ есть $ \frac{1}{k}\sin(kx) $.
$ \int -\cos\left(\frac{x}{2}\right) dx = -\frac{1}{1/2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left[ -2 \sin\left(\frac{x}{2}\right) \right]_{-\pi}^{0} = \left(-2 \sin\left(\frac{0}{2}\right)\right) - \left(-2 \sin\left(\frac{-\pi}{2}\right)\right) = -2 \sin(0) + 2 \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $.
Так как $ \sin(0) = 0 $ и $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $, получаем:
$ -2 \cdot 0 + 2 \cdot (-1) = -2 $.
Ответ: $ -2 $.

в) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \left( \sin^2 2x - \cos^2 2x \right) dx $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $.
Преобразуем подынтегральное выражение:
$ \sin^2 2x - \cos^2 2x = -(\cos^2 2x - \sin^2 2x) = -\cos(2 \cdot 2x) = -\cos(4x) $.
Интеграл принимает вид: $ \int_{0}^{\frac{\pi}{8}} -\cos(4x) dx $.
Найдем первообразную для $ -\cos(4x) $. Первообразная для $ \cos(kx) $ есть $ \frac{1}{k}\sin(kx) $.
$ \int -\cos(4x) dx = -\frac{1}{4} \sin(4x) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left[ -\frac{1}{4} \sin(4x) \right]_{0}^{\frac{\pi}{8}} = \left(-\frac{1}{4} \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{8}\right)\right) - \left(-\frac{1}{4} \sin(4 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{4} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{4} \sin(0) $.
Так как $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ и $ \sin(0) = 0 $, получаем:
$ -\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{1}{4} \cdot 0 = -\frac{1}{4} $.
Ответ: $ -\frac{1}{4} $.

г) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} \left( 1 - 2 \cos^2 \frac{x}{3} \right) dx $ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1 $.
Преобразуем подынтегральное выражение:
$ 1 - 2 \cos^2 \frac{x}{3} = -(2 \cos^2 \frac{x}{3} - 1) = -\cos\left(2 \cdot \frac{x}{3}\right) = -\cos\left(\frac{2x}{3}\right) $.
Интеграл принимает вид: $ \int_{0}^{\frac{3\pi}{4}} -\cos\left(\frac{2x}{3}\right) dx $.
Найдем первообразную для $ -\cos\left(\frac{2x}{3}\right) $. Первообразная для $ \cos(kx) $ есть $ \frac{1}{k}\sin(kx) $.
$ \int -\cos\left(\frac{2x}{3}\right) dx = -\frac{1}{2/3} \sin\left(\frac{2x}{3}\right) = -\frac{3}{2} \sin\left(\frac{2x}{3}\right) $.
Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$ \left[ -\frac{3}{2} \sin\left(\frac{2x}{3}\right) \right]_{0}^{\frac{3\pi}{4}} = \left(-\frac{3}{2} \sin\left(\frac{2 \cdot \frac{3\pi}{4}}{3}\right)\right) - \left(-\frac{3}{2} \sin\left(\frac{2 \cdot 0}{3}\right)\right) = -\frac{3}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{3}{2} \sin(0) $.
Так как $ \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $ и $ \sin(0) = 0 $, получаем:
$ -\frac{3}{2} \cdot 1 + \frac{3}{2} \cdot 0 = -\frac{3}{2} $.
Ответ: $ -\frac{3}{2} $.

21.11. a) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 + \text{tg}^2 x) dx$;

В) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (\text{ctg}^2 x + 1) dx$;

б) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (3 - 3 \text{ctg}^2 x) dx$;

Г) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (1 + 2 \text{tg}^2 x) dx$.

а) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 + \text{tg}^2 x) dx$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Интеграл принимает вид: $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$.
Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ есть $F(x) = \text{tg} x$.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = [\text{tg} x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \text{tg}(\frac{\pi}{4}) - \text{tg}(0) = 1 - 0 = 1$.
Ответ: $1$.

б) Рассмотрим интеграл $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (3 - 3 \text{ctg}^2 x) dx$.
Сначала преобразуем подынтегральное выражение, используя тригонометрическое тождество $1 + \text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$, из которого следует, что $\text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} - 1$.
$3 - 3 \text{ctg}^2 x = 3(1 - \text{ctg}^2 x) = 3(1 - (\frac{1}{\sin^2 x} - 1)) = 3(2 - \frac{1}{\sin^2 x}) = 6 - \frac{3}{\sin^2 x}$.
Теперь найдем первообразную для этого выражения. Первообразная для $6$ есть $6x$, а для $-\frac{3}{\sin^2 x}$ есть $3\text{ctg} x$.
Таким образом, $\int (6 - \frac{3}{\sin^2 x}) dx = 6x + 3\text{ctg} x + C$.
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница. Обратим внимание, что верхний предел интегрирования меньше нижнего.
$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} (3 - 3 \text{ctg}^2 x) dx = [6x + 3\text{ctg} x]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} = (6 \cdot \frac{\pi}{4} + 3\text{ctg}(\frac{\pi}{4})) - (6 \cdot \frac{\pi}{3} + 3\text{ctg}(\frac{\pi}{3}))$.
Зная, что $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, подставляем значения:
$(\frac{3\pi}{2} + 3 \cdot 1) - (2\pi + 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3\pi}{2} + 3 - 2\pi - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3} + \frac{3\pi - 4\pi}{2} = 3 - \sqrt{3} - \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $3 - \sqrt{3} - \frac{\pi}{2}$.

в) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} (\text{ctg}^2 x + 1) dx$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \text{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$.
Интеграл принимает вид: $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$.
Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ есть $F(x) = -\text{ctg} x$.
Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = [-\text{ctg} x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = (-\text{ctg}(\frac{\pi}{3})) - (-\text{ctg}(\frac{\pi}{4})) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) + \text{ctg}(\frac{\pi}{4})$.
Подставляем значения $\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1$:
$-\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) Рассмотрим интеграл $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (1 + 2 \text{tg}^2 x) dx$.
Преобразуем подынтегральное выражение, используя тождество $\text{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} - 1$:
$1 + 2 \text{tg}^2 x = 1 + 2(\frac{1}{\cos^2 x} - 1) = 1 + \frac{2}{\cos^2 x} - 2 = \frac{2}{\cos^2 x} - 1$.
Найдем первообразную для этого выражения. Первообразная для $\frac{2}{\cos^2 x}$ есть $2\text{tg} x$, а для $-1$ есть $-x$.
Таким образом, $\int (\frac{2}{\cos^2 x} - 1) dx = 2\text{tg} x - x + C$.
Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} (1 + 2 \text{tg}^2 x) dx = [2\text{tg} x - x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} = (2\text{tg}(\frac{\pi}{4}) - \frac{\pi}{4}) - (2\text{tg}(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{6})$.
Зная, что $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, подставляем значения:
$(2 \cdot 1 - \frac{\pi}{4}) - (2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{6}) = 2 - \frac{\pi}{4} - \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{\pi}{6} = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{2\pi - 3\pi}{12} = 2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{12}$.
Ответ: $2 - \frac{2\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{12}$.

21.12. a) $\int_{0}^{\pi} \left( \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \cos x - \sin x \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) \right) dx;$

б) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} \left( \cos 2x \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right) - \sin 2x \sin \left( \frac{\pi}{3} - x \right) \right) dx.$

а) Для решения этого интеграла воспользуемся тригонометрической формулой синуса разности двух углов: $ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $

В подынтегральном выражении $\sin\left(\frac{\pi}{3} + x\right)\cos x - \sin x \cos\left(\frac{\pi}{3} + x\right)$ можно заметить, что если принять $\alpha = \frac{\pi}{3} + x$ и $\beta = x$, то оно полностью соответствует правой части формулы.

Таким образом, подынтегральное выражение можно упростить: $ \sin\left(\left(\frac{\pi}{3} + x\right) - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь исходный интеграл принимает вид: $ \int_{0}^{\pi} \frac{\sqrt{3}}{2} dx $

Вычислим этот определенный интеграл: $ \int_{0}^{\pi} \frac{\sqrt{3}}{2} dx = \frac{\sqrt{3}}{2} \int_{0}^{\pi} dx = \frac{\sqrt{3}}{2} [x]_{0}^{\pi} = \frac{\sqrt{3}}{2}(\pi - 0) = \frac{\pi\sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ \frac{\pi\sqrt{3}}{2} $

б) Для решения этого интеграла воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы двух углов: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta $

В подынтегральном выражении $\cos 2x \cos\left(\frac{\pi}{3} - x\right) - \sin 2x \sin\left(\frac{\pi}{3} - x\right)$ можно заметить, что если принять $\alpha = 2x$ и $\beta = \frac{\pi}{3} - x$, то оно полностью соответствует правой части формулы.

Таким образом, подынтегральное выражение можно упростить: $ \cos\left(2x + \left(\frac{\pi}{3} - x\right)\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) $

Теперь исходный интеграл принимает вид: $ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) dx $

Вычислим этот определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для $\cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$ равна $\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$: $ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} \cos\left(x + \frac{\pi}{3}\right) dx = \left[ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) \right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{5\pi}{6}} = \sin\left(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3}\right) $

Вычислим значения в точках: $ \sin\left(\frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) - \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) $

Поскольку $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$ и $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем: $ -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1 + \sqrt{3}}{2} $

Ответ: $ -\frac{1 + \sqrt{3}}{2} $

21.13. a) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin^2\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) \cos(2\pi - x)}{\operatorname{tg}^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \cos^2\left(x - \frac{3\pi}{2}\right)} dx;$

б) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{tg}^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \operatorname{ctg}^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)}{\cos^2(\pi - x) + \sin^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos(\pi + x) \cos(2\pi - x)} dx;$

в) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin(\pi - x)}{\operatorname{tg}(\pi - x)} \cdot \frac{\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}{\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right)} \cdot \frac{\cos(2\pi - x)}{\sin(-x)} dx;$

г) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \operatorname{tg}(\pi - x)}{\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \cos(\pi + x) \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)} dx.$

а) Вычислим интеграл $\int_{\pi/6}^{\pi/4} \frac{\sin^2(x - \frac{3\pi}{2}) \cos(2\pi - x)}{\text{tg}^2(x - \frac{\pi}{2}) \cos^2(x - \frac{3\pi}{2})} dx$.

Сначала упростим подынтегральное выражение, используя формулы приведения.

Преобразуем тригонометрические функции в числителе:

$\sin\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(-\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -(-\cos x) = \cos x$. Следовательно, $\sin^2\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos^2 x$.

$\cos(2\pi - x) = \cos x$.

Преобразуем тригонометрические функции в знаменателе:

$\text{tg}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \text{tg}\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = -\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\text{ctg} x$. Следовательно, $\text{tg}^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = (-\text{ctg} x)^2 = \text{ctg}^2 x$.

$\cos\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(-\left(\frac{3\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x$. Следовательно, $\cos^2\left(x - \frac{3\pi}{2}\right) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$.

Подставим упрощенные выражения в подынтегральную функцию:

$\frac{\cos^2 x \cdot \cos x}{\text{ctg}^2 x \cdot \sin^2 x} = \frac{\cos^3 x}{\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \cdot \sin^2 x} = \frac{\cos^3 x}{\cos^2 x} = \cos x.$

Теперь вычислим определенный интеграл:

$\int_{\pi/6}^{\pi/4} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_{\pi/6}^{\pi/4} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}.$

Ответ: $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$.

б) Вычислим интеграл $\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\text{tg}^2(x - \frac{\pi}{2}) \text{ctg}^2(\frac{3\pi}{2} + x)}{\cos^2(\pi - x) + \sin^2(\frac{\pi}{2} - x) + \cos(\pi + x)\cos(2\pi - x)} dx$.

Упростим подынтегральное выражение. Сначала числитель:

$\text{tg}\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\text{ctg} x \implies \text{tg}^2\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \text{ctg}^2 x$.

$\text{ctg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\text{tg} x \implies \text{ctg}^2\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \text{tg}^2 x$.

Числитель равен $\text{ctg}^2 x \cdot \text{tg}^2 x = 1$.

Теперь упростим знаменатель:

$\cos^2(\pi - x) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x$.

$\sin^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = (\cos x)^2 = \cos^2 x$.

$\cos(\pi + x) = -\cos x$.

$\cos(2\pi - x) = \cos x$.

Знаменатель равен $\cos^2 x + \cos^2 x + (-\cos x)(\cos x) = 2\cos^2 x - \cos^2 x = \cos^2 x$.

Таким образом, подынтегральное выражение равно $\frac{1}{\cos^2 x}$.

Вычислим интеграл:

$\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \left[ \text{tg} x \right]_{\pi/4}^{\pi/3} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3} - 1.$

Ответ: $\sqrt{3} - 1$.

в) Вычислим интеграл $\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\sin(\pi - x)}{\text{tg}(\pi - x)} \cdot \frac{\text{ctg}(\frac{\pi}{2} - x)}{\text{tg}(\frac{\pi}{2} + x)} \cdot \frac{\cos(2\pi - x)}{\sin(-x)} dx$.

Упростим подынтегральное выражение, используя формулы приведения для каждого сомножителя:

$\sin(\pi - x) = \sin x$

$\text{tg}(\pi - x) = -\text{tg} x$

$\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \text{tg} x$

$\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\text{ctg} x$

$\cos(2\pi - x) = \cos x$

$\sin(-x) = -\sin x$

Подставим упрощенные выражения:

$\frac{\sin x}{-\text{tg} x} \cdot \frac{\text{tg} x}{-\text{ctg} x} \cdot \frac{\cos x}{-\sin x} = \frac{\sin x \cdot \text{tg} x \cdot \cos x}{(-\text{tg} x) \cdot (-\text{ctg} x) \cdot (-\sin x)} = \frac{\sin x \cdot \text{tg} x \cdot \cos x}{-(\text{tg} x \cdot \text{ctg} x) \cdot \sin x}.$

Так как $\text{tg} x \cdot \text{ctg} x = 1$, выражение упрощается до:

$\frac{\sin x \cdot \text{tg} x \cdot \cos x}{-\sin x} = - \text{tg} x \cdot \cos x = - \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = -\sin x.$

Вычислим интеграл:

$\int_{\pi/4}^{\pi/3} (-\sin x) dx = \left[ \cos x \right]_{\pi/4}^{\pi/3} = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}.$

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{2}}{2}$.

г) Вычислим интеграл $\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{\sin(\frac{3\pi}{2} - x) \text{tg}(\pi - x)}{\cos^2(\frac{\pi}{2} - x) \cos(\pi + x) \text{tg}(\frac{3\pi}{2} + x)} dx$.

Упростим подынтегральное выражение. Сначала числитель:

$\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x$.

$\text{tg}(\pi - x) = -\text{tg} x$.

Числитель равен $(-\cos x)(-\text{tg} x) = \cos x \cdot \text{tg} x = \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sin x$.

Теперь упростим знаменатель:

$\cos^2\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = (\sin x)^2 = \sin^2 x$.

$\cos(\pi + x) = -\cos x$.

$\text{tg}\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\text{ctg} x$.

Знаменатель равен $\sin^2 x \cdot (-\cos x) \cdot (-\text{ctg} x) = \sin^2 x \cdot \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \sin x \cos^2 x$.

Таким образом, подынтегральное выражение равно $\frac{\sin x}{\sin x \cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Вычислим интеграл:

$\int_{\pi/4}^{\pi/3} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \left[ \text{tg} x \right]_{\pi/4}^{\pi/3} = \text{tg}\left(\frac{\pi}{3}\right) - \text{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3} - 1.$

Ответ: $\sqrt{3} - 1$.