Страница 125, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Установите, является ли функция $y = F(x)$ первообразной для функции $y = f(x)$ на промежутке $X$:

20.7. а) $F(x) = 3 \cos x - x^6$, $f(x) = -3 \sin x - 6x^5$, $X = R$;

б) $F(x) = -4 \sin x + \frac{2}{x^3}$, $f(x) = 4 \cos x - \frac{6}{x^2}$, $X = (0; +\infty)$;

в) $F(x) = 2\sqrt{x} - \frac{4}{(3x + 1)^4}$,

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{16}{(3x + 1)^5}$, $X = (0; +\infty)$;

г) $F(x) = \frac{13}{x^2} - 2 \sin (4x + 5)$,

$f(x) = \frac{26}{x} - 2 \cos (4x + 5)$, $X = (-\infty; 0)$.

Для того чтобы определить, является ли функция $y = F(x)$ первообразной для функции $y = f(x)$ на промежутке $X$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и проверить, выполняется ли равенство $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из промежутка $X$.

Даны функции $F(x) = 3 \cos x - x^6$ и $f(x) = -3 \sin x - 6x^5$ на промежутке $X = \mathbb{R}$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (3 \cos x - x^6)' = (3 \cos x)' - (x^6)'$

Используя правила дифференцирования $(\cos x)' = -\sin x$ и $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$F'(x) = 3(-\sin x) - 6x^5 = -3 \sin x - 6x^5$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -3 \sin x - 6x^5$

$f(x) = -3 \sin x - 6x^5$

Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: да, является.

Даны функции $F(x) = -4 \sin x + \frac{2}{x^3}$ и $f(x) = 4 \cos x - \frac{6}{x^2}$ на промежутке $X = (0; +\infty)$.

Представим $F(x)$ в виде $F(x) = -4 \sin x + 2x^{-3}$ и найдем ее производную:

$F'(x) = (-4 \sin x + 2x^{-3})' = (-4 \sin x)' + (2x^{-3})'$

Используя правила дифференцирования $(\sin x)' = \cos x$ и $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$F'(x) = -4 \cos x + 2(-3)x^{-3-1} = -4 \cos x - 6x^{-4} = -4 \cos x - \frac{6}{x^4}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -4 \cos x - \frac{6}{x^4}$

$f(x) = 4 \cos x - \frac{6}{x^2}$

Так как $F'(x) \neq f(x)$, то функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: нет, не является.

Даны функции $F(x) = 2\sqrt{x} - \frac{4}{(3x + 1)^4}$ и $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{16}{(3x + 1)^5}$ на промежутке $X = (0; +\infty)$.

Представим $F(x)$ в виде $F(x) = 2x^{1/2} - 4(3x + 1)^{-4}$ и найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (2x^{1/2} - 4(3x+1)^{-4})' = (2x^{1/2})' - (4(3x+1)^{-4})'$

$F'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 4 \cdot (-4)(3x+1)^{-4-1} \cdot (3x+1)'$

$F'(x) = x^{-1/2} + 16(3x+1)^{-5} \cdot 3 = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{48}{(3x+1)^5}$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{48}{(3x+1)^5}$

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{16}{(3x+1)^5}$

Так как $F'(x) \neq f(x)$, то функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: нет, не является.

Даны функции $F(x) = \frac{13}{x^2} - 2 \sin(4x + 5)$ и $f(x) = \frac{26}{x} - 2 \cos(4x + 5)$ на промежутке $X = (-\infty; 0)$.

Представим $F(x)$ в виде $F(x) = 13x^{-2} - 2 \sin(4x + 5)$ и найдем ее производную, используя правило дифференцирования сложной функции:

$F'(x) = (13x^{-2} - 2 \sin(4x + 5))' = (13x^{-2})' - (2 \sin(4x + 5))'$

$F'(x) = 13(-2)x^{-2-1} - 2 \cos(4x+5) \cdot (4x+5)'$

$F'(x) = -26x^{-3} - 2 \cos(4x+5) \cdot 4 = -\frac{26}{x^3} - 8 \cos(4x+5)$

Сравним полученную производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -\frac{26}{x^3} - 8 \cos(4x+5)$

$f(x) = \frac{26}{x} - 2 \cos(4x+5)$

Так как $F'(x) \neq f(x)$, то функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

Ответ: нет, не является.

20.8. a) $F(x) = |x|(x^3 - 4)$, $f(x) = -4x^3 - 4$, $X = (-\infty; 0)$

б) $F(x) = |3x - 7| + |x + 2| - x^2$, $f(x) = -2x + 4$, $X = (3; +\infty)$

а)

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $X$, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Рассмотрим функцию $F(x) = |x|(x^3 - 4)$ на промежутке $X = (-\infty; 0)$.

На данном промежутке $x < 0$. Согласно определению модуля, если $x < 0$, то $|x| = -x$.

Таким образом, на промежутке $(-\infty; 0)$ функцию $F(x)$ можно записать без знака модуля:

$F(x) = -x(x^3 - 4)$

Раскроем скобки:

$F(x) = -x^4 + 4x$

Теперь найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (-x^4 + 4x)' = -(x^4)' + (4x)' = -4x^3 + 4$

Сравним полученный результат с функцией $f(x) = -4x^3 - 4$.

Мы получили, что $F'(x) = -4x^3 + 4$, а по условию $f(x) = -4x^3 - 4$.

Поскольку $-4x^3 + 4 \neq -4x^3 - 4$, равенство $F'(x) = f(x)$ не выполняется.

Ответ: Функция $F(x)$ не является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

б)

Рассмотрим функцию $F(x) = |3x - 7| + |x + 2| - x^2$ на промежутке $X = (3; +\infty)$.

Чтобы найти производную, сначала раскроем модули на заданном промежутке.

1. Для модуля $|3x - 7|$: так как $x \in (3; +\infty)$, то $x > 3$. Отсюда следует, что $3x > 9$, а $3x - 7 > 9 - 7 = 2$. Поскольку выражение под модулем положительно ($3x-7 > 0$), то $|3x - 7| = 3x - 7$.

2. Для модуля $|x + 2|$: так как $x > 3$, то $x + 2 > 3 + 2 = 5$. Выражение под модулем также положительно ($x+2 > 0$), поэтому $|x + 2| = x + 2$.

Теперь подставим раскрытые модули в выражение для $F(x)$:

$F(x) = (3x - 7) + (x + 2) - x^2$

Упростим это выражение:

$F(x) = 3x - 7 + x + 2 - x^2 = -x^2 + 4x - 5$

Теперь найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (-x^2 + 4x - 5)' = -(x^2)' + (4x)' - (5)' = -2x + 4 - 0 = -2x + 4$

Сравним полученный результат с функцией $f(x) = -2x + 4$.

Мы получили, что $F'(x) = -2x + 4$, что в точности совпадает с функцией $f(x)$.

Равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется для всех $x$ из промежутка $(3; +\infty)$.

Ответ: Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке.

20.9. Установите, является ли функция $y = F(x)$ первообразной для функции $y = f(x)$:

a) $F(x) = \begin{cases} \frac{x^5}{5} + \frac{2}{3}x^3, & \text{если } x \ge 0, \\ -\frac{x^5}{5} - \frac{2}{3}x^3, & \text{если } x < 0, \end{cases}$

$f(x) = |x|(x^3 + 2x);$

б) $F(x) = \begin{cases} \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 25x + 83\frac{1}{3}, & \text{если } x < -5, x \ge 5, \\ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 25x - 83\frac{1}{3}, & \text{если } |x| < 5, \end{cases}$

$f(x) = |x^2 - 25| + x.$

Функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Для того чтобы функция $F(x)$, заданная кусочно, была первообразной, необходимо также, чтобы она была непрерывна в точках, где меняется ее аналитическое выражение.

Даны функции:

$F(x) = \begin{cases} \frac{x^5}{5} + \frac{2}{3}x^3, & \text{если } x \ge 0 \\ -\frac{x^5}{5} - \frac{2}{3}x^3, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

$f(x) = |x|(x^3 + 2x)$

1. Раскроем модуль в выражении для $f(x)$:

Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и $f(x) = x(x^3 + 2x) = x^4 + 2x^2$.

Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и $f(x) = -x(x^3 + 2x) = -x^4 - 2x^2$.

Таким образом, $f(x) = \begin{cases} x^4 + 2x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^4 - 2x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

2. Найдем производную функции $F(x)$ на каждом из интервалов:

При $x > 0$: $F'(x) = \left(\frac{x^5}{5} + \frac{2}{3}x^3\right)' = \frac{5x^4}{5} + \frac{2 \cdot 3x^2}{3} = x^4 + 2x^2$.

При $x < 0$: $F'(x) = \left(-\frac{x^5}{5} - \frac{2}{3}x^3\right)' = -\frac{5x^4}{5} - \frac{2 \cdot 3x^2}{3} = -x^4 - 2x^2$.

Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ для всех $x \ne 0$.

3. Проверим непрерывность функции $F(x)$ в точке $x = 0$.

Найдем пределы слева и справа в точке $x = 0$:

$\lim_{x \to 0^+} F(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^5}{5} + \frac{2}{3}x^3\right) = 0$.

$\lim_{x \to 0^-} F(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(-\frac{x^5}{5} - \frac{2}{3}x^3\right) = 0$.

Значение функции в точке $x=0$: $F(0) = \frac{0^5}{5} + \frac{2}{3}0^3 = 0$.

Поскольку пределы слева и справа равны значению функции в точке, $F(x)$ непрерывна в точке $x=0$.

4. Поскольку $F(x)$ непрерывна в $x=0$ и $F'(x)=f(x)$ для $x \ne 0$, а также $f(x)$ непрерывна в $x=0$, то по определению производной $F'(0) = f(0)$.

$f(0) = 0^4 + 2 \cdot 0^2 = 0$.

Проверим производную в точке $0$ по определению: $F'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{F(h)-F(0)}{h}$.

Правая производная: $F'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{\frac{h^5}{5} + \frac{2}{3}h^3 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \left(\frac{h^4}{5} + \frac{2}{3}h^2\right) = 0$.

Левая производная: $F'_{-}(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{-\frac{h^5}{5} - \frac{2}{3}h^3 - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \left(-\frac{h^4}{5} - \frac{2}{3}h^2\right) = 0$.

Так как $F'_+(0) = F'_{-}(0) = 0 = f(0)$, то $F'(0)$ существует и равна $f(0)$.

Таким образом, $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: Да, является.

Даны функции:

$F(x) = \begin{cases} \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 25x + 83\frac{1}{3}, & \text{если } x < -5, x \ge 5 \\ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 25x - 83\frac{1}{3}, & \text{если } |x| < 5 \end{cases}$

$f(x) = |x^2 - 25| + x$

1. Раскроем модуль в выражении для $f(x)$:

Выражение $x^2 - 25 \ge 0$ при $x^2 \ge 25$, то есть при $x \le -5$ или $x \ge 5$ ($|x| \ge 5$).

Выражение $x^2 - 25 < 0$ при $x^2 < 25$, то есть при $-5 < x < 5$ ($|x| < 5$).

Если $|x| \ge 5$, то $|x^2 - 25| = x^2 - 25$, и $f(x) = (x^2 - 25) + x = x^2 + x - 25$.

Если $|x| < 5$, то $|x^2 - 25| = -(x^2 - 25) = -x^2 + 25$, и $f(x) = (-x^2 + 25) + x = -x^2 + x + 25$.

2. Найдем производную функции $F(x)$ на каждом из интервалов:

При $|x| > 5$ (т.е. $x > 5$ или $x < -5$):

$F'(x) = \left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 25x + 83\frac{1}{3}\right)' = \frac{3x^2}{3} + \frac{2x}{2} - 25 = x^2 + x - 25$.

При $|x| < 5$ (т.е. $-5 < x < 5$):

$F'(x) = \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 25x - 83\frac{1}{3}\right)' = -\frac{3x^2}{3} + \frac{2x}{2} + 25 = -x^2 + x + 25$.

Сравнивая производную $F'(x)$ с функцией $f(x)$, видим, что $F'(x) = f(x)$ для всех $x$, кроме, возможно, точек $x=5$ и $x=-5$.

3. Проверим непрерывность функции $F(x)$ в точках $x=5$ и $x=-5$. Заметим, что $83\frac{1}{3} = \frac{250}{3}$.

Проверка в точке $x=5$:

$\lim_{x \to 5^+} F(x) = F(5) = \frac{5^3}{3} + \frac{5^2}{2} - 25(5) + \frac{250}{3} = \frac{125}{3} + \frac{25}{2} - 125 + \frac{250}{3} = \frac{375}{3} + \frac{25}{2} - 125 = 125 + \frac{25}{2} - 125 = \frac{25}{2}$.

$\lim_{x \to 5^-} F(x) = \lim_{x \to 5^-} \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 25x - \frac{250}{3}\right) = -\frac{125}{3} + \frac{25}{2} + 125 - \frac{250}{3} = -\frac{375}{3} + \frac{25}{2} + 125 = -125 + \frac{25}{2} + 125 = \frac{25}{2}$.

Поскольку пределы равны, функция $F(x)$ непрерывна в точке $x=5$.

Проверка в точке $x=-5$:

$\lim_{x \to -5^-} F(x) = \lim_{x \to -5^-} \left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 25x + \frac{250}{3}\right) = \frac{(-5)^3}{3} + \frac{(-5)^2}{2} - 25(-5) + \frac{250}{3} = -\frac{125}{3} + \frac{25}{2} + 125 + \frac{250}{3} = \frac{125}{3} + \frac{25}{2} + 125 = \frac{250+75+750}{6} = \frac{1075}{6}$.

$\lim_{x \to -5^+} F(x) = \lim_{x \to -5^+} \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 25x - \frac{250}{3}\right) = -\frac{(-5)^3}{3} + \frac{(-5)^2}{2} + 25(-5) - \frac{250}{3} = \frac{125}{3} + \frac{25}{2} - 125 - \frac{250}{3} = -\frac{125}{3} + \frac{25}{2} - 125 = \frac{-250+75-750}{6} = -\frac{925}{6}$.

Так как $\lim_{x \to -5^-} F(x) \ne \lim_{x \to -5^+} F(x)$, функция $F(x)$ имеет разрыв в точке $x=-5$ и, следовательно, не является непрерывной на всей числовой оси.

Поскольку для того, чтобы быть первообразной, функция должна быть непрерывной, а $F(x)$ не является непрерывной в точке $x=-5$, она не может быть первообразной для $f(x)$ на всей области определения $f(x)$ (т.е. на $\mathbb{R}$).

Ответ: Нет, не является.

20.10. Для функции $y = f(x)$ найдите первообразную:

а) $f(x) = -\frac{1}{x^2}$;

б) $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}};$

в) $f(x) = \frac{7}{x^2};$

г) $f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}}.$

а) Первообразная функции $F(x)$ по определению является функцией, производная которой равна исходной функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Для нахождения первообразной необходимо выполнить операцию, обратную дифференцированию, — интегрирование.
Найдем неопределенный интеграл от функции $f(x) = -\frac{1}{x^2}$.
Для удобства представим функцию в виде степени: $f(x) = -x^{-2}$.
Воспользуемся табличной формулой для интеграла степенной функции: $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
В данном случае $n = -2$.
$F(x) = \int (-x^{-2}) \,dx = - \int x^{-2} \,dx = - \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = - \frac{x^{-1}}{-1} + C = x^{-1} + C = \frac{1}{x} + C$.
Здесь и далее $C$ — произвольная постоянная.
Проверим результат, взяв производную от найденной первообразной: $F'(x) = \left(\frac{1}{x} + C\right)' = (x^{-1})' + (C)' = -1 \cdot x^{-2} + 0 = -\frac{1}{x^2}$, что совпадает с исходной функцией $f(x)$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{x} + C$.

б) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$.
Используем ту же формулу для интеграла степенной функции: $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.
В данном случае $n = -1/2$.
$F(x) = \int \frac{1}{2}x^{-1/2} \,dx = \frac{1}{2} \int x^{-1/2} \,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^{1/2} + C = \sqrt{x} + C$.
Проверка: $F'(x) = (\sqrt{x} + C)' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, что совпадает с исходной функцией $f(x)$.
Ответ: $F(x) = \sqrt{x} + C$.

в) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{7}{x^2}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = 7x^{-2}$.
$F(x) = \int 7x^{-2} \,dx = 7 \int x^{-2} \,dx = 7 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C = 7 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = -7x^{-1} + C = -\frac{7}{x} + C$.
Проверка: $F'(x) = \left(-\frac{7}{x} + C\right)' = (-7x^{-1})' = -7 \cdot (-1)x^{-2} = 7x^{-2} = \frac{7}{x^2}$, что совпадает с исходной функцией $f(x)$.
Ответ: $F(x) = -\frac{7}{x} + C$.

г) Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$.
Представим функцию в виде степени: $f(x) = 6x^{-1/2}$.
$F(x) = \int 6x^{-1/2} \,dx = 6 \int x^{-1/2} \,dx = 6 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 6 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 6 \cdot 2x^{1/2} + C = 12\sqrt{x} + C$.
Проверка: $F'(x) = (12\sqrt{x} + C)' = (12x^{1/2})' = 12 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 6x^{-1/2} = \frac{6}{\sqrt{x}}$, что совпадает с исходной функцией $f(x)$.
Ответ: $F(x) = 12\sqrt{x} + C$.