Страница 120, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

19.17. Запишите уравнение прямой, которая проходит через начало координат и является касательной к графику функции:

а) $y = e^{\frac{x}{2}}$;

б) $y = e^{\frac{x}{3}}$.

а) Уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид $y = kx$, где $k$ - это угловой коэффициент. Эта прямая является касательной к графику функции $f(x) = e^{\frac{x}{2}}$ в некоторой точке $x_0$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^{\frac{x}{2}})' = e^{\frac{x}{2}} \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}$.

Так как касательная проходит через начало координат (точку $(0, 0)$), мы можем подставить эти значения в общее уравнение касательной, чтобы найти $x_0$:

$0 = f(x_0) + f'(x_0)(0 - x_0)$

$0 = f(x_0) - x_0 f'(x_0)$

Теперь подставим выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$:

$e^{\frac{x_0}{2}} - x_0 \cdot \frac{1}{2}e^{\frac{x_0}{2}} = 0$

Вынесем $e^{\frac{x_0}{2}}$ за скобки. Поскольку $e^{\frac{x_0}{2}} > 0$ для любого $x_0$, мы можем разделить обе части уравнения на этот множитель:

$e^{\frac{x_0}{2}}(1 - \frac{x_0}{2}) = 0$

$1 - \frac{x_0}{2} = 0$

$\frac{x_0}{2} = 1 \implies x_0 = 2$.

Мы нашли абсциссу точки касания. Угловой коэффициент $k$ искомой прямой равен значению производной в этой точке:

$k = f'(x_0) = f'(2) = \frac{1}{2}e^{\frac{2}{2}} = \frac{1}{2}e^1 = \frac{e}{2}$.

Подставляем найденный коэффициент $k$ в уравнение прямой $y = kx$.

Ответ: $y = \frac{e}{2}x$.

б) Решение аналогично пункту а). Искомая прямая имеет вид $y = kx$ и является касательной к графику функции $f(x) = e^{\frac{x}{3}}$ в точке $x_0$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (e^{\frac{x}{3}})' = e^{\frac{x}{3}} \cdot (\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}$.

Используем условие прохождения касательной через начало координат, чтобы найти $x_0$:

$f(x_0) - x_0 f'(x_0) = 0$

Подставим выражения для $f(x_0)$ и $f'(x_0)$:

$e^{\frac{x_0}{3}} - x_0 \cdot \frac{1}{3}e^{\frac{x_0}{3}} = 0$

Вынесем $e^{\frac{x_0}{3}}$ за скобки и разделим на этот множитель, так как он всегда больше нуля:

$e^{\frac{x_0}{3}}(1 - \frac{x_0}{3}) = 0$

$1 - \frac{x_0}{3} = 0$

$\frac{x_0}{3} = 1 \implies x_0 = 3$.

Абсцисса точки касания найдена. Теперь найдем угловой коэффициент $k$ как значение производной в этой точке:

$k = f'(x_0) = f'(3) = \frac{1}{3}e^{\frac{3}{3}} = \frac{1}{3}e^1 = \frac{e}{3}$.

Подставляем найденный коэффициент $k$ в уравнение прямой $y = kx$.

Ответ: $y = \frac{e}{3}x$.

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

19.18. а) $y = x^2e^x;$

б) $y = xe^{2x-4};$

в) $y = x^3e^x;$

г) $y = \frac{e^x}{x}.$

а) $y = x^2e^x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = (x^2e^x)' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = e^x(2x + x^2) = e^x x(x+2)$.

3. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:
$e^x x(x+2) = 0$.
Так как $e^x > 0$ для любого $x$, то $x(x+2) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -2)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-2; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума:
- В точке $x = -2$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(-2) = (-2)^2e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 0^2e^0 = 0$.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; +\infty)$, убывает на промежутке $[-2; 0]$. $x_{max} = -2$, $y_{max} = \frac{4}{e^2}$; $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$.

б) $y = xe^{2x-4}$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило произведения и цепное правило:
$y' = (xe^{2x-4})' = (x)'e^{2x-4} + x(e^{2x-4})' = 1 \cdot e^{2x-4} + x \cdot e^{2x-4} \cdot 2 = e^{2x-4}(1+2x)$.

3. Находим критические точки: $y' = 0$.
$e^{2x-4}(1+2x) = 0$.
Так как $e^{2x-4} > 0$, то $1+2x=0$, откуда $x = -0.5$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -0.5)$ и $(-0.5; +\infty)$.
- При $x \in (-\infty; -0.5)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-0.5; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x = -0.5$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.
$y_{min} = y(-0.5) = -0.5 \cdot e^{2(-0.5)-4} = -0.5e^{-1-4} = -0.5e^{-5} = -\frac{1}{2e^5}$.

Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; -0.5]$, возрастает на промежутке $[-0.5; +\infty)$. $x_{min} = -0.5$, $y_{min} = -\frac{1}{2e^5}$.

в) $y = x^3e^x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную функции:
$y' = (x^3e^x)' = (x^3)'e^x + x^3(e^x)' = 3x^2e^x + x^3e^x = e^x(3x^2+x^3) = e^x x^2(3+x)$.

3. Находим критические точки: $y' = 0$.
$e^x x^2(3+x) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.

4. Исследуем знак производной на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$ и $(0; +\infty)$. Знак $y'$ совпадает со знаком выражения $(3+x)$, так как $e^x > 0$ и $x^2 \ge 0$.
- При $x \in (-\infty; -3)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (-3; 0)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (0; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума:
- В точке $x = -3$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(-3) = (-3)^3e^{-3} = -27e^{-3} = -\frac{27}{e^3}$.
- В точке $x = 0$ производная не меняет знак, значит, это не точка экстремума (а точка перегиба).

Ответ: Функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$, возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$. $x_{min} = -3$, $y_{min} = -\frac{27}{e^3}$.

г) $y = \frac{e^x}{x}$

1. Область определения функции: $x \ne 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Находим производную функции, используя правило частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$y' = (\frac{e^x}{x})' = \frac{(e^x)'x - e^x(x)'}{x^2} = \frac{e^x x - e^x \cdot 1}{x^2} = \frac{e^x(x-1)}{x^2}$.

3. Находим критические точки: $y' = 0$.
$\frac{e^x(x-1)}{x^2} = 0$.
Так как $e^x > 0$ и $x^2 > 0$ в области определения, то $x-1=0$, откуда $x = 1$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые точка $x=1$ и точка разрыва $x=0$ делят область определения: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$ и $(1; +\infty)$. Знак $y'$ определяется знаком множителя $(x-1)$.
- При $x \in (-\infty; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (0; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=1$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.
$y_{min} = y(1) = \frac{e^1}{1} = e$.

Ответ: Функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; 1]$, возрастает на промежутке $[1; +\infty)$. $x_{min} = 1$, $y_{min} = e$.

19.19. а) $y = e^{2x} - 3e^x + x + 4;$

б) $y = 1 - 3x + 5e^x - e^{2x}.$

а)

Дана функция $y = e^{2x} - 3e^x + x + 4$.

Чтобы найти производную функции $y$, необходимо продифференцировать каждое слагаемое по отдельности. Мы будем использовать правило дифференцирования суммы и разности функций: $(u \pm v)' = u' \pm v'$, а также основные правила дифференцирования.

$y' = (e^{2x} - 3e^x + x + 4)' = (e^{2x})' - (3e^x)' + (x)' + (4)'$.

Рассмотрим производную каждого члена:

1. Для нахождения производной от $e^{2x}$ используется правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. В данном случае, внешняя функция $f(u) = e^u$, а внутренняя $g(x) = 2x$. Производная внутренней функции $(2x)' = 2$.

$(e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.

2. Для нахождения производной от $3e^x$ используется правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$ и производная экспоненциальной функции $(e^x)' = e^x$.

$(3e^x)' = 3 \cdot (e^x)' = 3e^x$.

3. Производная от $x$ равна 1:

$(x)' = 1$.

4. Производная от константы 4 равна 0:

$(4)' = 0$.

Теперь сложим все полученные производные:

$y' = 2e^{2x} - 3e^x + 1 + 0 = 2e^{2x} - 3e^x + 1$.

Ответ: $y' = 2e^{2x} - 3e^x + 1$.

б)

Дана функция $y = 1 - 3x + 5e^x - e^{2x}$.

Найдем ее производную, применяя те же правила дифференцирования, что и в предыдущем пункте.

$y' = (1 - 3x + 5e^x - e^{2x})' = (1)' - (3x)' + (5e^x)' - (e^{2x})'$.

Вычислим производную каждого слагаемого:

1. Производная константы 1 равна 0:

$(1)' = 0$.

2. Производная от $3x$:

$(3x)' = 3 \cdot (x)' = 3 \cdot 1 = 3$.

3. Производная от $5e^x$:

$(5e^x)' = 5 \cdot (e^x)' = 5e^x$.

4. Производная от $e^{2x}$, как мы уже выяснили в пункте а), равна $2e^{2x}$:

$(e^{2x})' = 2e^{2x}$.

Объединим результаты с учетом знаков в исходной функции:

$y' = 0 - 3 + 5e^x - 2e^{2x} = 5e^x - 2e^{2x} - 3$.

Ответ: $y' = 5e^x - 2e^{2x} - 3$.

19.20. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = x^2e^x$ на заданном отрезке:

a) [-1; 1];

б) [-3; 1];

в) [-3; -1];

г) [1; 3].

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^2e^x$ на заданных отрезках, воспользуемся стандартным алгоритмом. Сначала найдем производную функции и ее критические точки.

Производная функции $y = x^2e^x$ находится по правилу дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^2)'e^x + x^2(e^x)' = 2xe^x + x^2e^x = xe^x(2+x)$.

Критические точки — это точки, в которых производная равна нулю. Приравняем производную к нулю, чтобы найти их:

$xe^x(2+x) = 0$.

Так как $e^x$ всегда больше нуля, это уравнение эквивалентно $x(x+2)=0$. Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Теперь проанализируем функцию на каждом из заданных отрезков.

а) На отрезке $[-1; 1]$.

Из двух критических точек в данный отрезок попадает только $x=0$. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке могут достигаться либо в этой критической точке, либо на концах отрезка ($x=-1$ и $x=1$). Вычислим значения функции в этих точках: $y(-1) = (-1)^2 e^{-1} = \frac{1}{e}$; $y(0) = 0^2 \cdot e^0 = 0$; $y(1) = 1^2 \cdot e^1 = e$.

Сравнивая полученные значения ($0$, $\frac{1}{e} \approx 0.368$, $e \approx 2.718$), заключаем, что наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее — $e$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $e$.

б) На отрезке $[-3; 1]$.

Обе критические точки, $x=0$ и $x=-2$, принадлежат этому отрезку. Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка ($x=-3$ и $x=1$): $y(-3) = (-3)^2 e^{-3} = \frac{9}{e^3}$; $y(-2) = (-2)^2 e^{-2} = \frac{4}{e^2}$; $y(0) = 0$; $y(1) = e$.

Сравнивая эти значения ($\frac{9}{e^3} \approx 0.448$, $\frac{4}{e^2} \approx 0.541$, $0$, $e \approx 2.718$), находим, что наименьшее значение функции равно $0$, а наибольшее — $e$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $e$.

в) На отрезке $[-3; -1]$.

В этот отрезок попадает только критическая точка $x=-2$. Вычислим значения функции в этой точке и на концах отрезка ($x=-3$ и $x=-1$): $y(-3) = (-3)^2 e^{-3} = \frac{9}{e^3}$; $y(-2) = (-2)^2 e^{-2} = \frac{4}{e^2}$; $y(-1) = (-1)^2 e^{-1} = \frac{1}{e}$.

Сравним полученные значения: $\frac{1}{e} \approx 0.368$, $\frac{9}{e^3} \approx 0.448$, $\frac{4}{e^2} \approx 0.541$. Наименьшее значение равно $\frac{1}{e}$, а наибольшее — $\frac{4}{e^2}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{e}$, наибольшее значение $\frac{4}{e^2}$.

г) На отрезке $[1; 3]$.

Ни одна из критических точек ($0$ и $-2$) не лежит в данном отрезке. Это означает, что на интервале $(1; 3)$ производная $y' = xe^x(2+x)$ сохраняет свой знак. Для любого $x$ из отрезка $[1; 3]$ все множители в выражении для производной ($x$, $e^x$, $2+x$) положительны, следовательно, $y'>0$ на всем отрезке. Функция является возрастающей.

Таким образом, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом. Вычислим их: $y_{наим} = y(1) = 1^2 \cdot e^1 = e$; $y_{наиб} = y(3) = 3^2 \cdot e^3 = 9e^3$.

Ответ: наименьшее значение $e$, наибольшее значение $9e^3$.

19.21. При каких значениях параметра $a$ функция $y = x^6e^{-x}$ на интервале $(a; a+7)$:

а) имеет ровно одну точку экстремума;

б) имеет ровно две точки экстремума;

в) убывает;

г) возрастает?

Для анализа поведения функции $y = x^6e^{-x}$ на интервале $(a; a+7)$, сначала найдем ее производную, чтобы определить точки экстремума и промежутки монотонности.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$y' = (x^6)'e^{-x} + x^6(e^{-x})' = 6x^5e^{-x} + x^6(-e^{-x}) = e^{-x}(6x^5 - x^6)$

Вынесем за скобки общий множитель $x^5e^{-x}$:

$y' = x^5e^{-x}(6-x)$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$x^5e^{-x}(6-x) = 0$

Поскольку $e^{-x} > 0$ для всех действительных $x$, корни уравнения определяются множителями $x^5$ и $(6-x)$.

$x^5 = 0 \implies x_1 = 0$

$6-x = 0 \implies x_2 = 6$

Таким образом, функция имеет две точки экстремума: $x=0$ и $x=6$.

Исследуем знак производной на интервалах, на которые эти точки делят числовую ось:

• При $x \in (-\infty; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; 6)$, $y' > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (6; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

Следовательно, $x=0$ — точка локального минимума, а $x=6$ — точка локального максимума.

Теперь рассмотрим заданный интервал $(a; a+7)$ длиной 7.

а) имеет ровно одну точку экстремума

Это условие выполняется, если интервал $(a; a+7)$ содержит только одну из двух точек экстремума ($x=0$ или $x=6$).

Случай 1: Интервал содержит $x=0$, но не содержит $x=6$.

Это означает, что $a < 0 < a+7$ и ($a+7 \le 6$ или $a \ge 6$).

Из $a < 0 < a+7$ следует $-7 < a < 0$.

Из $a+7 \le 6$ следует $a \le -1$. Условие $a \ge 6$ несовместимо с $a < 0$.

Пересечение условий $-7 < a < 0$ и $a \le -1$ дает $-7 < a \le -1$.

Случай 2: Интервал содержит $x=6$, но не содержит $x=0$.

Это означает, что $a < 6 < a+7$ и ($a+7 \le 0$ или $a \ge 0$).

Из $a < 6 < a+7$ следует $-1 < a < 6$.

Из $a \ge 0$. Условие $a+7 \le 0$ (т.е. $a \le -7$) несовместимо с $a > -1$.

Пересечение условий $-1 < a < 6$ и $a \ge 0$ дает $0 \le a < 6$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a \in (-7; -1] \cup [0; 6)$.

б) имеет ровно две точки экстремума

Это условие выполняется, если интервал $(a; a+7)$ содержит обе точки экстремума, $x=0$ и $x=6$.

Для этого должны одновременно выполняться неравенства:

$a < 0$ и $a+7 > 6$.

Из второго неравенства получаем $a > 6-7$, то есть $a > -1$.

Система неравенств $\begin{cases} a < 0 \\ a > -1 \end{cases}$ имеет решение $-1 < a < 0$.

Ответ: $a \in (-1; 0)$.

в) убывает

Функция убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[6; +\infty)$. Чтобы функция убывала на всем интервале $(a; a+7)$, этот интервал должен целиком входить в один из этих промежутков.

Случай 1: $(a; a+7) \subseteq (-\infty; 0)$.

Это означает, что верхняя граница интервала должна быть меньше или равна 0: $a+7 \le 0$, откуда $a \le -7$.

Случай 2: $(a; a+7) \subseteq (6; +\infty)$.

Это означает, что нижняя граница интервала должна быть больше или равна 6: $a \ge 6$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем искомые значения $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; -7] \cup [6; +\infty)$.

г) возрастает

Функция возрастает на промежутке $(0; 6)$. Чтобы функция возрастала на всем интервале $(a; a+7)$, этот интервал должен целиком входить в промежуток $(0; 6)$.

Это требует одновременного выполнения условий:

$a \ge 0$ и $a+7 \le 6$.

Из второго неравенства получаем $a \le 6-7$, то есть $a \le -1$.

Система неравенств $\begin{cases} a \ge 0 \\ a \le -1 \end{cases}$ не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно больше или равно 0 и меньше или равно -1.

Следовательно, не существует таких значений параметра $a$, при которых функция возрастает на всем интервале $(a; a+7)$.

Ответ: таких значений $a$ не существует (или $a \in \emptyset$).

19.22. Постройте график функции:

а) $y = \ln (x - 4);$

б) $y = \ln ex;$

в) $y = \ln (x + 3);$

г) $y = \ln \frac{x}{e}.$

а) $y = \ln(x - 4)$

График функции $y = \ln(x - 4)$ получается из графика базовой логарифмической функции $y = \ln x$ путем его преобразования.

1. Базовый график: $y = \ln x$. Это возрастающая кривая, которая определена для всех $x > 0$. График проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ (ось $Oy$), к которой он стремится при $x \to 0^+$.

2. Преобразование: Заданная функция имеет вид $y = f(x - a)$, где $f(x) = \ln x$ и $a = 4$. Такое преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика базовой функции на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$).

3. Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x - 4 > 0$, что равносильно $x > 4$. Таким образом, область определения функции — это интервал $(4, +\infty)$.

4. Асимптота: Вертикальная асимптота $x = 0$ базового графика также сдвигается на 4 единицы вправо и становится прямой $x = 4$.

5. Контрольные точки:

• Точка пересечения с осью $Ox$ для $y = \ln x$ — это $(1, 0)$. После сдвига она переходит в точку $(1+4, 0) = (5, 0)$. Проверим: $y = \ln(5-4) = \ln 1 = 0$.

• Характерная точка $(e, 1)$ на графике $y = \ln x$ перемещается в точку $(e+4, 1)$.

Для построения графика следует нарисовать стандартную логарифмическую кривую $y = \ln x$ и сдвинуть ее на 4 единицы вправо.

Ответ: График функции $y = \ln(x-4)$ получается из графика $y = \ln x$ сдвигом на 4 единицы вправо вдоль оси $Ox$. Вертикальная асимптота графика — прямая $x=4$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(5, 0)$.

б) $y = \ln(ex)$

Для построения графика этой функции сначала преобразуем ее выражение, используя свойство логарифма произведения: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

$y = \ln(ex) = \ln e + \ln x = 1 + \ln x$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = \ln x + 1$.

1. Базовый график: $y = \ln x$.

2. Преобразование: Функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = \ln x$ и $c = 1$. Это соответствует параллельному переносу графика базовой функции на 1 единицу вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

3. Область определения: Аргумент $ex$ должен быть положителен. Так как $e > 0$, то $x > 0$. Область определения $(0, +\infty)$ совпадает с областью определения базовой функции.

4. Асимптота: Вертикальный сдвиг не влияет на положение вертикальной асимптоты, поэтому она остается прежней: $x = 0$.

5. Контрольные точки:

• Точка $(1, 0)$ с графика $y = \ln x$ переместится в точку $(1, 0+1) = (1, 1)$. Проверим: $y = \ln(e \cdot 1) = \ln e = 1$.

• Найдем точку пересечения с осью $Ox$, решив уравнение $y = 0$: $1 + \ln x = 0 \implies \ln x = -1 \implies x = e^{-1} = 1/e$. Точка пересечения — $(1/e, 0)$.

Для построения графика следует взять график $y = \ln x$ и сдвинуть его на 1 единицу вверх.

Ответ: График функции $y = \ln(ex)$ получается из графика $y = \ln x$ сдвигом на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Вертикальная асимптота — $x=0$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(1/e, 0)$.

в) $y = \ln(x + 3)$

График функции $y = \ln(x + 3)$ получается из графика $y = \ln x$ путем его сдвига.

1. Базовый график: $y = \ln x$.

2. Преобразование: Функцию можно представить в виде $y = f(x - a)$, где $f(x) = \ln x$ и $a = -3$. Это соответствует параллельному переносу графика базовой функции на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$.

3. Область определения: $x + 3 > 0 \implies x > -3$. Область определения: $(-3, +\infty)$.

4. Асимптота: Вертикальная асимптота $x = 0$ сдвигается на 3 единицы влево и становится прямой $x = -3$.

5. Контрольные точки:

• Точка $(1, 0)$ базового графика сдвигается в точку $(1-3, 0) = (-2, 0)$. Проверим: $y = \ln(-2+3) = \ln 1 = 0$.

• Точка $(e, 1)$ сдвигается в точку $(e-3, 1)$.

Для построения графика необходимо сдвинуть кривую $y = \ln x$ на 3 единицы влево.

Ответ: График функции $y = \ln(x+3)$ получается из графика $y = \ln x$ сдвигом на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$. Вертикальная асимптота — $x=-3$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(-2, 0)$.

г) $y = \ln\frac{x}{e}$

Используем свойство логарифма частного $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$ для упрощения функции:

$y = \ln x - \ln e = \ln x - 1$.

Задача сводится к построению графика $y = \ln x - 1$.

1. Базовый график: $y = \ln x$.

2. Преобразование: Функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = \ln x$ и $c = -1$. Это соответствует параллельному переносу графика базовой функции на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

3. Область определения: $x/e > 0 \implies x > 0$. Область определения $(0, +\infty)$.

4. Асимптота: Вертикальный сдвиг не меняет асимптоту, она остается $x = 0$.

5. Контрольные точки:

• Точка $(1, 0)$ на графике $y = \ln x$ смещается в точку $(1, 0-1) = (1, -1)$.

• Найдем точку пересечения с осью $Ox$ из условия $y=0$: $\ln x - 1 = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e$. Точка пересечения — $(e, 0)$.

Таким образом, для построения графика нужно взять график $y = \ln x$ и сдвинуть его на 1 единицу вниз.

Ответ: График функции $y = \ln(x/e)$ получается из графика $y = \ln x$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$. Вертикальная асимптота — $x=0$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(e, 0)$.

Найдите производную функции:

19.23. a) $y = x^2 \ln x$;

б) $y = \frac{\ln x}{x + 1}$;

в) $y = \frac{x}{\ln x}$;

г) $y = (x - 5) \ln x.$

а) Дана функция $y = x^2 \ln x$. Для нахождения её производной применим правило дифференцирования произведения двух функций: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x^2$ и $v(x) = \ln x$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$
$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$
Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = (x^2)' \cdot \ln x + x^2 \cdot (\ln x)' = 2x \cdot \ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln x + x$.
Можно вынести общий множитель $x$ за скобки: $y' = x(2 \ln x + 1)$.
Ответ: $y' = 2x \ln x + x$.

б) Дана функция $y = \frac{\ln x}{x + 1}$. Для нахождения её производной применим правило дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В данном случае $u(x) = \ln x$ и $v(x) = x + 1$.
Найдём производные числителя и знаменателя:
$u'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$
$v'(x) = (x + 1)' = 1$
Подставим в формулу производной частного:
$y' = \frac{(\ln x)'(x + 1) - \ln x \cdot (x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{\frac{1}{x}(x + 1) - \ln x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{\frac{x + 1}{x} - \ln x}{(x + 1)^2}$.
Упростим полученное выражение, приведя числитель к общему знаменателю $x$:
$y' = \frac{\frac{x + 1 - x \ln x}{x}}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x \ln x}{x(x + 1)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{x + 1 - x \ln x}{x(x+1)^2}$.

в) Дана функция $y = \frac{x}{\ln x}$. Для нахождения её производной снова используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = \ln x$.
Найдём производные:
$u'(x) = (x)' = 1$
$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$
Подставим в формулу:
$y' = \frac{(x)' \cdot \ln x - x \cdot (\ln x)'}{(\ln x)^2} = \frac{1 \cdot \ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.
Ответ: $y' = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2}$.

г) Дана функция $y = (x - 5) \ln x$. Это снова произведение двух функций, поэтому применяем правило $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = x - 5$ и $v(x) = \ln x$.
Найдём производные этих функций:
$u'(x) = (x - 5)' = 1$
$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$
Подставим в формулу производной произведения:
$y' = (x - 5)' \cdot \ln x + (x - 5) \cdot (\ln x)' = 1 \cdot \ln x + (x - 5) \cdot \frac{1}{x} = \ln x + \frac{x - 5}{x}$.
Можно представить результат в другом виде, разделив дробь на два слагаемых:
$y' = \ln x + \frac{x}{x} - \frac{5}{x} = \ln x + 1 - \frac{5}{x}$.
Ответ: $y' = \ln x + 1 - \frac{5}{x}$.

19.24. а) $y = e^x \ln x;$

б) $y = 3 \ln x + \sin 2x;$

в) $y = \sqrt[7]{x^5} \ln x;$

г) $y = 2 \cos \frac{x}{2} - 5 \ln x.$

а)

Дана функция $y = e^x \ln x$.

Для нахождения производной этой функции воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = \ln x$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (e^x)' = e^x$

$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:

$y' = (e^x)' \ln x + e^x (\ln x)' = e^x \ln x + e^x \cdot \frac{1}{x}$

Можно вынести общий множитель $e^x$ за скобки для упрощения выражения:

$y' = e^x (\ln x + \frac{1}{x})$

Ответ: $y' = e^x (\ln x + \frac{1}{x})$

б)

Дана функция $y = 3 \ln x + \sin 2x$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы: $(u+v)' = u' + v'$.

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

Производная первого слагаемого: $(3 \ln x)' = 3 \cdot (\ln x)' = 3 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3}{x}$.

Для второго слагаемого $(\sin 2x)'$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило). Производная внешней функции $(\sin u)' = \cos u$ и производная внутренней функции $(2x)' = 2$.

$(\sin 2x)' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2 \cos 2x$.

Складываем полученные производные:

$y' = \frac{3}{x} + 2 \cos 2x$.

Ответ: $y' = \frac{3}{x} + 2 \cos 2x$

в)

Дана функция $y = \sqrt[7]{x^5} \ln x$.

Сначала преобразуем радикал в степень: $\sqrt[7]{x^5} = x^{5/7}$.

Функция принимает вид: $y = x^{5/7} \ln x$.

Используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x^{5/7}$ и $v(x) = \ln x$.

Найдем производные:

$u'(x) = (x^{5/7})' = \frac{5}{7} x^{\frac{5}{7}-1} = \frac{5}{7} x^{-2/7}$.

$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.

Подставляем в формулу:

$y' = (\frac{5}{7} x^{-2/7}) \cdot \ln x + x^{5/7} \cdot \frac{1}{x}$

Упростим второе слагаемое: $x^{5/7} \cdot \frac{1}{x} = x^{5/7} \cdot x^{-1} = x^{\frac{5}{7}-1} = x^{-2/7}$.

Тогда $y' = \frac{5}{7} x^{-2/7} \ln x + x^{-2/7}$.

Вынесем общий множитель $x^{-2/7}$ за скобки:

$y' = x^{-2/7} (\frac{5}{7} \ln x + 1)$.

Это выражение можно также записать в виде дроби с корнем в знаменателе:

$y' = \frac{1}{\sqrt[7]{x^2}} (\frac{5 \ln x + 7}{7}) = \frac{5 \ln x + 7}{7\sqrt[7]{x^2}}$.

Ответ: $y' = x^{-2/7} (\frac{5}{7} \ln x + 1)$

г)

Дана функция $y = 2 \cos \frac{x}{2} - 5 \ln x$.

Используем правило дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.

Найдем производную уменьшаемого $(2 \cos \frac{x}{2})'$.

Это производная сложной функции, умноженная на константу. Выносим константу $2$ и применяем цепное правило.

$(2 \cos \frac{x}{2})' = 2 \cdot (\cos \frac{x}{2})'$.

Производная внешней функции $(\cos u)' = -\sin u$. Производная внутренней функции $(\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}$.

$(\cos \frac{x}{2})' = -\sin(\frac{x}{2}) \cdot (\frac{x}{2})' = -\sin(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2}$.

Тогда $(2 \cos \frac{x}{2})' = 2 \cdot (-\frac{1}{2} \sin(\frac{x}{2})) = -\sin(\frac{x}{2})$.

Найдем производную вычитаемого: $(5 \ln x)' = 5 \cdot (\ln x)' = 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5}{x}$.

Теперь вычитаем производные:

$y' = -\sin(\frac{x}{2}) - \frac{5}{x}$.

Ответ: $y' = -\sin(\frac{x}{2}) - \frac{5}{x}$

Найдите значение производной заданной функции в указанной точке:

19.25. a) $y = \ln x + x$, $x_0 = \frac{1}{7}$;

б) $y = x^3 \ln x$, $x_0 = e$;

в) $y = x^2 - \ln x$, $x_0 = 0,5$;

г) $y = \frac{\ln x}{x}$, $x_0 = 1$.

а) $y = \ln x + x$, $x_0 = \frac{1}{7}$

Чтобы найти значение производной в указанной точке, сначала найдем производную функции $y(x)$. Функция представляет собой сумму двух функций, поэтому ее производная равна сумме производных: $y' = (\ln x + x)' = (\ln x)' + (x)'$.

Используя таблицу производных, находим: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ $(x)' = 1$

Таким образом, производная функции равна: $y' = \frac{1}{x} + 1$.

Теперь подставим значение $x_0 = \frac{1}{7}$ в выражение для производной: $y'(\frac{1}{7}) = \frac{1}{\frac{1}{7}} + 1 = 7 + 1 = 8$.

Ответ: 8

б) $y = x^3 \ln x$, $x_0 = e$

Найдем производную функции $y(x)$, используя правило дифференцирования произведения двух функций $(uv)' = u'v + uv'$. В нашем случае $u = x^3$ и $v = \ln x$.

Находим производные для $u$ и $v$: $u' = (x^3)' = 3x^2$ $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Подставляем в формулу производной произведения: $y' = (x^3)' \ln x + x^3 (\ln x)' = 3x^2 \ln x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \ln x + x^2$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = e$. Учитывая, что $\ln e = 1$: $y'(e) = 3e^2 \ln e + e^2 = 3e^2 \cdot 1 + e^2 = 3e^2 + e^2 = 4e^2$.

Ответ: $4e^2$

в) $y = x^2 - \ln x$, $x_0 = 0,5$

Найдем производную функции $y(x)$. Функция является разностью, поэтому ее производная равна разности производных: $y' = (x^2 - \ln x)' = (x^2)' - (\ln x)'$.

Находим производные каждого слагаемого: $(x^2)' = 2x$ $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Следовательно, производная функции: $y' = 2x - \frac{1}{x}$.

Подставим значение $x_0 = 0,5$ (или $x_0 = \frac{1}{2}$) в полученное выражение: $y'(0,5) = 2 \cdot 0,5 - \frac{1}{0,5} = 1 - 2 = -1$.

Ответ: -1

г) $y = \frac{\ln x}{x}$, $x_0 = 1$

Найдем производную функции $y(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В данном случае $u = \ln x$ и $v = x$.

Находим производные для $u$ и $v$: $u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$ $v' = (x)' = 1$

Подставляем в формулу производной частного: $y' = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$. Учитывая, что $\ln 1 = 0$: $y'(1) = \frac{1 - \ln 1}{1^2} = \frac{1 - 0}{1} = 1$.

Ответ: 1

19.26. a) $y = \ln (2x + 2)$, $x_0 = -\frac{1}{4}$;

б) $y = \ln (5 - 2x)$, $x_0 = 2$;

в) $y = \ln (9 - 5x)$, $x_0 = -2$;

г) $y = -3 \ln (-x + 4)$, $x_0 = -5$.

а) Дана функция $y = \ln(2x + 2)$ и точка $x_0 = -\frac{1}{4}$.

Задача состоит в нахождении значения производной функции в заданной точке $x_0$. Значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Сначала найдем производную функции $y$. Это сложная функция вида $y = \ln(u(x))$, где $u(x) = 2x + 2$. Ее производная находится по формуле $y' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Находим производную внутренней функции: $u'(x) = (2x + 2)' = 2$.

Теперь находим производную исходной функции:

$y' = \frac{2}{2x + 2} = \frac{2}{2(x + 1)} = \frac{1}{x + 1}$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{4}$:

$y'(-\frac{1}{4}) = \frac{1}{-\frac{1}{4} + 1} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

б) Дана функция $y = \ln(5 - 2x)$ и точка $x_0 = 2$.

Найдем производную данной сложной функции. Пусть $u(x) = 5 - 2x$. Тогда $u'(x) = (5 - 2x)' = -2$.

Производная функции $y$ вычисляется по формуле $y' = \frac{u'(x)}{u(x)}$:

$y' = \frac{-2}{5 - 2x}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$y'(2) = \frac{-2}{5 - 2 \cdot 2} = \frac{-2}{5 - 4} = \frac{-2}{1} = -2$.

Ответ: $-2$.

в) Дана функция $y = \ln(9 - 5x)$ и точка $x_0 = -2$.

Найдем производную данной сложной функции. Пусть $u(x) = 9 - 5x$. Тогда $u'(x) = (9 - 5x)' = -5$.

Производная функции $y$ вычисляется по формуле $y' = \frac{u'(x)}{u(x)}$:

$y' = \frac{-5}{9 - 5x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:

$y'(-2) = \frac{-5}{9 - 5(-2)} = \frac{-5}{9 + 10} = -\frac{5}{19}$.

Ответ: $-\frac{5}{19}$.

г) Дана функция $y = -3 \ln(-x + 4)$ и точка $x_0 = -5$.

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения константы на функцию и правило для сложной функции. Пусть $u(x) = -x + 4$. Тогда $u'(x) = (-x + 4)' = -1$.

Производная функции $y$ равна:

$y' = -3 \cdot (\ln(-x + 4))' = -3 \cdot \frac{1}{-x + 4} \cdot (-x + 4)' = -3 \cdot \frac{-1}{-x + 4} = \frac{3}{4 - x}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -5$:

$y'(-5) = \frac{3}{4 - (-5)} = \frac{3}{4 + 5} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.