Страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

18.17. a) $log^2_2 x > 4 log_2 x - 3$;

б) $log^2_{\frac{1}{2}} x + 3 log_{\frac{1}{2}} x < -2$;

в) $log^2_4 x - log_4 x \leq 2$;

г) $log^2_{0,2} x \geq 6 - log_{0,2} x$.

а) $\log_2^2 x > 4 \log_2 x - 3$

1. Область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

2. Перенесем все члены неравенства в левую часть:
$\log_2^2 x - 4 \log_2 x + 3 > 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Неравенство примет вид:
$t^2 - 4t + 3 > 0$

4. Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 4t + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

5. Парабола $y = t^2 - 4t + 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 - 4t + 3 > 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями. То есть, $t < 1$ или $t > 3$.

6. Выполним обратную замену:
$\log_2 x < 1$ или $\log_2 x > 3$.

7. Решим полученные логарифмические неравенства. Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
- Из $\log_2 x < 1$ следует $x < 2^1$, то есть $x < 2$.
- Из $\log_2 x > 3$ следует $x > 2^3$, то есть $x > 8$.

8. Объединим полученные решения с ОДЗ ($x > 0$):
- $0 < x < 2$
- $x > 8$

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (8; +\infty)$.

б) $\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3 \log_{\frac{1}{2}} x < -2$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Перенесем все члены в левую часть:
$\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2 < 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{\frac{1}{2}} x$. Неравенство примет вид:
$t^2 + 3t + 2 < 0$

4. Найдем корни уравнения $t^2 + 3t + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -2$ и $t_2 = -1$.

5. Парабола $y = t^2 + 3t + 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 + 3t + 2 < 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями:
$-2 < t < -1$

6. Выполним обратную замену:
$-2 < \log_{\frac{1}{2}} x < -1$

7. Решим двойное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{2} < 1$, знаки неравенства меняются на противоположные:
$(\frac{1}{2})^{-1} < x < (\frac{1}{2})^{-2}$
$2 < x < 4$

8. Полученное решение $x \in (2; 4)$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in (2; 4)$.

в) $\log_4^2 x - \log_4 x \le 2$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Перенесем все члены в левую часть:
$\log_4^2 x - \log_4 x - 2 \le 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_4 x$. Неравенство примет вид:
$t^2 - t - 2 \le 0$

4. Найдем корни уравнения $t^2 - t - 2 = 0$. Корни $t_1 = -1$ и $t_2 = 2$.

5. Парабола $y = t^2 - t - 2$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 - t - 2 \le 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями, включая сами корни:
$-1 \le t \le 2$

6. Выполним обратную замену:
$-1 \le \log_4 x \le 2$

7. Решим двойное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $4 > 1$, знаки неравенства сохраняются:
$4^{-1} \le x \le 4^2$
$\frac{1}{4} \le x \le 16$

8. Полученное решение $x \in [\frac{1}{4}; 16]$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x \in [\frac{1}{4}; 16]$.

г) $\log_{0.2}^2 x \ge 6 - \log_{0.2} x$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Перенесем все члены в левую часть:
$\log_{0.2}^2 x + \log_{0.2} x - 6 \ge 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0.2} x$. Неравенство примет вид:
$t^2 + t - 6 \ge 0$

4. Найдем корни уравнения $t^2 + t - 6 = 0$. Корни $t_1 = -3$ и $t_2 = 2$.

5. Парабола $y = t^2 + t - 6$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 + t - 6 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни:
$t \le -3$ или $t \ge 2$.

6. Выполним обратную замену:
$\log_{0.2} x \le -3$ или $\log_{0.2} x \ge 2$.

7. Решим полученные логарифмические неравенства. Так как основание логарифма $0 < 0.2 < 1$, знаки неравенства меняются на противоположные:
- Из $\log_{0.2} x \le -3$ следует $x \ge (0.2)^{-3} = (\frac{1}{5})^{-3} = 5^3 = 125$.
- Из $\log_{0.2} x \ge 2$ следует $x \le (0.2)^2 = (\frac{1}{5})^2 = \frac{1}{25}$.

8. Объединим полученные решения с ОДЗ ($x > 0$):
- $x \ge 125$
- $0 < x \le \frac{1}{25}$

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{25}] \cup [125; +\infty)$.

18.18. a) $2 \log^2_{0,3} (x + 1) - 7 \log_{0,3} (x + 1) - 4 \le 0;$

б) $3 \log^2_4 x - 7 \log_4 16x + 30 < 0;$

в) $3 \log^2_{\frac{1}{3}} (2x + 1) + 5 \log_{\frac{1}{3}} (2x + 1) - 2 > 0;$

г) $\log^2_3 x + 3 \log_3 9x - 24 < 0.$

a) $2\log_{0,3}^2(x+1) - 7\log_{0,3}(x+1) - 4 \le 0$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:
$x + 1 > 0 \implies x > -1$.
2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,3}(x+1)$. Неравенство примет вид квадратного неравенства:
$2t^2 - 7t - 4 \le 0$.
3. Решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $2t^2 - 7t - 4 = 0$.
Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.
Корни $t_1 = \frac{7 - 9}{4} = -0,5$ и $t_2 = \frac{7 + 9}{4} = 4$.
Парабола $y = 2t^2 - 7t - 4$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями (включая их):
$-0,5 \le t \le 4$.
4. Вернемся к исходной переменной:
$-0,5 \le \log_{0,3}(x+1) \le 4$.
5. Решим двойное логарифмическое неравенство. Так как основание логарифма $0,3 < 1$, логарифмическая функция является убывающей, и при переходе к аргументам знаки неравенства меняются на противоположные:
$(0,3)^4 \le x+1 \le (0,3)^{-0,5}$.
Вычислим значения границ:
$(0,3)^4 = 0,0081$.
$(0,3)^{-0,5} = (\frac{3}{10})^{-1/2} = (\frac{10}{3})^{1/2} = \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$.
Получаем:
$0,0081 \le x+1 \le \frac{\sqrt{30}}{3}$.
Вычтем 1 из всех частей неравенства:
$0,0081 - 1 \le x \le \frac{\sqrt{30}}{3} - 1$.
$-0,9919 \le x \le \frac{\sqrt{30}}{3} - 1$.
6. Сравним полученное решение с ОДЗ ($x > -1$). Так как $-0,9919 > -1$, решение полностью удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $x \in [-0,9919; \frac{\sqrt{30}}{3} - 1]$.

б) $3\log_4^2 x - 7\log_4 16x + 30 < 0$
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Преобразуем логарифм произведения, используя свойство $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$:
$\log_4(16x) = \log_4 16 + \log_4 x = 2 + \log_4 x$.
Подставим в неравенство:
$3\log_4^2 x - 7(2 + \log_4 x) + 30 < 0$
$3\log_4^2 x - 14 - 7\log_4 x + 30 < 0$
$3\log_4^2 x - 7\log_4 x + 16 < 0$.
3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_4 x$.
$3t^2 - 7t + 16 < 0$.
4. Решим квадратное неравенство. Найдем дискриминант уравнения $3t^2 - 7t + 16 = 0$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 49 - 192 = -143$.
5. Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 3 > 0$, квадратный трехчлен $3t^2 - 7t + 16$ принимает только положительные значения при любых действительных $t$.
Следовательно, неравенство $3t^2 - 7t + 16 < 0$ не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

в) $3\log_{\frac{1}{3}}^2(2x+1) + 5\log_{\frac{1}{3}}(2x+1) - 2 > 0$
1. ОДЗ: $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -0,5$.
2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{\frac{1}{3}}(2x+1)$.
$3t^2 + 5t - 2 > 0$.
3. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $3t^2 + 5t - 2 = 0$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$t_1 = \frac{-5 - 7}{6} = -2$, $t_2 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Парабола $y=3t^2+5t-2$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями:
$t < -2$ или $t > \frac{1}{3}$.
4. Вернемся к исходной переменной. Получаем совокупность двух неравенств:
$\log_{\frac{1}{3}}(2x+1) < -2$ или $\log_{\frac{1}{3}}(2x+1) > \frac{1}{3}$.
5. Решим каждое неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, поэтому знаки неравенств меняются на противоположные.
a) $\log_{\frac{1}{3}}(2x+1) < -2 \implies 2x+1 > (\frac{1}{3})^{-2} \implies 2x+1 > 9 \implies 2x > 8 \implies x > 4$.
b) $\log_{\frac{1}{3}}(2x+1) > \frac{1}{3} \implies 2x+1 < (\frac{1}{3})^{\frac{1}{3}} \implies 2x < \frac{1}{\sqrt[3]{3}} - 1 \implies x < \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt[3]{3}} - 1)$.
6. Объединим решения с учетом ОДЗ ($x > -0,5$).
Первое решение $x > 4$ удовлетворяет ОДЗ.
Второе решение $x < \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt[3]{3}} - 1)$ с учетом ОДЗ дает интервал $-0,5 < x < \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt[3]{3}} - 1)$.
Общее решение является объединением этих двух множеств.
Ответ: $x \in (-0,5; \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt[3]{3}} - 1)) \cup (4; +\infty)$.

г) $\log_3^2 x + 3\log_3 9x - 24 < 0$
1. ОДЗ: $x > 0$.
2. Преобразуем логарифм произведения: $\log_3(9x) = \log_3 9 + \log_3 x = 2 + \log_3 x$.
Подставим в неравенство:
$\log_3^2 x + 3(2 + \log_3 x) - 24 < 0$
$\log_3^2 x + 6 + 3\log_3 x - 24 < 0$
$\log_3^2 x + 3\log_3 x - 18 < 0$.
3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$.
$t^2 + 3t - 18 < 0$.
4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $t^2 + 3t - 18 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = -6$ и $t_2 = 3$.
Парабола $y=t^2+3t-18$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:
$-6 < t < 3$.
5. Вернемся к исходной переменной:
$-6 < \log_3 x < 3$.
6. Решим двойное логарифмическое неравенство. Основание логарифма $3 > 1$, поэтому знаки неравенства сохраняются:
$3^{-6} < x < 3^3$.
$ \frac{1}{3^6} < x < 27 $
$ \frac{1}{729} < x < 27 $.
Полученное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x \in (\frac{1}{729}; 27)$.

18.19. a) $\log^2_2 x^2 - 15 \log_2 (2x) + 11 \le 0$;

б) $\log^2_{\frac{1}{3}} (x^2 - 2x + 1) - 7 \log_{\frac{1}{3}} (x - 1) + 3 \le 0$;

в) $2 \log^2_5 x^2 + 5 \log_5 (25x) - 8 \ge 0$;

г) $\log^2_{\frac{1}{5}} (x^2 + 2x + 1) - 31 \log_{\frac{1}{5}} \frac{x+1}{5} + 15 < 0$.

а) Исходное неравенство: $\log_2^2 x^2 - 15 \log_2 2x + 11 \le 0$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$x^2 > 0 \implies x \ne 0$
$2x > 0 \implies x > 0$
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.
2. Упростим логарифмические выражения с учетом ОДЗ.
$\log_2^2 x^2 = (\log_2 x^2)^2$. Так как $x > 0$, то $\log_2 x^2 = 2 \log_2 x$. Следовательно, $(\log_2 x^2)^2 = (2 \log_2 x)^2 = 4 \log_2^2 x$.
$\log_2 2x = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$.
3. Подставим упрощенные выражения в неравенство:
$4 \log_2^2 x - 15(1 + \log_2 x) + 11 \le 0$
$4 \log_2^2 x - 15 - 15 \log_2 x + 11 \le 0$
$4 \log_2^2 x - 15 \log_2 x - 4 \le 0$
4. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Неравенство примет вид:
$4t^2 - 15t - 4 \le 0$.
5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $4t^2 - 15t - 4 = 0$.
Дискриминант: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.
Корни: $t_1 = \frac{15 - 17}{2 \cdot 4} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$, $t_2 = \frac{15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$.
Так как ветви параболы $y = 4t^2 - 15t - 4$ направлены вверх, неравенство $4t^2 - 15t - 4 \le 0$ выполняется при $t \in [-\frac{1}{4}, 4]$.
6. Вернемся к исходной переменной:
$-\frac{1}{4} \le \log_2 x \le 4$.
7. Решим двойное логарифмическое неравенство. Основание логарифма $2 > 1$, поэтому знаки неравенства сохраняются.
$2^{-1/4} \le x \le 2^4$
$\frac{1}{\sqrt[4]{2}} \le x \le 16$.
8. Данное решение полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: $x \in [\frac{1}{\sqrt[4]{2}}, 16]$.

б) Исходное неравенство: $\log_{1/3}^2 (x^2 - 2x + 1) - 7 \log_{1/3} (x - 1) + 3 \le 0$.
1. Найдем ОДЗ:
$x^2 - 2x + 1 > 0 \implies (x-1)^2 > 0 \implies x \ne 1$.
$x - 1 > 0 \implies x > 1$.
Итоговая ОДЗ: $x > 1$.
2. Преобразуем неравенство. Заметим, что $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. С учетом ОДЗ $x-1>0$, имеем:
$\log_{1/3}(x^2 - 2x + 1) = \log_{1/3}(x-1)^2 = 2\log_{1/3}(x-1)$.
Тогда первый член неравенства равен $(2\log_{1/3}(x-1))^2 = 4\log_{1/3}^2(x-1)$.
Неравенство принимает вид:
$4\log_{1/3}^2(x-1) - 7\log_{1/3}(x-1) + 3 \le 0$.
3. Сделаем замену $t = \log_{1/3}(x-1)$:
$4t^2 - 7t + 3 \le 0$.
4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $4t^2 - 7t + 3 = 0$.
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$.
$t_1 = \frac{7 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$, $t_2 = \frac{7 + 1}{8} = 1$.
Решение неравенства: $\frac{3}{4} \le t \le 1$.
5. Выполним обратную замену:
$\frac{3}{4} \le \log_{1/3}(x-1) \le 1$.
6. Решим двойное неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, поэтому при потенцировании знаки неравенства меняются на противоположные:
$(\frac{1}{3})^1 \le x-1 \le (\frac{1}{3})^{3/4}$.
$\frac{1}{3} \le x-1 \le \frac{1}{\sqrt[4]{3^3}} = \frac{1}{\sqrt[4]{27}}$.
Прибавим 1 ко всем частям неравенства:
$1 + \frac{1}{3} \le x \le 1 + \frac{1}{\sqrt[4]{27}}$
$\frac{4}{3} \le x \le 1 + \frac{1}{\sqrt[4]{27}}$.
7. Полученный интервал удовлетворяет ОДЗ ($x > 1$).
Ответ: $x \in [\frac{4}{3}, 1 + \frac{1}{\sqrt[4]{27}}]$.

в) Исходное неравенство: $2 \log_5^2 x^2 + 5 \log_5 25x - 8 \ge 0$.
1. Найдем ОДЗ:
$x^2 > 0 \implies x \ne 0$.
$25x > 0 \implies x > 0$.
Итоговая ОДЗ: $x > 0$.
2. Упростим выражения, используя свойства логарифмов и ОДЗ:
$\log_5 x^2 = 2 \log_5 x$ (так как $x>0$).
$\log_5^2 x^2 = (2 \log_5 x)^2 = 4 \log_5^2 x$.
$\log_5 25x = \log_5 25 + \log_5 x = 2 + \log_5 x$.
3. Подставим в неравенство:
$2(4 \log_5^2 x) + 5(2 + \log_5 x) - 8 \ge 0$
$8 \log_5^2 x + 10 + 5 \log_5 x - 8 \ge 0$
$8 \log_5^2 x + 5 \log_5 x + 2 \ge 0$.
4. Сделаем замену $t = \log_5 x$:
$8t^2 + 5t + 2 \ge 0$.
5. Проанализируем квадратный трехчлен $8t^2 + 5t + 2$.
Найдем дискриминант: $D = 5^2 - 4 \cdot 8 \cdot 2 = 25 - 64 = -39$.
Так как дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 8 > 0$, то парабола $y = 8t^2 + 5t + 2$ полностью лежит выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство $8t^2 + 5t + 2 \ge 0$ верно для всех $t \in \mathbb{R}$.
6. Это означает, что $\log_5 x$ может быть любым действительным числом, что возможно для любого $x$ из ОДЗ.
7. Решением является вся область допустимых значений.
Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $\log_{1/5}^2 (x^2 + 2x + 1) - 31 \log_{1/5} \frac{x + 1}{5} + 15 < 0$.
1. Найдем ОДЗ:
$x^2 + 2x + 1 > 0 \implies (x+1)^2 > 0 \implies x \ne -1$.
$\frac{x+1}{5} > 0 \implies x+1 > 0 \implies x > -1$.
Итоговая ОДЗ: $x > -1$.
2. Преобразуем неравенство, учитывая ОДЗ:
$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$. Так как $x > -1$, то $x+1 > 0$.
$\log_{1/5}(x^2 + 2x + 1) = \log_{1/5}(x+1)^2 = 2\log_{1/5}(x+1)$.
$\log_{1/5}^2(x^2 + 2x + 1) = (2\log_{1/5}(x+1))^2 = 4\log_{1/5}^2(x+1)$.
$\log_{1/5} \frac{x+1}{5} = \log_{1/5}(x+1) - \log_{1/5} 5 = \log_{1/5}(x+1) - (-1) = \log_{1/5}(x+1) + 1$.
3. Подставим в неравенство:
$4\log_{1/5}^2(x+1) - 31(\log_{1/5}(x+1) + 1) + 15 < 0$
$4\log_{1/5}^2(x+1) - 31\log_{1/5}(x+1) - 31 + 15 < 0$
$4\log_{1/5}^2(x+1) - 31\log_{1/5}(x+1) - 16 < 0$.
4. Сделаем замену $t = \log_{1/5}(x+1)$:
$4t^2 - 31t - 16 < 0$.
5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $4t^2 - 31t - 16 = 0$.
$D = (-31)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-16) = 961 + 256 = 1217$.
Корни: $t_{1,2} = \frac{31 \pm \sqrt{1217}}{8}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $\frac{31 - \sqrt{1217}}{8} < t < \frac{31 + \sqrt{1217}}{8}$.
6. Выполним обратную замену:
$\frac{31 - \sqrt{1217}}{8} < \log_{1/5}(x+1) < \frac{31 + \sqrt{1217}}{8}$.
7. Решим двойное неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{5} < 1$, поэтому знаки неравенства меняются:
$(\frac{1}{5})^{\frac{31 + \sqrt{1217}}{8}} < x+1 < (\frac{1}{5})^{\frac{31 - \sqrt{1217}}{8}}$.
Вычтем 1 из всех частей:
$(\frac{1}{5})^{\frac{31 + \sqrt{1217}}{8}} - 1 < x < (\frac{1}{5})^{\frac{31 - \sqrt{1217}}{8}} - 1$.
Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x > -1$).
Ответ: $x \in (5^{\frac{-31 - \sqrt{1217}}{8}} - 1; 5^{\frac{-31 + \sqrt{1217}}{8}} - 1)$.

18.20. a) $log^2_2(5 - x) - 2 log_2(5 - x)^3 + 9 \le 0;$

б) $log^2_{\frac{1}{2}}(4 - x) + 5 log_{\frac{1}{2}}(4 - x)^2 + 25 \le 0;$

в) $log^2_{\frac{1}{3}}(x - 1) + 3 \ge -\frac{4}{5} log_{\frac{1}{3}}(x - 1)^5;$

г) $log^2_3(x + 5) \le 0,5 log_3(x + 5)^4 + 3.$

а) $\log_2^2(5 - x) - 2\log_2(5 - x)^3 + 9 \le 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$5 - x > 0$
$x < 5$

2. Упростим неравенство, используя свойство логарифма $\log_a(b^n) = n\log_a(b)$:
$\log_2^2(5 - x) - 2 \cdot 3\log_2(5 - x) + 9 \le 0$
$\log_2^2(5 - x) - 6\log_2(5 - x) + 9 \le 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2(5 - x)$. Неравенство примет вид:
$t^2 - 6t + 9 \le 0$

4. Решим полученное квадратное неравенство. Левая часть является полным квадратом:
$(t - 3)^2 \le 0$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Единственное возможное решение — это когда выражение равно нулю:
$(t - 3)^2 = 0$
$t - 3 = 0$
$t = 3$

5. Выполним обратную замену:
$\log_2(5 - x) = 3$

6. Решим логарифмическое уравнение:
$5 - x = 2^3$
$5 - x = 8$
$x = 5 - 8$
$x = -3$

7. Проверим, удовлетворяет ли найденное значение ОДЗ ($x < 5$):
$-3 < 5$. Условие выполняется.
Ответ: $\{-3\}$

б) $\log_{\frac{1}{2}}^2(4 - x) + 5\log_{\frac{1}{2}}(4 - x)^2 + 25 \le 0$

1. Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$.
$(4-x)^2 > 0 \Rightarrow 4-x \ne 0 \Rightarrow x \ne 4$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x < 4$.

2. Упростим неравенство. Используем свойство логарифма для четной степени: $\log_a(b^{2n}) = 2n\log_a|b|$.
$\log_{\frac{1}{2}}(4 - x)^2 = 2\log_{\frac{1}{2}}|4 - x|$.
Поскольку из ОДЗ мы знаем, что $x < 4$, то $4 - x > 0$, и, следовательно, $|4 - x| = 4 - x$.
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{2}}^2(4 - x) + 5 \cdot 2\log_{\frac{1}{2}}(4 - x) + 25 \le 0$
$\log_{\frac{1}{2}}^2(4 - x) + 10\log_{\frac{1}{2}}(4 - x) + 25 \le 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{\frac{1}{2}}(4 - x)$:
$t^2 + 10t + 25 \le 0$

4. Решим квадратное неравенство. Левая часть является полным квадратом:
$(t + 5)^2 \le 0$
Единственное решение, как и в предыдущем пункте, $t + 5 = 0$, откуда $t = -5$.

5. Выполним обратную замену:
$\log_{\frac{1}{2}}(4 - x) = -5$

6. Решим логарифмическое уравнение:
$4 - x = (\frac{1}{2})^{-5}$
$4 - x = 2^5$
$4 - x = 32$
$x = 4 - 32$
$x = -28$

7. Проверим соответствие ОДЗ ($x < 4$):
$-28 < 4$. Условие выполняется.
Ответ: $\{-28\}$

в) $\log_{\frac{1}{3}}^2(x - 1) + 3 \ge -\frac{4}{5}\log_{\frac{1}{3}}(x - 1)^5$

1. Найдем ОДЗ: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$.

2. Преобразуем неравенство. Вынесем степень из-под знака логарифма и перенесем все слагаемые в левую часть:
$\log_{\frac{1}{3}}^2(x - 1) + 3 \ge -\frac{4}{5} \cdot 5\log_{\frac{1}{3}}(x - 1)$
$\log_{\frac{1}{3}}^2(x - 1) + 3 \ge -4\log_{\frac{1}{3}}(x - 1)$
$\log_{\frac{1}{3}}^2(x - 1) + 4\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) + 3 \ge 0$

3. Сделаем замену. Пусть $t = \log_{\frac{1}{3}}(x - 1)$:
$t^2 + 4t + 3 \ge 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $t^2 + 4t + 3 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = -3$, $t_2 = -1$.
Графиком функции $y = t^2 + 4t + 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, то есть:
$t \le -3$ или $t \ge -1$.

5. Выполним обратную замену. Получаем совокупность двух неравенств:
$\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \le -3$
$\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) \ge -1$

6. Решим каждое неравенство. Так как основание логарифма $\frac{1}{3} < 1$, знак неравенства при потенцировании меняется на противоположный.
Для первого неравенства:
$x - 1 \ge (\frac{1}{3})^{-3}$
$x - 1 \ge 3^3$
$x - 1 \ge 27 \Rightarrow x \ge 28$
Для второго неравенства:
$x - 1 \le (\frac{1}{3})^{-1}$
$x - 1 \le 3 \Rightarrow x \le 4$

7. Объединим полученные решения с ОДЗ ($x > 1$):
Первое решение: $x \ge 28$. Это удовлетворяет ОДЗ.
Второе решение: $x \le 4$ и $x > 1$, что дает интервал $(1, 4]$.
Общее решение является объединением этих двух множеств.
Ответ: $(1, 4] \cup [28, +\infty)$

г) $\log_3^2(x + 5) \le 0,5\log_3(x + 5)^4 + 3$

1. Найдем ОДЗ: $x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$.

2. Упростим неравенство. Так как $x > -5$, то $x+5>0$ и $|x+5|=x+5$.
$\log_3^2(x + 5) \le 0,5 \cdot 4\log_3(x + 5) + 3$
$\log_3^2(x + 5) \le 2\log_3(x + 5) + 3$
$\log_3^2(x + 5) - 2\log_3(x + 5) - 3 \le 0$

3. Сделаем замену. Пусть $t = \log_3(x + 5)$:
$t^2 - 2t - 3 \le 0$

4. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 3 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 3$, $t_2 = -1$.
Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется, когда $t$ находится между корнями:
$-1 \le t \le 3$

5. Выполним обратную замену:
$-1 \le \log_3(x + 5) \le 3$

6. Решим двойное логарифмическое неравенство. Основание логарифма $3 > 1$, поэтому знаки неравенства сохраняются:
$3^{-1} \le x + 5 \le 3^3$
$\frac{1}{3} \le x + 5 \le 27$

7. Вычтем 5 из всех частей неравенства, чтобы найти $x$:
$\frac{1}{3} - 5 \le x \le 27 - 5$
$\frac{1}{3} - \frac{15}{3} \le x \le 22$
$-\frac{14}{3} \le x \le 22$

8. Данный интервал $[-\frac{14}{3}, 22]$ полностью удовлетворяет ОДЗ $x > -5$, так как $-\frac{14}{3} \approx -4.67 > -5$.
Ответ: $[-\frac{14}{3}, 22]$

18.21. a) $\frac{1 - \log_4 x}{1 + 2 \log_4 x} \le \frac{1}{2}$;

б) $\frac{3 \log_{0.5} x}{2 - \log_{0.5} x} \ge 2 \log_{0.5} x + 1$;

в) $\left(\log_{\frac{1}{2}} x + 2\right)\left(2 - \log_{\frac{1}{2}} x\right) < \log_{\frac{1}{2}} \frac{x^3}{64}$;

г) $\frac{\log_{0.2} x + 3}{\log_{0.2} x - 3} \le \frac{1}{3}$.

а) $\frac{1 - \log_4 x}{1 + 2 \log_4 x} \le \frac{1}{2}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

1. $x > 0$

2. $1 + 2 \log_4 x \ne 0 \implies 2 \log_4 x \ne -1 \implies \log_4 x \ne -\frac{1}{2} \implies x \ne 4^{-1/2} \implies x \ne \frac{1}{2}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_4 x$. Неравенство примет вид:

$\frac{1 - t}{1 + 2t} \le \frac{1}{2}$

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{1 - t}{1 + 2t} - \frac{1}{2} \le 0$

$\frac{2(1 - t) - (1 + 2t)}{2(1 + 2t)} \le 0$

$\frac{2 - 2t - 1 - 2t}{2(1 + 2t)} \le 0$

$\frac{1 - 4t}{2(1 + 2t)} \le 0$

Решим это рациональное неравенство для $t$ методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя:

Корень числителя: $1 - 4t = 0 \implies t = \frac{1}{4}$ (точка включается).

Корень знаменателя: $1 + 2t = 0 \implies t = -\frac{1}{2}$ (точка исключается).

На числовой оси для $t$ отмечаем точки и определяем знаки. Неравенство выполняется, когда $t < -\frac{1}{2}$ или $t \ge \frac{1}{4}$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $\log_4 x < -\frac{1}{2}$. Поскольку основание логарифма $4 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x < 4^{-1/2} \implies x < \frac{1}{2}$.

2. $\log_4 x \ge \frac{1}{4}$. Знак неравенства сохраняется: $x \ge 4^{1/4} \implies x \ge (2^2)^{1/4} \implies x \ge 2^{1/2} \implies x \ge \sqrt{2}$.

Совместим полученные решения с ОДЗ $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$:

Для $x < \frac{1}{2}$ с учетом ОДЗ получаем $x \in (0; \frac{1}{2})$.

Для $x \ge \sqrt{2}$ с учетом ОДЗ получаем $x \in [\sqrt{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{2}) \cup [\sqrt{2}; +\infty)$.

б) $\frac{3 \log_{0.5} x}{2 - \log_{0.5} x} \ge 2 \log_{0.5} x + 1$

ОДЗ: $x > 0$ и $2 - \log_{0.5} x \ne 0 \implies \log_{0.5} x \ne 2 \implies x \ne (0.5)^2 \implies x \ne 0.25$.

ОДЗ: $x \in (0; 0.25) \cup (0.25; +\infty)$.

Сделаем замену: $t = \log_{0.5} x$.

$\frac{3t}{2 - t} \ge 2t + 1$

$\frac{3t}{2 - t} - (2t + 1) \ge 0$

$\frac{3t - (2t + 1)(2 - t)}{2 - t} \ge 0$

$\frac{3t - (4t - 2t^2 + 2 - t)}{2 - t} \ge 0$

$\frac{3t - 3t + 2t^2 - 2}{2 - t} \ge 0$

$\frac{2t^2 - 2}{2 - t} \ge 0 \implies \frac{2(t-1)(t+1)}{2-t} \ge 0$

Решаем методом интервалов для $t$. Корни числителя $t = 1, t = -1$ (включаются). Корень знаменателя $t = 2$ (исключается).

Решением неравенства для $t$ является объединение интервалов $t \in (-\infty; -1] \cup [1; 2)$.

Выполним обратную замену. Так как основание логарифма $0.5 \in (0; 1)$, при переходе к $x$ знаки неравенств меняются на противоположные.

1. $t \le -1 \implies \log_{0.5} x \le -1 \implies x \ge (0.5)^{-1} \implies x \ge 2$.

2. $1 \le t < 2 \implies 1 \le \log_{0.5} x < 2 \implies (0.5)^2 < x \le (0.5)^1 \implies 0.25 < x \le 0.5$.

Оба полученных решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x \in (0.25; 0.5] \cup [2; +\infty)$.

в) $(\log_{1/2} x + 2)(2 - \log_{1/2} x) < \log_{1/2} \frac{x^3}{64}$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем неравенство. Левую часть упростим по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$4 - (\log_{1/2} x)^2 < \log_{1/2} \frac{x^3}{64}$

Правую часть упростим по свойствам логарифмов:

$\log_{1/2} \frac{x^3}{64} = \log_{1/2} x^3 - \log_{1/2} 64 = 3\log_{1/2} x - \log_{1/2} (1/2)^{-6} = 3\log_{1/2} x + 6$.

Неравенство принимает вид:

$4 - (\log_{1/2} x)^2 < 3\log_{1/2} x + 6$

Сделаем замену $t = \log_{1/2} x$.

$4 - t^2 < 3t + 6$

$0 < t^2 + 3t + 2$

Решим квадратное неравенство $t^2 + 3t + 2 > 0$. Корни уравнения $t^2 + 3t + 2 = 0$ равны $t_1 = -2, t_2 = -1$. Так как парабола направлена ветвями вверх, неравенство выполняется при $t < -2$ или $t > -1$.

Выполним обратную замену. Основание логарифма $\frac{1}{2} \in (0; 1)$, поэтому знаки неравенств меняются.

1. $\log_{1/2} x < -2 \implies x > (\frac{1}{2})^{-2} \implies x > 4$.

2. $\log_{1/2} x > -1 \implies x < (\frac{1}{2})^{-1} \implies x < 2$.

Учитывая ОДЗ $x > 0$, получаем объединение решений.

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (4; +\infty)$.

г) $\frac{\log_{0.2} x + 3}{\log_{0.2} x - 3} \le \frac{1}{3}$

ОДЗ: $x > 0$ и $\log_{0.2} x - 3 \ne 0 \implies \log_{0.2} x \ne 3 \implies x \ne (0.2)^3 \implies x \ne 0.008$.

ОДЗ: $x \in (0; 0.008) \cup (0.008; +\infty)$.

Сделаем замену: $t = \log_{0.2} x$.

$\frac{t + 3}{t - 3} \le \frac{1}{3}$

$\frac{t + 3}{t - 3} - \frac{1}{3} \le 0$

$\frac{3(t + 3) - (t - 3)}{3(t - 3)} \le 0$

$\frac{3t + 9 - t + 3}{3(t - 3)} \le 0$

$\frac{2t + 12}{3(t - 3)} \le 0$

Решаем методом интервалов для $t$. Корень числителя $t = -6$ (включается). Корень знаменателя $t = 3$ (исключается).

Решением является интервал $t \in [-6; 3)$.

Выполним обратную замену: $-6 \le \log_{0.2} x < 3$.

Так как основание $0.2 \in (0; 1)$, знаки неравенств меняются:

$(0.2)^3 < x \le (0.2)^{-6}$

$0.008 < x \le (\frac{1}{5})^{-6}$

$0.008 < x \le 5^6$

$0.008 < x \le 15625$

Это решение полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (0.008; 15625]$.