Страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

17.42. a) $\begin{cases} 2^x \cdot 2^y = 16, \\ \log_3 x + \log_3 y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \left(\frac{1}{3}\right)^{2x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-y} = \frac{1}{27}, \\ \log_2 2x - \log_2 y = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 81, \\ \log_2 x + \log_2 y = 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^{x} \cdot (\sqrt{2})^{y} = \log_9 3, \\ \log_4 y - \log_4 x = 1. \end{cases}$

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2^x \cdot 2^y = 16 \\ \log_3 x + \log_3 y = 1 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы определяется вторым уравнением: аргументы логарифмов должны быть положительными, то есть $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{x+y} = 16$

Так как $16 = 2^4$, получаем:

$2^{x+y} = 2^4$

Отсюда следует, что $x+y = 4$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_3 (xy) = 1$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $):

$xy = 3^1$

$xy = 3$

Теперь мы имеем более простую систему уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 4 \\ xy = 3 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 4-x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(4-x) = 3$

$4x - x^2 = 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета: $x_1+x_2=4$, $x_1 \cdot x_2=3$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 4 - 1 = 3$.

2. Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 4 - 3 = 1$.

Обе пары решений, $(1, 3)$ и $(3, 1)$, удовлетворяют ОДЗ ($x>0, y>0$).

Ответ: $(1, 3), (3, 1)$.

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \left(\frac{1}{3}\right)^{2x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-y} = \frac{1}{27} \\ \log_2 2x - \log_2 y = 2 \end{cases} $$

ОДЗ: $2x > 0$ и $y > 0$, что равносильно $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-y} = \frac{1}{27}$

Так как $\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$, получаем:

$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x-y} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$

Отсюда $2x-y = 3$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$\log_2 \left(\frac{2x}{y}\right) = 2$

По определению логарифма:

$\frac{2x}{y} = 2^2$

$\frac{2x}{y} = 4$, откуда $2x = 4y$, то есть $x = 2y$.

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} 2x-y = 3 \\ x = 2y \end{cases} $$

Подставим второе уравнение в первое:

$2(2y) - y = 3$

$4y - y = 3$

$3y = 3$

$y = 1$

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 2y = 2 \cdot 1 = 2$.

Решение $(2, 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($x=2>0$ и $y=1>0$).

Ответ: $(2, 1)$.

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 81 \\ \log_2 x + \log_2 y = 1 \end{cases} $$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя все степени к основанию 3. Так как $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$, имеем:

$(3^2)^x \cdot 3^y = 3^4$

$3^{2x} \cdot 3^y = 3^4$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$3^{2x+y} = 3^4$

Отсюда $2x+y = 4$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_2 (xy) = 1$

По определению логарифма:

$xy = 2^1$

$xy = 2$

Получили систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x+y = 4 \\ xy = 2 \end{cases} $$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 4-2x$.

Подставим во второе уравнение:

$x(4-2x) = 2$

$4x - 2x^2 = 2$

$2x^2 - 4x + 2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это формула квадрата разности: $(x-1)^2 = 0$.

Отсюда $x = 1$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 4 - 2x = 4 - 2(1) = 2$.

Решение $(1, 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($x=1>0$ и $y=2>0$).

Ответ: $(1, 2)$.

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot (\sqrt{2})^y = \log_9 3 \\ \log_4 y - \log_4 x = 1 \end{cases} $$

ОДЗ: из второго уравнения следует, что $x > 0$ и $y > 0$.

Сначала упростим правую часть первого уравнения:

$\log_9 3 = \log_{3^2} 3 = \frac{1}{2} \log_3 3 = \frac{1}{2}$.

Теперь преобразуем левую часть первого уравнения, приведя все степени к основанию 2. Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$:

$(2^{-1})^x \cdot (2^{1/2})^y = 2^{-x} \cdot 2^{y/2} = 2^{-x + y/2}$.

Таким образом, первое уравнение принимает вид:

$2^{-x + y/2} = \frac{1}{2} = 2^{-1}$

$-x + \frac{y}{2} = -1$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: $-2x + y = -2$ или $y = 2x-2$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$\log_4 \left(\frac{y}{x}\right) = 1$

По определению логарифма:

$\frac{y}{x} = 4^1$

$y = 4x$

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} y = 2x-2 \\ y = 4x \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений, так как левые равны:

$4x = 2x-2$

$2x = -2$

$x = -1$

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 4x = 4(-1) = -4$.

Проверим полученное решение $(-1, -4)$ на соответствие ОДЗ ($x>0, y>0$).

Так как $x=-1 < 0$ и $y=-4 < 0$, найденная пара чисел не входит в область допустимых значений. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Решите уравнение:

17.43. $\log_x (3x - \sqrt{18}) + \log_{x^2} (6 + x\sqrt{72} + 3x^2) = \frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}$

Исходное уравнение:

$ \log_x(3x - \sqrt{18}) + \log_{x^2}(6 + x\sqrt{72} + 3x^2) = \frac{\lg 27x^2}{\lg x^2} $

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Основания логарифмов должны быть больше нуля и не равны единице:

$ x > 0 $, $ x \ne 1 $

$ x^2 > 0 \Rightarrow x \ne 0 $

$ x^2 \ne 1 \Rightarrow x \ne \pm 1 $

Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля:

1) $ 3x - \sqrt{18} > 0 $

$ 3x > \sqrt{9 \cdot 2} $

$ 3x > 3\sqrt{2} $

$ x > \sqrt{2} $

2) $ 6 + x\sqrt{72} + 3x^2 > 0 $

$ 3x^2 + x\sqrt{36 \cdot 2} + 6 > 0 $

$ 3x^2 + 6\sqrt{2}x + 6 > 0 $

Разделим на 3:

$ x^2 + 2\sqrt{2}x + 2 > 0 $

Свернем по формуле квадрата суммы:

$ (x + \sqrt{2})^2 > 0 $

Это неравенство выполняется для всех $ x $, кроме $ x = -\sqrt{2} $.

Объединяя все условия ($ x > \sqrt{2} $, $ x \ne 1 $, $ x \ne -\sqrt{2} $), получаем итоговую ОДЗ:

$ x > \sqrt{2} $. (Так как $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, это условие автоматически удовлетворяет условиям $ x > 0 $ и $ x \ne 1 $).

2. Упростим уравнение.

Преобразуем правую часть уравнения, используя формулу перехода к новому основанию $ \log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b} $:

$ \frac{\lg 27x^2}{\lg x^2} = \log_{x^2}(27x^2) $

Преобразуем второе слагаемое в левой части, используя свойство $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $:

$ \log_{x^2}(6 + x\sqrt{72} + 3x^2) = \frac{1}{2}\log_x(6 + x\sqrt{72} + 3x^2) $

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$ \log_x(3x - \sqrt{18}) + \frac{1}{2}\log_x(3x^2 + x\sqrt{72} + 6) = \log_{x^2}(27x^2) $

Теперь упростим выражения под знаками логарифмов, как мы делали в ОДЗ:

$ 3x - \sqrt{18} = 3x - 3\sqrt{2} = 3(x - \sqrt{2}) $

$ 3x^2 + x\sqrt{72} + 6 = 3x^2 + 6\sqrt{2}x + 6 = 3(x^2 + 2\sqrt{2}x + 2) = 3(x + \sqrt{2})^2 $

$ 27x^2 = 3^3 x^2 $

Подставим их в уравнение:

$ \log_x(3(x - \sqrt{2})) + \frac{1}{2}\log_x(3(x + \sqrt{2})^2) = \log_{x^2}(3^3 x^2) $

Раскроем логарифмы, используя свойства $ \log(ab) = \log a + \log b $ и $ \log a^k = k \log a $:

$ \log_x 3 + \log_x(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{2}(\log_x 3 + \log_x((x + \sqrt{2})^2)) = \log_{x^2}(3^3) + \log_{x^2}(x^2) $

$ \log_x 3 + \log_x(x - \sqrt{2}) + \frac{1}{2}\log_x 3 + \frac{1}{2} \cdot 2\log_x(x + \sqrt{2}) = 3\log_{x^2} 3 + 1 $

Приведем подобные слагаемые в левой части и применим свойство $ \log a + \log b = \log(ab) $:

$ \frac{3}{2}\log_x 3 + \log_x((x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})) = 3 \cdot \frac{1}{2}\log_x 3 + 1 $

$ \frac{3}{2}\log_x 3 + \log_x(x^2 - 2) = \frac{3}{2}\log_x 3 + 1 $

3. Решим полученное уравнение.

Вычтем из обеих частей уравнения $ \frac{3}{2}\log_x 3 $:

$ \log_x(x^2 - 2) = 1 $

По определению логарифма:

$ x^1 = x^2 - 2 $

$ x^2 - x - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:

$ x_1 + x_2 = 1 $

$ x_1 \cdot x_2 = -2 $

Корни уравнения: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -1 $.

4. Проверим корни на соответствие ОДЗ.

ОДЗ: $ x > \sqrt{2} $.

- Корень $ x_1 = 2 $. Так как $ 2 > \sqrt{2} $ (потому что $ 4 > 2 $), этот корень удовлетворяет ОДЗ.

- Корень $ x_2 = -1 $. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ, так как $ -1 < \sqrt{2} $.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: 2.

17.44. a) $\log_2^2(2 - x) + 2,5 \log_2 \frac{x^2 - 4x + 4}{3x - 1} = 6 - 10 \log_{16}(3x - 1);$

б) $\log_3^2(6 - x) - \log_{\frac{1}{3}}(x + 10)^4 - 4\log_3(x + 10)(x^2 - 12x + 36) = 9.$

a) $\log_2^2(2-x) + 2,5 \log_2 \frac{x^2 - 4x + 4}{3x - 1} = 6 - 10 \log_{16}(3x - 1)$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases}2 - x > 0 \\\frac{x^2 - 4x + 4}{3x - 1} > 0 \\3x - 1 > 0\end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x < 2$.

Из третьего неравенства получаем $x > \frac{1}{3}$.

Рассмотрим второе неравенство. Числитель $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Поскольку $x < 2$, то $(x-2)^2 > 0$. Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы знаменатель был положителен: $3x - 1 > 0$, что совпадает с третьим условием.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (\frac{1}{3}; 2)$.

2. Упростим уравнение, используя свойства логарифмов. Заметим, что $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = (2-x)^2$.

Преобразуем член $2,5 \log_2 \frac{(2-x)^2}{3x - 1}$:

$2,5 \log_2 \frac{(2-x)^2}{3x - 1} = 2,5 (\log_2(2-x)^2 - \log_2(3x - 1)) = 2,5 (2\log_2(2-x) - \log_2(3x - 1))$

Мы использовали, что $2-x > 0$ на ОДЗ, поэтому $\log_2(2-x)^2 = 2\log_2(2-x)$.

Таким образом, левая часть уравнения принимает вид:

$\log_2^2(2-x) + 5\log_2(2-x) - 2,5\log_2(3x - 1)$

Преобразуем член $-10 \log_{16}(3x - 1)$ в правой части, перейдя к основанию 2:

$-10 \log_{16}(3x - 1) = -10 \frac{\log_2(3x - 1)}{\log_2 16} = -10 \frac{\log_2(3x - 1)}{4} = -2,5 \log_2(3x - 1)$

Исходное уравнение принимает вид:

$\log_2^2(2-x) + 5\log_2(2-x) - 2,5\log_2(3x - 1) = 6 - 2,5\log_2(3x - 1)$

Сократим одинаковые члены $-2,5\log_2(3x - 1)$ в обеих частях:

$\log_2^2(2-x) + 5\log_2(2-x) = 6$

$\log_2^2(2-x) + 5\log_2(2-x) - 6 = 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2(2-x)$. Уравнение превращается в квадратное:

$t^2 + 5t - 6 = 0$

Решим его. По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -6$.

4. Выполним обратную замену.

Случай 1: $t_1 = 1$

$\log_2(2-x) = 1$

$2-x = 2^1$

$2-x = 2$

$x = 0$

Случай 2: $t_2 = -6$

$\log_2(2-x) = -6$

$2-x = 2^{-6}$

$2-x = \frac{1}{64}$

$x = 2 - \frac{1}{64} = \frac{128-1}{64} = \frac{127}{64}$

5. Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (\frac{1}{3}; 2)$.

Корень $x=0$ не принадлежит ОДЗ, так как $0 < \frac{1}{3}$.

Корень $x=\frac{127}{64} = 1,984375$. Этот корень принадлежит интервалу $(\frac{1}{3}; 2)$, так как $\frac{1}{3} \approx 0,333$ и $1,984375 < 2$.

Следовательно, у уравнения есть единственный корень.

Ответ: $x = \frac{127}{64}$.

б) $\log_3^2(6-x) - \log_{\frac{1}{3}}(x+10)^4 - 4\log_3(x+10)(x^2-12x+36) = 9$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases}6 - x > 0 \\(x+10)^4 > 0 \\(x+10)(x^2-12x+36) > 0\end{cases}$

Из первого неравенства: $x < 6$.

Из второго: $(x+10)^4 > 0 \implies x \neq -10$.

Рассмотрим третье неравенство. $x^2-12x+36 = (x-6)^2$. Так как $x<6$, то $(x-6)^2 > 0$. Значит, для выполнения неравенства нужно, чтобы $(x+10) > 0$, то есть $x > -10$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-10; 6)$.

2. Упростим уравнение, используя свойства логарифмов. Заметим, что $x^2-12x+36 = (x-6)^2 = (6-x)^2$.

Преобразуем второй член:

$-\log_{\frac{1}{3}}(x+10)^4 = -\log_{3^{-1}}(x+10)^4 = -(-1)\log_3(x+10)^4 = 4\log_3|x+10|$. На ОДЗ $x > -10$, поэтому $x+10 > 0$ и $|x+10| = x+10$. Получаем $4\log_3(x+10)$.

Преобразуем третий член:

$-4\log_3((x+10)(x^2-12x+36)) = -4\log_3((x+10)(6-x)^2) = -4(\log_3(x+10) + \log_3(6-x)^2)$

На ОДЗ $x<6$, поэтому $6-x > 0$ и $\log_3(6-x)^2 = 2\log_3(6-x)$.

Продолжаем преобразование третьего члена: $-4(\log_3(x+10) + 2\log_3(6-x)) = -4\log_3(x+10) - 8\log_3(6-x)$.

Подставим преобразованные члены в исходное уравнение:

$\log_3^2(6-x) + 4\log_3(x+10) - 4\log_3(x+10) - 8\log_3(6-x) = 9$

Члены с $\log_3(x+10)$ взаимно уничтожаются:

$\log_3^2(6-x) - 8\log_3(6-x) = 9$

$\log_3^2(6-x) - 8\log_3(6-x) - 9 = 0$

3. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \log_3(6-x)$. Получим квадратное уравнение:

$y^2 - 8y - 9 = 0$

Решим его. По теореме Виета, корни $y_1 = 9$ и $y_2 = -1$.

4. Выполним обратную замену.

Случай 1: $y_1 = 9$

$\log_3(6-x) = 9$

$6-x = 3^9$

$6-x = 19683$

$x = 6 - 19683 = -19677$

Случай 2: $y_2 = -1$

$\log_3(6-x) = -1$

$6-x = 3^{-1}$

$6-x = \frac{1}{3}$

$x = 6 - \frac{1}{3} = \frac{18-1}{3} = \frac{17}{3}$

5. Проверим найденные корни на принадлежность ОДЗ $x \in (-10; 6)$.

Корень $x = -19677$ не принадлежит ОДЗ, так как $-19677 < -10$.

Корень $x = \frac{17}{3} = 5\frac{2}{3}$. Этот корень принадлежит интервалу $(-10; 6)$.

Следовательно, у уравнения есть единственный корень.

Ответ: $x = \frac{17}{3}$.

Решите неравенство:

18.1. а) $\log_2 x \ge 4$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} x > -3$;

в) $\log_2 x < \frac{1}{2}$;

г) $\log_{0,1} x \le -\frac{1}{2}$.

а) Дано логарифмическое неравенство $log_2 x \geq 4$.
Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.
Основание логарифма равно 2. Так как основание $a = 2 > 1$, логарифмическая функция $y = \log_2 x$ является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмического неравенства к неравенству для его аргументов знак неравенства сохраняется.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $4 = \log_2 (2^4) = \log_2 16$.
Исходное неравенство можно переписать как $log_2 x \geq \log_2 16$.
Так как функция возрастающая, переходим к неравенству для аргументов: $x \geq 16$.
Теперь необходимо учесть ОДЗ ($x > 0$). Решение $x \geq 16$ полностью удовлетворяет этому условию.
Таким образом, решением неравенства является промежуток $[16, +\infty)$.
Ответ: $x \in [16; +\infty)$.

б) Дано логарифмическое неравенство $log_{\frac{1}{2}} x > -3$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма равно $\frac{1}{2}$. Так как основание $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмического неравенства к неравенству для его аргументов знак неравенства меняется на противоположный.
Перепишем неравенство, используя определение логарифма:
$log_{\frac{1}{2}} x > -3$
$x < (\frac{1}{2})^{-3}$
$x < (2^{-1})^{-3}$
$x < 2^3$
$x < 8$
Совмещаем полученное решение с ОДЗ ($x > 0$). Получаем систему:
$\begin{cases} x < 8 \\ x > 0 \end{cases}$
Решением системы является интервал $0 < x < 8$.
Ответ: $x \in (0; 8)$.

в) Дано логарифмическое неравенство $log_2 x < \frac{1}{2}$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $a = 2 > 1$, следовательно, функция $y = \log_2 x$ возрастающая. Знак неравенства при потенцировании сохраняется.
$log_2 x < \frac{1}{2}$
$x < 2^{\frac{1}{2}}$
$x < \sqrt{2}$
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем двойное неравенство $0 < x < \sqrt{2}$.
Ответ: $x \in (0; \sqrt{2})$.

г) Дано логарифмическое неравенство $log_{0,1} x \leq -\frac{1}{2}$.
ОДЗ: $x > 0$.
Основание логарифма $a = 0,1$. Так как $0 < 0,1 < 1$, функция $y = \log_{0,1} x$ является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства $\leq$ изменится на $\geq$.
$log_{0,1} x \leq -\frac{1}{2}$
$x \geq (0,1)^{-\frac{1}{2}}$
Преобразуем правую часть: $(0,1)^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{10})^{-\frac{1}{2}} = 10^{\frac{1}{2}} = \sqrt{10}$.
Таким образом, получаем $x \geq \sqrt{10}$.
Решение $x \geq \sqrt{10}$ удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$), так как $\sqrt{10} > 0$.
Ответ: $x \in [\sqrt{10}; +\infty)$.

18.2. a) $log_5 (3x + 1) < 2;$

б) $log_{0,5} \frac{x}{3} \ge -2;$

в) $log_{\frac{2}{3}} \frac{x}{5} > 1;$

г) $log_{\sqrt{3}} (2x - 3) < 4.$

а) Решим логарифмическое неравенство $\log_5(3x + 1) < 2$.

1. Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$3x + 1 > 0$

$3x > -1$

$x > -\frac{1}{3}$

2. Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием, что и в левой части:

$2 = 2 \cdot \log_5(5) = \log_5(5^2) = \log_5(25)$

Неравенство принимает вид:

$\log_5(3x + 1) < \log_5(25)$

3. Так как основание логарифма $5 > 1$, функция $y = \log_5(t)$ является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$3x + 1 < 25$

$3x < 24$

$x < 8$

4. Объединим полученное решение с ОДЗ. Необходимо, чтобы выполнялись оба условия: $x > -\frac{1}{3}$ и $x < 8$.

Пересечением этих двух условий является интервал $(-\frac{1}{3}; 8)$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{3}; 8)$.

б) Решим неравенство $\log_{0.5} \frac{x}{3} \ge -2$.

1. Найдем ОДЗ:

$\frac{x}{3} > 0$

$x > 0$

2. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 0.5:

$-2 = -2 \cdot \log_{0.5}(0.5) = \log_{0.5}((0.5)^{-2}) = \log_{0.5}((\frac{1}{2})^{-2}) = \log_{0.5}(2^2) = \log_{0.5}(4)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{0.5} \frac{x}{3} \ge \log_{0.5}(4)$

3. Так как основание логарифма $0.5 < 1$, функция $y = \log_{0.5}(t)$ является убывающей. При переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$\frac{x}{3} \le 4$

$x \le 12$

4. Объединим решение с ОДЗ: $x > 0$ и $x \le 12$.

Пересечением этих условий является полуинтервал $(0; 12]$.

Ответ: $x \in (0; 12]$.

в) Решим неравенство $\log_{\frac{2}{3}} \frac{x}{5} > 1$.

1. Найдем ОДЗ:

$\frac{x}{5} > 0$

$x > 0$

2. Представим 1 в виде логарифма с основанием $\frac{2}{3}$:

$1 = \log_{\frac{2}{3}}(\frac{2}{3})$

Неравенство примет вид:

$\log_{\frac{2}{3}} \frac{x}{5} > \log_{\frac{2}{3}}(\frac{2}{3})$

3. Основание логарифма $\frac{2}{3} < 1$, поэтому функция является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x}{5} < \frac{2}{3}$

Умножим обе части на 15, чтобы избавиться от дробей:

$3x < 10$

$x < \frac{10}{3}$

4. Совместим полученное решение с ОДЗ: $x > 0$ и $x < \frac{10}{3}$.

Решением является интервал $(0; \frac{10}{3})$.

Ответ: $x \in (0; \frac{10}{3})$.

г) Решим неравенство $\log_{\sqrt{3}}(2x - 3) < 4$.

1. Найдем ОДЗ:

$2x - 3 > 0$

$2x > 3$

$x > \frac{3}{2}$

2. Представим 4 в виде логарифма с основанием $\sqrt{3}$:

$4 = 4 \cdot \log_{\sqrt{3}}(\sqrt{3}) = \log_{\sqrt{3}}((\sqrt{3})^4) = \log_{\sqrt{3}}((3^{1/2})^4) = \log_{\sqrt{3}}(3^2) = \log_{\sqrt{3}}(9)$

Неравенство примет вид:

$\log_{\sqrt{3}}(2x - 3) < \log_{\sqrt{3}}(9)$

3. Основание логарифма $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$2x - 3 < 9$

$2x < 12$

$x < 6$

4. Совместим решение с ОДЗ: $x > \frac{3}{2}$ и $x < 6$.

Решением является интервал $(\frac{3}{2}; 6)$.

Ответ: $x \in (\frac{3}{2}; 6)$.

18.3. a) $\log_3 x > \log_3 72 - \log_3 8;$

б) $3 \log_{\frac{1}{7}} x < \log_{\frac{1}{7}} 9 + \log_{\frac{1}{7}} 3;$

в) $\log_5 x - \log_5 35 \le \log_5 \frac{1}{7};$

г) $4 \log_{0,6} x \ge \log_{0,6} 8 + \log_{0,6} 2.$

а) $\log_{3}x > \log_{3}72 - \log_{3}8$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.
Используем свойство разности логарифмов $\log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\frac{b}{c}$:
$\log_{3}72 - \log_{3}8 = \log_{3}\frac{72}{8} = \log_{3}9$
Неравенство принимает вид:
$\log_{3}x > \log_{3}9$
Так как основание логарифма $3 > 1$, функция $y = \log_{3}t$ является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$x > 9$
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем, что $x > 9$.
Ответ: $x \in (9; +\infty)$

б) $3\log_{\frac{1}{7}}x < \log_{\frac{1}{7}}9 + \log_{\frac{1}{7}}3$
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем обе части неравенства, используя свойства логарифмов $n\log_{a}b = \log_{a}b^n$ и $\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)$:
Левая часть: $3\log_{\frac{1}{7}}x = \log_{\frac{1}{7}}x^3$
Правая часть: $\log_{\frac{1}{7}}9 + \log_{\frac{1}{7}}3 = \log_{\frac{1}{7}}(9 \cdot 3) = \log_{\frac{1}{7}}27$
Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{7}}x^3 < \log_{\frac{1}{7}}27$
Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{7} < 1$, функция $y = \log_{\frac{1}{7}}t$ является убывающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:
$x^3 > 27$
$x > \sqrt[3]{27}$
$x > 3$
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем, что $x > 3$.
Ответ: $x \in (3; +\infty)$

в) $\log_{5}x - \log_{5}35 \le \log_{5}\frac{1}{7}$
ОДЗ: $x > 0$.
Используем свойство разности логарифмов $\log_{a}b - \log_{a}c = \log_{a}\frac{b}{c}$:
$\log_{5}\frac{x}{35} \le \log_{5}\frac{1}{7}$
Так как основание логарифма $5 > 1$, функция $y = \log_{5}t$ является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:
$\frac{x}{35} \le \frac{1}{7}$
Умножим обе части на 35:
$x \le \frac{35}{7}$
$x \le 5$
Объединяя с ОДЗ ($x > 0$), получаем решение: $0 < x \le 5$.
Ответ: $x \in (0; 5]$

г) $4\log_{0,6}x \ge \log_{0,6}8 + \log_{0,6}2$
ОДЗ: $x > 0$.
Преобразуем обе части неравенства, используя свойства логарифмов $n\log_{a}b = \log_{a}b^n$ и $\log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(bc)$:
Левая часть: $4\log_{0,6}x = \log_{0,6}x^4$
Правая часть: $\log_{0,6}8 + \log_{0,6}2 = \log_{0,6}(8 \cdot 2) = \log_{0,6}16$
Неравенство принимает вид:
$\log_{0,6}x^4 \ge \log_{0,6}16$
Так как основание логарифма $0 < 0,6 < 1$, функция $y = \log_{0,6}t$ является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный:
$x^4 \le 16$
$x^4 - 16 \le 0$
$(x^2 - 4)(x^2 + 4) \le 0$
Поскольку $x^2+4$ всегда больше нуля, то неравенство сводится к:
$x^2 - 4 \le 0$
$x^2 \le 4$
$-2 \le x \le 2$
Учитывая ОДЗ ($x > 0$), получаем решение: $0 < x \le 2$.
Ответ: $x \in (0; 2]$