Страница 104, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Докажите тождество:

•16.64. a) $b^{\log_a c} = c^{\log_a b}$, если $a, b, c$ — положительные числа, отличные от 1;

б) $(m^k)^{\log_p q} = q^{\log_p m^k}$, если $m, p, q, k$ — положительные числа, отличные от 1.

а) Требуется доказать тождество $b^{\log_a c} = c^{\log_a b}$ при условии, что $a, b, c$ — положительные числа, отличные от 1.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства, используя свойства логарифмов и степеней.

1. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством $x = y^{\log_y x}$. Представим основание $b$ в виде степени с основанием $a$:

$b = a^{\log_a b}$

2. Подставим это выражение для $b$ в левую часть доказываемого тождества:

$b^{\log_a c} = (a^{\log_a b})^{\log_a c}$

3. Применим свойство степени «степень в степени» $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(a^{\log_a b})^{\log_a c} = a^{(\log_a b) \cdot (\log_a c)}$

4. Поскольку умножение коммутативно (от перемены мест множителей произведение не меняется), мы можем поменять сомножители в показателе степени местами:

$a^{(\log_a b) \cdot (\log_a c)} = a^{(\log_a c) \cdot (\log_a b)}$

5. Теперь применим свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$ в обратном порядке:

$a^{(\log_a c) \cdot (\log_a b)} = (a^{\log_a c})^{\log_a b}$

6. В выражении в скобках снова применим основное логарифмическое тождество $a^{\log_a c} = c$:

$(a^{\log_a c})^{\log_a b} = c^{\log_a b}$

Таким образом, мы преобразовали левую часть тождества $b^{\log_a c}$ и получили правую часть $c^{\log_a b}$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Требуется доказать тождество $(m^k)^{\log_p q} = q^{\log_p m^k}$ при условии, что $m, p, q, k$ — положительные числа, отличные от 1.

Для доказательства этого тождества мы можем прологарифмировать обе его части по основанию $p$. Эта операция является корректной, так как по условию обе части равенства являются положительными числами.

Пусть левая часть $L = (m^k)^{\log_p q}$, а правая часть $R = q^{\log_p m^k}$. Найдем $\log_p L$ и $\log_p R$.

1. Логарифмируем левую часть:

$\log_p L = \log_p((m^k)^{\log_p q})$

Используя свойство логарифма степени $\log_b(x^y) = y \cdot \log_b x$, вынесем показатель степени $\log_p q$ за знак логарифма:

$\log_p L = (\log_p q) \cdot \log_p(m^k)$

Теперь применим то же свойство к $\log_p(m^k)$, вынеся показатель $k$:

$\log_p L = (\log_p q) \cdot (k \cdot \log_p m) = k \cdot \log_p q \cdot \log_p m$

2. Логарифмируем правую часть:

$\log_p R = \log_p(q^{\log_p m^k})$

Используя свойство логарифма степени, вынесем показатель $\log_p m^k$ за знак логарифма:

$\log_p R = (\log_p m^k) \cdot \log_p q$

Применим свойство логарифма степени к $\log_p m^k$:

$\log_p R = (k \cdot \log_p m) \cdot \log_p q = k \cdot \log_p m \cdot \log_p q$

3. Сравним полученные выражения. Мы видим, что $\log_p L = \log_p R$.

$\log_p L = k \cdot \log_p q \cdot \log_p m$

$\log_p R = k \cdot \log_p m \cdot \log_p q$

Так как логарифмическая функция является монотонной, из равенства логарифмов двух положительных чисел следует равенство самих этих чисел. То есть, из $\log_p L = \log_p R$ следует, что $L=R$.

Следовательно, $(m^k)^{\log_p q} = q^{\log_p m^k}$, и тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

16.65. a) $\log_{bk} ak = \frac{\log_b a + \log_b k}{1 + \log_b k}$;

б) $\frac{1}{\log_a k} + \frac{1}{\log_{a^2} k} + \frac{1}{\log_{a^3} k} + \frac{1}{\log_{a^4} k} + \frac{1}{\log_{a^5} k} = 15 \log_k a$.

а) Докажем тождество: $ \log_{bk} ak = \frac{\log_b a + \log_b k}{1 + \log_b k} $

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $ \log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x} $. В качестве нового основания $ z $ выберем $ b $, так как в правой части равенства логарифмы имеют основание $ b $.

$ \log_{bk} ak = \frac{\log_b (ak)}{\log_b (bk)} $

Далее применим свойство логарифма произведения $ \log(xy) = \log x + \log y $ к числителю и знаменателю полученной дроби:

$ \frac{\log_b (ak)}{\log_b (bk)} = \frac{\log_b a + \log_b k}{\log_b b + \log_b k} $

Поскольку логарифм числа по тому же основанию равен единице, то есть $ \log_b b = 1 $, мы можем упростить знаменатель:

$ \frac{\log_b a + \log_b k}{1 + \log_b k} $

В результате преобразований мы получили выражение, полностью совпадающее с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

б) Докажем тождество: $ \frac{1}{\log_a k} + \frac{1}{\log_{a^2} k} + \frac{1}{\log_{a^3} k} + \frac{1}{\log_{a^4} k} + \frac{1}{\log_{a^5} k} = 15 \log_k a $

Преобразуем левую часть равенства. Для этого воспользуемся свойством логарифма $ \frac{1}{\log_x y} = \log_y x $ для каждого слагаемого в сумме. Это позволит нам привести все логарифмы к одному основанию $ k $.

$ \frac{1}{\log_a k} = \log_k a $

$ \frac{1}{\log_{a^2} k} = \log_k (a^2) $

$ \frac{1}{\log_{a^3} k} = \log_k (a^3) $

$ \frac{1}{\log_{a^4} k} = \log_k (a^4) $

$ \frac{1}{\log_{a^5} k} = \log_k (a^5) $

Подставив эти выражения в левую часть исходного равенства, получим сумму:

$ \log_k a + \log_k (a^2) + \log_k (a^3) + \log_k (a^4) + \log_k (a^5) $

Теперь применим свойство степени логарифма $ \log_x (y^n) = n \log_x y $ к каждому члену суммы:

$ \log_k a + 2\log_k a + 3\log_k a + 4\log_k a + 5\log_k a $

Вынесем общий множитель $ \log_k a $ за скобки:

$ (1 + 2 + 3 + 4 + 5) \log_k a $

Вычислим сумму чисел в скобках. Это сумма арифметической прогрессии:

$ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 $

Таким образом, левая часть равенства преобразуется к виду:

$ 15 \log_k a $

Полученное выражение совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

16.66. Найдите координаты центра симметрии графика функции $y = x + \lg \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 10x + 24}$.

Для того чтобы найти координаты центра симметрии $(a, b)$ графика функции $y = f(x)$, необходимо проверить выполнение условия: для любого $h$ из области определения функции, $\frac{f(a+h) + f(a-h)}{2} = b$. Это равносильно тому, что $f(a+h) + f(a-h) = 2b$ (сумма значений функции в точках, симметричных относительно $a$, постоянна и равна $2b$), а также область определения функции должна быть симметрична относительно точки $x=a$.

Данная функция: $y = x + \lg \frac{x^2 + 2x}{x^2 + 10x + 24}$.

1. Найдём область определения функции.

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{x^2 + 2x}{x^2 + 10x + 24} > 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$x^2 + 2x = x(x+2)$

$x^2 + 10x + 24 = (x+4)(x+6)$ (корни $x = -4$ и $x = -6$)

Неравенство принимает вид:

$\frac{x(x+2)}{(x+4)(x+6)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Нули и точки разрыва: $-6, -4, -2, 0$.

Они разбивают числовую прямую на интервалы: $(-\infty, -6)$, $(-6, -4)$, $(-4, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, +\infty)$.

Проверяя знак выражения на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -6) \cup (-4, -2) \cup (0, +\infty)$.

Итак, область определения функции $D(f) = (-\infty, -6) \cup (-4, -2) \cup (0, +\infty)$.

2. Найдём абсциссу центра симметрии $a$.

Область определения должна быть симметрична относительно $x=a$. Заметим, что интервалы $(-4, -2)$ и $(-\infty, -6) \cup (0, +\infty)$ симметричны относительно точки $x=-3$.

Например, середина интервала $(-4, -2)$ равна $\frac{-4-2}{2} = -3$.

Края "внешней" части области определения, $-6$ и $0$, также симметричны относительно $-3$: $\frac{-6+0}{2} = -3$.

Таким образом, можно предположить, что абсцисса центра симметрии $a = -3$.

3. Проверим условие симметрии и найдём ординату $b$.

Нам нужно проверить, что сумма $f(-3+h) + f(-3-h)$ является константой. Эта константа будет равна $2b$.

$f(x) = x + \lg g(x)$, где $g(x) = \frac{x^2+2x}{x^2+10x+24}$.

$f(-3+h) + f(-3-h) = (-3+h) + \lg g(-3+h) + (-3-h) + \lg g(-3-h)$

$f(-3+h) + f(-3-h) = -6 + \lg(g(-3+h) \cdot g(-3-h))$

Вычислим произведение $g(-3+h) \cdot g(-3-h)$:

$g(-3+h) = \frac{(-3+h)^2 + 2(-3+h)}{(-3+h)^2 + 10(-3+h) + 24} = \frac{(-3+h)(-3+h+2)}{(-3+h+4)(-3+h+6)} = \frac{(h-3)(h-1)}{(h+1)(h+3)}$

$g(-3-h) = \frac{(-3-h)^2 + 2(-3-h)}{(-3-h)^2 + 10(-3-h) + 24} = \frac{(-3-h)(-3-h+2)}{(-3-h+4)(-3-h+6)} = \frac{(-(h+3))(-(h+1))}{(-(h-1))(-(h-3))} = \frac{(h+3)(h+1)}{(h-1)(h-3)}$

Теперь перемножим эти два выражения:

$g(-3+h) \cdot g(-3-h) = \frac{(h-3)(h-1)}{(h+1)(h+3)} \cdot \frac{(h+3)(h+1)}{(h-1)(h-3)} = 1$

Подставим это значение обратно в сумму:

$f(-3+h) + f(-3-h) = -6 + \lg(1) = -6 + 0 = -6$

Мы получили, что $f(a+h) + f(a-h) = 2b = -6$, откуда находим $b$:

$b = \frac{-6}{2} = -3$.

Таким образом, координаты центра симметрии графика функции равны $(-3, -3)$.

Ответ: $(-3, -3)$.

16.67. Расположите комплексные числа в порядке возрастанияих аргументов:

$z_1 = \log_2 0,7 + i \log_{0,5} 7$, $z_2 = \ln 10 + i \lg e$,

$z_3 = \ln \pi + i \ln (\pi - 3)$, $z_4 = \log_3 0,3 + i \log_{0,3} 0,9$.

(Указание. $-\pi < \arg z \le \pi$.)

Для того чтобы расположить комплексные числа в порядке возрастания их аргументов, необходимо определить, в какой четверти комплексной плоскости находится каждое число. Аргумент $\phi$ комплексного числа $z = x + iy$ определяется положением точки $(x, y)$ и, согласно указанию, находится в пределах $(-\pi, \pi]$. В зависимости от знаков действительной ($x$) и мнимой ($y$) частей, точка $(x,y)$ попадает в одну из четырех четвертей:

• Если $x > 0$ и $y > 0$ (I четверть), то $0 < \arg z < \pi/2$.
• Если $x < 0$ и $y > 0$ (II четверть), то $\pi/2 < \arg z < \pi$.
• Если $x < 0$ и $y < 0$ (III четверть), то $-\pi < \arg z < -\pi/2$.
• Если $x > 0$ и $y < 0$ (IV четверть), то $-\pi/2 < \arg z < 0$.

Проанализируем каждое комплексное число.

$z_1 = \log_2{0.7} + i \log_{0.5}{7}$

Определим знаки действительной части $x_1 = \log_2{0.7}$ и мнимой части $y_1 = \log_{0.5}{7}$.
Действительная часть: так как основание логарифма $2 > 1$, а число под логарифмом $0.7 < 1$, то $x_1 = \log_2{0.7} < 0$.
Мнимая часть: так как основание логарифма $0.5 < 1$, а число под логарифмом $7 > 1$, то $y_1 = \log_{0.5}{7} < 0$.
Поскольку $x_1 < 0$ и $y_1 < 0$, число $z_1$ находится в третьей четверти. Следовательно, его аргумент $\arg z_1 \in (-\pi, -\pi/2)$.

$z_2 = \ln{10} + i \lg{e}$

Определим знаки действительной части $x_2 = \ln{10}$ и мнимой части $y_2 = \lg{e}$.
Действительная часть: так как основание натурального логарифма $e > 1$ и число $10 > 1$, то $x_2 = \ln{10} > 0$.
Мнимая часть: так как основание десятичного логарифма $10 > 1$ и число $e > 1$, то $y_2 = \lg{e} > 0$.
Поскольку $x_2 > 0$ и $y_2 > 0$, число $z_2$ находится в первой четверти. Следовательно, его аргумент $\arg z_2 \in (0, \pi/2)$.

$z_3 = \ln{\pi} + i \ln{(\pi - 3)}$

Определим знаки действительной части $x_3 = \ln{\pi}$ и мнимой части $y_3 = \ln{(\pi - 3)}$. Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.
Действительная часть: так как основание $e > 1$ и число $\pi > 1$, то $x_3 > 0$.
Мнимая часть: так как $0 < \pi - 3 < 1$, а основание $e > 1$, то $y_3 < 0$.
Поскольку $x_3 > 0$ и $y_3 < 0$, число $z_3$ находится в четвертой четверти. Следовательно, его аргумент $\arg z_3 \in (-\pi/2, 0)$.

$z_4 = \log_3{0.3} + i \log_{0.3}{0.9}$

Определим знаки действительной части $x_4 = \log_3{0.3}$ и мнимой части $y_4 = \log_{0.3}{0.9}$.
Действительная часть: так как основание $3 > 1$, а число $0.3 < 1$, то $x_4 < 0$.
Мнимая часть: так как основание $0.3 < 1$ и число $0.9$ удовлетворяет условию $0.3 < 0.9 < 1$, то $y_4 > 0$. Это следует из того, что функция $f(t)=(0.3)^t$ является убывающей, при этом $(0.3)^1=0.3$ и $(0.3)^0=1$. Так как $0.3 < 0.9 < 1$, то и $0 < y_4 < 1$.
Поскольку $x_4 < 0$ и $y_4 > 0$, число $z_4$ находится во второй четверти. Следовательно, его аргумент $\arg z_4 \in (\pi/2, \pi)$.

Сравнивая полученные интервалы для аргументов:

• $\arg z_1 \in (-\pi, -\pi/2)$
• $\arg z_3 \in (-\pi/2, 0)$
• $\arg z_2 \in (0, \pi/2)$
• $\arg z_4 \in (\pi/2, \pi)$

получаем следующее неравенство для их аргументов: $\arg z_1 < \arg z_3 < \arg z_2 < \arg z_4$.
Таким образом, комплексные числа в порядке возрастания их аргументов располагаются следующим образом: $z_1, z_3, z_2, z_4$.

Ответ: $z_1, z_3, z_2, z_4$.

Решите уравнение:

17.1. a) $\log_2 x = 3;$

б) $\log_7 x = -1;$

в) $\log_{0.3} x = 2;$

г) $\log_{16} x = \frac{1}{2}.$

а)

Дано логарифмическое уравнение $\log_2 x = 3$.

Для решения воспользуемся определением логарифма: $\log_a b = c$ равносильно $b = a^c$, где основание $a > 0$ и $a \neq 1$, а аргумент $b > 0$.

В данном уравнении основание $a=2$, значение логарифма $c=3$. Тогда аргумент $x$ можно найти, возведя основание в степень, равную значению логарифма:

$x = 2^3$

Вычислим значение степени:

$x = 8$

Аргумент логарифма должен быть положительным, $x = 8 > 0$, что удовлетворяет области определения логарифмической функции.

Ответ: $8$.

б)

Дано логарифмическое уравнение $\log_7 x = -1$.

Применяя определение логарифма ($\log_a b = c \Leftrightarrow b = a^c$), находим $x$:

$x = 7^{-1}$

По свойству степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$x = \frac{1}{7}$

Проверяем, что аргумент $x$ положителен: $\frac{1}{7} > 0$. Условие выполнено.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

в)

Дано логарифмическое уравнение $\log_{0.3} x = 2$.

Согласно определению логарифма, мы можем записать:

$x = (0.3)^2$

Вычислим значение:

$x = 0.3 \cdot 0.3 = 0.09$

Проверяем, что аргумент $x$ положителен: $0.09 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: $0.09$.

г)

Дано логарифмическое уравнение $\log_{16} x = \frac{1}{2}$.

Используя определение логарифма, получаем:

$x = 16^{\frac{1}{2}}$

Степень с дробным показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня:

$x = \sqrt{16}$

Вычисляем значение корня:

$x = 4$

Проверяем, что аргумент $x$ положителен: $4 > 0$. Условие выполнено.

Ответ: $4$.

17.2. a) $\log_x 16 = 2$;

б) $\log_x \frac{1}{8} = -3$;

в) $\log_x \sqrt{3} = -1$;

г) $\log_x 9 = \frac{1}{2}$.

а) $\log_x 16 = 2$

По определению логарифма, данное уравнение равносильно показательному уравнению $x^2 = 16$. При этом на основание логарифма $x$ накладываются ограничения: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Решая уравнение $x^2 = 16$, получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Условию $x > 0$ удовлетворяет только корень $x = 4$. Он также удовлетворяет условию $x \neq 1$.

Ответ: $4$

б) $\log_x \frac{1}{8} = -3$

Согласно определению логарифма, это уравнение эквивалентно уравнению $x^{-3} = \frac{1}{8}$. Условия для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, перепишем уравнение: $\frac{1}{x^3} = \frac{1}{8}$.

Отсюда следует, что $x^3 = 8$.

Извлекая кубический корень из обеих частей, получаем $x = \sqrt[3]{8} = 2$. Это значение удовлетворяет условиям для основания логарифма.

Ответ: $2$

в) $\log_x \sqrt{3} = -1$

По определению логарифма, данное уравнение равносильно $x^{-1} = \sqrt{3}$. Условия для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Перепишем уравнение, используя свойство степени $x^{-1} = \frac{1}{x}$. Получаем $\frac{1}{x} = \sqrt{3}$.

Выразим $x$: $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$: $x = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Это значение положительно и не равно единице, следовательно, удовлетворяет условиям.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

г) $\log_x 9 = \frac{1}{2}$

По определению логарифма, данное уравнение можно переписать в виде $x^{\frac{1}{2}} = 9$. Условия для основания логарифма $x$: $x > 0$ и $x \neq 1$.

Уравнение $x^{\frac{1}{2}} = 9$ эквивалентно $\sqrt{x} = 9$.

Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 9^2$.

Получаем $x = 81$. Это значение удовлетворяет условиям для основания логарифма.

Ответ: $81$

17.3. a) $\log_{\sqrt{2}}(2x+1)=6$;

б) $\log_{\sqrt{3}+1}(3x+2\sqrt{3})=2$;

В) $\log_{2\sqrt{2}}16x=4$;

Г) $\log_{\sqrt{5}-1}(3x-2\sqrt{5})=2$.

а) $log_{\sqrt{2}}(2x + 1) = 6$

Для решения логарифмического уравнения воспользуемся его определением: $log_b(a) = c$ эквивалентно $a = b^c$. Также необходимо учесть Область допустимых значений (ОДЗ): выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным.

ОДЗ: $2x + 1 > 0 \implies 2x > -1 \implies x > -0.5$.

Согласно определению логарифма, преобразуем исходное уравнение: $2x + 1 = (\sqrt{2})^6$

Вычислим значение в правой части уравнения: $(\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6 = 2^{(1/2) \cdot 6} = 2^3 = 8$.

Теперь уравнение принимает вид: $2x + 1 = 8$

Решаем полученное линейное уравнение: $2x = 8 - 1$ $2x = 7$ $x = \frac{7}{2} = 3.5$

Проверяем, удовлетворяет ли найденный корень $x=3.5$ условию ОДЗ ($x > -0.5$). $3.5 > -0.5$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $3.5$

б) $log_{\sqrt{3}+1}(3x + 2\sqrt{3}) = 2$

ОДЗ: $3x + 2\sqrt{3} > 0$.

По определению логарифма: $3x + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)^2$

Раскроем квадрат суммы в правой части по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$.

Подставляем результат в уравнение: $3x + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}$

Вычтем $2\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения: $3x = 4$

Отсюда находим x: $x = \frac{4}{3}$

Проверка ОДЗ: подставим $x = 4/3$ в неравенство $3x + 2\sqrt{3} > 0$. $3 \cdot (\frac{4}{3}) + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}$. Так как $4 > 0$ и $2\sqrt{3} > 0$, их сумма также больше нуля. Условие ОДЗ выполняется.

Ответ: $\frac{4}{3}$

в) $log_{2\sqrt{2}}16x = 4$

ОДЗ: $16x > 0 \implies x > 0$.

По определению логарифма: $16x = (2\sqrt{2})^4$

Упростим основание степени: $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{1+1/2} = 2^{3/2}$.

Теперь вычислим правую часть: $(2\sqrt{2})^4 = (2^{3/2})^4 = 2^{(3/2) \cdot 4} = 2^6 = 64$.

Уравнение принимает вид: $16x = 64$

Решаем его: $x = \frac{64}{16} = 4$

Проверяем ОДЗ: $4 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $4$

г) $log_{\sqrt{5}-1}(3x - 2\sqrt{5}) = 2$

ОДЗ: $3x - 2\sqrt{5} > 0$.

По определению логарифма: $3x - 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} - 1)^2$

Раскроем квадрат разности в правой части по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(\sqrt{5} - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$.

Подставляем результат в уравнение: $3x - 2\sqrt{5} = 6 - 2\sqrt{5}$

Прибавим $2\sqrt{5}$ к обеим частям уравнения: $3x = 6$

Отсюда находим x: $x = \frac{6}{3} = 2$

Проверка ОДЗ: подставим $x=2$ в неравенство $3x - 2\sqrt{5} > 0$. $3 \cdot 2 - 2\sqrt{5} = 6 - 2\sqrt{5}$. Чтобы проверить, является ли это выражение положительным, сравним $6$ и $2\sqrt{5}$. Поскольку обе части положительны, можно сравнить их квадраты: $6^2 = 36$ и $(2\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$. Так как $36 > 20$, то $6 > 2\sqrt{5}$, и, следовательно, $6 - 2\sqrt{5} > 0$. Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $2$

17.4. a) $log_{cosx} \frac{\sqrt{3}}{2} = 1;$

б) $log_{cosx} \frac{1}{2} = 2;$

в) $log_{sinx} \frac{1}{2} = 1;$

г) $log_{sinx} \frac{3}{4} = 2.$

а) Исходное уравнение: $ \log_{\cos x} \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 $.
По определению логарифма, $ \log_a b = c $ эквивалентно $ a^c = b $. Применим это к нашему уравнению:$ (\cos x)^1 = \frac{\sqrt{3}}{2} $, что упрощается до $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.
Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: основание должно быть положительным и не равным единице.1. Основание $ \cos x > 0 $.2. Основание $ \cos x \ne 1 $.
Значение $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $ удовлетворяет обоим условиям, так как $ 0 < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1 $.
Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} $.Корни этого уравнения: $ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\pi k $, где $ k \in Z $.Так как $ \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, получаем:$ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z $.
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in Z $.

б) Исходное уравнение: $ \log_{\cos x} \frac{1}{2} = 2 $.
По определению логарифма:$ (\cos x)^2 = \frac{1}{2} $, или $ \cos^2 x = \frac{1}{2} $.
ОДЗ: $ \cos x > 0 $ и $ \cos x \ne 1 $.
Из уравнения $ \cos^2 x = \frac{1}{2} $ следует, что $ \cos x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} $.Согласно ОДЗ, основание логарифма $ \cos x $ должно быть положительным, поэтому мы отбрасываем решение $ \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.Остается решить уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это значение удовлетворяет условиям $ \cos x > 0 $ и $ \cos x \ne 1 $.
Корни этого уравнения: $ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi k $, где $ k \in Z $.Так как $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $, получаем:$ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z $.
Ответ: $ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in Z $.

в) Исходное уравнение: $ \log_{\sin x} \frac{1}{2} = 1 $.
По определению логарифма:$ (\sin x)^1 = \frac{1}{2} $, что упрощается до $ \sin x = \frac{1}{2} $.
ОДЗ: основание $ \sin x > 0 $ и $ \sin x \ne 1 $.
Значение $ \sin x = \frac{1}{2} $ удовлетворяет обоим условиям, так как $ 0 < \frac{1}{2} < 1 $.
Теперь решим простейшее тригонометрическое уравнение $ \sin x = \frac{1}{2} $.Общая формула для корней этого уравнения: $ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k $, где $ k \in Z $.Так как $ \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $, получаем:$ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z $.
Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in Z $.

г) Исходное уравнение: $ \log_{\sin x} \frac{3}{4} = 2 $.
По определению логарифма:$ (\sin x)^2 = \frac{3}{4} $, или $ \sin^2 x = \frac{3}{4} $.
ОДЗ: $ \sin x > 0 $ и $ \sin x \ne 1 $.
Из уравнения $ \sin^2 x = \frac{3}{4} $ следует, что $ \sin x = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $.Согласно ОДЗ, основание логарифма $ \sin x $ должно быть положительным, поэтому мы отбрасываем решение $ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.Остается решить уравнение $ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Это значение удовлетворяет условиям $ \sin x > 0 $ и $ \sin x \ne 1 $.
Общая формула для корней этого уравнения: $ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k $, где $ k \in Z $.Так как $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $, получаем:$ x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z $.
Ответ: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z $.