Страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

16.25. Известно, что $\log_5 3 = m$ и $\log_5 2 = n$. Выразите через $m$ и $n$:

a) $\log_5 6$;

б) $\log_5 18$;

в) $\log_5 24$;

г) $\log_5 72$.

Для решения этой задачи мы будем использовать основные свойства логарифмов. Нам даны $ \log_{5}3 = m $ и $ \log_{5}2 = n $. Ключевые свойства, которые нам понадобятся:
1. Логарифм произведения: $ \log_{a}(xy) = \log_{a}x + \log_{a}y $
2. Логарифм степени: $ \log_{a}(x^k) = k \cdot \log_{a}x $
Наша цель - разложить числа под логарифмами на множители 2 и 3, а затем применить эти свойства.

а) Выразим $ \log_{5}6 $.
Сначала разложим число 6 на простые множители: $ 6 = 2 \cdot 3 $.
Теперь применим свойство логарифма произведения:
$ \log_{5}6 = \log_{5}(2 \cdot 3) = \log_{5}2 + \log_{5}3 $
Подставим данные значения $ m $ и $ n $:
$ \log_{5}2 + \log_{5}3 = n + m $
Ответ: $ m + n $

б) Выразим $ \log_{5}18 $.
Разложим число 18 на простые множители: $ 18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2 $.
Применим свойства логарифма произведения и степени:
$ \log_{5}18 = \log_{5}(2 \cdot 3^2) = \log_{5}2 + \log_{5}(3^2) = \log_{5}2 + 2\log_{5}3 $
Подставим данные значения $ m $ и $ n $:
$ \log_{5}2 + 2\log_{5}3 = n + 2m $
Ответ: $ 2m + n $

в) Выразим $ \log_{5}24 $.
Разложим число 24 на простые множители: $ 24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 $.
Применим свойства логарифма произведения и степени:
$ \log_{5}24 = \log_{5}(2^3 \cdot 3) = \log_{5}(2^3) + \log_{5}3 = 3\log_{5}2 + \log_{5}3 $
Подставим данные значения $ m $ и $ n $:
$ 3\log_{5}2 + \log_{5}3 = 3n + m $
Ответ: $ m + 3n $

г) Выразим $ \log_{5}72 $.
Разложим число 72 на простые множители: $ 72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2 $.
Применим свойства логарифма произведения и степени:
$ \log_{5}72 = \log_{5}(2^3 \cdot 3^2) = \log_{5}(2^3) + \log_{5}(3^2) = 3\log_{5}2 + 2\log_{5}3 $
Подставим данные значения $ m $ и $ n $:
$ 3\log_{5}2 + 2\log_{5}3 = 3n + 2m $
Ответ: $ 2m + 3n $

16.26. Известно, что $\log_{\frac{1}{2}} 7 = c$ и $\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$. Выразите через $c$ и $a$:

а) $\log_{\frac{1}{2}} 21$;

б) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42}$;

в) $\log_{\frac{1}{2}} 147$;

г) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}}$.

а) Чтобы выразить $\log_{\frac{1}{2}} 21$, представим число 21 как произведение $3 \times 7$. Затем воспользуемся свойством логарифма произведения: $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$.
$\log_{\frac{1}{2}} 21 = \log_{\frac{1}{2}} (3 \times 7) = \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7$
Согласно условию, $\log_{\frac{1}{2}} 3 = a$ и $\log_{\frac{1}{2}} 7 = c$. Подставляем эти значения в выражение:
$a + c$
Ответ: $a+c$

б) Для выражения $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42}$ воспользуемся свойством логарифма частного: $\log_b(\frac{x}{y}) = \log_b x - \log_b y$.
$\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{42} = \log_{\frac{1}{2}} 1 - \log_{\frac{1}{2}} 42$
Зная, что логарифм единицы по любому основанию равен нулю ($\log_b 1 = 0$), получаем:
$0 - \log_{\frac{1}{2}} 42 = - \log_{\frac{1}{2}} 42$
Разложим число 42 на простые множители: $42 = 2 \times 3 \times 7$.
$- \log_{\frac{1}{2}} 42 = -(\log_{\frac{1}{2}} (2 \times 3 \times 7)) = -(\log_{\frac{1}{2}} 2 + \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7)$
Нам понадобится значение $\log_{\frac{1}{2}} 2$. Вычислим его: $\log_{\frac{1}{2}} 2 = \log_{2^{-1}} 2^1 = -1 \cdot \log_2 2 = -1$.
Теперь подставим все известные значения в выражение:
$-(-1 + a + c) = 1 - a - c$
Ответ: $1-a-c$

в) Чтобы выразить $\log_{\frac{1}{2}} 147$, разложим 147 на простые множители: $147 = 3 \times 49 = 3 \times 7^2$.
Применим свойства логарифма произведения и степени:
$\log_{\frac{1}{2}} 147 = \log_{\frac{1}{2}} (3 \times 7^2) = \log_{\frac{1}{2}} 3 + \log_{\frac{1}{2}} 7^2$
Используя свойство логарифма степени $\log_b(x^k) = k \log_b x$, получаем:
$\log_{\frac{1}{2}} 3 + 2\log_{\frac{1}{2}} 7$
Подставляем известные значения $a$ и $c$:
$a + 2c$
Ответ: $a+2c$

г) Для выражения $\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}}$ используем свойство логарифма частного:
$\log_{\frac{1}{2}} \frac{49}{\sqrt{3}} = \log_{\frac{1}{2}} 49 - \log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3}$
Теперь преобразуем каждое слагаемое, используя свойство логарифма степени ($\log_b(x^k) = k \log_b x$):
$\log_{\frac{1}{2}} 49 = \log_{\frac{1}{2}} 7^2 = 2\log_{\frac{1}{2}} 7 = 2c$
$\log_{\frac{1}{2}} \sqrt{3} = \log_{\frac{1}{2}} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\log_{\frac{1}{2}} 3 = \frac{1}{2}a$
Теперь вычтем второе из первого:
$2c - \frac{1}{2}a$
Ответ: $2c - \frac{1}{2}a$

Найдите число x по данному его логарифму:

16.27. а) $\log_2 x = \log_2 72 - \log_2 9;$

б) $\log_{\sqrt{7}} x = 2 \log_{\sqrt{7}} 4 - \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5;$

в) $\lg x = \lg \frac{1}{8} + \lg \frac{1}{125};$

г) $\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 - 2 \log_{\frac{1}{3}} 7.$

а) $\log_2 x = \log_2 72 - \log_2 9$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_b M - \log_b N = \log_b(M/N)$.

Применим это свойство к правой части уравнения:

$\log_2 72 - \log_2 9 = \log_2 \frac{72}{9} = \log_2 8$.

Теперь уравнение имеет вид:

$\log_2 x = \log_2 8$.

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы (числа под знаком логарифма):

$x = 8$.

Ответ: 8.

б) $\log_{\sqrt{7}} x = 2 \log_{\sqrt{7}} 4 - \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5$

Для решения этого уравнения используем следующие свойства логарифмов:

1. Свойство степени логарифма: $k \log_b M = \log_b(M^k)$.

2. Свойство разности логарифмов: $\log_b M - \log_b N = \log_b(M/N)$.

3. Свойство суммы логарифмов: $\log_b M + \log_b N = \log_b(MN)$.

Преобразуем правую часть уравнения. Сначала применим свойство степени:

$2 \log_{\sqrt{7}} 4 = \log_{\sqrt{7}}(4^2) = \log_{\sqrt{7}} 16$.

Теперь уравнение выглядит так:

$\log_{\sqrt{7}} x = \log_{\sqrt{7}} 16 - \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5$.

Объединим логарифмы в правой части, используя свойства суммы и разности:

$\log_{\sqrt{7}} 16 - \log_{\sqrt{7}} 2 + \log_{\sqrt{7}} 5 = \log_{\sqrt{7}}\left(\frac{16 \cdot 5}{2}\right) = \log_{\sqrt{7}}\left(\frac{80}{2}\right) = \log_{\sqrt{7}} 40$.

Получаем уравнение:

$\log_{\sqrt{7}} x = \log_{\sqrt{7}} 40$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = 40$.

Ответ: 40.

в) $\lg x = \lg \frac{1}{8} + \lg \frac{1}{125}$

Здесь используется десятичный логарифм ($\lg x = \log_{10} x$). Для решения воспользуемся свойством суммы логарифмов с одинаковым основанием: $\log_b M + \log_b N = \log_b(MN)$.

Применим это свойство к правой части уравнения:

$\lg \frac{1}{8} + \lg \frac{1}{125} = \lg \left(\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{125}\right) = \lg \frac{1}{1000}$.

Теперь уравнение имеет вид:

$\lg x = \lg \frac{1}{1000}$.

Поскольку основания логарифмов равны (оба равны 10), приравниваем их аргументы:

$x = \frac{1}{1000}$.

Ответ: $\frac{1}{1000}$.

г) $\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 - 2 \log_{\frac{1}{3}} 7$

Для решения этого уравнения используем свойства логарифмов, аналогичные пункту б).

Преобразуем правую часть уравнения. Сначала применим свойство степени логарифма $k \log_b M = \log_b(M^k)$ к последнему слагаемому:

$2 \log_{\frac{1}{3}} 7 = \log_{\frac{1}{3}}(7^2) = \log_{\frac{1}{3}} 49$.

Теперь уравнение выглядит так:

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{7}{9} + \log_{\frac{1}{3}} 21 - \log_{\frac{1}{3}} 49$.

Объединим логарифмы в правой части, используя свойства суммы и разности логарифмов $\log_b A + \log_b B - \log_b C = \log_b\left(\frac{A \cdot B}{C}\right)$:

$\log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{\frac{7}{9} \cdot 21}{49}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{7 \cdot 21}{9 \cdot 49}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{7 \cdot 3 \cdot 7}{3^2 \cdot 7^2}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{3 \cdot 7^2}{9 \cdot 7^2}\right) = \log_{\frac{1}{3}} \frac{3}{9} = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.

Получаем уравнение:

$\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$.

Приравниваем аргументы логарифмов:

$x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

16.28. a) $ \lg x = \lg 7 - \lg 3 + \lg 8; $

б) $ \lg x = 2 \lg 3 + \lg 6 - \frac{1}{2} \lg 9; $

в) $ \lg x = \frac{1}{2} \lg 3 + \frac{2}{3} \lg 5 - \frac{1}{3} \lg 4; $

г) $ \lg x = -\frac{1}{2} \lg 5 + \lg \sqrt{5} + \frac{1}{4} \lg 25. $

а) $\lg x = \lg 7 - \lg 3 + \lg 8$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойствами логарифмов: свойством разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg \frac{a}{b}$ и свойством суммы логарифмов $\lg a + \lg b = \lg(a \cdot b)$.

Применим эти свойства к правой части уравнения, выполняя действия по порядку:

$\lg 7 - \lg 3 + \lg 8 = \lg \frac{7}{3} + \lg 8 = \lg \left( \frac{7}{3} \cdot 8 \right) = \lg \frac{56}{3}$

Теперь уравнение имеет вид:

$\lg x = \lg \frac{56}{3}$

Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны (десятичный логарифм, основание 10), то и их аргументы должны быть равны:

$x = \frac{56}{3}$

Ответ: $x = \frac{56}{3}$.

б) $\lg x = 2 \lg 3 + \lg 6 - \frac{1}{2} \lg 9$

Воспользуемся свойством степени логарифма: $c \cdot \lg a = \lg a^c$. Преобразуем каждое слагаемое в правой части:

$2 \lg 3 = \lg 3^2 = \lg 9$

$\frac{1}{2} \lg 9 = \lg 9^{1/2} = \lg \sqrt{9} = \lg 3$

Подставим преобразованные выражения обратно в уравнение:

$\lg x = \lg 9 + \lg 6 - \lg 3$

Теперь используем свойства суммы и разности логарифмов:

$\lg x = \lg(9 \cdot 6) - \lg 3 = \lg 54 - \lg 3 = \lg \frac{54}{3} = \lg 18$

Получаем уравнение:

$\lg x = \lg 18$

Отсюда следует, что:

$x = 18$

Ответ: $x = 18$.

в) $\lg x = \frac{1}{2} \lg 3 + \frac{2}{3} \lg 5 - \frac{1}{3} \lg 4$

Применим свойство степени логарифма $c \cdot \lg a = \lg a^c$ к каждому члену в правой части уравнения:

$\frac{1}{2} \lg 3 = \lg 3^{1/2} = \lg \sqrt{3}$

$\frac{2}{3} \lg 5 = \lg 5^{2/3} = \lg \sqrt[3]{5^2} = \lg \sqrt[3]{25}$

$\frac{1}{3} \lg 4 = \lg 4^{1/3} = \lg \sqrt[3]{4}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\lg x = \lg \sqrt{3} + \lg \sqrt[3]{25} - \lg \sqrt[3]{4}$

Используя свойства суммы и разности логарифмов, объединим правую часть в один логарифм:

$\lg x = \lg (\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{25}) - \lg \sqrt[3]{4} = \lg \left( \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{4}} \right) = \lg \left( \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{25}{4}} \right)$

Из равенства логарифмов следует равенство их аргументов:

$x = \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{25}{4}}$

Ответ: $x = \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{25}{4}}$.

г) $\lg x = -\frac{1}{2} \lg 5 + \lg \sqrt{5} + \frac{1}{4} \lg 25$

Сначала преобразуем все члены в правой части, приведя их к логарифмам от числа 5.

$\lg \sqrt{5} = \lg 5^{1/2} = \frac{1}{2} \lg 5$

$\lg 25 = \lg 5^2 = 2 \lg 5$

Подставим эти выражения в правую часть уравнения:

$\lg x = -\frac{1}{2} \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 5 + \frac{1}{4} (2 \lg 5)$

Упростим полученное выражение:

$\lg x = \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) \lg 5 + \frac{2}{4} \lg 5$

$\lg x = 0 \cdot \lg 5 + \frac{1}{2} \lg 5$

$\lg x = \frac{1}{2} \lg 5$

Теперь применим свойство степени логарифма:

$\lg x = \lg 5^{1/2} = \lg \sqrt{5}$

Следовательно:

$x = \sqrt{5}$

Ответ: $x = \sqrt{5}$.

16.29. a) $\log_{0,3} x = \log_{0,3} a - 2 \log_{0,3} b;$

б) $\log_5 x = \log_5 c - 2 \log_5 b + \log_5 a;$

в) $\log_{2,3} x = 4 \log_{2,3} c - 3 \log_{2,3} b;$

г) $\log_{\frac{1}{7}} x = 3 \log_{\frac{1}{7}} a - 4 \log_{\frac{1}{7}} c + \log_{\frac{1}{7}} b.$

а) Исходное уравнение: $\log_{0,3} x = \log_{0,3} a - 2 \log_{0,3} b$.
Для решения воспользуемся свойствами логарифмов. Цель — представить правую часть уравнения в виде одного логарифма с тем же основанием 0,3.
1. Применим свойство степени логарифма $n \cdot \log_k m = \log_k (m^n)$ ко второму члену в правой части уравнения:
$2 \log_{0,3} b = \log_{0,3} (b^2)$.
2. Теперь уравнение выглядит так:
$\log_{0,3} x = \log_{0,3} a - \log_{0,3} (b^2)$.
3. Далее применим свойство разности логарифмов $\log_k m - \log_k n = \log_k (m/n)$:
$\log_{0,3} a - \log_{0,3} (b^2) = \log_{0,3} \left(\frac{a}{b^2}\right)$.
4. Таким образом, мы получаем уравнение:
$\log_{0,3} x = \log_{0,3} \left(\frac{a}{b^2}\right)$.
5. Так как основания логарифмов в обеих частях уравнения равны, то и их аргументы (подкоренные выражения) должны быть равны:
$x = \frac{a}{b^2}$.
Ответ: $x = \frac{a}{b^2}$.

б) Исходное уравнение: $\log_5 x = \log_5 c - 2 \log_5 b + \log_5 a$.
Преобразуем правую часть уравнения, используя свойства логарифмов, чтобы получить один логарифм по основанию 5.
1. Применим свойство степени логарифма $n \cdot \log_k m = \log_k (m^n)$:
$2 \log_5 b = \log_5 (b^2)$.
2. Уравнение принимает вид:
$\log_5 x = \log_5 c - \log_5 (b^2) + \log_5 a$.
3. Сгруппируем слагаемые. Используем свойство суммы логарифмов $\log_k m + \log_k n = \log_k (m \cdot n)$ и разности логарифмов $\log_k m - \log_k n = \log_k (m/n)$:
$\log_5 x = (\log_5 c + \log_5 a) - \log_5 (b^2) = \log_5 (c \cdot a) - \log_5 (b^2) = \log_5 \left(\frac{ac}{b^2}\right)$.
4. Получаем уравнение:
$\log_5 x = \log_5 \left(\frac{ac}{b^2}\right)$.
5. Приравниваем аргументы логарифмов:
$x = \frac{ac}{b^2}$.
Ответ: $x = \frac{ac}{b^2}$.

в) Исходное уравнение: $\log_{2,3} x = 4 \log_{2,3} c - 3 \log_{2,3} b$.
Преобразуем правую часть в один логарифм с основанием 2,3.
1. Используем свойство степени логарифма $n \cdot \log_k m = \log_k (m^n)$ для обоих членов в правой части:
$4 \log_{2,3} c = \log_{2,3} (c^4)$.
$3 \log_{2,3} b = \log_{2,3} (b^3)$.
2. Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$\log_{2,3} x = \log_{2,3} (c^4) - \log_{2,3} (b^3)$.
3. Теперь применим свойство разности логарифмов $\log_k m - \log_k n = \log_k (m/n)$:
$\log_{2,3} (c^4) - \log_{2,3} (b^3) = \log_{2,3} \left(\frac{c^4}{b^3}\right)$.
4. Получаем уравнение:
$\log_{2,3} x = \log_{2,3} \left(\frac{c^4}{b^3}\right)$.
5. Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:
$x = \frac{c^4}{b^3}$.
Ответ: $x = \frac{c^4}{b^3}$.

г) Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{7}} x = 3 \log_{\frac{1}{7}} a - 4 \log_{\frac{1}{7}} c + \log_{\frac{1}{7}} b$.
Преобразуем правую часть уравнения в один логарифм по основанию $\frac{1}{7}$.
1. Применим свойство степени логарифма $n \cdot \log_k m = \log_k (m^n)$:
$3 \log_{\frac{1}{7}} a = \log_{\frac{1}{7}} (a^3)$.
$4 \log_{\frac{1}{7}} c = \log_{\frac{1}{7}} (c^4)$.
2. Уравнение принимает вид:
$\log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} (a^3) - \log_{\frac{1}{7}} (c^4) + \log_{\frac{1}{7}} b$.
3. Сгруппируем члены и применим свойства суммы и разности логарифмов:
$\log_{\frac{1}{7}} x = (\log_{\frac{1}{7}} (a^3) + \log_{\frac{1}{7}} b) - \log_{\frac{1}{7}} (c^4) = \log_{\frac{1}{7}} (a^3 b) - \log_{\frac{1}{7}} (c^4) = \log_{\frac{1}{7}} \left(\frac{a^3 b}{c^4}\right)$.
4. Получаем итоговое уравнение:
$\log_{\frac{1}{7}} x = \log_{\frac{1}{7}} \left(\frac{a^3 b}{c^4}\right)$.
5. Приравниваем аргументы логарифмов:
$x = \frac{a^3 b}{c^4}$.
Ответ: $x = \frac{a^3 b}{c^4}$.

16.30. Выразите $\log_n x$ через логарифмы по основанию $n$ чисел $a, b, c$, если известно, что положительные числа $x, a, b, c$ связаны соотношением:

a) $x = \frac{ab^2}{c}$;

б) $x = \frac{a^2c^3}{\sqrt{b}}$.

Для решения этой задачи мы будем использовать основные свойства логарифмов:

• Логарифм произведения: $\log_n(M \cdot N) = \log_n M + \log_n N$
• Логарифм частного: $\log_n\left(\frac{M}{N}\right) = \log_n M - \log_n N$
• Логарифм степени: $\log_n(M^p) = p \cdot \log_n M$

Все переменные $x, a, b, c$ положительны, поэтому все логарифмы определены.

а)

Дано соотношение $x = \frac{ab^2}{c}$.

Возьмем логарифм по основанию $n$ от обеих частей равенства:

$\log_n x = \log_n\left(\frac{ab^2}{c}\right)$

Используя свойство логарифма частного, разделим логарифм на разность логарифмов:

$\log_n x = \log_n(ab^2) - \log_n c$

Теперь, используя свойство логарифма произведения, раскроем первый член:

$\log_n x = \log_n a + \log_n(b^2) - \log_n c$

И, наконец, применим свойство логарифма степени ко второму члену:

$\log_n x = \log_n a + 2\log_n b - \log_n c$

Ответ: $\log_n x = \log_n a + 2\log_n b - \log_n c$.

б)

Дано соотношение $x = \frac{a^2c^3}{\sqrt{b}}$.

Сначала представим корень в виде степени: $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$.

Тогда выражение для $x$ будет выглядеть так: $x = \frac{a^2c^3}{b^{\frac{1}{2}}}$.

Возьмем логарифм по основанию $n$ от обеих частей равенства:

$\log_n x = \log_n\left(\frac{a^2c^3}{b^{\frac{1}{2}}}\right)$

Применим свойство логарифма частного:

$\log_n x = \log_n(a^2c^3) - \log_n\left(b^{\frac{1}{2}}\right)$

Теперь применим свойство логарифма произведения к первому члену:

$\log_n x = (\log_n(a^2) + \log_n(c^3)) - \log_n\left(b^{\frac{1}{2}}\right)$

И в завершение применим свойство логарифма степени ко всем членам:

$\log_n x = 2\log_n a + 3\log_n c - \frac{1}{2}\log_n b$

Ответ: $\log_n x = 2\log_n a + 3\log_n c - \frac{1}{2}\log_n b$.