Страница 93, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

15.29. a) $log_6 x \ge 2$;

Б) $log_{0.1} x > 3$;

В) $log_9 x \le \frac{1}{2}$;

Г) $log_4 x < 3$.

а) Решим неравенство $\log_6 x \ge 2$. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть положителен, то есть $x > 0$. Далее, преобразуем правую часть неравенства к логарифму с основанием 6: $2 = \log_6 6^2 = \log_6 36$. Неравенство принимает вид $\log_6 x \ge \log_6 36$. Поскольку основание логарифма $6 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется: $x \ge 36$. Найдём пересечение этого решения с ОДЗ: из условий $x > 0$ и $x \ge 36$ следует, что $x \ge 36$.
Ответ: $x \in [36, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\log_{0.1} x > 3$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Преобразуем правую часть: $3 = \log_{0.1} (0.1)^3 = \log_{0.1} 0.001$. Неравенство принимает вид $\log_{0.1} x > \log_{0.1} 0.001$. Поскольку основание логарифма $0.1 < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это значит, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный: $x < 0.001$. Совместим это решение с ОДЗ: из условий $x > 0$ и $x < 0.001$ следует, что $0 < x < 0.001$.
Ответ: $x \in (0; 0.001)$.

в) Решим неравенство $\log_9 x \le \frac{1}{2}$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Преобразуем правую часть: $\frac{1}{2} = \log_9 9^{1/2} = \log_9 \sqrt{9} = \log_9 3$. Неравенство принимает вид $\log_9 x \le \log_9 3$. Поскольку основание $9 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам: $x \le 3$. Учитывая ОДЗ $x > 0$, получаем итоговое решение: $0 < x \le 3$.
Ответ: $x \in (0; 3]$.

г) Решим неравенство $\log_4 x < 3$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$. Преобразуем правую часть: $3 = \log_4 4^3 = \log_4 64$. Неравенство принимает вид $\log_4 x < \log_4 64$. Поскольку основание $4 > 1$, логарифмическая функция возрастает, и знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам: $x < 64$. Совмещая с ОДЗ $x > 0$, получаем итоговое решение: $0 < x < 64$.
Ответ: $x \in (0; 64)$.

15.30. a) $\log_9 x \le -1;$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x < -4;$

в) $\log_5 x \ge -2;$

г) $\log_{0.2} x > -3.$

а)

Дано логарифмическое неравенство: $\log_9 x \le -1$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

2. Решение неравенства: Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 9. Используем свойство $c = \log_a a^c$.
$-1 = \log_9(9^{-1}) = \log_9(\frac{1}{9})$.

Неравенство принимает вид:
$\log_9 x \le \log_9(\frac{1}{9})$.

Так как основание логарифма $a=9$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.
$x \le \frac{1}{9}$.

3. Объединение с ОДЗ: Найдем пересечение полученного решения и ОДЗ.
$\begin{cases} x > 0 \\ x \le \frac{1}{9} \end{cases}$
Это соответствует интервалу $0 < x \le \frac{1}{9}$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{9}]$.

б)

Дано логарифмическое неравенство: $\log_{\frac{1}{3}} x < -4$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

2. Решение неравенства: Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{3}$.
$-4 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-4})$.
Вычислим значение аргумента: $(\frac{1}{3})^{-4} = (3^{-1})^{-4} = 3^4 = 81$.
Таким образом, $-4 = \log_{\frac{1}{3}} 81$.

Неравенство принимает вид:
$\log_{\frac{1}{3}} x < \log_{\frac{1}{3}} 81$.

Так как основание логарифма $a=\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
$x > 81$.

3. Объединение с ОДЗ: Найдем пересечение полученного решения и ОДЗ.
$\begin{cases} x > 0 \\ x > 81 \end{cases}$
Пересечением этих условий является $x > 81$.

Ответ: $x \in (81, +\infty)$.

в)

Дано логарифмическое неравенство: $\log_5 x \ge -2$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

2. Решение неравенства: Представим правую часть в виде логарифма с основанием 5.
$-2 = \log_5(5^{-2}) = \log_5(\frac{1}{25})$.

Неравенство принимает вид:
$\log_5 x \ge \log_5(\frac{1}{25})$.

Так как основание логарифма $a=5$ больше 1, логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется.
$x \ge \frac{1}{25}$.

3. Объединение с ОДЗ: Найдем пересечение полученного решения и ОДЗ.
$\begin{cases} x > 0 \\ x \ge \frac{1}{25} \end{cases}$
Так как $\frac{1}{25} > 0$, пересечением этих условий является $x \ge \frac{1}{25}$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{25}, +\infty)$.

г)

Дано логарифмическое неравенство: $\log_{0.2} x > -3$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

2. Решение неравенства: Представим основание 0.2 в виде дроби: $0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Представим правую часть в виде логарифма с основанием $0.2$.
$-3 = \log_{0.2}(0.2^{-3}) = \log_{\frac{1}{5}}((\frac{1}{5})^{-3})$.
Вычислим значение аргумента: $(\frac{1}{5})^{-3} = (5^{-1})^{-3} = 5^3 = 125$.
Таким образом, $-3 = \log_{0.2} 125$.

Неравенство принимает вид:
$\log_{0.2} x > \log_{0.2} 125$.

Так как основание логарифма $a=0.2$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный.
$x < 125$.

3. Объединение с ОДЗ: Найдем пересечение полученного решения и ОДЗ.
$\begin{cases} x > 0 \\ x < 125 \end{cases}$
Это соответствует интервалу $0 < x < 125$.

Ответ: $x \in (0, 125)$.

Решите графически уравнение:

15.31. а) $\log_2 x = -x + 1;$

б) $\log_{\frac{1}{3}} x = 2x - 2;$

в) $\log_9 x = -x + 1;$

г) $\log_{\frac{3}{7}} x = 4x - 4.$

а)

Чтобы решить уравнение $\log_2 x = -x + 1$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \log_2 x$ (левая часть уравнения) и $y = -x + 1$ (правая часть уравнения). Решением уравнения будет абсцисса точки пересечения этих графиков.

1. График функции $y = \log_2 x$. Это логарифмическая функция с основанием $a=2$, где $a > 1$. Область определения: $x > 0$. Функция является возрастающей. Для построения найдем несколько ключевых точек:

• при $x=1$, $y = \log_2 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• при $x=2$, $y = \log_2 2 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• при $x=4$, $y = \log_2 4 = 2$. Точка $(4, 2)$.

2. График функции $y = -x + 1$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения достаточно двух точек:

• при $x=0$, $y = -0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• при $x=1$, $y = -1 + 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в точке $(1, 0)$. Абсцисса этой точки равна $1$.

Для проверки подставим $x=1$ в исходное уравнение:

$\log_2 1 = -1 + 1$

$0 = 0$

Равенство верное. Так как функция $y = \log_2 x$ является строго возрастающей, а функция $y = -x + 1$ — строго убывающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Следовательно, $x=1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $1$

б)

Решим уравнение $\log_{\frac{1}{3}} x = 2x - 2$ графически. Построим графики функций $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = 2x - 2$.

1. График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $a=1/3$, где $0 < a < 1$. Область определения: $x > 0$. Функция является убывающей. Ключевые точки:

• при $x=1$, $y = \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• при $x=1/3$, $y = \log_{\frac{1}{3}} (1/3) = 1$. Точка $(1/3, 1)$.
• при $x=3$, $y = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$. Точка $(3, -1)$.

2. График функции $y = 2x - 2$. Это линейная функция, ее график — прямая. Точки для построения:

• при $x=0$, $y = 2(0) - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• при $x=1$, $y = 2(1) - 2 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Оба графика пересекаются в точке с координатами $(1, 0)$. Абсцисса этой точки равна $1$.

Проверка: подставим $x=1$ в уравнение.

$\log_{\frac{1}{3}} 1 = 2(1) - 2$

$0 = 0$

Равенство верное. Функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — строго убывающая, а функция $y = 2x - 2$ — строго возрастающая. Следовательно, у них может быть только одна точка пересечения. Значит, $x=1$ — единственный корень.

Ответ: $1$

в)

Решим уравнение $\log_9 x = -x + 1$ графически, построив графики функций $y = \log_9 x$ и $y = -x + 1$.

1. График функции $y = \log_9 x$. Логарифмическая функция с основанием $a=9 > 1$. Область определения $x>0$. Функция возрастающая. Ключевые точки:

• при $x=1$, $y = \log_9 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• при $x=9$, $y = \log_9 9 = 1$. Точка $(9, 1)$.

2. График функции $y = -x + 1$. Прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$ (как в пункте а).

Графики пересекаются в точке $(1, 0)$, значит, корень уравнения $x=1$.

Проверка: $\log_9 1 = -1 + 1 \Rightarrow 0 = 0$.

Поскольку логарифмическая функция с основанием больше 1 возрастает, а линейная функция $y=-x+1$ убывает, они пересекаются только в одной точке. Решение единственное.

Ответ: $1$

г)

Решим уравнение $\log_{\frac{3}{7}} x = 4x - 4$ графически. Построим графики функций $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ и $y = 4x - 4$.

1. График функции $y = \log_{\frac{3}{7}} x$. Логарифмическая функция с основанием $a=3/7$, где $0 < a < 1$. Область определения $x>0$. Функция убывающая. Ключевая точка:

• при $x=1$, $y = \log_{\frac{3}{7}} 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.

2. График функции $y = 4x - 4$. Линейная функция (прямая). Точки для построения:

• при $x=1$, $y = 4(1) - 4 = 0$. Точка $(1, 0)$.
• при $x=2$, $y = 4(2) - 4 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Точка пересечения графиков — $(1, 0)$. Корень уравнения $x=1$.

Проверка: $\log_{\frac{3}{7}} 1 = 4(1) - 4 \Rightarrow 0 = 0$.

Функция $y = \log_{\frac{3}{7}} x$ является строго убывающей, а функция $y = 4x - 4$ — строго возрастающей, поэтому они могут пересечься лишь в одной точке. Решение $x=1$ является единственным.

Ответ: $1$

15.32. a) $\log_3 x = 4 - x;$

Б) $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2};$

В) $\log_5 x = 6 - x;$

Г) $\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}.$

а) $\log_3 x = 4 - x$

Данное уравнение является трансцендентным, так как содержит и логарифмическую, и линейную функции. Такие уравнения решаются, как правило, графически или методом анализа свойств функций.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): Аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.

2. Анализ функций: Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:

• $y_1 = \log_3 x$. Это логарифмическая функция с основанием $3 > 1$, следовательно, она является строго возрастающей на всей своей области определения ($x > 0$).
• $y_2 = 4 - x$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она является строго убывающей на всей числовой прямой.

3. Количество решений: Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

4. Подбор корня: Попробуем найти корень подбором из целых чисел, удовлетворяющих ОДЗ.

Пусть $x = 3$.

Левая часть: $\log_3 3 = 1$.

Правая часть: $4 - 3 = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x = 3$ является корнем уравнения.

Поскольку мы доказали, что корень может быть только один, то $x = 3$ – единственное решение.

Ответ: $3$

б) $\log_{\frac{1}{2}} x = x + \frac{1}{2}$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Анализ функций:

• $y_1 = \log_{\frac{1}{2}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$, следовательно, она является строго убывающей на всей своей области определения ($x > 0$).
• $y_2 = x + \frac{1}{2}$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $1$, следовательно, она является строго возрастающей на всей числовой прямой.

3. Количество решений: Поскольку одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, они могут пересечься не более одного раза. Уравнение имеет не более одного корня.

4. Подбор корня: Попробуем найти корень подбором.

Пусть $x = \frac{1}{2}$.

Левая часть: $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} = 1$.

Правая часть: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x = \frac{1}{2}$ является корнем уравнения.

Так как корень единственный, то это и есть решение.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $\log_5 x = 6 - x$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Анализ функций:

• $y_1 = \log_5 x$. Это логарифмическая функция с основанием $5 > 1$, следовательно, она является строго возрастающей на своей области определения.
• $y_2 = 6 - x$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она является строго убывающей.

3. Количество решений: Возрастающая и убывающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Значит, уравнение имеет не более одного корня.

4. Подбор корня: Попробуем найти корень подбором из чисел, являющихся степенями 5.

Пусть $x = 5$.

Левая часть: $\log_5 5 = 1$.

Правая часть: $6 - 5 = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x = 5$ является корнем уравнения.

Это единственное решение уравнения.

Ответ: $5$

г) $\log_{\frac{1}{3}} x = x + \frac{2}{3}$

1. ОДЗ: $x > 0$.

2. Анализ функций:

• $y_1 = \log_{\frac{1}{3}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $0 < \frac{1}{3} < 1$, следовательно, она является строго убывающей на своей области определения.
• $y_2 = x + \frac{2}{3}$. Это линейная функция с угловым коэффициентом $1$, следовательно, она является строго возрастающей.

3. Количество решений: Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

4. Подбор корня: Попробуем найти корень подбором.

Пусть $x = \frac{1}{3}$.

Левая часть: $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$.

Правая часть: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x = \frac{1}{3}$ является корнем уравнения.

Это единственный корень уравнения.

Ответ: $\frac{1}{3}$

15.33. а) $x + 2 = \log_8 x$;

Б) $\log_{\frac{1}{3}} x = -2x - 5$;

В) $3x + 7 = \log_7 x$;

Г) $\log_{\frac{2}{5}} x = -5x - 6$.

а) $x + 2 = \log_8 x$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием существования логарифма: $x > 0$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $f(x) = x + 2$ и $g(x) = \log_8 x$.

Функция $f(x) = x + 2$ — линейная, возрастающая на всей числовой прямой (ее производная $f'(x) = 1 > 0$).

Функция $g(x) = \log_8 x$ — логарифмическая с основанием $8 > 1$, поэтому она также возрастает на всей своей области определения $x > 0$.

Чтобы найти решение уравнения, проанализируем функцию $h(x) = f(x) - g(x) = x + 2 - \log_8 x$. Решения исходного уравнения являются корнями уравнения $h(x) = 0$.

Найдем производную функции $h(x)$ для определения ее монотонности и экстремумов:

$h'(x) = (x + 2 - \log_8 x)' = 1 - \frac{1}{x \ln 8}$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$1 - \frac{1}{x \ln 8} = 0 \implies 1 = \frac{1}{x \ln 8} \implies x = \frac{1}{\ln 8}$.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой минимума или максимума, найдем вторую производную: $h''(x) = \left(1 - \frac{1}{x \ln 8}\right)' = \frac{1}{x^2 \ln 8}$. Поскольку $x > 0$ и $\ln 8 > 0$, то $h''(x) > 0$. Следовательно, точка $x_0 = \frac{1}{\ln 8}$ является точкой глобального минимума функции $h(x)$.

Вычислим значение функции в этой точке:

$h_{min} = h\left(\frac{1}{\ln 8}\right) = \frac{1}{\ln 8} + 2 - \log_8\left(\frac{1}{\ln 8}\right) = \frac{1}{\ln 8} + 2 - \frac{\ln(1/\ln 8)}{\ln 8} = \frac{1}{\ln 8} + 2 + \frac{\ln(\ln 8)}{\ln 8}$.

Поскольку $\ln 8 > \ln e = 1$, то $\ln(\ln 8) > \ln 1 = 0$. Каждое слагаемое в выражении для $h_{min}$ положительно. Таким образом, минимальное значение функции $h(x)$ строго больше нуля ($h_{min} > 0$).

Это означает, что $h(x) = x + 2 - \log_8 x > 0$ для всех $x > 0$, и равенство $h(x) = 0$ не достигается ни при каких $x$.

Ответ: решений нет.

б) $\log_{\frac{1}{3}} x = -2x - 5$

ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $g(x) = -2x - 5$.

Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ — логарифмическая с основанием $1/3 < 1$, поэтому она является убывающей на $x > 0$.

Функция $g(x) = -2x - 5$ — линейная с отрицательным угловым коэффициентом $-2$, поэтому она также является убывающей.

Исследуем функцию $h(x) = \log_{\frac{1}{3}} x - (-2x - 5) = \log_{\frac{1}{3}} x + 2x + 5$.

Найдем ее производную:

$h'(x) = \left(\log_{\frac{1}{3}} x + 2x + 5\right)' = \frac{1}{x \ln(1/3)} + 2 = -\frac{1}{x \ln 3} + 2$.

Найдем критические точки:

$-\frac{1}{x \ln 3} + 2 = 0 \implies 2 = \frac{1}{x \ln 3} \implies x = \frac{1}{2 \ln 3}$.

Вторая производная $h''(x) = \left(-\frac{1}{x \ln 3} + 2\right)' = \frac{1}{x^2 \ln 3} > 0$ для $x > 0$. Значит, в точке $x_0 = \frac{1}{2 \ln 3}$ функция $h(x)$ имеет глобальный минимум.

Найдем минимальное значение функции:

$h_{min} = h\left(\frac{1}{2 \ln 3}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{2 \ln 3}\right) + 2\left(\frac{1}{2 \ln 3}\right) + 5 = \frac{\ln(1/(2 \ln 3))}{\ln(1/3)} + \frac{1}{\ln 3} + 5$.

$h_{min} = \frac{-\ln(2 \ln 3)}{-\ln 3} + \frac{1}{\ln 3} + 5 = \frac{\ln(2 \ln 3)}{\ln 3} + \frac{1}{\ln 3} + 5$.

Поскольку $2 \ln 3 = \ln(3^2) = \ln 9 > 1$, то $\ln(2 \ln 3) > 0$. Все слагаемые в выражении для $h_{min}$ положительны.

Следовательно, $h_{min} > 0$, а значит, $h(x) > 0$ для всех $x > 0$. Уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

в) $3x + 7 = \log_7 x$

ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим функции $f(x) = 3x + 7$ (возрастающая) и $g(x) = \log_7 x$ (возрастающая).

Исследуем их разность $h(x) = 3x + 7 - \log_7 x$.

Найдем производную:

$h'(x) = (3x + 7 - \log_7 x)' = 3 - \frac{1}{x \ln 7}$.

Найдем критические точки:

$3 - \frac{1}{x \ln 7} = 0 \implies 3 = \frac{1}{x \ln 7} \implies x = \frac{1}{3 \ln 7}$.

Вторая производная $h''(x) = \frac{1}{x^2 \ln 7} > 0$, следовательно, точка $x_0 = \frac{1}{3 \ln 7}$ — точка глобального минимума.

Найдем минимальное значение функции:

$h_{min} = h\left(\frac{1}{3 \ln 7}\right) = 3\left(\frac{1}{3 \ln 7}\right) + 7 - \log_7\left(\frac{1}{3 \ln 7}\right) = \frac{1}{\ln 7} + 7 - \frac{\ln(1/(3 \ln 7))}{\ln 7}$.

$h_{min} = \frac{1}{\ln 7} + 7 + \frac{\ln(3 \ln 7)}{\ln 7}$.

Поскольку $3 \ln 7 = \ln(7^3) = \ln 343 > 1$, то $\ln(3 \ln 7) > 0$. Все слагаемые в $h_{min}$ положительны.

Таким образом, $h_{min} > 0$, а значит, $h(x) > 0$ для всех $x > 0$. Уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

г) $\log_{\frac{2}{5}} x = -5x - 6$

ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим функции $f(x) = \log_{\frac{2}{5}} x$ (убывающая, т.к. основание $2/5 < 1$) и $g(x) = -5x - 6$ (убывающая).

Исследуем функцию $h(x) = \log_{\frac{2}{5}} x - (-5x - 6) = \log_{\frac{2}{5}} x + 5x + 6$.

Найдем производную:

$h'(x) = \left(\log_{\frac{2}{5}} x + 5x + 6\right)' = \frac{1}{x \ln(2/5)} + 5 = -\frac{1}{x \ln(5/2)} + 5$.

Найдем критические точки:

$-\frac{1}{x \ln(5/2)} + 5 = 0 \implies 5 = \frac{1}{x \ln(5/2)} \implies x = \frac{1}{5 \ln(5/2)}$.

Вторая производная $h''(x) = \frac{1}{x^2 \ln(5/2)} > 0$, так как $\ln(5/2) > 0$. Следовательно, в точке $x_0 = \frac{1}{5 \ln(5/2)}$ функция имеет глобальный минимум.

Найдем минимальное значение:

$h_{min} = h\left(\frac{1}{5 \ln(5/2)}\right) = \log_{\frac{2}{5}}\left(\frac{1}{5 \ln(5/2)}\right) + 5\left(\frac{1}{5 \ln(5/2)}\right) + 6$.

$h_{min} = \frac{\ln(1/(5 \ln(5/2)))}{\ln(2/5)} + \frac{1}{\ln(5/2)} + 6 = \frac{-\ln(5 \ln(5/2))}{-\ln(5/2)} + \frac{1}{\ln(5/2)} + 6 = \frac{\ln(5 \ln(5/2))}{\ln(5/2)} + \frac{1}{\ln(5/2)} + 6$.

Поскольку $5 \ln(5/2) = \ln((5/2)^5) = \ln(97.65625) > 1$, то $\ln(5 \ln(5/2)) > 0$. Все слагаемые положительны.

Следовательно, $h_{min} > 0$, что означает $h(x) > 0$ для всех $x > 0$. Уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Постройте график функции:

15.34. а) $y = 2 + \log_3 x$

б) $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$

в) $y = -3 + \log_4 x$

г) $y = 0,5 + \log_{0,1} x$

а) $y = 2 + \log_3 x$

График функции $y = 2 + \log_3 x$ получается из графика базовой логарифмической функции $y = \log_3 x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат (оси Oy) на 2 единицы вверх.

1. Построим сначала график базовой функции $y_0 = \log_3 x$.
- Область определения функции: $D(y_0) = (0; +\infty)$.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось Oy).
- Так как основание логарифма $a=3 > 1$, функция является возрастающей.
- Найдем несколько ключевых точек для графика $y_0 = \log_3 x$, составив таблицу значений:

2. Сдвигаем график $y_0 = \log_3 x$ на 2 единицы вверх. Каждая точка $(x, y_0)$ на графике $y_0$ перейдет в точку $(x, y_0 + 2)$ на графике $y$.
- Новые координаты ключевых точек для $y = 2 + \log_3 x$:

- Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
- Найдем точку пересечения с осью Ox (где $y=0$): $0 = 2 + \log_3 x \Rightarrow \log_3 x = -2 \Rightarrow x = 3^{-2} = 1/9$. Точка пересечения: $(1/9, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2 + \log_3 x$ — это логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1/9, 0)$, $(1/3, 1)$, $(1, 2)$, $(3, 3)$, возрастающая на всей области определения $(0; +\infty)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$. Он получен сдвигом графика $y = \log_3 x$ на 2 единицы вверх.

б) $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$

График функции $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$ получается из графика базовой функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ путем сдвига вдоль оси Oy на 1 единицу вниз.

1. Построим график базовой функции $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$.
- Область определения: $D(y_0) = (0; +\infty)$.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Так как основание $a=1/3$ и $0 < 1/3 < 1$, функция является убывающей.
- Ключевые точки для $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$:

2. Сдвигаем график $y_0 = \log_{\frac{1}{3}} x$ на 1 единицу вниз. Каждая точка $(x, y_0)$ перейдет в точку $(x, y_0 - 1)$.
- Новые координаты ключевых точек для $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$:

- Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
- Точка пересечения с осью Ox (где $y=0$): $(1/3, 0)$.

Ответ: График функции $y = -1 + \log_{\frac{1}{3}} x$ — это логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1/9, 1)$, $(1/3, 0)$, $(1, -1)$, $(3, -2)$, убывающая на всей области определения $(0; +\infty)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$. Он получен сдвигом графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ на 1 единицу вниз.

в) $y = -3 + \log_4 x$

График функции $y = -3 + \log_4 x$ получается из графика базовой функции $y = \log_4 x$ путем сдвига вдоль оси Oy на 3 единицы вниз.

1. Построим график базовой функции $y_0 = \log_4 x$.
- Область определения: $D(y_0) = (0; +\infty)$.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Так как основание $a=4 > 1$, функция является возрастающей.
- Ключевые точки для $y_0 = \log_4 x$:

2. Сдвигаем график $y_0 = \log_4 x$ на 3 единицы вниз. Каждая точка $(x, y_0)$ перейдет в точку $(x, y_0 - 3)$.
- Новые координаты ключевых точек для $y = -3 + \log_4 x$:

- Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
- Найдем точку пересечения с осью Ox (где $y=0$): $0 = -3 + \log_4 x \Rightarrow \log_4 x = 3 \Rightarrow x = 4^3 = 64$. Точка пересечения: $(64, 0)$.

Ответ: График функции $y = -3 + \log_4 x$ — это логарифмическая кривая, проходящая через точки $(1, -3)$, $(4, -2)$, $(16, -1)$, $(64, 0)$, возрастающая на всей области определения $(0; +\infty)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$. Он получен сдвигом графика $y = \log_4 x$ на 3 единицы вниз.

г) $y = 0,5 + \log_{0,1} x$

График функции $y = 0,5 + \log_{0,1} x$ получается из графика базовой функции $y = \log_{0,1} x$ путем сдвига вдоль оси Oy на 0,5 единицы вверх.

1. Построим график базовой функции $y_0 = \log_{0,1} x$.
- Область определения: $D(y_0) = (0; +\infty)$.
- Вертикальная асимптота: $x = 0$.
- Так как основание $a=0,1$ и $0 < 0,1 < 1$, функция является убывающей.
- Ключевые точки для $y_0 = \log_{0,1} x$:

2. Сдвигаем график $y_0 = \log_{0,1} x$ на 0,5 единицы вверх. Каждая точка $(x, y_0)$ перейдет в точку $(x, y_0 + 0,5)$.
- Новые координаты ключевых точек для $y = 0,5 + \log_{0,1} x$:

- Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
- Найдем точку пересечения с осью Ox (где $y=0$): $0 = 0,5 + \log_{0,1} x \Rightarrow \log_{0,1} x = -0,5 \Rightarrow x = (0,1)^{-0,5} = (10^{-1})^{-1/2} = 10^{1/2} = \sqrt{10}$. Точка пересечения: $(\sqrt{10}, 0)$.

Ответ: График функции $y = 0,5 + \log_{0,1} x$ — это логарифмическая кривая, проходящая через точки $(0.1, 1.5)$, $(1, 0.5)$, $(\sqrt{10}, 0)$, $(10, -0.5)$, убывающая на всей области определения $(0; +\infty)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$. Он получен сдвигом графика $y = \log_{0,1} x$ на 0,5 единицы вверх.

15.35. a) $y = 3 \log_4 x;$

б) $y = 2 \log_{\frac{1}{3}} x;$

в) $y = 5 \log_8 x;$

г) $y = \frac{1}{2} \log_{0,5} x.$

а) $y = 3 \log_4 x$

Для преобразования выражения используем свойство логарифма: $k \cdot \log_b a = \log_b(a^k)$. Это свойство позволяет внести коэффициент, стоящий перед логарифмом, в показатель степени его аргумента.

В данном случае коэффициент $k=3$, основание логарифма $b=4$, а аргумент $a=x$.

Применяя указанное свойство, получаем:

$y = 3 \log_4 x = \log_4(x^3)$.

Области определения исходной функции ($x>0$) и полученной функции ($x^3>0$, что также означает $x>0$) совпадают.

Ответ: $y = \log_4(x^3)$

б) $y = 2 \log_{\frac{1}{3}} x$

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство логарифма $k \cdot \log_b a = \log_b(a^k)$.

Здесь коэффициент $k=2$, основание $b=\frac{1}{3}$, аргумент $a=x$.

Вносим коэффициент $2$ в показатель степени аргумента $x$:

$y = 2 \log_{\frac{1}{3}} x = \log_{\frac{1}{3}}(x^2)$.

Важно отметить, что область определения исходной функции $y=2\log_{\frac{1}{3}}x$ — это $x>0$. Область определения функции $y=\log_{\frac{1}{3}}(x^2)$ — это $x \neq 0$. Поскольку мы преобразуем исходную функцию, мы сохраняем ее область определения, то есть равенство верно при $x>0$.

Ответ: $y = \log_{\frac{1}{3}}(x^2)$

в) $y = 5 \log_8 x$

Снова применяем свойство $k \cdot \log_b a = \log_b(a^k)$.

В этом примере коэффициент $k=5$, основание $b=8$, аргумент $a=x$.

Преобразуем выражение, внеся коэффициент в степень аргумента:

$y = 5 \log_8 x = \log_8(x^5)$.

Области определения исходной ($x>0$) и полученной ($x^5>0$) функций совпадают.

Ответ: $y = \log_8(x^5)$

г) $y = \frac{1}{2}\log_{0,5} x$

В данном случае можно применить одно из двух полезных свойств логарифма для преобразования выражения.

Способ 1: Внесение коэффициента в показатель степени аргумента, используя свойство $k \cdot \log_b a = \log_b(a^k)$.
Здесь $k=\frac{1}{2}$, $b=0.5$, $a=x$.
$y = \frac{1}{2} \log_{0.5} x = \log_{0.5}(x^{\frac{1}{2}}) = \log_{0.5}\sqrt{x}$.

Способ 2: Внесение коэффициента в основание логарифма, используя свойство $k \cdot \log_b a = \log_{b^{\frac{1}{k}}} a$.
$y = \frac{1}{2} \log_{0.5} x = \log_{(0.5)^{\frac{1}{1/2}}} x = \log_{(0.5)^2} x = \log_{0.25} x$.

Оба результата являются верными преобразованиями. Однако второй способ часто считается предпочтительным, так как он приводит к выражению, где и основание ($0.25$), и аргумент ($x$) не содержат иррациональностей (корней).

Ответ: $y = \log_{0.25} x$

15.36. a) $y = -2 \log_7 x;$

б) $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x;$

в) $y = -0,5 \log_2 x;$

г) $y = -\log_{\frac{2}{3}} x.$

а) $y = -2 \log_7 x$

Для определения характера монотонности функции $y = -2 \log_7 x$ проанализируем её составляющие.

1. Функция $f(x) = \log_7 x$. Основание логарифма $a = 7$. Поскольку $a > 1$, функция $f(x) = \log_7 x$ является возрастающей на всей своей области определения ($x>0$).

2. Данная функция умножается на коэффициент $k = -2$. Так как коэффициент отрицательный ($k < 0$), то характер монотонности функции $y = -2 \log_7 x$ будет противоположным характеру монотонности функции $y = \log_7 x$.

Следовательно, так как $y = \log_7 x$ возрастает, функция $y = -2 \log_7 x$ является убывающей.

Альтернативный способ — преобразовать выражение с помощью свойств логарифма: $y = -2 \log_7 x = \log_7 (x^{-2}) = \log_7 \frac{1}{x^2}$. Основание логарифма $a=7 > 1$. Аргумент логарифма $t(x) = \frac{1}{x^2}$ является убывающей функцией при $x > 0$. Так как основание логарифмической функции больше 1, а её аргумент — убывающая функция, то и вся функция $y = \log_7 \frac{1}{x^2}$ является убывающей.

Ответ: функция является убывающей.

б) $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x$

Для определения характера монотонности функции $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x$ проанализируем её составляющие.

1. Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{6}} x$. Основание логарифма $a = \frac{1}{6}$. Поскольку $0 < a < 1$, функция $f(x) = \log_{\frac{1}{6}} x$ является убывающей на всей своей области определения ($x>0$).

2. Данная функция умножается на коэффициент $k = -4$. Так как коэффициент отрицательный ($k < 0$), то характер монотонности функции $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x$ будет противоположным характеру монотонности функции $y = \log_{\frac{1}{6}} x$.

Следовательно, так как $y = \log_{\frac{1}{6}} x$ убывает, функция $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x$ является возрастающей.

Альтернативный способ — преобразовать выражение с помощью свойств логарифма: $y = -4 \log_{\frac{1}{6}} x = -4 \log_{6^{-1}} x = -4 \cdot \frac{\log_6 x}{-1} = 4 \log_6 x$. В полученной функции $y = 4 \log_6 x$ основание логарифма $a=6 > 1$, значит, функция $\log_6 x$ возрастающая. Коэффициент $k=4 > 0$ не меняет характер монотонности, следовательно, функция $y = 4 \log_6 x$ является возрастающей.

Ответ: функция является возрастающей.

в) $y = -0,5 \log_2 x$

Для определения характера монотонности функции $y = -0,5 \log_2 x$ проанализируем её составляющие.

1. Функция $f(x) = \log_2 x$. Основание логарифма $a = 2$. Поскольку $a > 1$, функция $f(x) = \log_2 x$ является возрастающей на всей своей области определения ($x>0$).

2. Данная функция умножается на коэффициент $k = -0,5$. Так как коэффициент отрицательный ($k < 0$), то характер монотонности функции $y = -0,5 \log_2 x$ будет противоположным характеру монотонности функции $y = \log_2 x$.

Следовательно, так как $y = \log_2 x$ возрастает, функция $y = -0,5 \log_2 x$ является убывающей.

Альтернативный способ — преобразовать выражение с помощью свойств логарифма: $y = -0,5 \log_2 x = \log_2 (x^{-0,5}) = \log_2 \frac{1}{\sqrt{x}}$. Основание логарифма $a=2 > 1$. Аргумент логарифма $t(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ является убывающей функцией при $x > 0$. Так как основание логарифмической функции больше 1, а её аргумент — убывающая функция, то и вся функция $y = \log_2 \frac{1}{\sqrt{x}}$ является убывающей.

Ответ: функция является убывающей.

г) $y = -\log_{\frac{2}{3}} x$

Для определения характера монотонности функции $y = -\log_{\frac{2}{3}} x$ проанализируем её составляющие.

1. Функция $f(x) = \log_{\frac{2}{3}} x$. Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Поскольку $0 < a < 1$, функция $f(x) = \log_{\frac{2}{3}} x$ является убывающей на всей своей области определения ($x>0$).

2. Данная функция умножается на коэффициент $k = -1$. Так как коэффициент отрицательный ($k < 0$), то характер монотонности функции $y = -\log_{\frac{2}{3}} x$ будет противоположным характеру монотонности функции $y = \log_{\frac{2}{3}} x$.

Следовательно, так как $y = \log_{\frac{2}{3}} x$ убывает, функция $y = -\log_{\frac{2}{3}} x$ является возрастающей.

Альтернативный способ — преобразовать выражение с помощью свойств логарифма: $y = - \log_{\frac{2}{3}} x = (-1) \log_{(\frac{3}{2})^{-1}} x = (-1) \frac{\log_{\frac{3}{2}} x}{-1} = \log_{\frac{3}{2}} x$. В полученной функции $y = \log_{\frac{3}{2}} x$ основание логарифма $a = \frac{3}{2} > 1$. Следовательно, функция $y = \log_{\frac{3}{2}} x$ является возрастающей.

Ответ: функция является возрастающей.

15.37. a) $y = \log_2 (x + 4);$

б) $y = \log_{\frac{1}{5}} (x - 3);$

В) $y = \log_5 (x - 1);$

Г) $y = \log_{0.3} (x + 5).$

а) Для нахождения области определения функции $y = \log_2(x + 4)$ необходимо, чтобы аргумент логарифма был строго больше нуля. Аргументом данной функции является выражение $(x + 4)$. Составим и решим неравенство: $x + 4 > 0$. Вычитая 4 из обеих частей неравенства, получаем: $x > -4$. Таким образом, область определения функции – это все действительные числа, большие -4. В виде интервала это записывается как $(-4; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-4; +\infty)$.

б) Область определения логарифмической функции $y = \log_{\frac{1}{5}}(x - 3)$ находится из условия, что ее аргумент $(x - 3)$ должен быть строго положительным. Составим и решим соответствующее неравенство: $x - 3 > 0$. Прибавляя 3 к обеим частям неравенства, получаем: $x > 3$. Следовательно, область определения функции – это интервал от 3 до плюс бесконечности.
Ответ: $D(y) = (3; +\infty)$.

в) Для функции $y = \log_5(x - 1)$ ее область определения задается условием, что аргумент логарифма $(x - 1)$ должен быть больше нуля. Решим неравенство: $x - 1 > 0$. Перенеся -1 в правую часть с противоположным знаком, получим: $x > 1$. Это означает, что функция определена для всех значений $x$, которые строго больше 1.
Ответ: $D(y) = (1; +\infty)$.

г) Область определения функции $y = \log_{0,3}(x + 5)$ находится из требования, чтобы ее аргумент $(x + 5)$ был строго положительным. Запишем и решим это неравенство: $x + 5 > 0$. Вычтем 5 из обеих частей неравенства: $x > -5$. Таким образом, область определения функции представляет собой множество всех чисел, больших -5.
Ответ: $D(y) = (-5; +\infty)$.