Страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Почему корень $n$-й степени из целого числа есть число или целое, или иррациональное?

Это утверждение можно доказать методом от противного. Мы должны показать, что если корень $n$-й степени из целого числа не является целым числом, то он не может быть рациональным числом (а значит, должен быть иррациональным).

Пусть $M$ — целое число, а $n$ — натуральное число ($n \ge 2$). Обозначим $x = \sqrt[n]{M}$.

Предположим, что $x$ является рациональным, но не целым числом. Любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби. Итак, пусть:

$x = \frac{p}{q}$

где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа ($\text{НОД}(p, q) = 1$), и $q > 1$. Условие $q > 1$ важно, так как оно означает, что число $x$ не является целым.

По определению корня $n$-й степени, если $x = \sqrt[n]{M}$, то $x^n = M$. Подставим в это равенство наше представление $x$ в виде дроби:

$(\frac{p}{q})^n = M$

$\frac{p^n}{q^n} = M$

Домножим обе части уравнения на $q^n$:

$p^n = M \cdot q^n$

Из этого равенства следует, что $p^n$ делится на $q$ без остатка, поскольку $M \cdot q^n$ очевидно делится на $q$ (ведь $q^n$ делится на $q$, а $M$ — целое).

Теперь вспомним наше начальное условие: дробь $\frac{p}{q}$ несократима, то есть числа $p$ и $q$ взаимно просты. Это означает, что у них нет общих простых делителей. Согласно основной теореме арифметики, если у $p$ и $q$ нет общих простых делителей, то и у $p^n$ и $q$ их тоже не будет (так как множество простых делителей числа $p^n$ совпадает с множеством простых делителей числа $p$).

Мы пришли к двум утверждениям:

1. $p^n$ делится на $q$.
2. $p^n$ и $q$ взаимно просты ($\text{НОД}(p^n, q) = 1$).

Единственный способ, которым одно целое число может делиться на другое, будучи с ним взаимно простым, — это если делитель равен 1 (или -1). Поскольку мы определили $q$ как натуральное число ($q > 1$), то из этих двух утверждений следует, что $q=1$.

Это прямо противоречит нашему исходному предположению о том, что $q > 1$. Значит, наше предположение о том, что $\sqrt[n]{M}$ может быть рациональным нецелым числом, неверно.

Таким образом, для корня $n$-й степени из целого числа остаются только две возможности: либо он является целым числом (что соответствует случаю $q=1$), либо он является иррациональным числом.

Ответ: Если предположить, что корень $n$-й степени из целого числа $M$ является рациональным, но не целым числом, его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $q > 1$. Из равенства $(\frac{p}{q})^n = M$ следует, что $p^n = M \cdot q^n$. Это означает, что $p^n$ делится на $q$. Однако, поскольку $p$ и $q$ взаимно просты, то и $p^n$ и $q$ также взаимно просты. Единственным натуральным числом, на которое может делиться взаимно простое с ним число, является 1. Следовательно, $q=1$, что противоречит нашему предположению $q > 1$. Таким образом, корень $n$-й степени из целого числа не может быть дробным рациональным числом, а значит, он либо целый, либо иррациональный.

2. Извлекаем корень $n$-й степени из единицы в комплексной плоскости.

Задача об извлечении корня $n$-й степени из единицы заключается в нахождении всех комплексных чисел $z$, которые удовлетворяют уравнению $z^n = 1$, где $n$ — заданное натуральное число. Эти числа называются корнями $n$-й степени из единицы.

Для решения этого уравнения наиболее удобным является использование тригонометрической или показательной формы комплексного числа. Представим искомое число $z$ и число 1 в тригонометрической форме.Для $z$ имеем: $z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$, где $r = |z|$ — модуль числа, а $\varphi = \arg(z)$ — его аргумент.Для числа 1 модуль равен 1, а аргумент равен 0. Однако, учитывая периодичность тригонометрических функций, аргумент можно записать в общем виде как $2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Таким образом, $1 = 1 \cdot (\cos(2\pi k) + i\sin(2\pi k))$.

Подставим эти представления в исходное уравнение $z^n = 1$:$[r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = 1 \cdot (\cos(2\pi k) + i\sin(2\pi k))$.При возведении комплексного числа в степень $n$ используется формула Муавра: $[r(\cos\varphi + i\sin\varphi)]^n = r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi))$.Следовательно, уравнение принимает вид:$r^n(\cos(n\varphi) + i\sin(n\varphi)) = \cos(2\pi k) + i\sin(2\pi k)$.

Два комплексных числа в тригонометрической форме равны, если равны их модули, а их аргументы отличаются на число, кратное $2\pi$.Приравнивая модули, получаем:$r^n = 1$.Поскольку $r$ — это модуль, то есть неотрицательное действительное число, единственным решением является $r = 1$. Это означает, что все корни $n$-й степени из единицы по модулю равны единице, то есть лежат на единичной окружности в комплексной плоскости.

Приравнивая аргументы, получаем:$n\varphi = 2\pi k$.Отсюда можно выразить аргумент $\varphi$:$\varphi_k = \frac{2\pi k}{n}$.

Таким образом, мы получили общую формулу для всех корней $n$-й степени из единицы:$z_k = 1 \cdot \left(\cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)\right)$.Чтобы найти все различные корни, достаточно перебрать последовательные целые значения $k$, например, от $0$ до $n-1$.При $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ мы получаем $n$ различных значений для $z_k$. Например:При $k=0$, $z_0 = \cos(0) + i\sin(0) = 1$.При $k=1$, $z_1 = \cos(2\pi/n) + i\sin(2\pi/n)$....При $k=n$, мы получим $z_n = \cos(2\pi) + i\sin(2\pi) = 1 = z_0$. При $k=n+1$ получим $z_1$, и так далее. Следовательно, существует ровно $n$ различных корней $n$-й степени из единицы.

Геометрически, $n$ корней $n$-й степени из единицы располагаются в комплексной плоскости в вершинах правильного $n$-угольника, вписанного в единичную окружность с центром в начале координат. Одна из вершин этого многоугольника ($z_0$) всегда совпадает с точкой $(1, 0)$ на действительной оси. Остальные вершины равномерно распределены по окружности с шагом по углу, равным $\frac{2\pi}{n}$.

Ответ: Существует ровно $n$ различных корней $n$-й степени из комплексной единицы. Они вычисляются по формуле Муавра:$z_k = \cos\left(\frac{2\pi k}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{n}\right)$,или в показательной форме:$z_k = e^{i\frac{2\pi k}{n}}$,где $k$ принимает значения $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$. В комплексной плоскости эти корни образуют вершины правильного $n$-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

3. Обратные функции (на примере степенных функций).

Определение обратной функции

Пусть дана функция $y = f(x)$ с областью определения $D(f)$ и областью значений $E(f)$. Функция называется обратимой, если для каждого значения $y_0 \in E(f)$ существует только одно значение $x_0 \in D(f)$ такое, что $f(x_0) = y_0$. Иными словами, функция должна быть взаимно однозначной (или инъективной) на своей области определения.

Если функция $f(x)$ обратима, то можно определить обратную функцию, которая обозначается как $f^{-1}(x)$. Эта функция сопоставляет каждому $y$ из области значений $E(f)$ то единственное значение $x$ из области определения $D(f)$, для которого $f(x) = y$.

Ключевым условием обратимости функции является ее строгая монотонность. Если функция строго возрастает или строго убывает на всей своей области определения, то она обратима.

Свойства обратных функций

• Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной функции: $D(f^{-1}) = E(f)$.
• Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной функции: $E(f^{-1}) = D(f)$.
• Композиция функции и ее обратной функции дает тождественную функцию: $f(f^{-1}(x)) = x$ для всех $x \in D(f^{-1})$ и $f^{-1}(f(x)) = x$ для всех $x \in D(f)$.
• Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y = x$.

Алгоритм нахождения обратной функции

1. Убедиться, что функция $y = f(x)$ является обратимой на своей области определения (т.е. является строго монотонной). Если нет, то необходимо сузить ее область определения до промежутка, на котором она строго монотонна.
2. В уравнении $y = f(x)$ выразить переменную $x$ через $y$. Мы получим уравнение вида $x = g(y)$.
3. В полученном уравнении поменять местами переменные $x$ и $y$. Получится функция $y = g(x)$, которая и является обратной к исходной: $f^{-1}(x) = g(x)$.

Пример 1: Степенная функция с нечетным натуральным показателем

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3$.

1. Проверка на обратимость. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта функция является строго возрастающей на всей своей области определения, следовательно, она обратима.

2. Выражение $x$ через $y$. Из уравнения $y = x^3$ выражаем $x$. Для этого извлекаем кубический корень из обеих частей: $x = \sqrt[3]{y}$.

3. Замена переменных. Меняем $x$ и $y$ местами: $y = \sqrt[3]{x}$.

Таким образом, обратная функция для $f(x) = x^3$ это $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$. Графики этих функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратной функцией для степенной функции $f(x) = x^n$ с нечетным натуральным показателем $n$ является функция $f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x}$, определенная на всей числовой оси. Для $f(x) = x^3$ обратной является $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$.

Пример 2: Степенная функция с четным натуральным показателем

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$.

1. Проверка на обратимость. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Функция не является монотонной на всей области определения: она убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Это значит, что она не является обратимой на $D(f)$. Например, $f(-2) = 4$ и $f(2) = 4$.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо сузить область определения до промежутка строгой монотонности. Чаще всего выбирают промежуток, где $x \ge 0$.

Рассмотрим новую функцию $f_1(x) = x^2$, но с областью определения $D(f_1) = [0; +\infty)$. На этом промежутке функция $f_1(x)$ строго возрастает. Ее область значений $E(f_1) = [0; +\infty)$. Теперь она обратима.

2. Выражение $x$ через $y$. Из уравнения $y = x^2$, зная, что $x \ge 0$, выражаем $x$. Извлекая квадратный корень, получаем $x = \sqrt{y}$ (мы выбираем арифметический корень, так как $x$ неотрицателен).

3. Замена переменных. Меняем $x$ и $y$ местами: $y = \sqrt{x}$.

Таким образом, для функции $f_1(x) = x^2$ на области определения $x \in [0; +\infty)$ обратной является функция $f_1^{-1}(x) = \sqrt{x}$.

Ответ: Степенная функция $f(x) = x^n$ с четным натуральным показателем $n$ не является обратимой на всей числовой оси. Для нахождения обратной функции ее область определения сужают, как правило, до $x \in [0; +\infty)$. На этом промежутке обратной для $f(x) = x^n$ является функция $f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x}$. Для $f(x) = x^2$, $x \ge 0$, обратной является $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$.

4. Числа Гаусса.

Определение и общие сведения

Числа Гаусса (или гауссовы целые числа) — это комплексные числа, у которых и действительная, и мнимая части являются целыми числами. Любое гауссово число $z$ может быть представлено в виде: $z = a + bi$ где $a, b \in \mathbb{Z}$ (являются целыми числами), а $i$ — мнимая единица, такая что $i^2 = -1$.

Множество всех гауссовых чисел обозначается как $\mathbb{Z}[i]$. Примерами гауссовых чисел являются $2+3i$, $5$ (или $5+0i$), $-4i$ (или $0-4i$). Обычные целые числа являются подмножеством гауссовых чисел.

С точки зрения геометрии, гауссовы числа образуют на комплексной плоскости бесконечную решётку, узлы которой соответствуют точкам с целочисленными координатами.

Ответ: Гауссовы числа — это комплексные числа вида $a+bi$, где $a$ и $b$ — целые числа. Они образуют целочисленную решётку на комплексной плоскости.

Арифметические операции и структура кольца

Арифметические операции над гауссовыми числами выполняются по тем же правилам, что и для обычных комплексных чисел. Пусть есть два гауссовых числа $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$.

• Сложение: $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$
• Вычитание: $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$
• Умножение: $z_1 \cdot z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$

Результат этих операций всегда является гауссовым числом, так как суммы, разности и произведения целых чисел также являются целыми. Множество $\mathbb{Z}[i]$ с операциями сложения и умножения образует коммутативное кольцо с единицей, которое является подкольцом поля комплексных чисел $\mathbb{C}$.

Ответ: Сложение, вычитание и умножение гауссовых чисел производятся по стандартным правилам для комплексных чисел, и результат всегда является гауссовым числом. Множество гауссовых чисел $\mathbb{Z}[i]$ образует коммутативное кольцо.

Норма гауссова числа

Важнейшей характеристикой гауссова числа $z = a+bi$ является его норма, которая определяется как произведение числа на его комплексно-сопряженное: $N(z) = z \cdot \bar{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2$

Свойства нормы:

• Норма гауссова числа всегда является неотрицательным целым числом.
• $N(z) = 0$ тогда и только тогда, когда $z=0$.
• Норма мультипликативна, то есть для любых гауссовых чисел $z_1$ и $z_2$ выполняется: $N(z_1 \cdot z_2) = N(z_1) \cdot N(z_2)$.

Норма является ключевым инструментом для изучения вопросов делимости в кольце $\mathbb{Z}[i]$, так как она переводит задачу из комплексной области в область целых чисел.

Ответ: Норма гауссова числа $z=a+bi$ — это целое число $N(z) = a^2+b^2$. Она неотрицательна и мультипликативна, то есть норма произведения равна произведению норм.

Делимость, делители единицы и простые числа

Понятие делимости в $\mathbb{Z}[i]$ аналогично делимости в целых числах. Говорят, что $\alpha$ делит $\beta$ ($\alpha | \beta$), если существует такое гауссово число $\gamma$, что $\beta = \alpha\gamma$. Из свойства мультипликативности нормы следует, что если $\alpha|\beta$, то $N(\alpha)|N(\beta)$ в кольце целых чисел $\mathbb{Z}$.

Делители единицы (или обратимые элементы) — это такие гауссовы числа $\varepsilon$, которые делят 1. Это эквивалентно условию $N(\varepsilon) = 1$. Уравнение $a^2+b^2=1$ в целых числах имеет четыре решения. Таким образом, в $\mathbb{Z}[i]$ существует четыре делителя единицы: $1, -1, i, -i$.

Простое гауссово число — это ненулевое гауссово число, не являющееся делителем единицы, которое делится без остатка только на делители единицы и на ассоциированные с ним числа (т.е. на числа вида $\varepsilon \cdot z$).

Связь между простыми числами в $\mathbb{Z}$ и в $\mathbb{Z}[i]$:

• Простое целое число $p$ вида $p \equiv 3 \pmod 4$ (например, 3, 7, 11) остаётся простым и в кольце гауссовых чисел.
• Простое целое число $p$ вида $p \equiv 1 \pmod 4$ (например, 5, 13, 17) перестаёт быть простым в $\mathbb{Z}[i]$ и разлагается на произведение двух сопряжённых простых гауссовых чисел: $p = a^2+b^2 = (a+bi)(a-bi)$. Например, $5=(1+2i)(1-2i)$.
• Число 2 также разлагается: $2 = (1+i)(1-i)$. Так как $1-i = -i(1+i)$, то $2 = -i(1+i)^2$. Здесь простым гауссовым числом является $1+i$ (и ассоциированные с ним).

Ответ: Делимость в $\mathbb{Z}[i]$ определяется аналогично целым числам. Делителями единицы являются $1, -1, i, -i$. Простые целые числа вида $4k+3$ остаются простыми в $\mathbb{Z}[i]$, в то время как 2 и простые вида $4k+1$ разлагаются на множители.

Основная теорема арифметики для гауссовых чисел

Кольцо гауссовых чисел $\mathbb{Z}[i]$ является евклидовым кольцом. Это означает, что для любых двух гауссовых чисел $\alpha$ и $\beta$ ($\beta \neq 0$) существует пара гауссовых чисел $\gamma$ (частное) и $\rho$ (остаток) таких, что $\alpha = \beta\gamma + \rho$, причём норма остатка строго меньше нормы делителя: $N(\rho) < N(\beta)$. В качестве евклидовой функции здесь выступает норма.

Важнейшим следствием евклидовости является то, что в кольце $\mathbb{Z}[i]$ справедлива основная теорема арифметики: любое гауссово число (не нуль и не делитель единицы) можно разложить на произведение простых гауссовых чисел, и это разложение единственно с точностью до порядка сомножителей и их замены на ассоциированные числа.

Например, разложение целого числа 30 на простые множители в $\mathbb{Z}[i]$ выглядит так: $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 = (-i(1+i)^2) \cdot 3 \cdot (1+2i)(1-2i)$

Ответ: Кольцо гауссовых чисел является евклидовым, что гарантирует единственность разложения любого гауссова числа на простые гауссовы множители (аналогично основной теореме арифметики для целых чисел).

Решите уравнение:

14.24. a) $2^{x^2+1} = 7;$

б) $9^{0.5x^2} = 2;$

в) $0.1^{x^2-2} = 3;$

г) $\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}x^2+1} = 0.1;$

а) $2^{x^2 + 1} = 7$

Это показательное уравнение. Чтобы его решить, прологарифмируем обе части по основанию 2:

$\log_2(2^{x^2 + 1}) = \log_2(7)$

Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, упростим левую часть:

$x^2 + 1 = \log_2(7)$

Теперь выразим $x^2$:

$x^2 = \log_2(7) - 1$

Так как $7 > 2$, то $\log_2(7) > \log_2(2) = 1$, а значит $\log_2(7) - 1 > 0$. Следовательно, уравнение имеет действительные корни.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{\log_2(7) - 1}$

Ответ: $\pm\sqrt{\log_2(7) - 1}$

б) $9^{0,5x^2} = 2$

Представим основание 9 в виде степени числа 3, то есть $9 = 3^2$:

$(3^2)^{0,5x^2} = 2$

По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$3^{2 \cdot 0,5x^2} = 2$

$3^{x^2} = 2$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:

$\log_3(3^{x^2}) = \log_3(2)$

$x^2 = \log_3(2)$

Поскольку $2 > 1$, то $\log_3(2) > 0$, значит, уравнение имеет действительные корни.

Извлекаем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\log_3(2)}$

Ответ: $\pm\sqrt{\log_3(2)}$

в) $0,1^{x^2 - 2} = 3$

Представим основание 0,1 как $10^{-1}$:

$(10^{-1})^{x^2 - 2} = 3$

$10^{-(x^2 - 2)} = 3$

$10^{2 - x^2} = 3$

Прологарифмируем обе части по основанию 10 (возьмем десятичный логарифм $\lg$):

$\lg(10^{2 - x^2}) = \lg(3)$

$2 - x^2 = \lg(3)$

Выразим $x^2$:

$x^2 = 2 - \lg(3)$

Так как $1 < 3 < 10$, то $0 < \lg(3) < 1$. Следовательно, выражение $2 - \lg(3)$ положительно, и уравнение имеет действительные корни.

Извлекаем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{2 - \lg(3)}$

Ответ: $\pm\sqrt{2 - \lg(3)}$

г) $(\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}x^2 + 1} = 0,1$

Представим основания в виде степеней с более удобными числами:

$\frac{1}{8} = 8^{-1} = (2^3)^{-1} = 2^{-3}$

$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(2^{-3})^{\frac{1}{3}x^2 + 1} = 10^{-1}$

Упростим левую часть по свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{-3(\frac{1}{3}x^2 + 1)} = 10^{-1}$

$2^{-x^2 - 3} = 10^{-1}$

Поскольку основания (2 и 10) различны, прологарифмируем обе части. Удобно использовать десятичный логарифм:

$\lg(2^{-x^2 - 3}) = \lg(10^{-1})$

Используя свойство логарифма $\log(a^b) = b \log(a)$, получаем:

$(-x^2 - 3)\lg(2) = -1$

Разделим обе части на $-\lg(2)$:

$x^2 + 3 = \frac{1}{\lg(2)}$

Выразим $x^2$:

$x^2 = \frac{1}{\lg(2)} - 3$

Применим формулу перехода к новому основанию логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$x^2 = \log_2(10) - 3$

Представим 3 в виде логарифма по основанию 2: $3 = \log_2(2^3) = \log_2(8)$

$x^2 = \log_2(10) - \log_2(8)$

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$:

$x^2 = \log_2(\frac{10}{8}) = \log_2(\frac{5}{4})$

Так как $\frac{5}{4} > 1$, то $\log_2(\frac{5}{4}) > 0$. Уравнение имеет действительные корни.

Извлекаем квадратный корень:

$x = \pm\sqrt{\log_2(\frac{5}{4})}$

Ответ: $\pm\sqrt{\log_2(\frac{5}{4})}$

14.25. a) $4^x - 5 \cdot 2^x = -6$;

Б) $16^x = 6 \cdot 4^x - 5$;

В) $9^x - 7 \cdot 3^x = -12$;

Г) $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x$.

а) Исходное уравнение: $4^x - 5 \cdot 2^x = -6$.

Перенесем все члены в левую часть и представим $4^x$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 6 = 0$.

Это уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 2^x$. Поскольку $2^x > 0$ для любого действительного $x$, то и $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 5t + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Оба корня положительны, поэтому они являются допустимыми.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 2$, то $2^x = 2$, откуда $x = 1$.

2. Если $t = 3$, то $2^x = 3$, откуда $x = \log_2 3$.

Ответ: $1; \log_2 3$.

б) Исходное уравнение: $16^x = 6 \cdot 4^x - 5$.

Перенесем все члены в левую часть и представим $16^x$ как $(4^x)^2$:

$(4^x)^2 - 6 \cdot 4^x + 5 = 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 4^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 6t + 5 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Следовательно, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 5$.

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 1$, то $4^x = 1$, что равносильно $4^x = 4^0$, откуда $x = 0$.

2. Если $t = 5$, то $4^x = 5$, откуда $x = \log_4 5$.

Ответ: $0; \log_4 5$.

в) Исходное уравнение: $9^x - 7 \cdot 3^x = -12$.

Перенесем все члены в левую часть и представим $9^x$ как $(3^x)^2$:

$(3^x)^2 - 7 \cdot 3^x + 12 = 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 7t + 12 = 0$.

Найдем корни по теореме Виета: сумма корней 7, произведение 12. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$.

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 3$, то $3^x = 3$, откуда $x = 1$.

2. Если $t = 4$, то $3^x = 4$, откуда $x = \log_3 4$.

Ответ: $1; \log_3 4$.

г) Исходное уравнение: $-9 \cdot 7^x + 14 = -49^x$.

Перенесем все члены в левую часть и представим $49^x$ как $(7^x)^2$:

$49^x - 9 \cdot 7^x + 14 = 0$,

$(7^x)^2 - 9 \cdot 7^x + 14 = 0$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = 7^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - 9t + 14 = 0$.

Найдем корни по теореме Виета: сумма корней 9, произведение 14. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = 7$.

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 2$, то $7^x = 2$, откуда $x = \log_7 2$.

2. Если $t = 7$, то $7^x = 7$, откуда $x = 1$.

Ответ: $1; \log_7 2$.

14.26. a) $9^{x+1} + 6 = 189 \cdot 3^{x-2};$

б) $25^{x+1} + 3 = 100 \cdot 5^{x-1};$

В) $4^{x+1} + 5 = 24 \cdot 2^{x-1};$

Г) $\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} + 3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}.$

а) $9^{x+1} + 6 = 189 \cdot 3^{x-2}$
Приведем все степени к основанию 3. Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
$9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2(x+1)} = 3^{2x+2} = 3^{2x} \cdot 3^2 = 9 \cdot (3^x)^2$.
$3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot 3^x$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$9 \cdot (3^x)^2 + 6 = 189 \cdot \frac{1}{9} \cdot 3^x$
$9 \cdot (3^x)^2 + 6 = 21 \cdot 3^x$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
$9t^2 + 6 = 21t$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$9t^2 - 21t + 6 = 0$
Разделим уравнение на 3 для упрощения:
$3t^2 - 7t + 2 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 = 5^2$
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 5}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 5}{6}$
$t_1 = \frac{7+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$
$t_2 = \frac{7-5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Оба корня положительны, поэтому оба подходят. Вернемся к замене $t = 3^x$:
1) $3^x = 2 \Rightarrow x = \log_3 2$
2) $3^x = \frac{1}{3} \Rightarrow 3^x = 3^{-1} \Rightarrow x = -1$
Ответ: $-1; \log_3 2$.

б) $25^{x+1} + 3 = 100 \cdot 5^{x-1}$
Приведем все степени к основанию 5.
$25^{x+1} = (5^2)^{x+1} = 5^{2(x+1)} = 5^{2x+2} = 5^{2x} \cdot 5^2 = 25 \cdot (5^x)^2$.
$5^{x-1} = 5^x \cdot 5^{-1} = \frac{1}{5} \cdot 5^x$.
Подставим в уравнение:
$25 \cdot (5^x)^2 + 3 = 100 \cdot \frac{1}{5} \cdot 5^x$
$25 \cdot (5^x)^2 + 3 = 20 \cdot 5^x$
Сделаем замену $t = 5^x$, где $t > 0$.
$25t^2 + 3 = 20t$
$25t^2 - 20t + 3 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 25 \cdot 3 = 400 - 300 = 100 = 10^2$
$t_{1,2} = \frac{20 \pm 10}{2 \cdot 25} = \frac{20 \pm 10}{50}$
$t_1 = \frac{20+10}{50} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}$
$t_2 = \frac{20-10}{50} = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$
Оба корня положительны. Вернемся к замене $t = 5^x$:
1) $5^x = \frac{3}{5} \Rightarrow x = \log_5\left(\frac{3}{5}\right) = \log_5 3 - \log_5 5 = \log_5 3 - 1$
2) $5^x = \frac{1}{5} \Rightarrow 5^x = 5^{-1} \Rightarrow x = -1$
Ответ: $-1; \log_5 3 - 1$.

в) $4^{x+1} + 5 = 24 \cdot 2^{x-1}$
Приведем все степени к основанию 2.
$4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = 4 \cdot (2^x)^2$.
$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$.
Подставим в уравнение:
$4 \cdot (2^x)^2 + 5 = 24 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x$
$4 \cdot (2^x)^2 + 5 = 12 \cdot 2^x$
Сделаем замену $t = 2^x$, где $t > 0$.
$4t^2 + 5 = 12t$
$4t^2 - 12t + 5 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64 = 8^2$
$t_{1,2} = \frac{12 \pm 8}{2 \cdot 4} = \frac{12 \pm 8}{8}$
$t_1 = \frac{12+8}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$
$t_2 = \frac{12-8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
Оба корня положительны. Вернемся к замене $t = 2^x$:
1) $2^x = \frac{5}{2} \Rightarrow x = \log_2\left(\frac{5}{2}\right) = \log_2 5 - \log_2 2 = \log_2 5 - 1$
2) $2^x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2^x = 2^{-1} \Rightarrow x = -1$
Ответ: $-1; \log_2 5 - 1$.

г) $\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} + 3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}$
Приведем все степени к основанию $\frac{1}{2}$.
$\left(\frac{1}{4}\right)^{x+1} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)^{x+1} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2(x+1)} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x+2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right)^2$.
$\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1} = \left(\frac{1}{2}\right)^x \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$.
Подставим в уравнение:
$\frac{1}{4} \cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^x\right)^2 + 3 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$
Сделаем замену $t = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, где $t > 0$.
$\frac{1}{4}t^2 + 3 = 2t$
Умножим уравнение на 4, чтобы избавиться от дроби:
$t^2 + 12 = 8t$
$t^2 - 8t + 12 = 0$
Найдем корни. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение 12. Это корни 2 и 6.
$t_1 = 2$, $t_2 = 6$.
Оба корня положительны. Вернемся к замене $t = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ или $t = 2^{-x}$:
1) $2^{-x} = 2 \Rightarrow 2^{-x} = 2^1 \Rightarrow -x=1 \Rightarrow x = -1$
2) $2^{-x} = 6 \Rightarrow -x = \log_2 6 \Rightarrow x = -\log_2 6$
Ответ: $-1; -\log_2 6$.

Решите неравенство:

14.27. а) $2^x \ge 9$;

б) $12^x \le 7$;

в) $\left(\frac{1}{3}\right)^x < 4$;

г) $(0,2)^x > 5$.

а) $2^x \ge 9$

Чтобы решить данное показательное неравенство, прологарифмируем обе его части по основанию 2. Так как основание $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей, поэтому знак неравенства при логарифмировании сохраняется.

$\log_2(2^x) \ge \log_2(9)$

Используя основное логарифмическое свойство $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$x \ge \log_2(9)$

Решение в виде числового промежутка: $[\log_2(9); +\infty)$.

Ответ: $x \in [\log_2(9); +\infty)$.

б) $12^x \le 7$

Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 12. Так как основание $a=12$ больше единицы ($12 > 1$), знак неравенства сохраняется.

$\log_{12}(12^x) \le \log_{12}(7)$

Упрощая левую часть на основе свойства логарифма, получаем:

$x \le \log_{12}(7)$

Решение в виде числового промежутка: $(-\infty; \log_{12}(7)]$.

Ответ: $x \in (-\infty; \log_{12}(7)]$.

в) $(\frac{1}{3})^x < 4$

Представим левую часть неравенства в виде степени с основанием 3:

$(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$

Неравенство принимает вид:

$3^{-x} < 4$

Прологарифмируем обе части по основанию 3. Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется.

$\log_3(3^{-x}) < \log_3(4)$

$-x < \log_3(4)$

Умножим обе части на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -\log_3(4)$

Решение в виде числового промежутка: $(-\log_3(4); +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\log_3(4); +\infty)$.

г) $(0,2)^x > 5$

Представим основание 0,2 в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{5})^x > 5$

Теперь представим обе части неравенства в виде степеней с одинаковым основанием 5:

$(\frac{1}{5})^x = (5^{-1})^x = 5^{-x}$

$5 = 5^1$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$5^{-x} > 5^1$

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует больший показатель степени. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак:

$-x > 1$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x < -1$

Решение в виде числового промежутка: $(-\infty; -1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

14.28. a) $3^{x+1} \le 14;$

б) $5^{5x-4} \ge 10;$

B) $(\frac{2}{7})^{3-x} > 11;$

Г) $(\sqrt{5})^{8-9x} < 6.$

а)

Исходное неравенство: $3^{x+1} \le 14$.
Это показательное неравенство. Для его решения прологарифмируем обе части по основанию 3. Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция $y=\log_3(t)$ является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется.
$\log_3(3^{x+1}) \le \log_3(14)$
Используя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, упрощаем левую часть:
$x+1 \le \log_3(14)$
Теперь выразим x:
$x \le \log_3(14) - 1$
Для упрощения ответа, представим 1 в виде логарифма по основанию 3: $1 = \log_3(3)$.
$x \le \log_3(14) - \log_3(3)$
Применяя свойство разности логарифмов $\log_a(b) - \log_a(c) = \log_a(\frac{b}{c})$, получаем окончательный вид:
$x \le \log_3(\frac{14}{3})$
Таким образом, решением неравенства является промежуток $(-\infty, \log_3(\frac{14}{3})]$.

Ответ: $x \in (-\infty, \log_3(\frac{14}{3})]$.

б)

Исходное неравенство: $5^{5x-4} \ge 10$.
Прологарифмируем обе части этого неравенства по основанию 5. Так как основание $5 > 1$, функция $y=\log_5(t)$ является возрастающей, и знак неравенства не меняется.
$\log_5(5^{5x-4}) \ge \log_5(10)$
Упростим левую часть по свойству логарифма:
$5x-4 \ge \log_5(10)$
Теперь решим полученное линейное неравенство относительно x:
$5x \ge 4 + \log_5(10)$
$x \ge \frac{4 + \log_5(10)}{5}$
Решением неравенства является промежуток $[\frac{4 + \log_5(10)}{5}, +\infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{4 + \log_5(10)}{5}, +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $(\frac{2}{7})^{3-x} > 11$.
Прологарифмируем обе части по основанию $\frac{2}{7}$. Так как основание логарифма $0 < \frac{2}{7} < 1$, логарифмическая функция $y=\log_{2/7}(t)$ является убывающей. Поэтому при логарифмировании знак неравенства необходимо изменить на противоположный.
$\log_{2/7}((\frac{2}{7})^{3-x}) < \log_{2/7}(11)$
Упростим левую часть:
$3-x < \log_{2/7}(11)$
Выразим x:
$-x < \log_{2/7}(11) - 3$
Умножим обе части на -1, при этом снова изменяя знак неравенства на противоположный:
$x > -( \log_{2/7}(11) - 3)$
$x > 3 - \log_{2/7}(11)$
Решением неравенства является промежуток $(3 - \log_{2/7}(11), +\infty)$.

Ответ: $x \in (3 - \log_{2/7}(11), +\infty)$.

г)

Исходное неравенство: $(\sqrt{5})^{8-9x} < 6$.
Сначала преобразуем основание степени: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.
Неравенство принимает вид: $(5^{1/2})^{8-9x} < 6$.
Используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$5^{\frac{1}{2}(8-9x)} < 6$
$5^{4 - \frac{9}{2}x} < 6$
Прологарифмируем обе части по основанию 5. Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется.
$\log_5(5^{4 - \frac{9}{2}x}) < \log_5(6)$
$4 - \frac{9}{2}x < \log_5(6)$
Решаем полученное линейное неравенство относительно x:
$-\frac{9}{2}x < \log_5(6) - 4$
Умножим обе части на $-\frac{2}{9}$. Так как мы умножаем на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный.
$x > -\frac{2}{9}(\log_5(6) - 4)$
$x > \frac{2}{9}(4 - \log_5(6))$
Решением неравенства является промежуток $(\frac{2}{9}(4 - \log_5(6)), +\infty)$.

Ответ: $x \in (\frac{2}{9}(4 - \log_5(6)), +\infty)$.

14.29. a) $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} \ge -6;$

б) $16^{x} \le 6 \cdot 4^{x} - 5;$

В) $9^{x} - 7 \cdot 3^{x} < -12;$

Г) $9 \cdot 7^{x} + 14 > -49^{x}.$

а) $4^x - 5 \cdot 2^x \ge -6$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 6 \ge 0$

Представим $4^x$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 6 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:

$t^2 - 5t + 6 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 5t + 6$. Решая уравнение $t^2 - 5t + 6 = 0$, по теореме Виета находим корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 3$.

Графиком функции $y = t^2 - 5t + 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны ($y \ge 0$) при $t \le 2$ или $t \ge 3$.

Учитывая ограничение $t > 0$, получаем совокупность решений для $t$:

$\begin{cases} t \le 2 \\ t > 0 \end{cases}$ или $t \ge 3$.

Это эквивалентно $0 < t \le 2$ или $t \ge 3$.

Выполним обратную замену:

1) $0 < 2^x \le 2$. Левая часть неравенства, $2^x > 0$, верна для любого $x$. Правая часть: $2^x \le 2^1$. Так как основание $2 > 1$, функция возрастающая, то $x \le 1$.

2) $2^x \ge 3$. Логарифмируя обе части по основанию 2, получаем $x \ge \log_2 3$.

Объединяя полученные решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [\log_2 3, +\infty)$.

б) $16^x \le 6 \cdot 4^x - 5$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$16^x - 6 \cdot 4^x + 5 \le 0$

Так как $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$, перепишем неравенство:

$(4^x)^2 - 6 \cdot 4^x + 5 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Условие на новую переменную: $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 6t + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 6t + 5 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 5$.

Парабола $y = t^2 - 6t + 5$ с ветвями вверх, поэтому $y \le 0$ при $1 \le t \le 5$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$1 \le 4^x \le 5$

Это двойное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 4^x \ge 1 \\ 4^x \le 5 \end{cases}$

1) $4^x \ge 1 \implies 4^x \ge 4^0$. Так как основание $4 > 1$, то $x \ge 0$.

2) $4^x \le 5$. Логарифмируя по основанию 4, получаем $x \le \log_4 5$.

Пересекая решения, получаем $0 \le x \le \log_4 5$.

Ответ: $x \in [0, \log_4 5]$.

в) $9^x - 7 \cdot 3^x < -12$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$9^x - 7 \cdot 3^x + 12 < 0$

Так как $9^x = (3^x)^2$, неравенство принимает вид:

$(3^x)^2 - 7 \cdot 3^x + 12 < 0$

Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 7t + 12 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 7t + 12 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 3$, $t_2 = 4$.

Парабола $y = t^2 - 7t + 12$ с ветвями вверх, поэтому $y < 0$ при $3 < t < 4$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$3 < 3^x < 4$

Рассмотрим двойное неравенство:

1) $3^x > 3 \implies 3^x > 3^1$. Так как основание $3 > 1$, то $x > 1$.

2) $3^x < 4$. Логарифмируя по основанию 3, получаем $x < \log_3 4$.

Объединяя, получаем $1 < x < \log_3 4$.

Ответ: $x \in (1, \log_3 4)$.

г) $9 \cdot 7^x + 14 > -49^x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$49^x + 9 \cdot 7^x + 14 > 0$

Так как $49^x = (7^x)^2$, перепишем неравенство:

$(7^x)^2 + 9 \cdot 7^x + 14 > 0$

Сделаем замену $t = 7^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 + 9t + 14 > 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 9t + 14 = 0$. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$.

Корни $t_{1,2} = \frac{-9 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-9 \pm 5}{2}$.

$t_1 = -7$, $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 + 9t + 14$ с ветвями вверх, поэтому $y > 0$ при $t < -7$ или $t > -2$.

Учитывая условие $t > 0$, находим пересечение множеств $(-\infty, -7) \cup (-2, +\infty)$ и $(0, +\infty)$.

Пересечением является интервал $(0, +\infty)$, то есть $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$7^x > 0$

Показательная функция $y = a^x$ при $a>0, a \ne 1$ всегда положительна. Следовательно, неравенство $7^x > 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

14.30. Решите уравнение с параметром a:

a) $4^x - 2^x + a = a \cdot 2^x;$

б) $9^x - (2a + 1) \cdot 3^x + a^2 + a - 2 = 0.$

а)

Исходное уравнение: $4^x - 2^x + a = a \cdot 2^x$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть и сгруппируем их:

$4^x - 2^x - a \cdot 2^x + a = 0$

Представим $4^x$ как $(2^x)^2$ и вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$(2^x)^2 - (1+a) \cdot 2^x + a = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то должно выполняться условие $t > 0$.

После замены получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - (1+a)t + a = 0$

Решим это уравнение. Можно применить теорему Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = 1+a$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = a$. Отсюда легко подобрать корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = a$.

Теперь выполним обратную замену $t = 2^x$, учитывая ограничение $t > 0$.

1. Для корня $t_1 = 1$:

$2^x = 1 \implies 2^x = 2^0 \implies x = 0$.

Этот корень существует при любом значении параметра $a$.

2. Для корня $t_2 = a$:

$2^x = a$.

Это уравнение имеет решение только в том случае, если его правая часть положительна, то есть $a > 0$. Если это условие выполняется, то $x = \log_2 a$.

Проанализируем полученные результаты в зависимости от значений параметра $a$.

- Если $a \le 0$, корень $t_2 = a$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним. В этом случае исходное уравнение имеет только одно решение: $x=0$.

- Если $a > 0$, оба корня для $t$ ($1$ и $a$) положительны. Следовательно, исходное уравнение имеет два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \log_2 a$.

Необходимо также рассмотреть случай, когда эти два решения совпадают: $0 = \log_2 a \implies a = 2^0 \implies a = 1$. При $a=1$ уравнение имеет один корень $x=0$.

Объединим все случаи.

Ответ: если $a \in (-\infty, 0] \cup \{1\}$, то $x=0$; если $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$, то $x_1=0$, $x_2=\log_2 a$.

б)

Исходное уравнение: $9^x - (2a + 1) \cdot 3^x + a^2 + a - 2 = 0$.

Заметим, что $9^x = (3^x)^2$. Данное уравнение является квадратным относительно $3^x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$, то $y > 0$.

В результате замены получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - (2a + 1)y + (a^2 + a - 2) = 0$

Для решения этого уравнения найдем его дискриминант $D$:

$D = (-(2a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + a - 2) = (4a^2 + 4a + 1) - (4a^2 + 4a - 8) = 9$.

Поскольку $D = 9 > 0$, уравнение для $y$ всегда имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

$y = \frac{-(-(2a+1)) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{2a+1 \pm 3}{2}$

Получаем два корня для $y$:

$y_1 = \frac{2a+1+3}{2} = \frac{2a+4}{2} = a+2$

$y_2 = \frac{2a+1-3}{2} = \frac{2a-2}{2} = a-1$

Теперь вернемся к переменной $x$ через замену $y = 3^x$. Мы должны решить два уравнения, учитывая условие $y>0$:

1) $3^x = a+2$

2) $3^x = a-1$

Решения для $x$ существуют только в том случае, если правые части этих уравнений положительны.

1. Уравнение $3^x = a+2$ имеет решение, если $a+2 > 0$, то есть $a > -2$. В этом случае $x = \log_3(a+2)$.

2. Уравнение $3^x = a-1$ имеет решение, если $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. В этом случае $x = \log_3(a-1)$.

Проанализируем количество решений в зависимости от параметра $a$, используя ключевые точки $a=-2$ и $a=1$.

- Если $a \le -2$, то $a+2 \le 0$ и $a-1 < 0$. Оба значения $y_1$ и $y_2$ неположительны, следовательно, ни одно из уравнений для $x$ не имеет решений. Исходное уравнение не имеет корней.

- Если $-2 < a \le 1$, то $a+2 > 0$, а $a-1 \le 0$. В этом случае только корень $y_1=a+2$ положителен. Исходное уравнение имеет единственное решение: $x = \log_3(a+2)$.

- Если $a > 1$, то $a+2 > 0$ и $a-1 > 0$. Оба корня $y_1$ и $y_2$ положительны. Исходное уравнение имеет два различных решения: $x_1 = \log_3(a+2)$ и $x_2 = \log_3(a-1)$ (решения различны, так как $a+2 \ne a-1$).

Ответ: если $a \le -2$, то решений нет; если $-2 < a \le 1$, то $x = \log_3(a+2)$; если $a > 1$, то $x_1 = \log_3(a+2)$, $x_2 = \log_3(a-1)$.

14.31. Постройте график функции:

а) $y = \log_x x^2$;

б) $y = 2^{\log_2 x}$;

в) $y = x^{\log_x 2}$;

г) $y = \log_x \frac{1}{x}$.

а) $y = \log_x x^2$

Для построения графика функции сначала найдём её область определения (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть больше нуля и не равно единице, а выражение под знаком логарифма $x^2$ должно быть строго больше нуля.

$\begin{cases}x > 0 \\x \neq 1 \\x^2 > 0\end{cases}$

Условие $x^2 > 0$ выполняется для всех $x$, кроме $x=0$. Учитывая первые два условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Теперь упростим данную функцию на её области определения. Воспользуемся свойством логарифма степени: $\log_a b^c = c \log_a b$.

$y = \log_x x^2 = 2\log_x x$

По определению логарифма, $\log_x x = 1$ для любого допустимого $x$. Следовательно, функция принимает постоянное значение:

$y = 2$

Таким образом, график функции представляет собой горизонтальную прямую $y=2$. Однако, из-за ограничений ОДЗ, на этой прямой должна быть выколота точка, абсцисса которой не входит в область определения, то есть $x=1$. Координаты выколотой точки — $(1, 2)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=2$ с выколотой точкой $(1, 2)$, определенная на множестве $(0, 1) \cup (1, \infty)$.

б) $y = 2^{\log_2 x}$

Найдём область определения функции. Выражение $\log_2 x$ определено только для положительных значений $x$.

ОДЗ: $x > 0$.

Упростим функцию, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.

$y = 2^{\log_2 x} = x$

Функция тождественно равна $y=x$ на всей своей области определения.

Графиком функции $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов к оси абсцисс. Но с учётом ОДЗ ($x > 0$), мы должны рассматривать только ту часть прямой, которая лежит в первой координатной четверти. Точка $(0,0)$ не принадлежит графику, так как $x=0$ не входит в ОДЗ. Эта точка является выколотой.

Ответ: График функции — это луч $y=x$, исходящий из начала координат (точка $(0,0)$ выколота), расположенный в первой координатной четверти.

в) $y = x^{\log_x 2}$

Найдём область определения функции. В выражении $x^{\log_x 2}$ переменная $x$ является одновременно и основанием степени, и основанием логарифма. Поэтому на $x$ накладываются следующие ограничения: $x$ должен быть больше нуля и не равен единице.

ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Упростим функцию, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В данном случае $a=x$ и $b=2$.

$y = x^{\log_x 2} = 2$

Функция является константой $y=2$ на всей своей области определения.

График этой функции — горизонтальная прямая $y=2$. Учитывая ОДЗ, из этой прямой необходимо исключить точку с абсциссой $x=1$. Координаты выколотой точки — $(1, 2)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=2$ с выколотой точкой $(1, 2)$, определенная на множестве $(0, 1) \cup (1, \infty)$.

г) $y = \log_x \frac{1}{x}$

Найдём область определения функции. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице. Аргумент логарифма $\frac{1}{x}$ должен быть положительным.

$\begin{cases}x > 0 \\x \neq 1 \\\frac{1}{x} > 0\end{cases}$

Неравенство $\frac{1}{x} > 0$ выполняется, когда $x > 0$. Таким образом, ОДЗ функции: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

Упростим выражение для функции. Представим аргумент логарифма в виде степени: $\frac{1}{x} = x^{-1}$.

$y = \log_x (x^{-1})$

Используя свойство логарифма $\log_a b^c = c \log_a b$, получаем:

$y = -1 \cdot \log_x x$

Так как $\log_x x = 1$ для всех $x$ из ОДЗ, то:

$y = -1$

Графиком функции является горизонтальная прямая $y=-1$. С учётом ОДЗ, точка с абсциссой $x=1$ не принадлежит графику, поэтому её нужно выколоть. Координаты выколотой точки — $(1, -1)$.

Ответ: График функции — это прямая $y=-1$ с выколотой точкой $(1, -1)$, определенная на множестве $(0, 1) \cup (1, \infty)$.

15.1. Какие из указанных функций являются логарифмическими:

а) $y = \log_2 4 + x;$

б) $y = \log_3 \pi - 3x;$

в) $y = \log_{0,5} x - \log_4 2;$

г) $y = \log_{0,2} \pi + 9x?$

Логарифмической функцией называется функция вида $y = \log_a x$, где основание $a$ — положительное число, не равное 1 ($a > 0, a \neq 1$). Ключевым признаком логарифмической функции является то, что независимая переменная (в данном случае $x$) находится под знаком логарифма. Проанализируем каждую из предложенных функций.

а) $y = \log_2 4 + x$

В этой функции слагаемое $\log_2 4$ является константой, так как логарифм берется от конкретного числа. Вычислим его значение: $\log_2 4 = \log_2 (2^2) = 2$.

Таким образом, функция принимает вид $y = 2 + x$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$, где коэффициент $k=1$ и свободный член $b=2$. Переменная $x$ не находится под знаком логарифма.

Ответ: не является логарифмической.

б) $y = \log_3 \pi - 3x$

В этой функции слагаемое $\log_3 \pi$ является константой, так как $\pi$ — это константа. Обозначим эту константу как $C = \log_3 \pi$.

Тогда функция принимает вид $y = C - 3x$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$, где $k=-3$ и $b=C=\log_3 \pi$. Переменная $x$ не находится под знаком логарифма.

Ответ: не является логарифмической.

в) $y = \log_{0.5} x - \log_4 2$

В данной функции слагаемое $\log_{0.5} x$ содержит переменную $x$ в качестве аргумента логарифма. Основание логарифма $a=0.5$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$.

Слагаемое $\log_4 2$ является константой. Вычислим его значение: $\log_4 2 = \log_{2^2} 2 = \frac{1}{2}\log_2 2 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, функция имеет вид $y = \log_{0.5} x - \frac{1}{2}$. Это функция является преобразованием (сдвигом вниз на $\frac{1}{2}$) основной логарифмической функции $y = \log_{0.5} x$.

Ответ: является логарифмической.

г) $y = \log_{0.2} \pi + 9x$

В этой функции слагаемое $\log_{0.2} \pi$ является константой, так как $\pi$ — это константа. Обозначим эту константу как $C = \log_{0.2} \pi$.

Тогда функция принимает вид $y = C + 9x$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$, где $k=9$ и $b=C=\log_{0.2} \pi$. Переменная $x$ не находится под знаком логарифма.

Ответ: не является логарифмической.