Страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

15.2. Найдите значение логарифмической функции $y = \log_3 x$

в указанных точках:

а) $3^7$;

б) $3^{-3}$;

в) $3^{18}$;

г) $3^{-1,7}$.

Для нахождения значения логарифмической функции $y = \log_3 x$ в заданных точках, необходимо подставить значение аргумента $x$ в функцию и вычислить логарифм. В данном случае удобно использовать основное свойство логарифма: $\log_a(a^b) = b$.

а)

Найдём значение функции в точке $x = 3^7$.

Подставляем $x$ в уравнение функции:

$y = \log_3(3^7)$

По свойству логарифма $\log_a(a^b) = b$, где основание $a=3$ и показатель степени $b=7$, получаем:

$y = 7$

Ответ: 7

б)

Найдём значение функции в точке $x = 3^{-3}$.

Подставляем $x$ в уравнение функции:

$y = \log_3(3^{-3})$

Используя то же свойство логарифма, где $a=3$ и $b=-3$, получаем:

$y = -3$

Ответ: -3

в)

Найдём значение функции в точке $x = 3^{18}$.

Подставляем $x$ в уравнение функции:

$y = \log_3(3^{18})$

Используя свойство логарифма, где $a=3$ и $b=18$, получаем:

$y = 18$

Ответ: 18

г)

Найдём значение функции в точке $x = 3^{-1,7}$.

Подставляем $x$ в уравнение функции:

$y = \log_3(3^{-1,7})$

Используя свойство логарифма, где $a=3$ и $b=-1,7$, получаем:

$y = -1,7$

Ответ: -1,7

Найдите значение логарифмической функции $y = \log_2 x$

в указанных точках:

15.3. a) $x_1 = 4, x_2 = 8, x_3 = 16;$

б) $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = \frac{1}{4}, x_3 = \frac{1}{16};$

в) $x_1 = 32, x_2 = 128, x_3 = 2;$

г) $x_1 = \frac{1}{8}, x_2 = \frac{1}{32}, x_3 = \frac{1}{128}.$

а)

При $x_1 = 4$: значение функции $y = \log_2 4$. По определению логарифма, мы ищем показатель степени $y$, для которого $2^y = 4$. Поскольку $4 = 2^2$, то $y = 2$.

При $x_2 = 8$: значение функции $y = \log_2 8$. Мы ищем $y$, для которого $2^y = 8$. Поскольку $8 = 2^3$, то $y = 3$.

При $x_3 = 16$: значение функции $y = \log_2 16$. Мы ищем $y$, для которого $2^y = 16$. Поскольку $16 = 2^4$, то $y = 4$.

Ответ: 2; 3; 4.

б)

При $x_1 = \frac{1}{2}$: значение функции $y = \log_2 \frac{1}{2}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. Следовательно, $y = -1$.

При $x_2 = \frac{1}{4}$: значение функции $y = \log_2 \frac{1}{4}$. Так как $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$, то $y = -2$.

При $x_3 = \frac{1}{16}$: значение функции $y = \log_2 \frac{1}{16}$. Так как $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$, то $y = -4$.

Ответ: -1; -2; -4.

в)

При $x_1 = 32$: значение функции $y = \log_2 32$. Поскольку $32 = 2^5$, то $y = 5$.

При $x_2 = 128$: значение функции $y = \log_2 128$. Поскольку $128 = 2^7$, то $y = 7$.

При $x_3 = 2$: значение функции $y = \log_2 2$. Поскольку $2 = 2^1$, то $y = 1$.

Ответ: 5; 7; 1.

г)

При $x_1 = \frac{1}{8}$: значение функции $y = \log_2 \frac{1}{8}$. Так как $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$, то $y = -3$.

При $x_2 = \frac{1}{32}$: значение функции $y = \log_2 \frac{1}{32}$. Так как $\frac{1}{32} = \frac{1}{2^5} = 2^{-5}$, то $y = -5$.

При $x_3 = \frac{1}{128}$: значение функции $y = \log_2 \frac{1}{128}$. Так как $\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7} = 2^{-7}$, то $y = -7$.

Ответ: -3; -5; -7.

15.4. a) $x_1 = \sqrt{2}, x_2 = \sqrt[5]{8};$

б) $x_1 = \frac{2}{\sqrt{8}}, x_2 = \frac{4}{\sqrt{2}};$

В) $x_1 = \sqrt[3]{32}, x_2 = 16\sqrt[9]{128};$

Г) $x_1 = \frac{4}{\sqrt{32}}, x_2 = \frac{2}{\sqrt{128}}.$

а) Чтобы сравнить числа $x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = \sqrt[5]{8}$, представим их в виде степеней с одинаковым основанием. В качестве основания выберем число 2.
Выражение $x_1$ уже содержит корень из 2:
$x_1 = \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$
Для выражения $x_2$ представим число 8 как степень двойки: $8 = 2^3$.
$x_2 = \sqrt[5]{8} = \sqrt[5]{2^3} = 2^{\frac{3}{5}}$
Теперь необходимо сравнить показатели степеней: $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{5}$. Приведем эти дроби к общему знаменателю 10:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10}$
Поскольку $\frac{5}{10} < \frac{6}{10}$, то и $2^{\frac{5}{10}} < 2^{\frac{6}{10}}$. Следовательно, $x_1 < x_2$.
Ответ: $x_1 = 2^{1/2}$, $x_2 = 2^{3/5}$; $x_1 \neq x_2$.

б) Упростим выражения для $x_1 = \frac{2}{\sqrt{8}}$ и $x_2 = \frac{4}{\sqrt{2}}$, приведя их к степеням с основанием 2.
Для $x_1$:
$x_1 = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2^1}{(2^3)^{\frac{1}{2}}} = \frac{2^1}{2^{\frac{3}{2}}} = 2^{1 - \frac{3}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$
Что эквивалентно $\frac{1}{\sqrt{2}}$ или $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Для $x_2$:
$x_2 = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2^2}{2^{\frac{1}{2}}} = 2^{2 - \frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$
Что эквивалентно $2\sqrt{2}$.
Сравнивая показатели степеней $-\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{2}$, видим, что они не равны.
Ответ: $x_1 = 2^{-1/2}$, $x_2 = 2^{3/2}$; $x_1 \neq x_2$.

в) Приведем оба выражения $x_1 = \sqrt[3]{32}$ и $x_2 = 16\sqrt[9]{128}$ к виду степени с основанием 2.
Для $x_1$:
$x_1 = \sqrt[3]{32} = \sqrt[3]{2^5} = 2^{\frac{5}{3}}$
Для $x_2$, где 16 является множителем перед корнем:
$x_2 = 16 \cdot \sqrt[9]{128} = 2^4 \cdot \sqrt[9]{2^7} = 2^4 \cdot 2^{\frac{7}{9}} = 2^{4 + \frac{7}{9}} = 2^{\frac{36}{9} + \frac{7}{9}} = 2^{\frac{43}{9}}$
Теперь сравним показатели степеней: $\frac{5}{3}$ и $\frac{43}{9}$. Приведем первую дробь к знаменателю 9:
$\frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{15}{9}$
Так как $\frac{15}{9} \neq \frac{43}{9}$, то $x_1 \neq x_2$.
Ответ: $x_1 = 2^{5/3}$, $x_2 = 2^{43/9}$; $x_1 \neq x_2$.

г) Упростим выражения $x_1 = \frac{4}{\sqrt{32}}$ и $x_2 = \frac{2}{\sqrt{128}}$, используя свойства корней и степеней.
Для $x_1$:
$x_1 = \frac{4}{\sqrt{32}} = \frac{4}{\sqrt{16 \cdot 2}} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
В виде степени с основанием 2: $x_1 = \frac{1}{2^{1/2}} = 2^{-\frac{1}{2}}$.
Для $x_2$:
$x_2 = \frac{2}{\sqrt{128}} = \frac{2}{\sqrt{64 \cdot 2}} = \frac{2}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{4\sqrt{2}}$
В виде степени с основанием 2: $x_2 = \frac{1}{2^2 \cdot 2^{1/2}} = \frac{1}{2^{2+\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2^{5/2}} = 2^{-\frac{5}{2}}$.
Сравнивая показатели степеней $-\frac{1}{2}$ и $-\frac{5}{2}$, видим, что они не равны.
Ответ: $x_1 = 2^{-1/2}$, $x_2 = 2^{-5/2}$; $x_1 \neq x_2$.

15.5. Постройте (схематично) график функции:

а) $y = \log_2 x;$

б) $y = \log_{\frac{1}{\pi}} x;$

в) $y = \lg x;$

г) $y = \log_{\frac{1}{2}} x.$

а) $y = \log_2 x$

Это логарифмическая функция с основанием $a = 2$.

Основные свойства функции:

• Основание $a = 2 > 1$, следовательно, функция является возрастающей на всей области определения.
• Область определения функции (ОДЗ): $x > 0$, то есть $D(y) = (0; +\infty)$. График полностью расположен в правой полуплоскости.
• Область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точке $(1; 0)$, так как $\log_2 1 = 0$.
• Ось ординат ($Oy$) является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0+$ значение $y \to -\infty$.

Для построения схематичного графика найдем несколько ключевых точек:

• Если $x = 2$, то $y = \log_2 2 = 1$. Точка $(2; 1)$.
• Если $x = 4$, то $y = \log_2 4 = 2$. Точка $(4; 2)$.
• Если $x = 1/2$, то $y = \log_2 (1/2) = \log_2 2^{-1} = -1$. Точка $(1/2; -1)$.
• Если $x = 1/4$, то $y = \log_2 (1/4) = \log_2 2^{-2} = -2$. Точка $(1/4; -2)$.

График представляет собой кривую, которая начинается в левом нижнем квадранте, асимптотически приближаясь к оси $Oy$, проходит через точки $(1/4; -2)$, $(1/2; -1)$, $(1; 0)$, $(2; 1)$, $(4; 2)$ и медленно возрастает вправо.
Ответ: График функции — возрастающая кривая, проходящая через точку $(1; 0)$, расположенная в правой полуплоскости с вертикальной асимптотой $x=0$.

б) $y = \log_{\frac{1}{\pi}} x$

Это логарифмическая функция с основанием $a = \frac{1}{\pi}$.

Основные свойства функции:

• Так как $\pi \approx 3.14159$, основание $a = \frac{1}{\pi} \approx \frac{1}{3.14} < 1$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения.
• Область определения: $x > 0$, или $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точке $(1; 0)$, так как $\log_{\frac{1}{\pi}} 1 = 0$.
• Ось ординат ($Oy$) является вертикальной асимптотой, так как при $x \to 0+$ значение $y \to +\infty$.

Для построения схематичного графика найдем несколько ключевых точек:

• Если $x = \frac{1}{\pi}$, то $y = \log_{\frac{1}{\pi}} (\frac{1}{\pi}) = 1$. Точка $(\frac{1}{\pi}; 1)$.
• Если $x = \pi$, то $y = \log_{\frac{1}{\pi}} \pi = \log_{\pi^{-1}} \pi = -1 \cdot \log_{\pi} \pi = -1$. Точка $(\pi; -1)$.

График представляет собой кривую, которая начинается в левом верхнем квадранте, асимптотически приближаясь к оси $Oy$, проходит через точки $(\frac{1}{\pi}; 1)$ (примерно $(0.32; 1)$), $(1; 0)$, $(\pi; -1)$ (примерно $(3.14; -1)$) и медленно убывает вправо.
Ответ: График функции — убывающая кривая, проходящая через точку $(1; 0)$, расположенная в правой полуплоскости с вертикальной асимптотой $x=0$.

в) $y = \lg x$

Символ $\lg x$ обозначает десятичный логарифм, то есть $y = \log_{10} x$. Основание $a = 10$.

Основные свойства функции:

• Основание $a = 10 > 1$, следовательно, функция является возрастающей.
• Область определения: $x > 0$, или $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точке $(1; 0)$, так как $\lg 1 = 0$.
• Ось ординат ($Oy$) является вертикальной асимптотой ($x \to 0+, y \to -\infty$).

Для построения схематичного графика найдем несколько ключевых точек:

• Если $x = 10$, то $y = \lg 10 = 1$. Точка $(10; 1)$.
• Если $x = 0.1$, то $y = \lg 0.1 = \lg 10^{-1} = -1$. Точка $(0.1; -1)$.

График похож на график функции $y = \log_2 x$, но возрастает медленнее при $x>1$. Он проходит через точки $(0.1; -1)$, $(1; 0)$, $(10; 1)$.
Ответ: График функции — возрастающая кривая (рост медленнее, чем у $y = \log_2 x$), проходящая через точку $(1; 0)$, расположенная в правой полуплоскости с вертикальной асимптотой $x=0$.

г) $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Это логарифмическая функция с основанием $a = \frac{1}{2}$.

Основные свойства функции:

• Основание $a = \frac{1}{2} < 1$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей.
• Область определения: $x > 0$, или $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• График пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точке $(1; 0)$, так как $\log_{\frac{1}{2}} 1 = 0$.
• Ось ординат ($Oy$) является вертикальной асимптотой ($x \to 0+, y \to +\infty$).
• Также можно заметить, что $y = \log_{\frac{1}{2}} x = \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x$. Это означает, что график этой функции симметричен графику функции $y=\log_2 x$ (из пункта а) относительно оси $Ox$.

Для построения схематичного графика найдем несколько ключевых точек:

• Если $x = 2$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} 2 = -1$. Точка $(2; -1)$.
• Если $x = 4$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$. Точка $(4; -2)$.
• Если $x = 1/2$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} (1/2) = 1$. Точка $(1/2; 1)$.
• Если $x = 1/4$, то $y = \log_{\frac{1}{2}} (1/4) = 2$. Точка $(1/4; 2)$.

График представляет собой кривую, которая является зеркальным отражением графика $y=\log_2 x$ относительно оси $Ox$. Он убывает, проходя через точки $(1/4; 2)$, $(1/2; 1)$, $(1; 0)$, $(2; -1)$, $(4; -2)$.
Ответ: График функции — убывающая кривая, проходящая через точку $(1; 0)$, расположенная в правой полуплоскости с вертикальной асимптотой $x=0$ и симметричная графику $y=\log_2 x$ относительно оси $Ox$.

15.6. В одной системе координат изобразите графики функций:

а) $y = \log_2 x, y = \log_9 x;$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x, y = \log_{\frac{1}{5}} x;$

в) $y = \log_5 x, y = \log_3 x;$

г) $y = \log_{\frac{2}{5}} x, y = \log_{\frac{4}{5}} x;$

а) $y = \log_2 x, y = \log_9 x$

Для построения графиков логарифмических функций $y = \log_a x$ проанализируем их основные свойства.

1. Область определения: Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому для обеих функций область определения $x > 0$. Это означает, что графики будут расположены в правой полуплоскости (справа от оси $Oy$).

2. Асимптота: Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой для обоих графиков, так как при $x \to 0^+$ значение $y \to -\infty$.

3. Общая точка: Любой логарифм от 1 по любому основанию равен 0 ($\log_a 1 = 0$). Следовательно, оба графика проходят через точку $(1, 0)$.

4. Монотонность: Основания логарифмов $a_1 = 2$ и $a_2 = 9$. Так как оба основания больше 1, обе функции являются возрастающими на всей области определения.

5. Сравнение графиков: Для логарифмических функций с основанием $a > 1$ действует правило: чем больше основание, тем "прижатее" график к оси $Ox$. Это значит, что:
• при $x > 1$ график функции с бóльшим основанием ($y = \log_9 x$) будет лежать ниже графика функции с меньшим основанием ($y = \log_2 x$).
• при $0 < x < 1$ график функции с бóльшим основанием ($y = \log_9 x$) будет лежать выше графика функции с меньшим основанием ($y = \log_2 x$).

Для большей точности можно найти несколько контрольных точек:
Для $y = \log_2 x$: $(2, 1)$, $(4, 2)$, $(0.5, -1)$.
Для $y = \log_9 x$: $(9, 1)$, $(3, 0.5)$, $(1/9, -1)$.

Ответ: Оба графика являются возрастающими кривыми, проходящими через точку $(1, 0)$ и имеющими вертикальную асимптоту $x=0$. График функции $y = \log_2 x$ растет "быстрее" и на интервале $(1, +\infty)$ расположен выше графика $y = \log_9 x$, а на интервале $(0, 1)$ — ниже.

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} x, y = \log_{\frac{1}{5}} x$

1. Общие свойства: Область определения $x > 0$. Вертикальная асимптота $x=0$. Оба графика проходят через точку $(1, 0)$.

2. Монотонность: Основания логарифмов $a_1 = 1/2$ и $a_2 = 1/5$. Так как оба основания находятся в интервале $(0, 1)$, обе функции являются убывающими. При $x \to 0^+$ значение $y \to +\infty$.

3. Сравнение графиков: Сравним основания: $1/5 < 1/2$. Для логарифмических функций с основанием $0 < a < 1$ правило сравнения следующее:
• при $x > 1$ график функции с меньшим основанием ($y = \log_{\frac{1}{5}} x$) будет лежать выше графика функции с большим основанием ($y = \log_{\frac{1}{2}} x$).
• при $0 < x < 1$ график функции с меньшим основанием ($y = \log_{\frac{1}{5}} x$) будет лежать ниже графика функции с большим основанием ($y = \log_{\frac{1}{2}} x$).
Это можно также показать, используя свойство $\log_{1/a} x = -\log_a x$. Функции можно переписать как $y = -\log_2 x$ и $y = -\log_5 x$. Их графики симметричны графикам из пункта а) (с основаниями 2 и 5) относительно оси $Ox$.

Контрольные точки:
Для $y = \log_{\frac{1}{2}} x$: $(0.5, 1)$, $(2, -1)$, $(4, -2)$.
Для $y = \log_{\frac{1}{5}} x$: $(0.2, 1)$, $(5, -1)$.

Ответ: Оба графика являются убывающими кривыми, проходящими через точку $(1, 0)$ и имеющими вертикальную асимптоту $x=0$. На интервале $(1, +\infty)$ график $y = \log_{\frac{1}{5}} x$ расположен выше графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$, а на интервале $(0, 1)$ — ниже.

в) $y = \log_5 x, y = \log_3 x$

Данный случай аналогичен пункту а).

1. Общие свойства: Область определения $x > 0$, вертикальная асимптота $x=0$, общая точка $(1, 0)$.

2. Монотонность: Основания $a_1 = 5$ и $a_2 = 3$. Оба основания больше 1, поэтому обе функции возрастающие.

3. Сравнение графиков: Так как $5 > 3$, то по правилу для возрастающих логарифмов:
• при $x > 1$ график функции с бóльшим основанием ($y = \log_5 x$) лежит ниже графика функции с меньшим основанием ($y = \log_3 x$).
• при $0 < x < 1$ график $y = \log_5 x$ лежит выше графика $y = \log_3 x$.

Контрольные точки:
Для $y = \log_5 x$: $(5, 1)$, $(0.2, -1)$.
Для $y = \log_3 x$: $(3, 1)$, $(9, 2)$, $(1/3, -1)$.

Ответ: Оба графика — возрастающие кривые, пересекающиеся в точке $(1, 0)$. На интервале $(1, +\infty)$ график $y = \log_3 x$ расположен выше графика $y = \log_5 x$. На интервале $(0, 1)$ график $y = \log_5 x$ расположен выше графика $y = \log_3 x$.

г) $y = \log_{\frac{2}{5}} x, y = \log_{\frac{4}{5}} x$

Данный случай аналогичен пункту б).

1. Общие свойства: Область определения $x > 0$, вертикальная асимптота $x=0$, общая точка $(1, 0)$.

2. Монотонность: Основания $a_1 = 2/5 = 0.4$ и $a_2 = 4/5 = 0.8$. Оба основания лежат в интервале $(0, 1)$, поэтому обе функции убывающие.

3. Сравнение графиков: Сравним основания: $2/5 < 4/5$. По правилу для убывающих логарифмов:
• при $x > 1$ график функции с меньшим основанием ($y = \log_{\frac{2}{5}} x$) лежит выше графика функции с большим основанием ($y = \log_{\frac{4}{5}} x$).
• при $0 < x < 1$ график $y = \log_{\frac{2}{5}} x$ лежит ниже графика $y = \log_{\frac{4}{5}} x$.

Контрольные точки:
Для $y = \log_{\frac{2}{5}} x$: $(0.4, 1)$, $(2.5, -1)$.
Для $y = \log_{\frac{4}{5}} x$: $(0.8, 1)$, $(1.25, -1)$.

Ответ: Оба графика — убывающие кривые, пересекающиеся в точке $(1, 0)$. На интервале $(1, +\infty)$ график $y = \log_{\frac{2}{5}} x$ расположен выше графика $y = \log_{\frac{4}{5}} x$. На интервале $(0, 1)$ график $y = \log_{\frac{2}{5}} x$ расположен ниже графика $y = \log_{\frac{4}{5}} x$.

Найдите область определения функции:

15.7. a) $y = \log_6(4x - 1);$

б) $y = \log_{\frac{1}{9}}(7 - 2x);$

в) $y = \log_9(8x + 9);$

г) $y = \log_{0.3}(2 - 3x).$

Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ находится из условия, что выражение под знаком логарифма (аргумент) должно быть строго положительным. То есть, необходимо решить неравенство $f(x) > 0$. Также, основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0$, $a \neq 1$). Во всех представленных функциях основания являются числами, удовлетворяющими этим условиям.

а) Для функции $y = \log_6(4x - 1)$ найдем область определения, решив неравенство:

$4x - 1 > 0$

Перенесем -1 в правую часть:

$4x > 1$

Разделим обе части на 4:

$x > \frac{1}{4}$

Областью определения является множество всех чисел $x$, больших $\frac{1}{4}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{4}; +\infty)$.

б) Для функции $y = \log_{\frac{1}{9}}(7 - 2x)$ аргумент логарифма должен быть положителен:

$7 - 2x > 0$

Перенесем $2x$ в правую часть:

$7 > 2x$

Разделим обе части на 2:

$\frac{7}{2} > x$, что эквивалентно $x < 3.5$

Областью определения является множество всех чисел $x$, меньших 3.5.

Ответ: $x \in (-\infty; 3.5)$.

в) Для функции $y = \log_9(8x + 9)$ решим соответствующее неравенство:

$8x + 9 > 0$

Перенесем 9 в правую часть:

$8x > -9$

Разделим обе части на 8:

$x > -\frac{9}{8}$

Областью определения является множество всех чисел $x$, больших $-\frac{9}{8}$.

Ответ: $x \in (-\frac{9}{8}; +\infty)$.

г) Для функции $y = \log_{0.3}(2 - 3x)$ аргумент должен быть больше нуля:

$2 - 3x > 0$

Перенесем $3x$ в правую часть:

$2 > 3x$

Разделим обе части на 3:

$\frac{2}{3} > x$, что эквивалентно $x < \frac{2}{3}$

Областью определения является множество всех чисел $x$, меньших $\frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$.

15.8. а) $y = \log_5 (x^2 - 5x + 6);$

б) $y = \log_{\frac{2}{3}} (-x^2 - 5x + 14);$

в) $y = \log_9 (x^2 - 13x + 12);$

г) $y = \log_{0,2} (-x^2 + 8x + 9).$

Для нахождения области определения каждой логарифмической функции необходимо, чтобы выражение, стоящее под знаком логарифма, было строго больше нуля.

а) $y = \log_5 (x^2 - 5x + 6)$

Область определения данной функции задается неравенством:

$x^2 - 5x + 6 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 2, x_2 = 3$

Неравенство можно переписать в виде:

$(x - 2)(x - 3) > 0$

Так как это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < 2$ или $x > 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$

б) $y = \log_{\frac{2}{3}} (-x^2 - 5x + 14)$

Область определения данной функции задается неравенством:

$-x^2 - 5x + 14 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 5x - 14 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 = 9^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 9}{2}$

$x_1 = \frac{-5 - 9}{2} = -7, x_2 = \frac{-5 + 9}{2} = 2$

Неравенство можно переписать в виде:

$(x + 7)(x - 2) < 0$

Это парабола с ветвями, направленными вверх, поэтому она принимает отрицательные значения в интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-7 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-7, 2)$

в) $y = \log_9 (x^2 - 13x + 12)$

Область определения данной функции задается неравенством:

$x^2 - 13x + 12 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 12 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 13, а их произведение равно 12. Корни:

$x_1 = 1, x_2 = 12$

Неравенство можно переписать в виде:

$(x - 1)(x - 12) > 0$

Парабола $y = x^2 - 13x + 12$ имеет ветви, направленные вверх, и принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 12$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (12, \infty)$

г) $y = \log_{0,2} (-x^2 + 8x + 9)$

Область определения данной функции задается неравенством:

$-x^2 + 8x + 9 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - 8x - 9 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно -9. Корни:

$x_1 = -1, x_2 = 9$

Неравенство можно переписать в виде:

$(x + 1)(x - 9) < 0$

Парабола $y = x^2 - 8x - 9$ имеет ветви, направленные вверх, и принимает отрицательные значения в интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-1 < x < 9$.

Ответ: $x \in (-1, 9)$