Страница 83, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

13.28. a) $\frac{5}{12^x + 143} \ge \frac{5}{12^{x+2}}$

Б) $\frac{16^x + 42}{16^x} \le 22$

В) $\frac{8}{11^x + 120} \le \frac{8}{11^{x+2}}$

Г) $\frac{5^x + 15}{5^x} < 4$

а)

Дано неравенство: $ \frac{5}{12^x + 143} \ge \frac{5}{12^{x+2}} $.
Поскольку показательная функция $ y=12^x $ принимает только положительные значения, то есть $12^x > 0$ для любого действительного $x$, оба знаменателя в неравенстве всегда положительны: $12^x + 143 > 0$ и $12^{x+2} > 0$.
Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 > 0, знак неравенства не изменится:
$ \frac{1}{12^x + 143} \ge \frac{1}{12^{x+2}} $.
Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем "перевернуть" дроби, изменив знак неравенства на противоположный:
$ 12^x + 143 \le 12^{x+2} $.
Преобразуем правую часть, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$ 12^{x+2} = 12^x \cdot 12^2 = 144 \cdot 12^x $.
Подставим это в неравенство:
$ 12^x + 143 \le 144 \cdot 12^x $.
Для удобства решения введем замену: пусть $t = 12^x$. Так как $12^x > 0$, то $t > 0$.
$ t + 143 \le 144t $.
Перенесем слагаемые с $t$ в одну сторону:
$ 143 \le 144t - t $.
$ 143 \le 143t $.
Разделим на 143:
$ 1 \le t $.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$:
$ 1 \le 12^x $.
Представим 1 в виде степени с основанием 12: $1 = 12^0$.
$ 12^0 \le 12^x $.
Так как основание степени 12 больше 1, показательная функция $y=12^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует больший показатель степени. Следовательно, мы можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:
$ 0 \le x $.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

б)

Дано неравенство: $ \frac{16^x + 42}{16^x} \le 22 $.
Введем замену: пусть $t = 16^x$. Так как $16^x > 0$, то $t > 0$.
Неравенство принимает вид:
$ \frac{t + 42}{t} \le 22 $.
Разделим числитель на знаменатель почленно:
$ \frac{t}{t} + \frac{42}{t} \le 22 $.
$ 1 + \frac{42}{t} \le 22 $.
$ \frac{42}{t} \le 21 $.
Так как $t > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $t$, не меняя знака неравенства:
$ 42 \le 21t $.
Разделим обе части на 21:
$ 2 \le t $.
Вернемся к переменной $x$:
$ 2 \le 16^x $.
Чтобы решить это показательное неравенство, представим обе части в виде степеней с одним основанием, например, 2. Так как $16 = 2^4$:
$ 2^1 \le (2^4)^x $.
$ 2^1 \le 2^{4x} $.
Так как основание степени 2 больше 1, функция $y=2^z$ возрастающая, поэтому можно перейти к сравнению показателей:
$ 1 \le 4x $.
$ \frac{1}{4} \le x $.

Ответ: $x \in [\frac{1}{4}, +\infty)$.

в)

Дано неравенство: $ \frac{8}{11^x + 120} \le \frac{8}{11^{x+2}} $.
Поскольку $11^x > 0$ для любого $x$, оба знаменателя положительны.
Разделим обе части на 8:
$ \frac{1}{11^x + 120} \le \frac{1}{11^{x+2}} $.
Так как обе части положительны, "перевернем" дроби, изменив знак неравенства на противоположный:
$ 11^x + 120 \ge 11^{x+2} $.
Преобразуем правую часть: $11^{x+2} = 11^x \cdot 11^2 = 121 \cdot 11^x$.
$ 11^x + 120 \ge 121 \cdot 11^x $.
Введем замену: пусть $t = 11^x$, где $t > 0$.
$ t + 120 \ge 121t $.
$ 120 \ge 121t - t $.
$ 120 \ge 120t $.
$ 1 \ge t $.
С учетом условия $t > 0$, получаем двойное неравенство $0 < t \le 1$.
Вернемся к переменной $x$:
$ 0 < 11^x \le 1 $.
Неравенство $11^x > 0$ верно для всех действительных $x$. Решим вторую часть:
$ 11^x \le 1 $.
Представим 1 как $11^0$:
$ 11^x \le 11^0 $.
Так как основание 11 больше 1, функция $y=11^x$ возрастающая, поэтому переходим к сравнению показателей:
$ x \le 0 $.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

г)

Дано неравенство: $ \frac{5^x + 15}{5^x} < 4 $.
Введем замену: пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
$ \frac{t + 15}{t} < 4 $.
Разделим числитель на знаменатель почленно:
$ 1 + \frac{15}{t} < 4 $.
$ \frac{15}{t} < 3 $.
Так как $t > 0$, умножим обе части на $t$:
$ 15 < 3t $.
$ 5 < t $.
Вернемся к переменной $x$:
$ 5 < 5^x $.
Представим 5 как $5^1$:
$ 5^1 < 5^x $.
Так как основание 5 больше 1, функция $y=5^x$ возрастающая. Сравниваем показатели:
$ 1 < x $.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

13.29. a) $3^{3x} - 3^{2x+1} + 3^{x+1} - 1 \ge 0;$

б) $\left(\frac{1}{2}\right)^{3x} - 9 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2x} + 27 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x - 27 < 0;$

в) $2^{3x} + 15 \cdot 2^{2x} + 75 \cdot 2^x + 125 \le 0;$

г) $0,1^{3x} - 3 \cdot 0,01^x + 3 \cdot 0,1^x - 1 > 0.$

а) $3^{3x} - 3^{2x+1} + 3^{x+1} - 1 \ge 0$

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:

$3^{3x} - 3^{2x} \cdot 3^1 + 3^x \cdot 3^1 - 1 \ge 0$

$(3^x)^3 - 3 \cdot (3^x)^2 + 3 \cdot 3^x - 1 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

$t^3 - 3t^2 + 3t - 1 \ge 0$

Левая часть неравенства представляет собой формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$, где $a=t$ и $b=1$.

$(t-1)^3 \ge 0$

Это неравенство равносильно неравенству $t-1 \ge 0$, откуда $t \ge 1$.

Вернемся к исходной переменной:

$3^x \ge 1$

Представим 1 как степень с основанием 3: $1 = 3^0$.

$3^x \ge 3^0$

Так как основание степени $3 > 1$, функция $y=3^x$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к сравнению показателей степени знак неравенства сохраняется.

$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

б) $(\frac{1}{2})^{3x} - 9 \cdot (\frac{1}{2})^{2x} + 27 \cdot (\frac{1}{2})^x - 27 < 0$

Перепишем неравенство в виде:

$((\frac{1}{2})^x)^3 - 9 \cdot ((\frac{1}{2})^x)^2 + 27 \cdot (\frac{1}{2})^x - 27 < 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$. Условие $t > 0$.

$t^3 - 9t^2 + 27t - 27 < 0$

Левая часть является кубом разности $(t-3)^3 = t^3 - 3 \cdot t^2 \cdot 3 + 3 \cdot t \cdot 3^2 - 3^3 = t^3 - 9t^2 + 27t - 27$.

$(t-3)^3 < 0$

Это неравенство равносильно $t-3 < 0$, откуда $t < 3$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем систему $0 < t < 3$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 < (\frac{1}{2})^x < 3$

Неравенство $(\frac{1}{2})^x > 0$ выполняется для любого $x$. Решим вторую часть:

$(\frac{1}{2})^x < 3$

Так как основание степени $\frac{1}{2} < 1$, функция $y=(\frac{1}{2})^x$ является убывающей. При переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x > \log_{1/2}(3)$

Преобразуем логарифм: $\log_{1/2}(3) = \frac{\log_2(3)}{\log_2(1/2)} = \frac{\log_2(3)}{-1} = -\log_2(3)$.

$x > -\log_2(3)$

Ответ: $x \in (-\log_2(3), +\infty)$.

в) $2^{3x} + 15 \cdot 2^{2x} + 75 \cdot 2^x + 125 \le 0$

Перепишем неравенство:

$(2^x)^3 + 15 \cdot (2^x)^2 + 75 \cdot 2^x + 125 \le 0$

Сделаем замену $t = 2^x$. Условие $t > 0$.

$t^3 + 15t^2 + 75t + 125 \le 0$

Левая часть является кубом суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, где $a=t$ и $b=5$.

$(t+5)^3 \le 0$

Это неравенство равносильно $t+5 \le 0$, откуда $t \le -5$.

Получили систему условий для $t$:

$\begin{cases} t > 0 \\ t \le -5 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно больше нуля и меньше либо равно -5. Альтернативно, при $t=2^x > 0$ каждый член выражения $t^3 + 15t^2 + 75t + 125$ положителен, поэтому их сумма всегда строго больше нуля.

Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г) $0.1^{3x} - 3 \cdot 0.01^x + 3 \cdot 0.1^x - 1 > 0$

Преобразуем неравенство, учитывая, что $0.01 = 0.1^2$:

$0.1^{3x} - 3 \cdot (0.1^2)^x + 3 \cdot 0.1^x - 1 > 0$

$(0.1^x)^3 - 3 \cdot (0.1^x)^2 + 3 \cdot 0.1^x - 1 > 0$

Сделаем замену $t = 0.1^x$. Условие $t > 0$.

$t^3 - 3t^2 + 3t - 1 > 0$

Как и в пункте а), левая часть - это куб разности:

$(t-1)^3 > 0$

Это неравенство равносильно $t-1 > 0$, откуда $t > 1$.

Вернемся к переменной $x$:

$0.1^x > 1$

Представим 1 как $0.1^0$.

$0.1^x > 0.1^0$

Так как основание степени $0.1 < 1$, функция $y=0.1^x$ является убывающей. Следовательно, при переходе к сравнению показателей степени знак неравенства меняется на противоположный.

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

13.30. a) $(3^x - 1)(3^{2x} + 3^x + 1) \le 0$;

б) $(7^x + 1)(7^{2x} - 7^x + 1) \ge 0$;

в) $(0,2^x - 0,2)(0,04^x + 0,2^{x+1} + 0,04) < 0$;

г) $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^x - \frac{9}{4}\right) \cdot \left(\left(\frac{4}{9}\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} + \frac{81}{16}\right) > 0$.

а) $(3^x - 1)(3^{2x} + 3^x + 1) \le 0$

Заметим, что левая часть неравенства представляет собой формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = 3^x$ и $b = 1$.
Таким образом, неравенство можно переписать в виде:
$(3^x)^3 - 1^3 \le 0$
$3^{3x} - 1 \le 0$
$3^{3x} \le 1$
Представим 1 как степень с основанием 3: $1 = 3^0$.
$3^{3x} \le 3^0$
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. При сравнении показателей знак неравенства сохраняется:
$3x \le 0$
$x \le 0$

Другой способ решения — рассмотреть каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $3^x - 1$.
Второй множитель: $3^{2x} + 3^x + 1$. Сделаем замену $t = 3^x$, где $t > 0$. Выражение примет вид $t^2 + t + 1$. Это квадратичная парабола с ветвями вверх. Найдем ее дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, выражение $t^2 + t + 1$ всегда положительно. Следовательно, множитель $3^{2x} + 3^x + 1$ всегда больше нуля при любом значении $x$.
Мы можем разделить обе части неравенства на положительное выражение $3^{2x} + 3^x + 1$, не меняя знака неравенства:
$3^x - 1 \le 0$
$3^x \le 1$
$3^x \le 3^0$
$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

б) $(7^x + 1)(7^{2x} - 7^x + 1) \ge 0$

Заметим, что левая часть неравенства представляет собой формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a = 7^x$ и $b = 1$.
Таким образом, неравенство можно переписать в виде:
$(7^x)^3 + 1^3 \ge 0$
$7^{3x} + 1 \ge 0$
$7^{3x} \ge -1$
Поскольку показательная функция $y = 7^t$ всегда принимает только положительные значения ($7^{3x} > 0$ для любого $x$), то неравенство $7^{3x} \ge -1$ выполняется для всех действительных значений $x$.

Другой способ решения — рассмотреть каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $7^x + 1$. Так как $7^x > 0$ для любого $x$, то $7^x + 1 > 1$, то есть этот множитель всегда положителен.
Второй множитель: $7^{2x} - 7^x + 1$. Сделаем замену $t = 7^x$, где $t > 0$. Выражение примет вид $t^2 - t + 1$. Это квадратичная парабола с ветвями вверх. Найдем ее дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, выражение $t^2 - t + 1$ всегда положительно. Следовательно, множитель $7^{2x} - 7^x + 1$ всегда больше нуля при любом значении $x$.
Произведение двух положительных выражений всегда положительно. Таким образом, неравенство выполняется для любых $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

в) $(0,2^x - 0,2)(0,04^x + 0,2^{x+1} + 0,04) < 0$

Преобразуем выражение во второй скобке:
$0,04^x + 0,2^{x+1} + 0,04 = (0,2^2)^x + 0,2 \cdot 0,2^x + 0,2^2 = (0,2^x)^2 + 0,2 \cdot 0,2^x + 0,04$.
Сделаем замену $t = 0,2^x$, где $t > 0$. Неравенство примет вид:
$(t - 0,2)(t^2 + 0,2t + 0,04) < 0$.
Рассмотрим второй множитель $t^2 + 0,2t + 0,04$. Это квадратичная парабола с ветвями вверх. Найдем ее дискриминант: $D = (0,2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,04 = 0,04 - 0,16 = -0,12$. Так как $D < 0$, выражение $t^2 + 0,2t + 0,04$ всегда положительно при любом $t$.
Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на положительное выражение $t^2 + 0,2t + 0,04$, не меняя знака неравенства:
$t - 0,2 < 0$
$t < 0,2$
Вернемся к переменной $x$:
$0,2^x < 0,2^1$
Так как основание степени $0,2 \in (0, 1)$, показательная функция является убывающей. При сравнении показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$x > 1$

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

г) $\left( \left(\frac{2}{3}\right)^x - \frac{9}{4} \right) \cdot \left( \left(\frac{4}{9}\right)^x + \left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} + \frac{81}{16} \right) > 0$

Приведем все степени к одному основанию $\frac{2}{3}$:
$\frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$
$\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \Rightarrow \left(\frac{4}{9}\right)^x = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{2x}$
$\left(\frac{2}{3}\right)^{x-2} = \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$
$\frac{81}{16} = \left(\frac{9}{4}\right)^2 = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-4}$
Подставим в неравенство:
$\left( \left(\frac{2}{3}\right)^x - \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \right) \cdot \left( \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} + \left(\frac{2}{3}\right)^x \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} + \left(\frac{2}{3}\right)^{-4} \right) > 0$
Левая часть представляет собой формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a = \left(\frac{2}{3}\right)^x$ и $b = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.
Таким образом, неравенство можно переписать в виде:
$\left( \left(\frac{2}{3}\right)^x \right)^3 - \left( \left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \right)^3 > 0$
$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x} - \left(\frac{2}{3}\right)^{-6} > 0$
$\left(\frac{2}{3}\right)^{3x} > \left(\frac{2}{3}\right)^{-6}$
Так как основание степени $\frac{2}{3} \in (0, 1)$, показательная функция является убывающей. При сравнении показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$3x < -6$
$x < -2$

Ответ: $x \in (-\infty, -2)$.

13.31. a) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0;$

б) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0;$

в) $(\frac{1}{4})^{2x-1} + 15 \cdot (\frac{1}{4})^x - 4 < 0;$

г) $(0,5)^{2x-1} + 3 \cdot (0,5)^x - 2 \ge 0.$

а) $2^{2x+1} - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0$

Преобразуем неравенство, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^{2x} \cdot 2^1 - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0$

$2 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 2 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$2t^2 - 5t + 2 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2t^2 - 5t + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$; $t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Парабола $y = 2t^2 - 5t + 2$ ветвями направлена вверх (коэффициент при $t^2$ положителен), поэтому неравенство $2t^2 - 5t + 2 \ge 0$ выполняется при $t \le t_1$ или $t \ge t_2$.

Таким образом, $t \le \frac{1}{2}$ или $t \ge 2$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем: $0 < t \le \frac{1}{2}$ или $t \ge 2$.

Выполним обратную замену $t = 2^x$:

1) $0 < 2^x \le \frac{1}{2}$. Неравенство $0 < 2^x$ верно для любого $x$. Решаем $2^x \le \frac{1}{2}$, то есть $2^x \le 2^{-1}$. Так как основание степени $2 > 1$, то $x \le -1$.

2) $2^x \ge 2$. То есть $2^x \ge 2^1$. Так как основание степени $2 > 1$, то $x \ge 1$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

б) $3^{2x+1} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0$

Преобразуем неравенство:

$3 \cdot 3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 3 < 0$

$3 \cdot (3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 3 < 0$

Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$. Неравенство принимает вид:

$3t^2 - 10t + 3 < 0$

Найдем корни уравнения $3t^2 - 10t + 3 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

Корни: $t_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$; $t_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.

Парабола $y = 3t^2 - 10t + 3$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $3t^2 - 10t + 3 < 0$ выполняется между корнями: $t_1 < t < t_2$.

$\frac{1}{3} < t < 3$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену $t = 3^x$:

$\frac{1}{3} < 3^x < 3$

$3^{-1} < 3^x < 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

в) $(\frac{1}{4})^{2x-1} + 15 \cdot (\frac{1}{4})^x - 4 < 0$

Преобразуем первый член неравенства: $(\frac{1}{4})^{2x-1} = (\frac{1}{4})^{2x} \cdot (\frac{1}{4})^{-1} = 4 \cdot ((\frac{1}{4})^x)^2$.

Неравенство принимает вид:

$4 \cdot ((\frac{1}{4})^x)^2 + 15 \cdot (\frac{1}{4})^x - 4 < 0$

Пусть $t = (\frac{1}{4})^x$, где $t > 0$.

$4t^2 + 15t - 4 < 0$

Найдем корни уравнения $4t^2 + 15t - 4 = 0$.

Дискриминант $D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2$.

Корни: $t_1 = \frac{-15 - 17}{2 \cdot 4} = \frac{-32}{8} = -4$; $t_2 = \frac{-15 + 17}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Парабола $y = 4t^2 + 15t - 4$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-4 < t < \frac{1}{4}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{4}$.

Выполним обратную замену $t = (\frac{1}{4})^x$:

$0 < (\frac{1}{4})^x < \frac{1}{4}$

Решаем правую часть неравенства: $(\frac{1}{4})^x < (\frac{1}{4})^1$.

Так как основание степени $\frac{1}{4} < 1$, то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 1$.

Ответ: $x \in (1, \infty)$.

г) $(0,5)^{2x-1} + 3 \cdot (0,5)^x - 2 \ge 0$

Запишем $0,5$ как $\frac{1}{2}$: $(\frac{1}{2})^{2x-1} + 3 \cdot (\frac{1}{2})^x - 2 \ge 0$.

Преобразуем первый член: $(\frac{1}{2})^{2x-1} = (\frac{1}{2})^{2x} \cdot (\frac{1}{2})^{-1} = 2 \cdot ((\frac{1}{2})^x)^2$.

Неравенство принимает вид:

$2 \cdot ((\frac{1}{2})^x)^2 + 3 \cdot (\frac{1}{2})^x - 2 \ge 0$

Пусть $t = (\frac{1}{2})^x$, где $t > 0$.

$2t^2 + 3t - 2 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2t^2 + 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Корни: $t_1 = \frac{-3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$; $t_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Парабола $y = 2t^2 + 3t - 2$ ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le t_1$ или $t \ge t_2$.

$t \le -2$ или $t \ge \frac{1}{2}$.

Учитывая условие $t > 0$, остается только $t \ge \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену $t = (\frac{1}{2})^x$:

$(\frac{1}{2})^x \ge \frac{1}{2}$

$(\frac{1}{2})^x \ge (\frac{1}{2})^1$

Так как основание степени $\frac{1}{2} < 1$, то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

13.32. a) $2^{6x-10} - 9 \cdot 2^{3x-5} + 8 \le 0$;

б) $5^{2x+1} - 5^{x+2} \le 5^x - 5$;

в) $3^{8x+6} - 10 \cdot 3^{4x+3} + 9 \ge 0$;

г) $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$.

а) $2^{6x-10} - 9 \cdot 2^{3x-5} + 8 \le 0$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней: $2^{6x-10} = 2^{2(3x-5)} = (2^{3x-5})^2$.

Введем новую переменную. Пусть $t = 2^{3x-5}$. Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, $t > 0$.

После замены неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$:
$t^2 - 9t + 8 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 9t + 8$. Соответствующее уравнение $t^2 - 9t + 8 = 0$ по теореме Виета имеет корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 8$.

Графиком функции $y = t^2 - 9t + 8$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $1 \le t \le 8$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену: $1 \le 2^{3x-5} \le 8$.

Представим границы этого двойного неравенства в виде степеней с основанием 2: $1 = 2^0$ и $8 = 2^3$.
$2^0 \le 2^{3x-5} \le 2^3$.

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $y = 2^z$ является возрастающей. Следовательно, можно перейти к неравенству для показателей степеней:
$0 \le 3x-5 \le 3$.

Решим полученное двойное линейное неравенство:
$0+5 \le 3x \le 3+5$
$5 \le 3x \le 8$
$\frac{5}{3} \le x \le \frac{8}{3}$.

Решением неравенства является отрезок $[\frac{5}{3}; \frac{8}{3}]$.
Ответ: $x \in [\frac{5}{3}; \frac{8}{3}]$.

б) $5^{2x+1} - 5^{x+2} \le 5^x - 5$

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем их, используя свойства степеней: $a^{m+n}=a^m \cdot a^n$.
$5^{2x} \cdot 5^1 - 5^x \cdot 5^2 - 5^x + 5 \le 0$
$5 \cdot (5^x)^2 - 25 \cdot 5^x - 5^x + 5 \le 0$
$5 \cdot (5^x)^2 - 26 \cdot 5^x + 5 \le 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как $t$ является значением показательной функции, $t > 0$.

Неравенство сводится к квадратному: $5t^2 - 26t + 5 \le 0$.

Найдем корни уравнения $5t^2 - 26t + 5 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.
$t = \frac{26 \pm 24}{10}$.
Корни: $t_1 = \frac{26 - 24}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ и $t_2 = \frac{26 + 24}{10} = \frac{50}{10} = 5$.

Парабола $y = 5t^2 - 26t + 5$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями: $\frac{1}{5} \le t \le 5$.

Это решение удовлетворяет условию $t>0$.

Выполним обратную замену: $\frac{1}{5} \le 5^x \le 5$.

Представим границы в виде степеней с основанием 5: $5^{-1} \le 5^x \le 5^1$.

Так как основание $5 > 1$, функция $y = 5^z$ возрастающая. Перейдем к неравенству для показателей:
$-1 \le x \le 1$.

Решением является отрезок $[-1; 1]$.
Ответ: $x \in [-1; 1]$.

в) $3^{8x+6} - 10 \cdot 3^{4x+3} + 9 \ge 0$

Заметим, что $3^{8x+6} = 3^{2(4x+3)} = (3^{4x+3})^2$. Это позволяет свести неравенство к квадратному.

Пусть $t = 3^{4x+3}$. Так как $t$ — значение показательной функции, $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $t^2 - 10t + 9 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 1$, $t_2 = 9$.

Графиком является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство $t^2 - 10t + 9 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями: $t \le 1$ или $t \ge 9$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем совокупность неравенств: $0 < t \le 1$ или $t \ge 9$.

Выполним обратную замену и решим два неравенства:

1) $0 < 3^{4x+3} \le 1$. Так как $3^{4x+3}$ всегда больше нуля, решаем $3^{4x+3} \le 1$.
$3^{4x+3} \le 3^0$.
Поскольку основание $3 > 1$, функция возрастающая, значит $4x+3 \le 0 \implies 4x \le -3 \implies x \le -\frac{3}{4}$.

2) $3^{4x+3} \ge 9$.
$3^{4x+3} \ge 3^2$.
Так как основание $3 > 1$, то $4x+3 \ge 2 \implies 4x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{4}$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем множество $(-\infty; -\frac{3}{4}] \cup [-\frac{1}{4}; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -0,75] \cup [-0,25; +\infty)$.

г) $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем, используя свойства степеней:
$3^{2x} \cdot 3^2 - 3^x \cdot 3^4 - 3^x + 9 < 0$
$9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x - 3^x + 9 < 0$
$9 \cdot (3^x)^2 - 82 \cdot 3^x + 9 < 0$.

Введем замену. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $9t^2 - 82t + 9 < 0$.

Найдем корни уравнения $9t^2 - 82t + 9 = 0$.
$D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400 = 80^2$.
$t = \frac{82 \pm 80}{18}$.
Корни: $t_1 = \frac{82 - 80}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$ и $t_2 = \frac{82 + 80}{18} = \frac{162}{18} = 9$.

Ветви параболы $y = 9t^2 - 82t + 9$ направлены вверх, поэтому неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями: $\frac{1}{9} < t < 9$.

Это решение удовлетворяет условию $t>0$.

Выполним обратную замену: $\frac{1}{9} < 3^x < 9$.

Представим границы в виде степеней с основанием 3: $3^{-2} < 3^x < 3^2$.

Так как основание $3 > 1$, функция $y = 3^z$ возрастающая. Перейдем к неравенству для показателей:
$-2 < x < 2$.

Решением является интервал $(-2; 2)$.
Ответ: $x \in (-2; 2)$.

13.33. a) $5^x - 30 \cdot (\sqrt{5})^x + 125 \ge 0;$

б) $0.2^x - 1.2 \cdot (\sqrt{0.2})^x + 0.2 \le 0;$

в) $3^{x+1} - 28 \cdot (\sqrt{3})^x + 9 \le 0;$

г) $7^{x+1} - 50 \cdot (\sqrt{7})^x + 7 \ge 0.$

а) Исходное неравенство: $5^x - 30 \cdot (\sqrt{5})^x + 125 \ge 0$.
Заметим, что $5^x = (5^{1/2})^{2x} = ((\sqrt{5})^x)^2$. Преобразуем неравенство к виду:
$((\sqrt{5})^x)^2 - 30 \cdot (\sqrt{5})^x + 125 \ge 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{5})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство относительно $t$:
$t^2 - 30t + 125 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 30t + 125 = 0$.
По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = 25$.
График функции $y = t^2 - 30t + 125$ — это парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $t \le 5$ или $t \ge 25$.
Вернемся к исходной переменной $x$, решив два неравенства:
1) $(\sqrt{5})^x \le 5 \Rightarrow 5^{x/2} \le 5^1$. Так как основание $5 > 1$, то $x/2 \le 1 \Rightarrow x \le 2$.
2) $(\sqrt{5})^x \ge 25 \Rightarrow 5^{x/2} \ge 5^2$. Так как основание $5 > 1$, то $x/2 \ge 2 \Rightarrow x \ge 4$.
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.
Ответ: $(-\infty, 2] \cup [4, \infty)$.

б) Исходное неравенство: $0,2^x - 1,2 \cdot (\sqrt{0,2})^x + 0,2 \le 0$.
Заметим, что $0,2^x = ((\sqrt{0,2})^x)^2$. Преобразуем неравенство:
$((\sqrt{0,2})^x)^2 - 1,2 \cdot (\sqrt{0,2})^x + 0,2 \le 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{0,2})^x$. Так как $t$ - значение показательной функции, $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство: $t^2 - 1,2t + 0,2 \le 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 - 1,2t + 0,2 = 0$.
Дискриминант $D = (-1,2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0,2 = 1,44 - 0,8 = 0,64 = (0,8)^2$.
Корни: $t_1 = \frac{1,2 - 0,8}{2} = 0,2$ и $t_2 = \frac{1,2 + 0,8}{2} = 1$.
График функции $y = t^2 - 1,2t + 0,2$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется при $0,2 \le t \le 1$.
Возвращаемся к замене: $0,2 \le (\sqrt{0,2})^x \le 1$.
$0,2^1 \le 0,2^{x/2} \le 0,2^0$.
Так как основание $0,2 \in (0, 1)$, при переходе к показателям степени знаки неравенства меняются на противоположные:
$1 \ge x/2 \ge 0$.
Умножим все части на 2: $2 \ge x \ge 0$.
Ответ: $[0, 2]$.

в) Исходное неравенство: $3^{x+1} - 28 \cdot (\sqrt{3})^x + 9 \le 0$.
Используя свойства степеней, преобразуем неравенство: $3 \cdot 3^x - 28 \cdot 3^{x/2} + 9 \le 0$.
Так как $3^x = (3^{x/2})^2$, получаем: $3 \cdot (3^{x/2})^2 - 28 \cdot 3^{x/2} + 9 \le 0$.
Сделаем замену $t = 3^{x/2}$, где $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство: $3t^2 - 28t + 9 \le 0$.
Найдем корни уравнения $3t^2 - 28t + 9 = 0$.
Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676 = 26^2$.
Корни: $t_1 = \frac{28 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{28 + 26}{6} = \frac{54}{6} = 9$.
Парабола $y = 3t^2 - 28t + 9$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $\frac{1}{3} \le t \le 9$.
Возвращаемся к замене: $\frac{1}{3} \le 3^{x/2} \le 9$.
$3^{-1} \le 3^{x/2} \le 3^2$.
Так как основание $3 > 1$, то знаки неравенства для показателей сохраняются:
$-1 \le x/2 \le 2$.
Умножим все части на 2: $-2 \le x \le 4$.
Ответ: $[-2, 4]$.

г) Исходное неравенство: $7^{x+1} - 50 \cdot (\sqrt{7})^x + 7 \ge 0$.
Преобразуем неравенство: $7 \cdot 7^x - 50 \cdot 7^{x/2} + 7 \ge 0$.
$7 \cdot (7^{x/2})^2 - 50 \cdot 7^{x/2} + 7 \ge 0$.
Сделаем замену $t = 7^{x/2}$, где $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство: $7t^2 - 50t + 7 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $7t^2 - 50t + 7 = 0$.
Дискриминант $D = (-50)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 7 = 2500 - 196 = 2304 = 48^2$.
Корни: $t_1 = \frac{50 - 48}{2 \cdot 7} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$ и $t_2 = \frac{50 + 48}{14} = \frac{98}{14} = 7$.
Парабола $y = 7t^2 - 50t + 7$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le \frac{1}{7}$ или $t \ge 7$.
Вернемся к исходной переменной $x$, решив два неравенства:
1) $7^{x/2} \le \frac{1}{7} \Rightarrow 7^{x/2} \le 7^{-1}$. Так как основание $7 > 1$, то $x/2 \le -1 \Rightarrow x \le -2$.
2) $7^{x/2} \ge 7 \Rightarrow 7^{x/2} \ge 7^1$. Так как основание $7 > 1$, то $x/2 \ge 1 \Rightarrow x \ge 2$.
Объединяя решения, получаем $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.
Ответ: $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.