Страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

12.38. Решите уравнение:

а) $9^x + 6^x = 2^{2x+1}$;

б) $25^{2x+6} + 16 \cdot 4^{2x+4} = 20 \cdot 10^{2x+5}$.

а) $9^x + 6^x = 2^{2x+1}$

Запишем уравнение, приведя все основания к простым множителям 2 и 3:

$(3^2)^x + (2 \cdot 3)^x = 2^{2x} \cdot 2^1$

$3^{2x} + 2^x \cdot 3^x = 2 \cdot 2^{2x}$

Данное уравнение является однородным показательным уравнением. Разделим обе части уравнения на $2^{2x}$. Так как $2^{2x} > 0$ при любом значении $x$, эта операция является равносильной.

$\frac{3^{2x}}{2^{2x}} + \frac{2^x \cdot 3^x}{2^{2x}} = \frac{2 \cdot 2^{2x}}{2^{2x}}$

$(\frac{3}{2})^{2x} + (\frac{3}{2})^x = 2$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{3}{2})^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + t = 2$

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни уравнения:

$t_1 = 1$

$t_2 = -2$

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к исходной переменной, используя корень $t_1 = 1$:

$(\frac{3}{2})^x = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, запишем 1 как $(\frac{3}{2})^0$:

$(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^0$

Отсюда следует, что $x=0$.

Ответ: $x=0$.

б) $25^{2x+6} + 16 \cdot 4^{2x+4} = 20 \cdot 10^{2x+5}$

Приведем все основания к простым множителям 2 и 5 и преобразуем степени:

$(5^2)^{2x+6} + 2^4 \cdot (2^2)^{2x+4} = (4 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5)^{2x+5}$

$5^{2(2x+6)} + 2^4 \cdot 2^{2(2x+4)} = 2^2 \cdot 5 \cdot 2^{2x+5} \cdot 5^{2x+5}$

$5^{4x+12} + 2^4 \cdot 2^{4x+8} = 2^{2x+7} \cdot 5^{2x+6}$

Этот путь выглядит сложным. Попробуем привести степени к одному показателю. Выразим все степени через показатель $2x+5$:

$25^{2x+6} = 25^{2x+5+1} = 25^1 \cdot 25^{2x+5} = 25 \cdot (5^2)^{2x+5}$

$16 \cdot 4^{2x+4} = 16 \cdot 4^{2x+5-1} = 16 \cdot 4^{-1} \cdot 4^{2x+5} = \frac{16}{4} \cdot 4^{2x+5} = 4 \cdot (2^2)^{2x+5}$

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$25 \cdot 25^{2x+5} + 4 \cdot 4^{2x+5} = 20 \cdot 10^{2x+5}$

Разделим обе части уравнения на $10^{2x+5}$, так как $10^{2x+5} > 0$ при любом $x$:

$25 \cdot \frac{25^{2x+5}}{10^{2x+5}} + 4 \cdot \frac{4^{2x+5}}{10^{2x+5}} = 20 \cdot \frac{10^{2x+5}}{10^{2x+5}}$

$25 \cdot (\frac{25}{10})^{2x+5} + 4 \cdot (\frac{4}{10})^{2x+5} = 20$

$25 \cdot (\frac{5}{2})^{2x+5} + 4 \cdot (\frac{2}{5})^{2x+5} = 20$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{5}{2})^{2x+5}$. Тогда $(\frac{2}{5})^{2x+5} = ((\frac{5}{2})^{-1})^{2x+5} = t^{-1} = \frac{1}{t}$. Условие на замену: $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$25t + 4 \cdot \frac{1}{t} = 20$

Умножим обе части на $t$ (так как $t \ne 0$):

$25t^2 + 4 = 20t$

$25t^2 - 20t + 4 = 0$

Это полный квадрат разности: $(5t)^2 - 2 \cdot (5t) \cdot 2 + 2^2 = 0$.

$(5t - 2)^2 = 0$

Отсюда $5t - 2 = 0$, следовательно $t = \frac{2}{5}$.

Корень $t = \frac{2}{5}$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной:

$(\frac{5}{2})^{2x+5} = \frac{2}{5}$

Представим правую часть как степень с основанием $\frac{5}{2}$:

$(\frac{5}{2})^{2x+5} = (\frac{5}{2})^{-1}$

Приравняем показатели степеней:

$2x+5 = -1$

$2x = -6$

$x = -3$

Ответ: $x=-3$.

12.39. При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет корни:

a) $2^x = a;$

б) $8^{3x+1} = a + 3;$

в) $\sqrt[3]{3^x} = -a;$

г) $\left(\frac{1}{2}\right)^x = a^2?$

а) Чтобы уравнение $2^x = a$ имело корни, параметр $a$ должен принадлежать множеству значений функции $f(x) = 2^x$. Показательная функция $y = c^x$ при $c > 0$ и $c \neq 1$ определена для всех $x \in \mathbb{R}$ и принимает только положительные значения. Множество значений функции $f(x) = 2^x$ есть интервал $(0, +\infty)$. Следовательно, уравнение имеет корни при $a > 0$.
Ответ: $a \in (0; +\infty)$.

б) Рассмотрим уравнение $8^{3x+1} = a + 3$. Левая часть уравнения представляет собой показательную функцию $f(x) = 8^{3x+1}$. Так как основание $8 > 1$, а показатель $3x+1$ при $x \in \mathbb{R}$ принимает любые действительные значения, множество значений этой функции — все положительные числа, то есть $E(f) = (0, +\infty)$. Уравнение будет иметь корни, если его правая часть, $a+3$, будет принадлежать этому множеству значений. Таким образом, должно выполняться неравенство $a+3 > 0$. Решая его, получаем $a > -3$.
Ответ: $a \in (-3; +\infty)$.

в) Преобразуем левую часть уравнения $\sqrt[3]{3^x} = -a$. Используя свойство степеней, получаем $(3^x)^{1/3} = 3^{x/3}$. Уравнение принимает вид $3^{x/3} = -a$. В левой части стоит показательная функция $f(x) = 3^{x/3}$, множество значений которой — все положительные числа, то есть $E(f) = (0, +\infty)$. Для существования корней необходимо, чтобы правая часть уравнения, $-a$, была положительной. Решаем неравенство $-a > 0$. Умножив обе части на $-1$ и изменив знак неравенства на противоположный, получим $a < 0$.
Ответ: $a \in (-\infty; 0)$.

г) В уравнении $(\frac{1}{2})^x = a^2$ левая часть, $f(x) = (\frac{1}{2})^x$, является показательной функцией. Множество ее значений — это интервал $(0, +\infty)$. Следовательно, для того чтобы уравнение имело корни, правая часть, $a^2$, должна быть строго больше нуля. Выражение $a^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $a$, то есть $a^2 \ge 0$. Условие $a^2 > 0$ выполняется для всех $a$, кроме $a=0$. Если $a=0$, то $a^2=0$, и уравнение $(\frac{1}{2})^x = 0$ корней не имеет, так как показательная функция не может равняться нулю. Таким образом, уравнение имеет корни при любых значениях $a$, кроме нуля.
Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

12.40. При каких значениях параметра a уравнение не имеет корней:

a) $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2};$

б) $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0?$

а)

Рассмотрим уравнение $48 \cdot 4^x + 27 = a + a \cdot 4^{x+2}$.

Преобразуем уравнение, сгруппировав члены, содержащие $4^x$:

$48 \cdot 4^x - a \cdot 4^{x+2} = a - 27$

$48 \cdot 4^x - a \cdot 4^x \cdot 4^2 = a - 27$

$48 \cdot 4^x - 16a \cdot 4^x = a - 27$

$(48 - 16a) \cdot 4^x = a - 27$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Поскольку показательная функция $y=4^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$(48 - 16a) \cdot t = a - 27$

Исходное уравнение не имеет корней, если это линейное уравнение относительно $t$ не имеет положительных корней ($t > 0$).

Рассмотрим два случая:

1. Коэффициент при $t$ равен нулю.

$48 - 16a = 0 \implies 16a = 48 \implies a = 3$.

Подставим $a=3$ в уравнение:

$0 \cdot t = 3 - 27$

$0 \cdot t = -24$

Это уравнение не имеет решений для $t$, следовательно, исходное уравнение также не имеет корней. Значит, $a=3$ является решением.

2. Коэффициент при $t$ не равен нулю.

$48 - 16a \neq 0 \implies a \neq 3$.

В этом случае можно выразить $t$:

$t = \frac{a - 27}{48 - 16a} = \frac{a - 27}{16(3 - a)}$

Уравнение не будет иметь корней, если решение для $t$ не удовлетворяет условию $t > 0$, то есть если $t \le 0$.

$\frac{a - 27}{16(3 - a)} \le 0$

Поскольку $16 > 0$, знак дроби определяется знаками числителя и знаменателя:

$\frac{a - 27}{3 - a} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $a=27$ и $a=3$.

Неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки (или числитель равен нулю).

• Если $a \ge 27$, то $a-27 \ge 0$ и $3-a < 0$. Дробь $\le 0$. Этот случай подходит.
• Если $a < 3$, то $a-27 < 0$ и $3-a > 0$. Дробь $< 0$. Этот случай подходит.
• Если $3 < a < 27$, то $a-27 < 0$ и $3-a < 0$. Дробь $> 0$. Этот случай не подходит.

Таким образом, решение неравенства: $a \in (-\infty, 3) \cup [27, \infty)$.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что исходное уравнение не имеет корней при $a \in (-\infty, 3] \cup [27, \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, 3] \cup [27, \infty)$.

б)

Рассмотрим уравнение $9^x + 2a \cdot 3^{x+1} + 9 = 0$.

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

$(3^2)^x + 2a \cdot 3^x \cdot 3^1 + 9 = 0$

$(3^x)^2 + 6a \cdot 3^x + 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $t$ является значением показательной функции, то $t > 0$.

Уравнение становится квадратным относительно $t$:

$t^2 + 6at + 9 = 0$

Исходное уравнение не имеет корней, если это квадратное уравнение не имеет положительных корней.

Это возможно в двух случаях:

1. Квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Это происходит, когда дискриминант $D$ отрицателен.

$D = (6a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36a^2 - 36$

$D < 0 \implies 36a^2 - 36 < 0 \implies a^2 - 1 < 0 \implies (a-1)(a+1) < 0$

Решением этого неравенства является интервал $a \in (-1, 1)$.

2. Квадратное уравнение имеет действительные корни (один или два), но все они неположительные ($t \le 0$).

Это происходит, когда $D \ge 0$ и, согласно теореме Виета, оба корня $t_1$ и $t_2$ неположительны. Для параболы $f(t)=t^2+6at+9$ с ветвями вверх это означает, что $D \ge 0$, сумма корней $t_1+t_2 \le 0$ и произведение корней $t_1 \cdot t_2 \ge 0$.

Проверим эти условия:

• $D \ge 0 \implies 36a^2 - 36 \ge 0 \implies a^2 \ge 1 \implies a \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 9$. Так как $9>0$, корни имеют одинаковый знак. Если они существуют, они либо оба положительные, либо оба отрицательные. Нулевых корней быть не может, так как подстановка $t=0$ в уравнение дает $9=0$, что неверно.
• Сумма корней: $t_1 + t_2 = -6a$. Чтобы оба корня были отрицательными, их сумма должна быть отрицательной: $-6a < 0 \implies a > 0$.

Найдем пересечение условий для этого случая: $a \in ((-\infty, -1] \cup [1, \infty))$ и $a > 0$.

Пересечением является промежуток $a \in [1, \infty)$.

Теперь объединим результаты обоих случаев.

Из случая 1: $a \in (-1, 1)$.

Из случая 2: $a \in [1, \infty)$.

Объединение этих множеств дает: $(-1, 1) \cup [1, \infty) = (-1, \infty)$.

Ответ: $a \in (-1, \infty)$.

12.41. a) При каких значениях параметра $a$ уравнение

$9^x + 3^x + a^2 - 14a = 0$ имеет единственный корень?

б) При каких значениях параметра $a$ уравнение

$4^x - 3 \cdot 2^x + a^2 - 4a = 0$ имеет два корня?

а) Данное уравнение $9^x + 3^x + a^2 - 14a = 0$ является показательным. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция принимает только положительные значения, то $t > 0$. Заметив, что $9^x = (3^x)^2 = t^2$, перепишем исходное уравнение в виде квадратного уравнения относительно переменной $t$:
$t^2 + t + a^2 - 14a = 0$.

Исходное уравнение имеет единственный корень по $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение по $t$ имеет единственный положительный корень. Рассмотрим функцию $f(t) = t^2 + t + a^2 - 14a$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх. Абсцисса вершины этой параболы равна $t_0 = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$. Поскольку вершина параболы находится в отрицательной полуплоскости по оси $t$, а ветви направлены вверх, функция $f(t)$ строго возрастает для всех $t > 0$. В этом случае уравнение $f(t)=0$ может иметь не более одного положительного корня. Единственный положительный корень будет существовать тогда и только тогда, когда значение функции в точке $t=0$ будет отрицательным, то есть $f(0) < 0$.

Вычислим $f(0)$:
$f(0) = 0^2 + 0 + a^2 - 14a = a^2 - 14a$.
Решим неравенство $f(0) < 0$:
$a^2 - 14a < 0$
$a(a - 14) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $a \in (0; 14)$.
(Если $f(0) = 0$, то есть $a=0$ или $a=14$, уравнение для $t$ имеет корни $t=0$ и $t=-1$, ни один из которых не является положительным, значит, решений для $x$ нет. Если $f(0) > 0$, то, в силу возрастания $f(t)$ при $t>0$, положительных корней нет).
Следовательно, условие $a \in (0; 14)$ является необходимым и достаточным.
Ответ: $a \in (0; 14)$.

б) В уравнении $4^x - 3 \cdot 2^x + a^2 - 4a = 0$ также сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Учитывая, что $4^x = (2^x)^2 = t^2$, получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 3t + a^2 - 4a = 0$.

Исходное уравнение имеет два различных корня по $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение по $t$ имеет два различных положительных корня. Для того чтобы квадратное уравнение $At^2+Bt+C=0$ имело два различных положительных корня, необходимо и достаточно выполнение системы из трех условий: $ \begin{cases} D > 0 & \text{(наличие двух различных корней)} \\ t_1 + t_2 > 0 & \text{(сумма корней положительна)} \\ t_1 \cdot t_2 > 0 & \text{(произведение корней положительно)} \end{cases} $ Применим эти условия к нашему уравнению $t^2 - 3t + (a^2 - 4a) = 0$.

1. Дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 4a) = 9 - 4a^2 + 16a$
$9 - 4a^2 + 16a > 0$
$4a^2 - 16a - 9 < 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $4a^2 - 16a - 9 = 0$:
$a = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 4 \cdot (-9)}}{8} = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 144}}{8} = \frac{16 \pm \sqrt{400}}{8} = \frac{16 \pm 20}{8}$
$a_1 = \frac{16 - 20}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$
$a_2 = \frac{16 + 20}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$
Решением неравенства $4a^2 - 16a - 9 < 0$ является интервал $a \in (-\frac{1}{2}; \frac{9}{2})$.

2. Сумма корней, по теореме Виета, $t_1 + t_2 = -(-3)/1 = 3$.
Условие $3 > 0$ выполняется для любых значений параметра $a$.

3. Произведение корней, по теореме Виета, $t_1 \cdot t_2 = (a^2 - 4a)/1 = a^2 - 4a$.
Условие $t_1 \cdot t_2 > 0$ приводит к неравенству:
$a^2 - 4a > 0$
$a(a - 4) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $a \in (-\infty; 0) \cup (4; \infty)$.

Для нахождения итогового решения найдем пересечение множеств, полученных в пунктах 1 и 3:
$a \in (-\frac{1}{2}; \frac{9}{2}) \cap ((-\infty; 0) \cup (4; \infty))$
Это соответствует объединению интервалов $a \in (-\frac{1}{2}; 0) \cup (4; \frac{9}{2})$.
Ответ: $a \in (-\frac{1}{2}; 0) \cup (4; \frac{9}{2})$.

12.42. При каких значениях параметра m уравнение $x^2 - (2^m - 1)x - 3(4^{m-1} - 2^{m-2}) = 0$ имеет единственный корень?

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.

Уравнение имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где:

• $a = 1$
• $b = -(2^m - 1)$
• $c = -3(4^{m-1} - 2^{m-2})$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

Сначала упростим коэффициент $c$:

$c = -3(4^{m-1} - 2^{m-2}) = -3(\frac{4^m}{4} - \frac{2^m}{4}) = -\frac{3}{4}(4^m - 2^m)$.

Теперь вычислим дискриминант:

$D = (-(2^m - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{3}{4}(4^m - 2^m)\right)$

$D = (2^m - 1)^2 + 3(4^m - 2^m)$

Раскроем скобки. Учтем, что $4^m = (2^2)^m = (2^m)^2$.

$D = ((2^m)^2 - 2 \cdot 2^m + 1) + 3((2^m)^2 - 2^m)$

$D = 4^m - 2 \cdot 2^m + 1 + 3 \cdot 4^m - 3 \cdot 2^m$

Приведем подобные слагаемые:

$D = (4^m + 3 \cdot 4^m) + (-2 \cdot 2^m - 3 \cdot 2^m) + 1$

$D = 4 \cdot 4^m - 5 \cdot 2^m + 1$

Приравняем дискриминант к нулю:

$4 \cdot 4^m - 5 \cdot 2^m + 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^m$. Так как $2^m > 0$ для любого $m$, то $y > 0$. Тогда $4^m = (2^m)^2 = y^2$. Уравнение примет вид:

$4y^2 - 5y + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$:

$D_y = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$

$y_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

$y_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$

Оба значения $y$ положительны, поэтому оба являются допустимыми.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $m$.

1. Если $y = \frac{1}{4}$:

$2^m = \frac{1}{4}$

$2^m = 2^{-2}$

$m = -2$

2. Если $y = 1$:

$2^m = 1$

$2^m = 2^0$

$m = 0$

Таким образом, уравнение имеет единственный корень при $m = -2$ и $m = 0$.

Ответ: $m=-2, m=0$.

12.43. При каких значениях параметра $a$ уравнение $|3^x - a| + |3^x + a| = 2$ имеет бесконечно много корней?

Для решения данного уравнения введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, то для новой переменной $t$ должно выполняться условие $t > 0$.

С учетом замены исходное уравнение примет вид:

$|t - a| + |t + a| = 2$, где $t > 0$.

Исходное уравнение относительно $x$ будет иметь бесконечно много корней тогда и только тогда, когда уравнение относительно $t$ будет иметь в качестве решений некоторый интервал (или полуинтервал), пересечение которого с областью $t > 0$ не является пустым множеством или одной точкой. Это связано с тем, что функция $x = \log_3 t$ является взаимно-однозначной, и каждому положительному значению $t$ из некоторого интервала будет соответствовать единственное значение $x$ из некоторого интервала, что и обеспечит бесконечное множество решений.

Рассмотрим левую часть уравнения $|t - a| + |t + a|$ с геометрической точки зрения. Это выражение равно сумме расстояний на числовой прямой от точки $t$ до точек $a$ и $-a$. Обозначим эту функцию $f(t) = |t - a| + |t - (-a)|$.

Расстояние между точками $a$ и $-a$ равно $|a - (-a)| = |2a| = 2|a|$.

Можно выделить два основных случая для значения $f(t)$. Во-первых, если точка $t$ лежит на отрезке между точками $-|a|$ и $|a|$ (включая концы), то есть $-|a| \le t \le |a|$, то сумма расстояний от $t$ до концов отрезка постоянна и равна длине этого отрезка: $f(t) = 2|a|$. Во-вторых, если точка $t$ лежит вне этого отрезка, то есть $t > |a|$ или $t < -|a|$, то сумма расстояний будет строго больше длины отрезка: $f(t) > 2|a|$.

Уравнение $f(t) = 2$ будет иметь в качестве решения целый отрезок (и, следовательно, бесконечное множество решений для $t$) только в том случае, когда правая часть уравнения, равная 2, совпадает со значением функции $f(t)$ на этом отрезке. То есть, должно выполняться равенство:

$2|a| = 2$

Отсюда получаем $|a| = 1$, что дает два возможных значения для параметра $a$: $a = 1$ и $a = -1$.

Проверим эти значения.

Случай 1: $a = 1$

Уравнение для $t$ принимает вид $|t - 1| + |t + 1| = 2$.

Согласно нашему анализу, решением этого уравнения является отрезок $t \in [-1, 1]$.

Учитывая дополнительное условие $t > 0$, получаем решения для $t$: $t \in (0, 1]$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$0 < 3^x \le 1$

Так как $1 = 3^0$, получаем $3^x \le 3^0$. В силу того, что показательная функция с основанием $3 > 1$ является возрастающей, это неравенство равносильно неравенству $x \le 0$. Неравенство $3^x > 0$ выполняется для любого действительного $x$.

Таким образом, при $a=1$ решением уравнения является промежуток $x \in (-\infty, 0]$, который содержит бесконечно много корней.

Случай 2: $a = -1$

Уравнение для $t$ принимает вид $|t - (-1)| + |t + (-1)| = 2$, что эквивалентно $|t + 1| + |t - 1| = 2$.

Это то же самое уравнение, что и в случае $a=1$. Его решением является отрезок $t \in [-1, 1]$.

С учетом условия $t > 0$, получаем $t \in (0, 1]$.

Возвращаясь к переменной $x$, снова получаем $x \in (-\infty, 0]$, что является бесконечным множеством корней.

Если же $|a| \neq 1$, то возможны два варианта. Во-первых, при $|a| > 1$ минимальное значение левой части равно $2|a| > 2$, поэтому уравнение $|t - a| + |t + a| = 2$ не имеет решений. Во-вторых, при $|a| < 1$ минимальное значение левой части равно $2|a| < 2$. В этом случае уравнение $|t - a| + |t + a| = 2$ будет иметь не более двух дискретных корней для $t$, что приведет к не более чем двум корням для $x$. Это не является бесконечным множеством.

Следовательно, единственными значениями параметра $a$, при которых уравнение имеет бесконечно много корней, являются $a = 1$ и $a = -1$.

Ответ: $a = -1; 1$.

Решите систему уравнений:

12.44. a)
$\begin{cases} 2^{x+y} = 16, \\ 3^y = 27^x; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0.5^{3x} \cdot 0.5^y = 0.5, \\ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32; \end{cases}$

В) $\begin{cases} 5^{2x-y} = 125, \\ 4^{x-y} = 4; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} 0.6^{x+y} \cdot 0.6^x = 0.6, \\ 10^x \cdot 10^y = (0.01)^{-1}. \end{cases}$

а) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2^{x+y} = 16 \\ 3^y = 27^x \end{cases} $$ Преобразуем каждое уравнение, приведя обе части к одному основанию.
В первом уравнении представим число $16$ как степень двойки: $16 = 2^4$. Уравнение примет вид: $2^{x+y} = 2^4$. Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели: $x+y = 4$.
Во втором уравнении представим число $27$ как степень тройки: $27 = 3^3$. Уравнение примет вид: $3^y = (3^3)^x$, что по свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$ равносильно $3^y = 3^{3x}$. Приравнивая показатели, получаем: $y = 3x$.
Теперь у нас есть система линейных уравнений: $$ \begin{cases} x+y = 4 \\ y = 3x \end{cases} $$ Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое: $x + (3x) = 4$
$4x = 4$
$x = 1$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение: $y = 3 \cdot 1 = 3$
Решением системы является пара чисел $(1; 3)$.
Ответ: $(1; 3)$.

б) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 0.5^{3x} \cdot 0.5^y = 0.5 \\ 2^{3x} \cdot 2^{-y} = 32 \end{cases} $$ Упростим каждое уравнение, используя свойства степеней.
В первом уравнении используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $0.5^{3x+y} = 0.5^1$. Отсюда получаем: $3x+y = 1$.
Во втором уравнении также используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и представляем $32$ как степень двойки ($32 = 2^5$): $2^{3x+(-y)} = 2^5$
$2^{3x-y} = 2^5$. Отсюда получаем: $3x-y = 5$.
Получили систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 3x+y = 1 \\ 3x-y = 5 \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $y$: $(3x+y) + (3x-y) = 1+5$
$6x = 6$
$x = 1$
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение, чтобы найти $y$: $3(1) + y = 1$
$3 + y = 1$
$y = 1 - 3 = -2$
Решением системы является пара чисел $(1; -2)$.
Ответ: $(1; -2)$.

в) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 5^{2x-y} = 125 \\ 4^{x-y} = 4 \end{cases} $$ Приведем обе части каждого уравнения к одному основанию.
Первое уравнение: $125 = 5^3$. $5^{2x-y} = 5^3$. Приравниваем показатели: $2x-y = 3$.
Второе уравнение: $4 = 4^1$. $4^{x-y} = 4^1$. Приравниваем показатели: $x-y = 1$.
В результате получаем систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x-y = 3 \\ x-y = 1 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить $y$: $(2x-y) - (x-y) = 3-1$
$2x-y-x+y = 2$
$x = 2$
Подставим значение $x$ во второе уравнение ($x-y=1$): $2-y=1$
$y = 2-1 = 1$
Решением системы является пара чисел $(2; 1)$.
Ответ: $(2; 1)$.

г) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} 0.6^{x+y} \cdot 0.6^x = 0.6 \\ 10^x \cdot 10^y = (0.01)^{-1} \end{cases} $$ Преобразуем оба уравнения системы.
Первое уравнение: используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $0.6^{(x+y)+x} = 0.6^1$
$0.6^{2x+y} = 0.6^1$. Отсюда: $2x+y = 1$.
Второе уравнение: левую часть упростим по тому же свойству, а правую часть преобразуем: $0.01 = \frac{1}{100} = 10^{-2}$. Тогда $(0.01)^{-1} = (10^{-2})^{-1} = 10^{(-2)(-1)} = 10^2$. Уравнение принимает вид: $10^{x+y} = 10^2$. Отсюда: $x+y=2$.
Получили систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2x+y = 1 \\ x+y = 2 \end{cases} $$ Вычтем второе уравнение из первого: $(2x+y) - (x+y) = 1-2$
$2x+y-x-y = -1$
$x = -1$
Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение ($x+y=2$): $-1+y=2$
$y = 2+1 = 3$
Решением системы является пара чисел $(-1; 3)$.
Ответ: $(-1; 3)$.

12.45. a)

$\begin{cases} (\sqrt{3})^{x+2y} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{27}, \\ 0,1^x \cdot 10^{3y} = 10; \end{cases}$

B) $\begin{cases} (\sqrt{5})^{2x+y} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5}, \\ (\frac{1}{5})^x \cdot 5^y = 125; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 27^y \cdot 3^x = 1, \\ (\frac{1}{2})^x \cdot 4^y = 2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5^y \cdot 25^x = 625, \\ (\frac{1}{3})^x \cdot 9^y = \frac{1}{27}. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений: $ (\sqrt{3})^{x+2y} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} $ и $ 0.1^x \cdot 10^{3y} = 10 $.
Преобразуем первое уравнение. Упростим правую часть: $ \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9 $. Получаем уравнение $ (\sqrt{3})^{x+2y} = 9 $. Представим обе части как степени с основанием 3: $ (\sqrt{3})^{x+2y} = (3^{1/2})^{x+2y} = 3^{\frac{x+2y}{2}} $, а $ 9 = 3^2 $. Таким образом, $ 3^{\frac{x+2y}{2}} = 3^2 $. Приравнивая показатели степеней, получаем: $ \frac{x+2y}{2} = 2 $, откуда $ x + 2y = 4 $.
Преобразуем второе уравнение. Представим все его члены как степени с основанием 10: $ 0.1 = 10^{-1} $. Уравнение принимает вид $ (10^{-1})^x \cdot 10^{3y} = 10^1 $, или $ 10^{-x+3y} = 10^1 $. Приравнивая показатели степеней, получаем: $ -x + 3y = 1 $.
Теперь необходимо решить систему линейных уравнений:
$ x + 2y = 4 $
$ -x + 3y = 1 $
Сложим эти два уравнения: $ (x + 2y) + (-x + 3y) = 4 + 1 $, что дает $ 5y = 5 $, и, следовательно, $ y = 1 $. Подставим значение $ y = 1 $ в первое уравнение: $ x + 2(1) = 4 $, откуда $ x = 2 $.
Ответ: $ (2; 1) $.

б) Решим систему уравнений: $ 27^y \cdot 3^x = 1 $ и $ (\frac{1}{2})^x \cdot 4^y = 2 $.
Преобразуем первое уравнение, приведя все к основанию 3. Так как $ 27 = 3^3 $ и $ 1 = 3^0 $, уравнение принимает вид $ (3^3)^y \cdot 3^x = 3^0 $, или $ 3^{3y+x} = 3^0 $. Приравнивая показатели, получаем: $ x + 3y = 0 $.
Преобразуем второе уравнение, приведя все к основанию 2. Так как $ \frac{1}{2} = 2^{-1} $ и $ 4 = 2^2 $, уравнение принимает вид $ (2^{-1})^x \cdot (2^2)^y = 2^1 $, или $ 2^{-x+2y} = 2^1 $. Приравнивая показатели, получаем: $ -x + 2y = 1 $.
Теперь решаем систему линейных уравнений:
$ x + 3y = 0 $
$ -x + 2y = 1 $
Сложим уравнения: $ (x + 3y) + (-x + 2y) = 0 + 1 $, что дает $ 5y = 1 $, и, следовательно, $ y = \frac{1}{5} $. Подставим это значение в первое уравнение: $ x + 3(\frac{1}{5}) = 0 $, откуда $ x = -\frac{3}{5} $.
Ответ: $ (-\frac{3}{5}; \frac{1}{5}) $.

в) Решим систему уравнений: $ (\sqrt{5})^{2x+y} = \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5} $ и $ (\frac{1}{5})^x \cdot 5^y = 125 $.
Преобразуем первое уравнение. Упростим правую часть: $ \sqrt{\frac{1}{5}} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{\frac{1}{5} \cdot 5} = \sqrt{1} = 1 $. Уравнение становится $ (\sqrt{5})^{2x+y} = 1 $. Приведем обе части к основанию 5. Так как $ \sqrt{5} = 5^{1/2} $ и $ 1 = 5^0 $, получаем $ (5^{1/2})^{2x+y} = 5^0 $, или $ 5^{\frac{2x+y}{2}} = 5^0 $. Приравнивая показатели, имеем: $ \frac{2x+y}{2} = 0 $, откуда $ 2x + y = 0 $.
Преобразуем второе уравнение, приведя все к основанию 5. Так как $ \frac{1}{5} = 5^{-1} $ и $ 125 = 5^3 $, уравнение принимает вид $ (5^{-1})^x \cdot 5^y = 5^3 $, или $ 5^{-x+y} = 5^3 $. Приравнивая показатели, получаем: $ -x + y = 3 $.
Теперь решаем систему линейных уравнений:
$ 2x + y = 0 $
$ -x + y = 3 $
Вычтем второе уравнение из первого: $ (2x + y) - (-x + y) = 0 - 3 $, что дает $ 3x = -3 $, откуда $ x = -1 $. Подставим $ x = -1 $ в первое уравнение: $ 2(-1) + y = 0 \Rightarrow -2 + y = 0 \Rightarrow y = 2 $.
Ответ: $ (-1; 2) $.

г) Решим систему уравнений: $ 5^y \cdot 25^x = 625 $ и $ (\frac{1}{3})^x \cdot 9^y = \frac{1}{27} $.
Преобразуем первое уравнение, приведя все к основанию 5. Так как $ 25 = 5^2 $ и $ 625 = 5^4 $, уравнение принимает вид $ 5^y \cdot (5^2)^x = 5^4 $, или $ 5^{y+2x} = 5^4 $. Приравнивая показатели, получаем: $ 2x + y = 4 $.
Преобразуем второе уравнение, приведя все к основанию 3. Так как $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $, $ 9 = 3^2 $ и $ \frac{1}{27} = 3^{-3} $, уравнение принимает вид $ (3^{-1})^x \cdot (3^2)^y = 3^{-3} $, или $ 3^{-x+2y} = 3^{-3} $. Приравнивая показатели, получаем: $ -x + 2y = -3 $.
Теперь решаем систему линейных уравнений:
$ 2x + y = 4 $
$ -x + 2y = -3 $
Из первого уравнения выразим $ y $: $ y = 4 - 2x $. Подставим это выражение во второе уравнение: $ -x + 2(4 - 2x) = -3 \Rightarrow -x + 8 - 4x = -3 \Rightarrow -5x = -11 \Rightarrow x = \frac{11}{5} $. Найдем $ y $, подставив значение $ x $ в выражение для $ y $: $ y = 4 - 2(\frac{11}{5}) = \frac{20}{5} - \frac{22}{5} = -\frac{2}{5} $.
Ответ: $ (\frac{11}{5}; -\frac{2}{5}) $.