Страница 77, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

12.28. a) $(19 - 6\sqrt{10})^x + 6 \cdot (\sqrt{10} - 3)^x - 1 = 0;$

б) $(\sqrt{10} - 3)^{4x} - 6 \cdot (19 - 6\sqrt{10})^x - 1 = 0.$

а) $(19 - 6\sqrt{10})^x + 6 \cdot (\sqrt{10} - 3)^x - 1 = 0$

Заметим, что основания степеней связаны между собой. Возведем в квадрат второе основание:

$(\sqrt{10} - 3)^2 = (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot 3 + 3^2 = 10 - 6\sqrt{10} + 9 = 19 - 6\sqrt{10}$.

Таким образом, первое основание является квадратом второго. Подставим это соотношение в исходное уравнение:

$((\sqrt{10} - 3)^2)^x + 6 \cdot (\sqrt{10} - 3)^x - 1 = 0$

$(\sqrt{10} - 3)^{2x} + 6 \cdot (\sqrt{10} - 3)^x - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\sqrt{10} - 3)^x$. Так как $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$, то основание $\sqrt{10} - 3 > 0$. Следовательно, $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 + 6t - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения по формуле корней квадратного уравнения, вычислив дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40$

$\sqrt{D} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{10}}{2}$

$t_1 = \frac{-6 + 2\sqrt{10}}{2} = -3 + \sqrt{10} = \sqrt{10} - 3$

$t_2 = \frac{-6 - 2\sqrt{10}}{2} = -3 - \sqrt{10}$

Проверим корни на соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = \sqrt{10} - 3 > 0$, так как $\sqrt{10} > 3$. Этот корень подходит.

Корень $t_2 = -3 - \sqrt{10} < 0$. Этот корень не подходит.

Возвращаемся к исходной переменной $x$ с единственным подходящим корнем $t = \sqrt{10} - 3$:

$(\sqrt{10} - 3)^x = \sqrt{10} - 3$

$(\sqrt{10} - 3)^x = (\sqrt{10} - 3)^1$

Отсюда следует, что $x = 1$.

Ответ: $1$.

б) $(\sqrt{10} - 3)^{4x} - 6 \cdot (19 - 6\sqrt{10})^x - 1 = 0$

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся соотношением $19 - 6\sqrt{10} = (\sqrt{10} - 3)^2$. Подставим его в уравнение:

$(\sqrt{10} - 3)^{4x} - 6 \cdot ((\sqrt{10} - 3)^2)^x - 1 = 0$

$(\sqrt{10} - 3)^{4x} - 6 \cdot (\sqrt{10} - 3)^{2x} - 1 = 0$

Это уравнение можно свести к квадратному. Сделаем замену переменной. Пусть $y = (\sqrt{10} - 3)^{2x}$.

Так как основание $\sqrt{10} - 3 > 0$, то и $y > 0$.

Тогда $(\sqrt{10} - 3)^{4x} = ((\sqrt{10} - 3)^{2x})^2 = y^2$. Уравнение принимает вид:

$y^2 - 6y - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 36 + 4 = 40$

$\sqrt{D} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 2\sqrt{10}}{2}$

$y_1 = \frac{6 + 2\sqrt{10}}{2} = 3 + \sqrt{10}$

$y_2 = \frac{6 - 2\sqrt{10}}{2} = 3 - \sqrt{10}$

Проверим корни на соответствие условию $y > 0$.

Корень $y_1 = 3 + \sqrt{10} > 0$. Этот корень подходит.

Корень $y_2 = 3 - \sqrt{10} < 0$, так как $\sqrt{10} \approx 3.16 > 3$. Этот корень не подходит.

Возвращаемся к исходной переменной $x$ с единственным подходящим корнем $y = 3 + \sqrt{10}$:

$(\sqrt{10} - 3)^{2x} = 3 + \sqrt{10}$

Чтобы решить это показательное уравнение, нужно привести правую часть к основанию $(\sqrt{10} - 3)$. Заметим, что $(\sqrt{10} - 3)$ и $(\sqrt{10} + 3)$ являются сопряженными выражениями.

Их произведение равно: $(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3) = (\sqrt{10})^2 - 3^2 = 10 - 9 = 1$.

Отсюда следует, что $\sqrt{10} + 3 = \frac{1}{\sqrt{10} - 3} = (\sqrt{10} - 3)^{-1}$.

Подставим это в наше уравнение:

$(\sqrt{10} - 3)^{2x} = (\sqrt{10} - 3)^{-1}$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$2x = -1$

$x = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

12.29. а) $(2 - \sqrt{3})^x + (2 + \sqrt{3})^x - 4 = 0;$

б) $(3 - 2\sqrt{2})^x + (3 + 2\sqrt{2})^x - 6 = 0.$

а) $(2 - \sqrt{3})^x + (2 + \sqrt{3})^x - 4 = 0$

Заметим, что основания степеней $(2 - \sqrt{3})$ и $(2 + \sqrt{3})$ являются сопряженными числами. Найдем их произведение:

$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

Из этого следует, что $(2 - \sqrt{3}) = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = (2 + \sqrt{3})^{-1}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$((2 + \sqrt{3})^{-1})^x + (2 + \sqrt{3})^x - 4 = 0$

$(2 + \sqrt{3})^{-x} + (2 + \sqrt{3})^x - 4 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $t = (2 + \sqrt{3})^x$. Поскольку основание степени $(2 + \sqrt{3}) > 0$, то $t > 0$.

Тогда уравнение примет вид:

$\frac{1}{t} + t - 4 = 0$

Умножим обе части уравнения на $t$ (так как $t \neq 0$):

$1 + t^2 - 4t = 0$

$t^2 - 4t + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

Оба корня $t_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $t_2 = 2 - \sqrt{3}$ положительны, так как $2 = \sqrt{4} > \sqrt{3}$, поэтому они оба удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1) Если $t = 2 + \sqrt{3}$, то $(2 + \sqrt{3})^x = 2 + \sqrt{3}$, откуда $x = 1$.

2) Если $t = 2 - \sqrt{3}$, то $(2 + \sqrt{3})^x = 2 - \sqrt{3}$. Так как $2 - \sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^{-1}$, получаем $(2 + \sqrt{3})^x = (2 + \sqrt{3})^{-1}$, откуда $x = -1$.

Ответ: $x = -1; 1$.

б) $(3 - 2\sqrt{2})^x + (3 + 2\sqrt{2})^x - 6 = 0$

Аналогично предыдущему пункту, заметим, что основания степеней $(3 - 2\sqrt{2})$ и $(3 + 2\sqrt{2})$ являются сопряженными. Найдем их произведение:

$(3 - 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 4 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$

Отсюда следует, что $(3 - 2\sqrt{2}) = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = (3 + 2\sqrt{2})^{-1}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$((3 + 2\sqrt{2})^{-1})^x + (3 + 2\sqrt{2})^x - 6 = 0$

$(3 + 2\sqrt{2})^{-x} + (3 + 2\sqrt{2})^x - 6 = 0$

Введем замену переменной. Пусть $y = (3 + 2\sqrt{2})^x$. Так как $(3 + 2\sqrt{2}) > 0$, то $y > 0$.

Уравнение примет вид:

$\frac{1}{y} + y - 6 = 0$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \neq 0$):

$1 + y^2 - 6y = 0$

$y^2 - 6y + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 36 - 4 = 32$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$

Оба корня $y_1 = 3 + 2\sqrt{2}$ и $y_2 = 3 - 2\sqrt{2}$ положительны, так как $3 = \sqrt{9} > \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$, поэтому они удовлетворяют условию $y > 0$.

Вернемся к замене:

1) Если $y = 3 + 2\sqrt{2}$, то $(3 + 2\sqrt{2})^x = 3 + 2\sqrt{2}$, откуда $x = 1$.

2) Если $y = 3 - 2\sqrt{2}$, то $(3 + 2\sqrt{2})^x = 3 - 2\sqrt{2}$. Так как $3 - 2\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^{-1}$, получаем $(3 + 2\sqrt{2})^x = (3 + 2\sqrt{2})^{-1}$, откуда $x = -1$.

Ответ: $x = -1; 1$.

12.30. a) $3^{3x+1} - 4 \cdot 9^x = 17 \cdot 3^x - 6;$б) $32 \cdot 8^{x-1} + 3 \cdot (4^x + 2^x) = 1.$

a) $3^{3x+1} - 4 \cdot 9^x = 17 \cdot 3^x - 6$

Первым делом приведем все степени в уравнении к одному основанию 3.

$3^{3x+1} = 3^{3x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^x)^3$
$9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$3 \cdot (3^x)^3 - 4 \cdot (3^x)^2 = 17 \cdot 3^x - 6$

Перенесем все члены в левую часть:
$3 \cdot (3^x)^3 - 4 \cdot (3^x)^2 - 17 \cdot 3^x + 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Уравнение примет вид кубического уравнения относительно $t$:
$3t^3 - 4t^2 - 17t + 6 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена 6: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.
Проверим $t = 3$: $3(3)^3 - 4(3)^2 - 17(3) + 6 = 3 \cdot 27 - 4 \cdot 9 - 51 + 6 = 81 - 36 - 51 + 6 = 0$. Корень $t=3$ подходит.
Проверим $t = -2$: $3(-2)^3 - 4(-2)^2 - 17(-2) + 6 = 3 \cdot (-8) - 4 \cdot 4 + 34 + 6 = -24 - 16 + 34 + 6 = 0$. Корень $t=-2$ подходит.

Зная два корня, можем найти третий, разделив многочлен на $(t-3)(t+2) = t^2 - t - 6$. Или воспользуемся теоремой Виета для кубического уравнения: $t_1 \cdot t_2 \cdot t_3 = -d/a = -6/3 = -2$.
$3 \cdot (-2) \cdot t_3 = -2$
$-6 \cdot t_3 = -2$
$t_3 = 1/3$

Итак, мы получили три корня для $t$: $t_1 = 3$, $t_2 = -2$, $t_3 = 1/3$.
Вернемся к замене $t=3^x$. Учтем, что $t$ должно быть положительным ($t > 0$).

1. $t_1 = 3$:
$3^x = 3$
$3^x = 3^1$
$x = 1$

2. $t_2 = -2$:
$3^x = -2$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как $3^x > 0$ для любого $x$.

3. $t_3 = 1/3$:
$3^x = 1/3$
$3^x = 3^{-1}$
$x = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -1$.

б) $32 \cdot 8^{x-1} + 3 \cdot (4^x + 2^x) = 1$

Приведем все степени к основанию 2.

$32 = 2^5$
$8^{x-1} = (2^3)^{x-1} = 2^{3(x-1)} = 2^{3x-3} = 2^{3x} \cdot 2^{-3} = \frac{(2^x)^3}{8}$
$4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$

Подставим эти выражения в уравнение:
$2^5 \cdot \frac{(2^x)^3}{8} + 3 \cdot ((2^x)^2 + 2^x) = 1$
$32 \cdot \frac{(2^x)^3}{8} + 3(2^x)^2 + 3 \cdot 2^x - 1 = 0$
$4 \cdot (2^x)^3 + 3 \cdot (2^x)^2 + 3 \cdot 2^x - 1 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Так как $y=2^x > 0$, то $y>0$.
$4y^3 + 3y^2 + 3y - 1 = 0$

Найдем корни этого кубического уравнения. Попробуем найти рациональные корни среди чисел вида $\pm p/q$, где $p$ - делитель 1, $q$ - делитель 4. Возможные положительные корни: $1, 1/2, 1/4$.
Проверим $y = 1/4$:
$4(1/4)^3 + 3(1/4)^2 + 3(1/4) - 1 = 4(1/64) + 3(1/16) + 3/4 - 1 = 1/16 + 3/16 + 12/16 - 16/16 = (1+3+12-16)/16 = 0$.
Корень $y = 1/4$ подходит.

Разделим многочлен $4y^3 + 3y^2 + 3y - 1$ на $(y - 1/4)$ или, что удобнее, на $(4y-1)$:
$(4y^3 + 3y^2 + 3y - 1) : (4y - 1) = y^2 + y + 1$
Таким образом, уравнение можно записать в виде:
$(4y - 1)(y^2 + y + 1) = 0$

Это равенство выполняется, если:
1. $4y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1/4$.
2. $y^2 + y + 1 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Единственным действительным корнем для $y$ является $y = 1/4$. Это значение удовлетворяет условию $y > 0$.
Вернемся к замене $y = 2^x$:
$2^x = 1/4$
$2^x = 2^{-2}$
$x = -2$

Ответ: $x = -2$.

12.31. a) $32^x + 4^{x+1} = 5 \cdot 2^{-x}$;

б) $5 \cdot 125^x - 26 \cdot 5^x + 5^{1-x} = 0.$

а) $32^x + 4^{x+1} = 5 \cdot 2^{-x}$

Приведем все степени к основанию 2, так как $32 = 2^5$ и $4 = 2^2$.

$(2^5)^x + (2^2)^{x+1} = 5 \cdot 2^{-x}$

$2^{5x} + 2^{2(x+1)} = 5 \cdot 2^{-x}$

$2^{5x} + 2^{2x+2} = 5 \cdot 2^{-x}$

Умножим обе части уравнения на $2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом $x$, это является равносильным преобразованием.

$2^{5x} \cdot 2^x + 2^{2x+2} \cdot 2^x = 5 \cdot 2^{-x} \cdot 2^x$

$2^{5x+x} + 2^{2x+2+x} = 5 \cdot 2^{-x+x}$

$2^{6x} + 2^{3x+2} = 5 \cdot 2^0$

$2^{6x} + 2^{3x} \cdot 2^2 = 5$

$(2^{3x})^2 + 4 \cdot 2^{3x} - 5 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^{3x}$. Поскольку показательная функция всегда положительна, $y > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + 4y - 5 = 0$

Найдем корни по теореме Виета или через дискриминант.
Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = -5$.

Корень $y_2 = -5$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому отбрасываем его.

Возвращаемся к исходной переменной:

$y_1 = 1$

$2^{3x} = 1$

$2^{3x} = 2^0$

$3x = 0$

$x = 0$

Ответ: $0$.

б) $5 \cdot 125^x - 26 \cdot 5^x + 5^{1-x} = 0$

Приведем все степени к основанию 5, так как $125 = 5^3$. Также преобразуем $5^{1-x} = \frac{5^1}{5^x} = \frac{5}{5^x}$.

$5 \cdot (5^3)^x - 26 \cdot 5^x + \frac{5}{5^x} = 0$

$5 \cdot 5^{3x} - 26 \cdot 5^x + \frac{5}{5^x} = 0$

Умножим обе части уравнения на $5^x$. Так как $5^x > 0$ при любом $x$, это является равносильным преобразованием.

$(5 \cdot 5^{3x}) \cdot 5^x - (26 \cdot 5^x) \cdot 5^x + (\frac{5}{5^x}) \cdot 5^x = 0 \cdot 5^x$

$5 \cdot 5^{3x+x} - 26 \cdot 5^{x+x} + 5 = 0$

$5 \cdot 5^{4x} - 26 \cdot 5^{2x} + 5 = 0$

$5 \cdot (5^{2x})^2 - 26 \cdot 5^{2x} + 5 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^{2x}$. Поскольку показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$5t^2 - 26t + 5 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Оба корня положительны, поэтому оба удовлетворяют условию $t > 0$.

Возвращаемся к исходной переменной для каждого корня.

1) $t_1 = 5$

$5^{2x} = 5$

$5^{2x} = 5^1$

$2x = 1$

$x_1 = \frac{1}{2}$

2) $t_2 = \frac{1}{5}$

$5^{2x} = \frac{1}{5}$

$5^{2x} = 5^{-1}$

$2x = -1$

$x_2 = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}$.

12.32. a) $\frac{1}{3^x + 2} = \frac{1}{3^x + 1}$;

б) $\frac{5}{12^x + 143} = \frac{5}{12^x + 2}$;

В) $\frac{1}{5^x + 4} = \frac{1}{5^x + 1}$;

Г) $\frac{8}{11^x + 120} = \frac{8}{11^x + 2}$.

а) Решим уравнение $\frac{1}{3^x + 2} = \frac{1}{3^{x+1}}$.

Так как в верном равенстве дробей с одинаковыми ненулевыми числителями их знаменатели должны быть равны, получаем:

$3^x + 2 = 3^{x+1}$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, преобразуем правую часть уравнения:

$3^x + 2 = 3^x \cdot 3^1$

$3^x + 2 = 3 \cdot 3^x$

Перенесем слагаемые, содержащие $3^x$, в одну сторону уравнения, а числа — в другую:

$2 = 3 \cdot 3^x - 3^x$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$2 = (3 - 1) \cdot 3^x$

$2 = 2 \cdot 3^x$

Разделим обе части уравнения на 2:

$1 = 3^x$

Поскольку любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице ($a^0=1$), то:

$x = 0$

Ответ: $0$.

б) Решим уравнение $\frac{5}{12^x + 143} = \frac{5}{12^{x+2}}$.

Числители дробей равны и отличны от нуля, следовательно, знаменатели также должны быть равны:

$12^x + 143 = 12^{x+2}$

Преобразуем правую часть, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$12^x + 143 = 12^x \cdot 12^2$

$12^x + 143 = 144 \cdot 12^x$

Перенесем все слагаемые с $12^x$ в правую часть:

$143 = 144 \cdot 12^x - 12^x$

Вынесем общий множитель $12^x$ за скобки:

$143 = (144 - 1) \cdot 12^x$

$143 = 143 \cdot 12^x$

Разделим обе части на 143:

$1 = 12^x$

Отсюда находим x:

$x = 0$

Ответ: $0$.

В) Решим уравнение $\frac{1}{5^x + 4} = \frac{1}{5^{x+1}}$.

Так как числители дробей равны и не равны нулю, то равны и их знаменатели:

$5^x + 4 = 5^{x+1}$

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, получаем:

$5^x + 4 = 5^x \cdot 5^1$

$5^x + 4 = 5 \cdot 5^x$

Сгруппируем слагаемые с переменной в одной части уравнения:

$4 = 5 \cdot 5^x - 5^x$

$4 = (5 - 1) \cdot 5^x$

$4 = 4 \cdot 5^x$

Разделим обе части на 4:

$1 = 5^x$

Зная, что $a^0=1$, находим корень уравнения:

$x = 0$

Ответ: $0$.

г) Решим уравнение $\frac{8}{11^x + 120} = \frac{8}{11^{x+2}}$.

Поскольку числители дробей равны и отличны от нуля, мы можем приравнять их знаменатели:

$11^x + 120 = 11^{x+2}$

Преобразуем $11^{x+2}$ по свойству степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$11^x + 120 = 11^x \cdot 11^2$

$11^x + 120 = 121 \cdot 11^x$

Перенесем слагаемые с $11^x$ в правую часть уравнения:

$120 = 121 \cdot 11^x - 11^x$

Вынесем $11^x$ за скобки:

$120 = (121 - 1) \cdot 11^x$

$120 = 120 \cdot 11^x$

Разделим обе части на 120:

$1 = 11^x$

Отсюда получаем:

$x = 0$

Ответ: $0$.

12.33. a) $\frac{2^x + 1}{2^{x+2} - 2} = 1;$

б) $\frac{5^{4x-1} + 3}{5^{4x} - 3} = 2;$

В) $\frac{3^{x+1} - 1}{3^x + 4} = 2;$

Г) $\frac{7^{2x} - 1}{7^{2x-1} + 1} = 3.$

а) $\frac{2^x + 1}{2^{x+2} - 2} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $2^{x+2} - 2 \neq 0$.

$2^{x+2} \neq 2^1$

$x+2 \neq 1$

$x \neq -1$

Так как значение дроби равно 1, то числитель равен знаменателю:

$2^x + 1 = 2^{x+2} - 2$

Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для преобразования выражения $2^{x+2}$:

$2^x + 1 = 2^x \cdot 2^2 - 2$

$2^x + 1 = 4 \cdot 2^x - 2$

Перенесем слагаемые, содержащие $2^x$, в правую часть, а постоянные члены — в левую:

$1 + 2 = 4 \cdot 2^x - 2^x$

$3 = 3 \cdot 2^x$

$2^x = 1$

Представим 1 как степень двойки:

$2^x = 2^0$

Отсюда $x = 0$.

Корень $x=0$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -1$).

Ответ: $x=0$.

б) $\frac{5^{4x-1} + 3}{5^{4x} - 3} = 2$

ОДЗ: $5^{4x} - 3 \neq 0 \implies 5^{4x} \neq 3$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $5^{4x} - 3$:

$5^{4x-1} + 3 = 2(5^{4x} - 3)$

$5^{4x-1} + 3 = 2 \cdot 5^{4x} - 6$

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$\frac{5^{4x}}{5} + 3 = 2 \cdot 5^{4x} - 6$

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а константы — в другую:

$3 + 6 = 2 \cdot 5^{4x} - \frac{1}{5} \cdot 5^{4x}$

$9 = (2 - \frac{1}{5}) \cdot 5^{4x}$

$9 = \frac{9}{5} \cdot 5^{4x}$

Разделим обе части на 9:

$1 = \frac{1}{5} \cdot 5^{4x}$

Умножим обе части на 5:

$5 = 5^{4x}$

$5^1 = 5^{4x}$

Приравниваем показатели степеней:

$1 = 4x$

$x = \frac{1}{4}$

Проверим ОДЗ: $5^{4 \cdot (1/4)} = 5^1 = 5 \neq 3$. Корень подходит.

Ответ: $x = \frac{1}{4}$.

в) $\frac{3^{x+1} - 1}{3^x + 4} = 2$

Знаменатель $3^x + 4$ всегда положителен, так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа.

Умножим обе части на знаменатель:

$3^{x+1} - 1 = 2(3^x + 4)$

$3 \cdot 3^x - 1 = 2 \cdot 3^x + 8$

Сгруппируем слагаемые:

$3 \cdot 3^x - 2 \cdot 3^x = 8 + 1$

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

г) $\frac{7^{2x} - 1}{7^{2x-1} + 1} = 3$

Знаменатель $7^{2x-1} + 1$ всегда положителен, так как $7^{2x-1} > 0$. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа.

Умножим обе части на знаменатель:

$7^{2x} - 1 = 3(7^{2x-1} + 1)$

$7^{2x} - 1 = 3 \cdot 7^{2x-1} + 3$

Преобразуем $7^{2x-1}$:

$7^{2x} - 1 = 3 \cdot \frac{7^{2x}}{7} + 3$

Сгруппируем слагаемые:

$7^{2x} - \frac{3}{7} \cdot 7^{2x} = 3 + 1$

$(1 - \frac{3}{7}) \cdot 7^{2x} = 4$

$\frac{4}{7} \cdot 7^{2x} = 4$

Разделим обе части на 4 и умножим на 7:

$7^{2x} = 7$

$7^{2x} = 7^1$

Приравниваем показатели:

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$.

12.34. a) $18^x - 8 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^x = 0;$

б) $12^x - 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0.$

а) $18^x - 8 \cdot 6^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Для решения данного показательного уравнения преобразуем его, представив основания степеней через общие множители. Заметим, что $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$ и $6 = 2 \cdot 3$. Подставим это в уравнение:

$(2 \cdot 3^2)^x - 8 \cdot (2 \cdot 3)^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Используя свойства степеней $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:

$2^x \cdot (3^2)^x - 8 \cdot 2^x \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 0$
$2^x \cdot 3^{2x} - 8 \cdot 2^x \cdot 3^x - 9 \cdot 2^x = 0$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки. Так как $2^x > 0$ для любого действительного числа $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $2^x$:

$3^{2x} - 8 \cdot 3^x - 9 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 8t - 9 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его, например, через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 = 10^2$
$t_1 = \frac{8 + 10}{2} = 9$
$t_2 = \frac{8 - 10}{2} = -1$

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому является посторонним. Вернемся к замене для $t_1 = 9$:

$3^x = 9$
$3^x = 3^2$
$x = 2$

Ответ: $2$.

б) $12^x - 6^{x+1} + 8 \cdot 3^x = 0$

Преобразуем уравнение. Разложим основания $12$ и $6$ на множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$ и $6 = 2 \cdot 3$. Также используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$(2^2 \cdot 3)^x - 6^x \cdot 6^1 + 8 \cdot 3^x = 0$
$(2^2)^x \cdot 3^x - 6 \cdot (2 \cdot 3)^x + 8 \cdot 3^x = 0$
$2^{2x} \cdot 3^x - 6 \cdot 2^x \cdot 3^x + 8 \cdot 3^x = 0$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки. Так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$, разделим обе части уравнения на $3^x$:

$2^{2x} - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 2^x$, где $y > 0$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 6y + 8 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:

$y_1 + y_2 = 6$
$y_1 \cdot y_2 = 8$

Корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = 4$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Вернемся к замене:

1) $2^x = y_1 \Rightarrow 2^x = 2 \Rightarrow 2^x = 2^1 \Rightarrow x = 1$

2) $2^x = y_2 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2$

Ответ: $1; 2$.

12.35. a) $24 \cdot 3^{2x^2-3x-2} - 2 \cdot 3^{2x^2-3x} + 3^{2x^2-3x-1} = 9;$

б) $5 \cdot 2^{x^2+5x+7} + 2^{x^2+5x+9} - 2^{x^2+5x+10} = 2.$

а) $24 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2} - 2 \cdot 3^{2x^2 - 3x} + 3^{2x^2 - 3x - 1} = 9$

В данном уравнении все показательные члены имеют одинаковое основание 3. Преобразуем их так, чтобы показатель степени был одинаковым. Выберем в качестве основного показателя $2x^2 - 3x - 2$.

Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, выразим другие члены:

$3^{2x^2 - 3x} = 3^{(2x^2 - 3x - 2) + 2} = 3^{2x^2 - 3x - 2} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2}$

$3^{2x^2 - 3x - 1} = 3^{(2x^2 - 3x - 2) + 1} = 3^{2x^2 - 3x - 2} \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$24 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2} - 2 \cdot (9 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2}) + 3 \cdot 3^{2x^2 - 3x - 2} = 9$

Введем замену переменной. Пусть $y = 3^{2x^2 - 3x - 2}$. Тогда уравнение примет вид:

$24y - 2 \cdot 9y + 3y = 9$

Решим это линейное уравнение относительно $y$:

$24y - 18y + 3y = 9$

$(24 - 18 + 3)y = 9$

$9y = 9$

$y = 1$

Вернемся к исходной переменной, подставив $y = 1$:

$3^{2x^2 - 3x - 2} = 1$

Так как $1 = 3^0$, мы можем приравнять показатели степеней:

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -0.5$.

б) $5 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} + 2^{x^2 + 5x + 9} - 2^{x^2 + 5x + 10} = 2$

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем показательные члены, приведя их к одному показателю. Выберем в качестве основного показателя $x^2 + 5x + 7$.

Выразим другие члены через $2^{x^2 + 5x + 7}$:

$2^{x^2 + 5x + 9} = 2^{(x^2 + 5x + 7) + 2} = 2^{x^2 + 5x + 7} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7}$

$2^{x^2 + 5x + 10} = 2^{(x^2 + 5x + 7) + 3} = 2^{x^2 + 5x + 7} \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$5 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} + 4 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} - 8 \cdot 2^{x^2 + 5x + 7} = 2$

Вынесем общий множитель $2^{x^2 + 5x + 7}$ за скобки:

$2^{x^2 + 5x + 7} \cdot (5 + 4 - 8) = 2$

$2^{x^2 + 5x + 7} \cdot 1 = 2$

$2^{x^2 + 5x + 7} = 2^1$

Теперь приравняем показатели степеней:

$x^2 + 5x + 7 = 1$

$x^2 + 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна -5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Проверим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Ответ: $x_1 = -2$, $x_2 = -3$.

12.36. a) $5^{2x^2-1} - 3 \cdot 5^{(x+1)(x+2)} = 2 \cdot 5^{6(x+1)};$

б) $3^{2x^2-1} - 3(x-1)(x+5) = 2 \cdot 3^{8(x-1)}.$

а) $5^{2x^2-1} - 3 \cdot 5^{(x+1)(x+2)} = 2 \cdot 5^{6(x+1)}$

Первым делом, упростим показатели степеней в уравнении:

$(x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2$

$6(x+1) = 6x + 6$

Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:

$5^{2x^2-1} - 3 \cdot 5^{x^2+3x+2} = 2 \cdot 5^{6x+6}$

Это показательное уравнение с одним основанием 5. Такие уравнения часто решаются путем деления на один из членов, чтобы получить уравнение, сводящееся к квадратному. Разделим обе части уравнения на $5^{6x+6}$. Так как $5^{6x+6} > 0$ для любого $x$, это преобразование является равносильным.

$\frac{5^{2x^2-1}}{5^{6x+6}} - \frac{3 \cdot 5^{x^2+3x+2}}{5^{6x+6}} = 2$

Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:

$5^{(2x^2-1) - (6x+6)} - 3 \cdot 5^{(x^2+3x+2) - (6x+6)} = 2$

$5^{2x^2-6x-7} - 3 \cdot 5^{x^2-3x-4} = 2$

Обратим внимание на показатели степеней: $2x^2-6x-7$ и $x^2-3x-4$. Заметим, что $2x^2-6x-7 = 2(x^2-3x-4) + 8 - 7 = 2(x^2-3x-4) + 1$.

Сделаем замену. Пусть $y = 5^{x^2-3x-4}$. Тогда $5^{2x^2-6x-7} = 5^{2(x^2-3x-4)+1} = (5^{x^2-3x-4})^2 \cdot 5^1 = 5y^2$.

Подставим эту замену в уравнение:

$5y^2 - 3y = 2$

Получили квадратное уравнение относительно $y$:

$5y^2 - 3y - 2 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(5)(-2) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3+7}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3-7}{2 \cdot 5} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}$

Так как $y = 5^{x^2-3x-4}$, по определению показательной функции $y$ должен быть положительным. Следовательно, корень $y_2 = -2/5$ является посторонним.

Остается $y=1$. Вернемся к исходной переменной $x$:

$5^{x^2-3x-4} = 1$

Так как $1 = 5^0$, можем приравнять показатели степеней:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Решим его, например, по теореме Виета:

$(x-4)(x+1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Ответ: $x = -1, x = 4$.

б) $3^{2x^2-1} - 3^{(x-1)(x+5)} = 2 \cdot 3^{8(x-1)}$

Упростим показатели степеней в уравнении:

$(x-1)(x+5) = x^2 + 5x - x - 5 = x^2 + 4x - 5$

$8(x-1) = 8x - 8$

Уравнение принимает вид:

$3^{2x^2-1} - 3^{x^2+4x-5} = 2 \cdot 3^{8x-8}$

Разделим обе части уравнения на $3^{8x-8}$. Так как $3^{8x-8} > 0$ при любых $x$, это равносильное преобразование.

$\frac{3^{2x^2-1}}{3^{8x-8}} - \frac{3^{x^2+4x-5}}{3^{8x-8}} = 2$

Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{(2x^2-1) - (8x-8)} - 3^{(x^2+4x-5) - (8x-8)} = 2$

$3^{2x^2-8x+7} - 3^{x^2-4x+3} = 2$

Заметим, что показатель первой степени связан с показателем второй: $2x^2-8x+7 = 2(x^2-4x+3) + 1$.

Сделаем замену. Пусть $y = 3^{x^2-4x+3}$. Тогда $3^{2x^2-8x+7} = 3^{2(x^2-4x+3)+1} = (3^{x^2-4x+3})^2 \cdot 3^1 = 3y^2$.

Подставим замену в уравнение:

$3y^2 - y = 2$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3y^2 - y - 2 = 0$

Решим его. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1+5}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1-5}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

Так как $y = 3^{x^2-4x+3}$, значение $y$ должно быть положительным. Корень $y_2 = -2/3$ не подходит.

Остается $y=1$. Произведем обратную замену:

$3^{x^2-4x+3} = 1$

Так как $1 = 3^0$, приравниваем показатели:

$x^2-4x+3 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$. По теореме Виета:

$(x-1)(x-3) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Ответ: $x = 1, x = 3$.

12.37. Решите уравнение:

а) $3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0;$

б) $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0;$

в) $3^{2x+1} - 4 \cdot 21^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0;$

г) $5 \cdot 3^{2x} + 7 \cdot 15^x - 6 \cdot 25^x = 0.$

а) $3 \cdot 2^{2x} + 6^x - 2 \cdot 3^{2x} = 0$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x$, $2^{2x} = (2^x)^2$, $3^{2x} = (3^x)^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3 \cdot (2^x)^2 + 2^x \cdot 3^x - 2 \cdot (3^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $3^{2x} > 0$ при любом значении $x$, мы можем разделить обе части уравнения на $3^{2x}$:

$3 \cdot \frac{(2^x)^2}{(3^x)^2} + \frac{2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} - 2 \cdot \frac{(3^x)^2}{(3^x)^2} = 0$

$3 \cdot (\frac{2}{3})^{2x} + (\frac{2}{3})^x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = (\frac{2}{3})^x$. Поскольку показательная функция всегда положительна, должно выполняться условие $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения: $3t^2 + t - 2 = 0$.

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = -1$ и $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Корень $t_2 = \frac{2}{3}$ подходит.

Вернемся к исходной переменной:

$(\frac{2}{3})^x = \frac{2}{3}$

$(\frac{2}{3})^x = (\frac{2}{3})^1$

Отсюда $x=1$.

Ответ: $1$.

б) $2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 10^x - 5 \cdot 5^{2x} = 0$

Преобразуем члены уравнения: $10^x = (2 \cdot 5)^x = 2^x \cdot 5^x$, $2^{2x} = (2^x)^2$, $5^{2x} = (5^x)^2$.

Уравнение принимает вид: $2 \cdot (2^x)^2 - 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 5 \cdot (5^x)^2 = 0$.

Разделим обе части уравнения на $5^{2x}$, так как $5^{2x} > 0$ для любого $x$.

$2 \cdot \frac{(2^x)^2}{(5^x)^2} - 3 \cdot \frac{2^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 5 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0$

$2 \cdot (\frac{2}{5})^{2x} - 3 \cdot (\frac{2}{5})^x - 5 = 0$

Пусть $t = (\frac{2}{5})^x$, где $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение: $2t^2 - 3t - 5 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

Корни: $t_1 = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = -1$ и $t_2 = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

Корень $t_1 = -1$ не подходит, так как $t > 0$.

Возвращаемся к замене с $t_2 = \frac{5}{2}$:

$(\frac{2}{5})^x = \frac{5}{2}$

$(\frac{2}{5})^x = (\frac{2}{5})^{-1}$

Следовательно, $x = -1$.

Ответ: $-1$.

в) $3^{2x+1} - 4 \cdot 21^x - 7 \cdot 7^{2x} = 0$

Используя свойства степеней, преобразуем уравнение: $3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x} = 3 \cdot (3^x)^2$, $21^x = (3 \cdot 7)^x = 3^x \cdot 7^x$, $7^{2x} = (7^x)^2$.

Подставим в уравнение: $3 \cdot (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x \cdot 7^x - 7 \cdot (7^x)^2 = 0$.

Это однородное уравнение. Разделим его на $7^{2x} > 0$:

$3 \cdot \frac{(3^x)^2}{(7^x)^2} - 4 \cdot \frac{3^x \cdot 7^x}{(7^x)^2} - 7 \cdot \frac{(7^x)^2}{(7^x)^2} = 0$

$3 \cdot (\frac{3}{7})^{2x} - 4 \cdot (\frac{3}{7})^x - 7 = 0$

Произведем замену $t = (\frac{3}{7})^x$, где $t>0$.

Получаем квадратное уравнение: $3t^2 - 4t - 7 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 16 + 84 = 100$.

Корни: $t_1 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 10}{6} = -1$ и $t_2 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$.

Корень $t_1 = -1$ не удовлетворяет условию $t>0$.

Вернемся к замене с $t_2 = \frac{7}{3}$:

$(\frac{3}{7})^x = \frac{7}{3}$

$(\frac{3}{7})^x = (\frac{3}{7})^{-1}$

Отсюда $x = -1$.

Ответ: $-1$.

г) $5 \cdot 3^{2x} + 7 \cdot 15^x - 6 \cdot 25^x = 0$

Преобразуем уравнение: $15^x = 3^x \cdot 5^x$, $3^{2x}=(3^x)^2$, $25^x=(5^2)^x=5^{2x}=(5^x)^2$.

Получаем: $5 \cdot (3^x)^2 + 7 \cdot 3^x \cdot 5^x - 6 \cdot (5^x)^2 = 0$.

Разделим обе части на $5^{2x} > 0$:

$5 \cdot \frac{(3^x)^2}{(5^x)^2} + 7 \cdot \frac{3^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} - 6 \cdot \frac{(5^x)^2}{(5^x)^2} = 0$

$5 \cdot (\frac{3}{5})^{2x} + 7 \cdot (\frac{3}{5})^x - 6 = 0$

Сделаем замену $t = (\frac{3}{5})^x$, где $t>0$.

Получаем квадратное уравнение: $5t^2 + 7t - 6 = 0$.

Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169$.

Корни: $t_1 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{-7 - 13}{10} = -2$ и $t_2 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Корень $t_1 = -2$ не подходит по условию $t>0$.

Возвращаемся к переменной $x$ с $t_2 = \frac{3}{5}$:

$(\frac{3}{5})^x = \frac{3}{5}$

$(\frac{3}{5})^x = (\frac{3}{5})^1$

Следовательно, $x=1$.

Ответ: $1$.