Страница 82, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13.21. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства (если оно существует):

a) $2,5^{2x+3} \le 6,25;$

б) $(\frac{2}{5})^{7x-9} \ge \frac{8}{125};$

в) $1,1^{5x-3} < 1,21;$

г) $0,7^{9x+4} > 0,49.$

а) $2,5^{2x+3} \le 6,25$

Чтобы решить показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию. Заметим, что правая часть $6,25$ является квадратом левой части $2,5$.

$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2 = 2,5^2$.

Теперь неравенство имеет вид:

$2,5^{2x+3} \le 2,5^2$

Так как основание степени $2,5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x+3 \le 2$

Решим полученное линейное неравенство:

$2x \le 2 - 3$

$2x \le -1$

$x \le -\frac{1}{2}$

$x \le -0,5$

Множество решений неравенства — это все числа, меньшие или равные $-0,5$. Нам нужно найти наибольшее целое решение. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., -3, -2, -1. Наибольшее из них — -1.

Ответ: -1

б) $(\frac{2}{5})^{7x-9} \ge \frac{8}{125}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{2}{5}$.

$\frac{8}{125} = \frac{2^3}{5^3} = (\frac{2}{5})^3$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(\frac{2}{5})^{7x-9} \ge (\frac{2}{5})^3$

Основание степени $\frac{2}{5} = 0,4$. Так как $0 < \frac{2}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$7x-9 \le 3$

Решим линейное неравенство:

$7x \le 3 + 9$

$7x \le 12$

$x \le \frac{12}{7}$

Чтобы найти наибольшее целое решение, оценим значение дроби: $\frac{12}{7} = 1\frac{5}{7} \approx 1,71$.

Нам нужны целые числа, которые меньше или равны $1\frac{5}{7}$. Это числа ..., 0, 1. Наибольшее из них — 1.

Ответ: 1

в) $1,1^{5x-3} < 1,21$

Приведем обе части к основанию $1,1$. Заметим, что $1,21 = 1,1^2$.

Неравенство принимает вид:

$1,1^{5x-3} < 1,1^2$

Так как основание степени $1,1 > 1$, показательная функция возрастает. При переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$5x-3 < 2$

Решим полученное неравенство:

$5x < 2 + 3$

$5x < 5$

$x < 1$

Требуется найти наибольшее целое число, которое строго меньше 1. Это число 0.

Ответ: 0

г) $0,7^{9x+4} > 0,49$

Приведем обе части неравенства к основанию $0,7$. Правая часть $0,49 = 0,7^2$.

Неравенство можно переписать так:

$0,7^{9x+4} > 0,7^2$

Основание степени $0,7$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе от степеней к их показателям знак неравенства меняется на противоположный:

$9x+4 < 2$

Решим это линейное неравенство:

$9x < 2 - 4$

$9x < -2$

$x < -\frac{2}{9}$

Оценим значение дроби: $-\frac{2}{9} \approx -0,22$. Нам нужно найти наибольшее целое число, которое строго меньше $-\frac{2}{9}$. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., -3, -2, -1. Наибольшее из них — -1.

Ответ: -1

13.22. Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

а) $5^{x^2-2x} \leq 125;$

б) $\left(\frac{1}{7}\right)^{2x^2-3x} \geq \frac{1}{49};$

в) $2^{-x^2+8x} > 128;$

г) $(0,3)^{x^2-x} > 0,09?$

а)

Рассмотрим показательное неравенство $5^{x^2 - 2x} \le 125$.
Первым шагом приведем обе части неравенства к одному основанию. В данном случае это основание 5. Так как $125 = 5^3$, неравенство можно переписать в виде: $5^{x^2 - 2x} \le 5^3$.
Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется: $x^2 - 2x \le 3$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство: $x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. Используя теорему Виета (сумма корней равна 2, произведение равно -3), находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 3$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок $x \in [-1; 3]$.
Целочисленные решения, принадлежащие этому отрезку: -1, 0, 1, 2, 3. Их количество равно 5.

Ответ: 5.

б)

Рассмотрим неравенство $(\frac{1}{7})^{2x^2 - 3x} \ge \frac{1}{49}$.
Приведем обе части к основанию $\frac{1}{7}$. Так как $\frac{1}{49} = (\frac{1}{7})^2$, получаем: $(\frac{1}{7})^{2x^2 - 3x} \ge (\frac{1}{7})^2$.
Основание степени $0 < \frac{1}{7} < 1$, поэтому показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства необходимо изменить на противоположный: $2x^2 - 3x \le 2$.
Перенесем все члены в левую часть: $2x^2 - 3x - 2 \le 0$.
Решим соответствующее квадратное уравнение $2x^2 - 3x - 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{4}$. $x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$ $x_2 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Графиком функции $y = 2x^2 - 3x - 2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-0.5; 2]$.
Целочисленные решения, принадлежащие этому отрезку: 0, 1, 2. Их количество равно 3.

Ответ: 3.

в)

Рассмотрим неравенство $2^{-x^2 + 8x} > 128$.
Приведем обе части к основанию 2. Так как $128 = 2^7$, получаем: $2^{-x^2 + 8x} > 2^7$.
Поскольку основание $2 > 1$, функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется: $-x^2 + 8x > 7$.
Перенесем все в левую часть: $-x^2 + 8x - 7 > 0$.
Для удобства умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 8x + 7 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.
Графиком $y = x^2 - 8x + 7$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (1; 7)$.
Целочисленные решения, принадлежащие этому интервалу: 2, 3, 4, 5, 6. Их количество равно 5.

Ответ: 5.

г)

Рассмотрим неравенство $(0.3)^{x^2 - x} > 0.09$.
Приведем обе части к основанию 0.3. Так как $0.09 = (0.3)^2$, получаем: $(0.3)^{x^2 - x} > (0.3)^2$.
Основание степени $0 < 0.3 < 1$, поэтому функция является убывающей. Знак неравенства для показателей степеней меняется на противоположный: $x^2 - x < 2$.
Перенесем все в левую часть: $x^2 - x - 2 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.
Графиком $y = x^2 - x - 2$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-1; 2)$.
Целочисленные решения, принадлежащие этому интервалу: 0, 1. Их количество равно 2.

Ответ: 2.

Решите неравенство:

13.23. а) $3^x < 5^x$;

б) $6^x \ge 2^x$;

в) $\left(\frac{12}{13}\right)^x \le 12^x$;

г) $0,6^x > 3^x$.

Данное неравенство является показательным. Для его решения приведем его к виду $a^x < 1$ или $a^x > 1$. Разделим обе части неравенства на $5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения ($5^x > 0$ для любого $x$), знак неравенства при делении не изменится:
$\frac{3^x}{5^x} < \frac{5^x}{5^x}$
Используя свойство степеней $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем:
$(\frac{3}{5})^x < 1$
Представим число 1 в виде степени с основанием $\frac{3}{5}$:
$(\frac{3}{5})^x < (\frac{3}{5})^0$
Так как основание степени $a = \frac{3}{5}$ находится в интервале $0 < a < 1$, соответствующая показательная функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$x > 0$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

Разделим обе части неравенства на $2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не меняется:
$\frac{6^x}{2^x} \ge \frac{2^x}{2^x}$
$(\frac{6}{2})^x \ge 1$
$3^x \ge 1$
Представим 1 как $3^0$:
$3^x \ge 3^0$
Так как основание степени $a = 3$ больше 1 ($a > 1$), показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:
$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

Разделим обе части неравенства на $12^x$. Так как $12^x > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не меняется:
$\frac{(\frac{12}{13})^x}{12^x} \le \frac{12^x}{12^x}$
$(\frac{12/13}{12})^x \le 1$
$(\frac{12}{13 \cdot 12})^x \le 1$
$(\frac{1}{13})^x \le 1$
Представим 1 как $(\frac{1}{13})^0$:
$(\frac{1}{13})^x \le (\frac{1}{13})^0$
Так как основание степени $a = \frac{1}{13}$ находится в интервале $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

Разделим обе части неравенства на $3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$, знак неравенства не меняется:
$\frac{0,6^x}{3^x} > \frac{3^x}{3^x}$
$(\frac{0,6}{3})^x > 1$
Представим 0,6 в виде обыкновенной дроби: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
$(\frac{3/5}{3})^x > 1$
$(\frac{3}{5 \cdot 3})^x > 1$
$(\frac{1}{5})^x > 1$
Представим 1 как $(\frac{1}{5})^0$:
$(\frac{1}{5})^x > (\frac{1}{5})^0$
Так как основание степени $a = \frac{1}{5}$ находится в интервале $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:
$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

13.24. a) $2^{x} + 2^{x+2} \le 20;$

б) $3^{2x-1} - 3^{2x-3} < \frac{8}{3};$

В) $\left(\frac{1}{5}\right)^{3x+4} + \left(\frac{1}{5}\right)^{3x+5} > 6;$

Г) $0,3^{6x-1} - 0,3^{6x} \ge 0,7.$

а) $2^x + 2^{x+2} \le 20$

Преобразуем второе слагаемое, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$2^x + 4 \cdot 2^x \le 20$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(1 + 4) \le 20$

$5 \cdot 2^x \le 20$

Разделим обе части неравенства на 5:

$2^x \le 4$

Представим число 4 в виде степени с основанием 2:

$2^x \le 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$

б) $3^{2x-1} - 3^{2x-3} < \frac{8}{3}$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и вынесем общий множитель $3^{2x-3}$ за скобки (как степень с наименьшим показателем):

$3^{(2x-3)+2} - 3^{2x-3} < \frac{8}{3}$

$3^{2x-3} \cdot 3^2 - 3^{2x-3} \cdot 1 < \frac{8}{3}$

$3^{2x-3}(3^2 - 1) < \frac{8}{3}$

$3^{2x-3}(9 - 1) < \frac{8}{3}$

$8 \cdot 3^{2x-3} < \frac{8}{3}$

Разделим обе части неравенства на 8:

$3^{2x-3} < \frac{1}{3}$

Представим $\frac{1}{3}$ в виде степени с основанием 3:

$3^{2x-3} < 3^{-1}$

Так как основание степени $3 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x - 3 < -1$

$2x < 2$

$x < 1$

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$

в) $(\frac{1}{5})^{3x+4} + (\frac{1}{5})^{3x+5} > 6$

Вынесем за скобки общий множитель $(\frac{1}{5})^{3x+4}$:

$(\frac{1}{5})^{3x+4} + (\frac{1}{5})^{3x+4} \cdot (\frac{1}{5})^1 > 6$

$(\frac{1}{5})^{3x+4} \left(1 + \frac{1}{5}\right) > 6$

$(\frac{1}{5})^{3x+4} \cdot \frac{6}{5} > 6$

Умножим обе части неравенства на $\frac{5}{6}$:

$(\frac{1}{5})^{3x+4} > 6 \cdot \frac{5}{6}$

$(\frac{1}{5})^{3x+4} > 5$

Представим обе части неравенства с основанием 5. Учтем, что $\frac{1}{5} = 5^{-1}$:

$(5^{-1})^{3x+4} > 5^1$

$5^{-(3x+4)} > 5^1$

$5^{-3x-4} > 5^1$

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$-3x - 4 > 1$

$-3x > 5$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < -\frac{5}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{3})$

г) $0,3^{6x-1} - 0,3^{6x} \ge 0,7$

Вынесем за скобки общий множитель $0,3^{6x}$:

$0,3^{6x} \cdot 0,3^{-1} - 0,3^{6x} \cdot 1 \ge 0,7$

$0,3^{6x} (0,3^{-1} - 1) \ge 0,7$

Вычислим выражение в скобках. $0,3 = \frac{3}{10}$, значит $0,3^{-1} = (\frac{3}{10})^{-1} = \frac{10}{3}$:

$0,3^{6x} \left(\frac{10}{3} - 1\right) \ge 0,7$

$0,3^{6x} \cdot \frac{7}{3} \ge \frac{7}{10}$

Умножим обе части на $\frac{3}{7}$:

$0,3^{6x} \ge \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{7}$

$0,3^{6x} \ge \frac{3}{10}$

$0,3^{6x} \ge 0,3^1$

Так как основание степени $0,3$ находится в интервале $(0; 1)$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$6x \le 1$

$x \le \frac{1}{6}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{6}]$

13.25. a) $7^{2x+1} + 7^{2x+2} + 7^{2x+3} \ge 57;$

б) $2^{4x-1} + 2^{4x-2} - 2^{4x-3} \le 160;$

в) $100 \cdot 0,3^{4x+2} - 0,09^{2x} + 5 \cdot 0,0081^x < 13;$

г) $\left(\frac{1}{16}\right)^{x+0,25} + \left(\frac{1}{4}\right)^{2x+1} - \left(\frac{1}{2}\right)^{4x+3} \le \frac{5}{4}.$

а) $7^{2x+1} + 7^{2x+2} + 7^{2x+3} \ge 57$

Воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель $7^{2x}$:

$7^{2x} \cdot 7^1 + 7^{2x} \cdot 7^2 + 7^{2x} \cdot 7^3 \ge 57$

$7^{2x} (7 + 7^2 + 7^3) \ge 57$

Вычислим значение выражения в скобках:

$7 + 49 + 343 = 399$

Подставим полученное значение в неравенство:

$7^{2x} \cdot 399 \ge 57$

Разделим обе части неравенства на 399:

$7^{2x} \ge \frac{57}{399}$

Сократим дробь: $\frac{57}{399} = \frac{3 \cdot 19}{3 \cdot 133} = \frac{19}{133} = \frac{19}{7 \cdot 19} = \frac{1}{7}$.

Неравенство принимает вид:

$7^{2x} \ge \frac{1}{7}$

Представим правую часть в виде степени с основанием 7: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.

$7^{2x} \ge 7^{-1}$

Так как основание степени $7 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$2x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{2}$

Ответ: $x \in [-\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) $2^{4x-1} + 2^{4x-2} - 2^{4x-3} \le 160$

Преобразуем левую часть, вынеся за скобки общий множитель с наименьшим показателем, то есть $2^{4x-3}$:

$2^{4x-3} \cdot 2^2 + 2^{4x-3} \cdot 2^1 - 2^{4x-3} \cdot 1 \le 160$

$2^{4x-3} (2^2 + 2 - 1) \le 160$

Вычислим выражение в скобках:

$4 + 2 - 1 = 5$

Неравенство примет вид:

$2^{4x-3} \cdot 5 \le 160$

Разделим обе части на 5:

$2^{4x-3} \le 32$

Представим 32 как степень с основанием 2: $32 = 2^5$.

$2^{4x-3} \le 2^5$

Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$4x - 3 \le 5$

$4x \le 8$

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.

в) $100 \cdot 0,3^{4x+2} - 0,09^{2x} + 5 \cdot 0,0081^x < 13$

Приведем все степени к одному основанию 0,3. Заметим, что $0,09 = (0,3)^2$ и $0,0081 = (0,3)^4$.

Подставим эти выражения в неравенство:

$100 \cdot 0,3^{4x+2} - (0,3^2)^{2x} + 5 \cdot (0,3^4)^x < 13$

Используем свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$100 \cdot (0,3^{4x} \cdot 0,3^2) - 0,3^{4x} + 5 \cdot 0,3^{4x} < 13$

Вычислим $100 \cdot 0,3^2 = 100 \cdot 0,09 = 9$. Неравенство примет вид:

$9 \cdot 0,3^{4x} - 0,3^{4x} + 5 \cdot 0,3^{4x} < 13$

Вынесем общий множитель $0,3^{4x}$ за скобки:

$0,3^{4x}(9 - 1 + 5) < 13$

$0,3^{4x} \cdot 13 < 13$

Разделим обе части на 13:

$0,3^{4x} < 1$

Представим 1 как степень с основанием 0,3: $1 = 0,3^0$.

$0,3^{4x} < 0,3^0$

Так как основание степени $0,3 < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$4x > 0$

$x > 0$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

г) $(\frac{1}{16})^{x+0.25} + (\frac{1}{4})^{2x+1} - (\frac{1}{2})^{4x+3} \le \frac{5}{4}$

Приведем все степени к одному основанию $\frac{1}{2}$. Заметим, что $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$, $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$ и $0,25 = \frac{1}{4}$.

Подставим эти выражения в неравенство:

$((\frac{1}{2})^4)^{x+1/4} + ((\frac{1}{2})^2)^{2x+1} - (\frac{1}{2})^{4x+3} \le \frac{5}{4}$

Упростим показатели степеней, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(\frac{1}{2})^{4(x+1/4)} + (\frac{1}{2})^{2(2x+1)} - (\frac{1}{2})^{4x+3} \le \frac{5}{4}$

$(\frac{1}{2})^{4x+1} + (\frac{1}{2})^{4x+2} - (\frac{1}{2})^{4x+3} \le \frac{5}{4}$

Вынесем за скобки общий множитель $(\frac{1}{2})^{4x+1}$:

$(\frac{1}{2})^{4x+1} \left(1 + (\frac{1}{2})^1 - (\frac{1}{2})^2\right) \le \frac{5}{4}$

Вычислим выражение в скобках:

$1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{4}{4} + \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Неравенство примет вид:

$(\frac{1}{2})^{4x+1} \cdot \frac{5}{4} \le \frac{5}{4}$

Разделим обе части на $\frac{5}{4}$:

$(\frac{1}{2})^{4x+1} \le 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{1}{2}$: $1 = (\frac{1}{2})^0$.

$(\frac{1}{2})^{4x+1} \le (\frac{1}{2})^0$

Так как основание степени $\frac{1}{2} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$4x+1 \ge 0$

$4x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{4}$

Ответ: $x \in [-\frac{1}{4}; +\infty)$.

13.26. a) $2^{2x+1} - 3^{2x+1} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x};$

б) $3^{x+1} + 3^{x+2} + 2 \cdot 3^x > 2 \cdot 7^{2x+1}.$

а) $2^{2x+1} - 3^{2x+1} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

Преобразуем неравенство, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

$2^1 \cdot 2^{2x} - 3^1 \cdot 3^{2x} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

$2 \cdot 2^{2x} - 3 \cdot 3^{2x} < 3^{2x} - 7 \cdot 2^{2x}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $2^{2x}$, в левой части, а слагаемые, содержащие $3^{2x}$, — в правой:

$2 \cdot 2^{2x} + 7 \cdot 2^{2x} < 3^{2x} + 3 \cdot 3^{2x}$

Приведем подобные слагаемые:

$(2 + 7) \cdot 2^{2x} < (1 + 3) \cdot 3^{2x}$

$9 \cdot 2^{2x} < 4 \cdot 3^{2x}$

Разделим обе части неравенства на $3^{2x}$. Так как $3^{2x} > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится.

$9 \cdot \frac{2^{2x}}{3^{2x}} < 4$

Используем свойство степеней $\frac{a^c}{b^c} = \left(\frac{a}{b}\right)^c$:

$9 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{2x} < 4$

Разделим обе части на 9:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} < \frac{4}{9}$

Заметим, что $\frac{4}{9} = \left(\frac{2}{3}\right)^2$. Подставим это в неравенство:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} < \left(\frac{2}{3}\right)^2$

Так как основание степени $\frac{2}{3}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{2}{3} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный.

$2x > 2$

Разделим обе части на 2:

$x > 1$

Ответ: $x \in (1; +\infty)$

б) $3^{x+1} + 3^{x+2} + 2 \cdot 3^x > 2 \cdot 7^{2x+1}$

Преобразуем левую и правую части неравенства, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Левая часть:

$3^{x+1} + 3^{x+2} + 2 \cdot 3^x = 3^1 \cdot 3^x + 3^2 \cdot 3^x + 2 \cdot 3^x = 3 \cdot 3^x + 9 \cdot 3^x + 2 \cdot 3^x = (3+9+2) \cdot 3^x = 14 \cdot 3^x$

Правая часть:

$2 \cdot 7^{2x+1} = 2 \cdot 7^1 \cdot 7^{2x} = 14 \cdot 7^{2x}$

Подставим преобразованные выражения в исходное неравенство:

$14 \cdot 3^x > 14 \cdot 7^{2x}$

Разделим обе части на 14:

$3^x > 7^{2x}$

Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем правую часть: $7^{2x} = (7^2)^x = 49^x$.

$3^x > 49^x$

Разделим обе части неравенства на $49^x$. Так как $49^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится.

$\frac{3^x}{49^x} > 1$

$\left(\frac{3}{49}\right)^x > 1$

Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{3}{49}$, используя свойство $a^0=1$:

$\left(\frac{3}{49}\right)^x > \left(\frac{3}{49}\right)^0$

Так как основание степени $\frac{3}{49}$ удовлетворяет условию $0 < \frac{3}{49} < 1$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный.

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty; 0)$

13.27. Решите неравенство:

а) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0;$

б) $5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0;$

в) $0,2^{2x} - 1,2 \cdot 0,2^x + 0,2 > 0;$

г) $\left(\frac{1}{7}\right)^{2x} + 6 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^x - 7 < 0.$

а) $3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0$

Это показательное неравенство, которое сводится к квадратному с помощью замены переменной.

Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Перепишем неравенство в терминах $t$:

$(3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 3 \le 0$

$t^2 - 4t + 3 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Графиком функции $y = t^2 - 4t + 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни).

Таким образом, решение для $t$ есть $1 \le t \le 3$.

Вернемся к переменной $x$, выполнив обратную замену $t = 3^x$:

$1 \le 3^x \le 3$

Представим 1 и 3 как степени с основанием 3:

$3^0 \le 3^x \le 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция $y=3^x$ является возрастающей. Поэтому при переходе к показателям степени знаки неравенства сохраняются:

$0 \le x \le 1$

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$, так как $3^x$ при $x \in [0, 1]$ принимает значения от 1 до 3.

Ответ: $x \in [0, 1]$.

б) $5^{2x} + 4 \cdot 5^x - 5 \ge 0$

Это показательное неравенство. Сделаем замену переменной.

Пусть $t = 5^x$. Учитывая, что $5^x > 0$ для любого $x$, получаем условие $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 + 4t - 5 \ge 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 4t - 5 = 0$.

По теореме Виета, корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -5$.

График функции $y = t^2 + 4t - 5$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями.

Следовательно, $t \le -5$ или $t \ge 1$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем решение $t \le -5$. Остается только $t \ge 1$.

Выполним обратную замену $t = 5^x$:

$5^x \ge 1$

Представим 1 как степень с основанием 5:

$5^x \ge 5^0$

Так как основание степени $5 > 1$, функция $y=5^x$ возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

в) $0,2^{2x} - 1,2 \cdot 0,2^x + 0,2 > 0$

Данное неравенство является показательным и сводится к квадратному.

Введем замену переменной: $t = 0.2^x$. Поскольку $0.2^x$ всегда положительно, имеем $t > 0$.

Неравенство принимает вид:

$t^2 - 1.2t + 0.2 > 0$

Для решения найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 1.2t + 0.2 = 0$.

Можно умножить уравнение на 5 для удобства вычислений: $5t^2 - 6t + 1 = 0$.

Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = 0.2$ и $t_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$.

График функции $y = t^2 - 1.2t + 0.2$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ выполняется, когда $t$ лежит вне интервала между корнями.

Таким образом, $t < 0.2$ или $t > 1$.

С учетом ограничения $t > 0$, получаем два случая: $0 < t < 0.2$ или $t > 1$.

Произведем обратную замену $t = 0.2^x$.

1) $0.2^x < 0.2$.

$0.2^x < 0.2^1$. Так как основание $0.2 < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный: $x > 1$.

2) $0.2^x > 1$.

$0.2^x > 0.2^0$. Так как основание $0.2 < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняется: $x < 0$.

Объединяя решения, получаем: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

г) $(\frac{1}{7})^{2x} + 6 \cdot (\frac{1}{7})^x - 7 < 0$

Это показательное неравенство, которое решается заменой переменной.

Пусть $t = (\frac{1}{7})^x$. Так как значение показательной функции всегда положительно, то $t > 0$.

После замены неравенство принимает вид:

$t^2 + 6t - 7 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 + 6t - 7 = 0$.

По теореме Виета, корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -7$.

График функции $y = t^2 + 6t - 7$ — это парабола с ветвями вверх. Неравенство $y < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Значит, $-7 < t < 1$.

Совместим это решение с условием $t > 0$, получаем: $0 < t < 1$.

Выполним обратную замену $t = (\frac{1}{7})^x$:

$0 < (\frac{1}{7})^x < 1$

Левая часть неравенства, $(\frac{1}{7})^x > 0$, выполняется для любого $x$.

Рассмотрим правую часть:

$(\frac{1}{7})^x < 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{1}{7}$:

$(\frac{1}{7})^x < (\frac{1}{7})^0$

Так как основание степени $\frac{1}{7} < 1$, показательная функция $y = (\frac{1}{7})^x$ является убывающей. Поэтому при переходе к показателям степени знак неравенства меняется на противоположный:

$x > 0$

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.