Страница 87, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

14.13. a) $2^3 + \log_2 9$;

б) $7^1 + \log_7 4$;

В) $\left(\frac{1}{6}\right)^{2 + \log_{\frac{1}{6}} 20}$;

Г) $\left(\sqrt{7}\right)^{4 + \log_{\sqrt{7}} 0.5}$.

а) Для вычисления выражения $2^{3 + \log_2 9}$ воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$2^{3 + \log_2 9} = 2^3 \cdot 2^{\log_2 9}$.
Первый множитель $2^3 = 8$.
Второй множитель $2^{\log_2 9}$ вычисляется с помощью основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$.
Следовательно, $2^{\log_2 9} = 9$.
Перемножим полученные результаты: $8 \cdot 9 = 72$.
Ответ: 72.

б) Для вычисления выражения $7^{1 + \log_7 4}$ воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$7^{1 + \log_7 4} = 7^1 \cdot 7^{\log_7 4}$.
Первый множитель $7^1 = 7$.
Второй множитель $7^{\log_7 4}$ вычисляется с помощью основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$.
Следовательно, $7^{\log_7 4} = 4$.
Перемножим полученные результаты: $7 \cdot 4 = 28$.
Ответ: 28.

в) Для вычисления выражения $(\frac{1}{6})^{2 + \log_{\frac{1}{6}} 20}$ воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$(\frac{1}{6})^{2 + \log_{\frac{1}{6}} 20} = (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 20}$.
Первый множитель $(\frac{1}{6})^2 = \frac{1}{36}$.
Второй множитель $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 20}$ вычисляется с помощью основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$.
Следовательно, $(\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 20} = 20$.
Перемножим полученные результаты: $\frac{1}{36} \cdot 20 = \frac{20}{36}$.
Сократим дробь на 4: $\frac{20 \div 4}{36 \div 4} = \frac{5}{9}$.
Ответ: $\frac{5}{9}$.

г) Для вычисления выражения $(\sqrt{7})^{4 + \log_{\sqrt{7}} 0.5}$ воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.
$(\sqrt{7})^{4 + \log_{\sqrt{7}} 0.5} = (\sqrt{7})^4 \cdot (\sqrt{7})^{\log_{\sqrt{7}} 0.5}$.
Первый множитель $(\sqrt{7})^4 = (7^{1/2})^4 = 7^{(1/2) \cdot 4} = 7^2 = 49$.
Второй множитель $(\sqrt{7})^{\log_{\sqrt{7}} 0.5}$ вычисляется с помощью основного логарифмического тождества $a^{\log_a b} = b$.
Следовательно, $(\sqrt{7})^{\log_{\sqrt{7}} 0.5} = 0.5$.
Перемножим полученные результаты: $49 \cdot 0.5 = 24.5$.
Ответ: 24.5.

14.14. а) $13^{\log_{13} 4 - 2}$,

б) $0,5^{\log_{0,5} 4 - 1}$,

в) $2,2^{\log_{2,2} 5 - 2}$,

г) $10^{\lg 5 - 0,5}$.

а) Для решения данного примера воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$.
$13^{\log_{13} 4 - 2} = \frac{13^{\log_{13} 4}}{13^2}$
Применим основное логарифмическое тождество к числителю: $13^{\log_{13} 4} = 4$.
Вычислим знаменатель: $13^2 = 169$.
Подставим полученные значения обратно в дробь:
$\frac{4}{169}$
Ответ: $\frac{4}{169}$.

б) Используем те же свойства, что и в предыдущем пункте: свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$0.5^{\log_{0.5} 4 - 1} = \frac{0.5^{\log_{0.5} 4}}{0.5^1}$
Упростим числитель с помощью основного логарифмического тождества: $0.5^{\log_{0.5} 4} = 4$.
Знаменатель равен $0.5^1 = 0.5$.
Теперь выполним деление:
$\frac{4}{0.5} = \frac{4}{1/2} = 4 \cdot 2 = 8$
Ответ: $8$.

в) Применим свойство разности в показателе степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$.
$2.2^{\log_{2.2} 5 - 2} = \frac{2.2^{\log_{2.2} 5}}{2.2^2}$
Упростим числитель по основному логарифмическому тождеству: $2.2^{\log_{2.2} 5} = 5$.
Вычислим знаменатель: $2.2^2 = 4.84$.
Получаем дробь:
$\frac{5}{4.84}$
Для удобства преобразуем десятичную дробь в знаменателе в обыкновенную: $4.84 = \frac{484}{100} = \frac{121}{25}$.
$\frac{5}{\frac{121}{25}} = 5 \cdot \frac{25}{121} = \frac{125}{121}$
Ответ: $\frac{125}{121}$.

г) В данном выражении $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg 5 = \log_{10} 5$.
Воспользуемся свойством степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.
$10^{\lg 5 - 0.5} = 10^{\log_{10} 5 - 0.5} = \frac{10^{\log_{10} 5}}{10^{0.5}}$
Числитель упрощается по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$: $10^{\log_{10} 5} = 5$.
Знаменатель: $10^{0.5} = 10^{1/2} = \sqrt{10}$.
Получаем выражение:
$\frac{5}{\sqrt{10}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{10}$:
$\frac{5 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5\sqrt{10}}{10}$
Сократим дробь на 5:
$\frac{\sqrt{10}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

14.15. а) $8^{2 \log_8 3}$;

б) $6^{-3 \log_6 2}$;

в) $3^{4 \log_3 2}$;

г) $5^{-2 \log_5 3}$.

а) Для решения данного выражения $8^{2 \log_8 3}$ воспользуемся свойством логарифма: $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$. Применим это свойство к показателю степени: $2 \log_8 3 = \log_8 3^2 = \log_8 9$. Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное: $8^{2 \log_8 3} = 8^{\log_8 9}$. Далее, используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. В нашем случае $a=8$ и $b=9$, поэтому: $8^{\log_8 9} = 9$.
Ответ: 9.

б) Рассмотрим выражение $6^{-3 \log_6 2}$. Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$: $-3 \log_6 2 = \log_6 2^{-3}$. Вычислим $2^{-3}$: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$. Таким образом, показатель степени равен $\log_6 \frac{1}{8}$. Подставим это в исходное выражение: $6^{-3 \log_6 2} = 6^{\log_6 (1/8)}$. Применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем: $6^{\log_6 (1/8)} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

в) Для выражения $3^{4 \log_3 2}$ применим свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$ к показателю степени: $4 \log_3 2 = \log_3 2^4$. Вычислим $2^4$: $2^4 = 16$. Значит, показатель степени равен $\log_3 16$. Подставляем обратно в исходное выражение: $3^{4 \log_3 2} = 3^{\log_3 16}$. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, где $a=3$ и $b=16$, находим: $3^{\log_3 16} = 16$.
Ответ: 16.

г) Рассмотрим выражение $5^{-2 \log_5 3}$. Преобразуем показатель степени с помощью свойства $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$: $-2 \log_5 3 = \log_5 3^{-2}$. Вычислим значение $3^{-2}$: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$. Следовательно, показатель степени равен $\log_5 \frac{1}{9}$. Теперь подставим это в исходное выражение: $5^{-2 \log_5 3} = 5^{\log_5 (1/9)}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ получаем: $5^{\log_5 (1/9)} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

14.16. a) $4 \cdot 125^{1 - \log_{125} 8};$

б) $3 \cdot 4^{3 - \log_4 24};$

в) $7 \cdot 0.5^{2 - \log_{0.5} 35};$

г) $100 \cdot 0.3^{3 - \log_{0.3} 27}.$

а)

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами степеней и логарифмов.

Исходное выражение: $4 \cdot 125^{1 - \log_{125} 8}$.

Применим свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$4 \cdot 125^{1 - \log_{125} 8} = 4 \cdot \frac{125^1}{125^{\log_{125} 8}}$

Теперь воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$:

$125^{\log_{125} 8} = 8$

Подставим это значение обратно в выражение:

$4 \cdot \frac{125}{8}$

Выполним вычисление:

$\frac{4 \cdot 125}{8} = \frac{500}{8} = \frac{125}{2} = 62.5$

Ответ: 62.5

б)

Решим выражение $3 \cdot 4^{3 - \log_4 24}$, используя те же свойства.

Применим свойство разности в показателе степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$3 \cdot 4^{3 - \log_4 24} = 3 \cdot \frac{4^3}{4^{\log_4 24}}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$ имеем:

$4^{\log_4 24} = 24$

Подставим это значение и вычислим $4^3$:

$4^3 = 64$

Получаем выражение:

$3 \cdot \frac{64}{24}$

Сократим дробь и найдем результат:

$\frac{3 \cdot 64}{24} = \frac{192}{24} = 8$

Ответ: 8

в)

Рассмотрим выражение $7 \cdot 0.5^{2 - \log_{0.5} 35}$.

Используем свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$7 \cdot 0.5^{2 - \log_{0.5} 35} = 7 \cdot \frac{0.5^2}{0.5^{\log_{0.5} 35}}$

Применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:

$0.5^{\log_{0.5} 35} = 35$

Подставим это значение и вычислим $0.5^2$:

$0.5^2 = 0.25$

Получаем:

$7 \cdot \frac{0.25}{35}$

Произведем вычисления:

$\frac{7 \cdot 0.25}{35} = \frac{1.75}{35} = \frac{175}{3500} = \frac{1}{20} = 0.05$

Ответ: 0.05

г)

Решим последнее выражение $100 \cdot 0.3^{3 - \log_{0.3} 27}$.

По свойству степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$100 \cdot 0.3^{3 - \log_{0.3} 27} = 100 \cdot \frac{0.3^3}{0.3^{\log_{0.3} 27}}$

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$0.3^{\log_{0.3} 27} = 27$

Вычислим $0.3^3$:

$0.3^3 = 0.027$

Подставим полученные значения в выражение:

$100 \cdot \frac{0.027}{27}$

Выполним вычисление:

$\frac{100 \cdot 0.027}{27} = \frac{2.7}{27} = 0.1$

Ответ: 0.1

14.17. a) $(\sqrt{2})^{\log_2 72} + 2^{\log_5 25};$

в) $(\sqrt{5})^{\log_5 16} - 2^{\log_4 2};$

б) $(\sqrt{3})^{\log_3 12} - 12^{\log_3 9};$

г) $(\sqrt{7})^{\log_7 2} + 16^{\log_9 3}.$

а) $(\sqrt{2})^{\log_2 72} + 2^{\log_5 25}$

Для решения этого примера, мы упростим каждое слагаемое по отдельности.

1. Упростим первое слагаемое $(\sqrt{2})^{\log_2 72}$.
Представим $\sqrt{2}$ как $2^{1/2}$. Выражение примет вид: $(2^{1/2})^{\log_2 72}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $2^{\frac{1}{2} \log_2 72}$.
Далее, используя свойство логарифма $c \cdot \log_b a = \log_b a^c$, преобразуем показатель степени: $\frac{1}{2} \log_2 72 = \log_2 72^{1/2} = \log_2 \sqrt{72}$.
Таким образом, выражение становится $2^{\log_2 \sqrt{72}}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем: $2^{\log_2 \sqrt{72}} = \sqrt{72}$.
Упростим корень: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

2. Упростим второе слагаемое $2^{\log_5 25}$.
Сначала вычислим показатель степени $\log_5 25$. Так как $5^2 = 25$, то $\log_5 25 = 2$.
Тогда второе слагаемое равно $2^2 = 4$.

3. Сложим полученные значения:
$6\sqrt{2} + 4$.

Ответ: $4 + 6\sqrt{2}$.

б) $(\sqrt{3})^{\log_3 12} - 12^{\log_3 9}$

Решим этот пример, упрощая каждое слагаемое.

1. Упростим первое слагаемое $(\sqrt{3})^{\log_3 12}$.
Представим $\sqrt{3}$ как $3^{1/2}$. Выражение примет вид: $(3^{1/2})^{\log_3 12}$.
По свойству степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $3^{\frac{1}{2} \log_3 12}$.
По свойству логарифма $c \cdot \log_b a = \log_b a^c$: $3^{\log_3 12^{1/2}} = 3^{\log_3 \sqrt{12}}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$: $3^{\log_3 \sqrt{12}} = \sqrt{12}$.
Упростим корень: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

2. Упростим второе слагаемое $12^{\log_3 9}$.
Вычислим показатель степени $\log_3 9$. Так как $3^2 = 9$, то $\log_3 9 = 2$.
Второе слагаемое равно $12^2 = 144$.

3. Вычтем второе значение из первого:
$2\sqrt{3} - 144$.

Ответ: $2\sqrt{3} - 144$.

в) $(\sqrt{5})^{\log_5 16} - 2^{\log_4 2}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности.

1. Упростим первое слагаемое $(\sqrt{5})^{\log_5 16}$.
Представим $\sqrt{5}$ как $5^{1/2}$. Выражение примет вид: $(5^{1/2})^{\log_5 16}$.
Используя свойства степени и логарифма: $5^{\frac{1}{2} \log_5 16} = 5^{\log_5 16^{1/2}} = 5^{\log_5 \sqrt{16}} = 5^{\log_5 4}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем: $5^{\log_5 4} = 4$.

2. Упростим второе слагаемое $2^{\log_4 2}$.
Вычислим показатель степени $\log_4 2$. Пусть $\log_4 2 = x$, тогда $4^x = 2$.
Поскольку $4 = 2^2$, уравнение можно переписать как $(2^2)^x = 2^1$, или $2^{2x} = 2^1$.
Отсюда $2x = 1$, и $x = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $\log_4 2 = \frac{1}{2}$.
Второе слагаемое равно $2^{1/2} = \sqrt{2}$.

3. Найдем разность полученных значений:
$4 - \sqrt{2}$.

Ответ: $4 - \sqrt{2}$.

г) $(\sqrt{7})^{\log_7 2} + 16^{\log_9 3}$

Упростим каждое слагаемое.

1. Упростим первое слагаемое $(\sqrt{7})^{\log_7 2}$.
Представим $\sqrt{7}$ как $7^{1/2}$. Выражение примет вид: $(7^{1/2})^{\log_7 2}$.
Используя свойства степени и логарифма: $7^{\frac{1}{2} \log_7 2} = 7^{\log_7 2^{1/2}} = 7^{\log_7 \sqrt{2}}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем: $7^{\log_7 \sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

2. Упростим второе слагаемое $16^{\log_9 3}$.
Вычислим показатель степени $\log_9 3$. Пусть $\log_9 3 = x$, тогда $9^x = 3$.
Поскольку $9 = 3^2$, уравнение можно переписать как $(3^2)^x = 3^1$, или $3^{2x} = 3^1$.
Отсюда $2x = 1$, и $x = \frac{1}{2}$.
Таким образом, $\log_9 3 = \frac{1}{2}$.
Второе слагаемое равно $16^{1/2} = \sqrt{16} = 4$.

3. Сложим полученные значения:
$\sqrt{2} + 4$.

Ответ: $4 + \sqrt{2}$.

Решите уравнение:

14.18. а) $ \lg x = 1 $;

в) $ \lg x = -4 $;

б) $ \log_{0.027} x = \frac{2}{3} $;

г) $ \log_{0.25} x = \frac{3}{2} $.

а) Решим уравнение $lg x = 1$.

По определению десятичного логарифма, $lg x$ - это логарифм по основанию 10, то есть $log_{10} x$. Таким образом, уравнение можно переписать в виде $log_{10} x = 1$.

Основное определение логарифма гласит, что если $log_b a = c$, то это эквивалентно равенству $a = b^c$. В данном случае основание $b=10$, $a=x$, а $c=1$.

Применяя это определение к нашему уравнению, получаем:

$x = 10^1$

$x = 10$

Область определения логарифма требует, чтобы аргумент был строго положительным, то есть $x > 0$. Наше решение $x=10$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: 10

б) Решим уравнение $log_{0,027} x = \frac{2}{3}$.

Используем основное определение логарифма: $log_b a = c \iff a = b^c$.

В нашем случае $b = 0,027$, $a = x$, $c = \frac{2}{3}$. Следовательно, мы можем записать:

$x = 0,027^{\frac{2}{3}}$

Для вычисления этого значения, преобразуем десятичную дробь 0,027 в обыкновенную, а затем в степень:

$0,027 = \frac{27}{1000} = \frac{3^3}{10^3} = (\frac{3}{10})^3 = 0,3^3$

Теперь подставим это выражение обратно в уравнение для $x$:

$x = (0,3^3)^{\frac{2}{3}}$

Воспользуемся свойством степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$x = 0,3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 0,3^2$

$x = 0,09$

Проверяем, что $x > 0$. $0,09 > 0$, решение корректно.

Ответ: 0,09

в) Решим уравнение $lg x = -4$.

Как и в пункте а), $lg x$ - это $log_{10} x$. Уравнение принимает вид $log_{10} x = -4$.

Применяя определение логарифма ($log_b a = c \iff a = b^c$), получаем:

$x = 10^{-4}$

Вычисляем значение $x$, используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$x = \frac{1}{10^4} = \frac{1}{10000} = 0,0001$

Условие $x > 0$ выполнено, так как $0,0001 > 0$.

Ответ: 0,0001

г) Решим уравнение $log_{0,25} x = \frac{3}{2}$.

Используем определение логарифма $log_b a = c \iff a = b^c$.

В данном случае $b = 0,25$, $a = x$, $c = \frac{3}{2}$. Получаем:

$x = 0,25^{\frac{3}{2}}$

Преобразуем основание 0,25 в обыкновенную дробь:

$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$

Подставим это значение в выражение для $x$:

$x = (\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}}$

Дробная степень $a^{\frac{m}{n}}$ может быть вычислена как $(\sqrt[n]{a})^m$. В нашем случае $a = \frac{1}{4}$, $m=3$, $n=2$.

$x = (\sqrt{\frac{1}{4}})^3 = (\frac{1}{2})^3$

$x = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$

Переведем ответ в десятичную дробь:

$x = 0,125$

Проверяем, что $x > 0$. $0,125 > 0$, решение корректно.

Ответ: 0,125

14.19. a) $log_4 x = -\frac{1}{2};$

б) $log_{0.125} x = -\frac{2}{3};$

в) $log_{32} x = -\frac{4}{5};$

г) $log_{0.01} x = -\frac{3}{2}.$

а)

Для решения уравнения $ \log_{4} x = -\frac{1}{2} $ воспользуемся определением логарифма: $ \log_{a} b = c $ эквивалентно $ a^c = b $.

Применяя это определение, получаем: $ x = 4^{-\frac{1}{2}} $

Степень с отрицательным показателем можно записать как $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, а степень с дробным показателем как $ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} $.

Следовательно: $ x = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} $

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Для решения уравнения $ \log_{0,125} x = -\frac{2}{3} $ воспользуемся определением логарифма: $ x = 0,125^{-\frac{2}{3}} $

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $ 0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} $.

Теперь уравнение выглядит так: $ x = \left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} $

Используя свойство $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} $, получаем: $ x = 8^{\frac{2}{3}} $

Используя свойство $ a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m $, вычисляем значение: $ x = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4 $

Ответ: 4

в)

Для решения уравнения $ \log_{32} x = -\frac{4}{5} $ воспользуемся определением логарифма: $ x = 32^{-\frac{4}{5}} $

Используем свойство степени с отрицательным показателем: $ x = \frac{1}{32^{\frac{4}{5}}} $

Для вычисления знаменателя можно представить 32 как степень числа 2 ($ 32 = 2^5 $) или использовать свойство $ a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} $.

$ 32^{\frac{4}{5}} = (\sqrt[5]{32})^4 = 2^4 = 16 $

Следовательно: $ x = \frac{1}{16} $

Ответ: $\frac{1}{16}$

г)

Для решения уравнения $ \log_{0,01} x = -\frac{3}{2} $ воспользуемся определением логарифма: $ x = 0,01^{-\frac{3}{2}} $

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $ 0,01 = \frac{1}{100} $.

$ x = \left(\frac{1}{100}\right)^{-\frac{3}{2}} $

Применяя свойство степени с отрицательным показателем, получаем: $ x = 100^{\frac{3}{2}} $

Вычисляем значение: $ x = (\sqrt{100})^3 = 10^3 = 1000 $

Ответ: 1000

14.20. a) $\log_x 4 = 2$;

б) $\log_x \frac{1}{27} = -3$;

в) $\log_x 125 = 3$;

г) $\log_x \frac{1}{16} = -4$.

а)

Для решения уравнения $ \log_x 4 = 2 $ воспользуемся определением логарифма: $ \log_b a = c $ эквивалентно $ b^c = a $.
В данном уравнении основание $ b = x $, число под логарифмом $ a = 4 $, и значение логарифма $ c = 2 $.
Применив определение, получим степенное уравнение:
$ x^2 = 4 $
Решениями этого уравнения являются $ x = \sqrt{4} $ и $ x = -\sqrt{4} $, то есть $ x = 2 $ и $ x = -2 $.
Согласно области определения логарифма, его основание $ x $ должно быть положительным и не равным единице ($ x > 0 $, $ x \neq 1 $).
Корень $ x = -2 $ не удовлетворяет условию $ x > 0 $, поэтому он является посторонним. Корень $ x = 2 $ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $ 2 $

б)

Рассмотрим уравнение $ \log_x \frac{1}{27} = -3 $.
По определению логарифма, это уравнение можно переписать в виде:
$ x^{-3} = \frac{1}{27} $
Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, преобразуем левую часть:
$ \frac{1}{x^3} = \frac{1}{27} $
Из этого равенства следует, что $ x^3 = 27 $.
Находим $ x $, извлекая кубический корень из 27:
$ x = \sqrt[3]{27} = 3 $
Проверяем, соответствует ли найденный корень ограничениям на основание логарифма: $ x = 3 > 0 $ и $ x = 3 \neq 1 $. Условия выполняются.

Ответ: $ 3 $

в)

Решим уравнение $ \log_x 125 = 3 $.
Используя определение логарифма ($ \log_b a = c \iff b^c = a $), переходим к степенному уравнению:
$ x^3 = 125 $
Чтобы найти $ x $, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:
$ x = \sqrt[3]{125} $
Поскольку $ 5^3 = 125 $, то $ x = 5 $.
Найденное значение $ x=5 $ удовлетворяет условиям для основания логарифма ($ x > 0 $ и $ x \neq 1 $).

Ответ: $ 5 $

г)

Рассмотрим уравнение $ \log_x \frac{1}{16} = -4 $.
По определению логарифма, это уравнение эквивалентно следующему:
$ x^{-4} = \frac{1}{16} $
Преобразуем левую часть, используя свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:
$ \frac{1}{x^4} = \frac{1}{16} $
Отсюда следует, что $ x^4 = 16 $.
Решая это уравнение, получаем $ x = \pm\sqrt[4]{16} $, то есть $ x = 2 $ или $ x = -2 $.
Основание логарифма $ x $ должно быть положительным и не равным единице ($ x > 0 $, $ x \neq 1 $).
Корень $ x = -2 $ не удовлетворяет этому требованию. Подходит только корень $ x = 2 $.

Ответ: $ 2 $

14.21. a) $\log_x 3 = \frac{1}{2}$;

б) $\log_x 4 = -\frac{1}{2}$;

в) $\log_x 7 = \frac{1}{3}$;

г) $\log_x 8 = -\frac{1}{3}$.

а) Исходное уравнение: $\log_x 3 = \frac{1}{2}$.
По определению логарифма, уравнение $\log_a b = c$ равносильно степенному уравнению $a^c = b$. При этом основание логарифма должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \neq 1$).
Применяя это определение к нашему уравнению, получаем: $x^{\frac{1}{2}} = 3$.
Выражение $x^{\frac{1}{2}}$ — это то же самое, что и $\sqrt{x}$. Таким образом, имеем уравнение: $\sqrt{x} = 3$.
Чтобы найти $x$, возводим обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 3^2$
$x = 9$.
Проверяем, удовлетворяет ли найденное значение условиям для основания логарифма: $x=9 > 0$ и $x=9 \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: 9

б) Исходное уравнение: $\log_x 4 = -\frac{1}{2}$.
По определению логарифма, данное уравнение равносильно уравнению: $x^{-\frac{1}{2}} = 4$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), перепишем уравнение: $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 4$, что эквивалентно $\frac{1}{\sqrt{x}} = 4$.
Отсюда находим $\sqrt{x}$: $\sqrt{x} = \frac{1}{4}$.
Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{4})^2$
$x = \frac{1}{16}$.
Проверяем условия для основания логарифма: $x=\frac{1}{16} > 0$ и $x=\frac{1}{16} \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: $\frac{1}{16}$

в) Исходное уравнение: $\log_x 7 = \frac{1}{3}$.
По определению логарифма, данное уравнение равносильно уравнению: $x^{\frac{1}{3}} = 7$.
Выражение $x^{\frac{1}{3}}$ — это кубический корень из $x$, то есть $\sqrt[3]{x}$. Получаем: $\sqrt[3]{x} = 7$.
Чтобы найти $x$, возводим обе части уравнения в куб: $(\sqrt[3]{x})^3 = 7^3$
$x = 343$.
Проверяем условия для основания логарифма: $x=343 > 0$ и $x=343 \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: 343

г) Исходное уравнение: $\log_x 8 = -\frac{1}{3}$.
По определению логарифма, данное уравнение равносильно уравнению: $x^{-\frac{1}{3}} = 8$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, перепишем уравнение: $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = 8$, что эквивалентно $\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = 8$.
Отсюда находим $\sqrt[3]{x}$: $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{8}$.
Возводим обе части в куб: $(\sqrt[3]{x})^3 = (\frac{1}{8})^3$
$x = \frac{1^3}{8^3} = \frac{1}{512}$.
Проверяем условия для основания логарифма: $x=\frac{1}{512} > 0$ и $x=\frac{1}{512} \neq 1$. Условия выполнены.
Ответ: $\frac{1}{512}$

14.22. а) $2^x = 9$;

б) $12^x = 7$;

в) $(\frac{1}{3})^x = 4$;

г) $0,2^x = 6$.

а) Дано показательное уравнение $2^x = 9$.

Для решения этого уравнения используется определение логарифма. Логарифм числа $b$ по основанию $a$ (обозначается $\log_a b$) — это показатель степени, в которую надо возвести основание $a$, чтобы получить число $b$. Таким образом, равенство $a^x = b$ эквивалентно равенству $x = \log_a b$.

В данном случае, основание $a=2$ и число $b=9$. Применяя определение логарифма, получаем:

$x = \log_2 9$.

Также можно упростить это выражение, используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$. Так как $9 = 3^2$, то:

$x = \log_2(3^2) = 2\log_2 3$.

Оба ответа, $\log_2 9$ и $2\log_2 3$, являются верными.

Ответ: $x = \log_2 9$.

б) Дано показательное уравнение $12^x = 7$.

По аналогии с предыдущим примером, воспользуемся определением логарифма. Если $a^x = b$, то $x = \log_a b$.

В этом уравнении основание $a=12$ и число $b=7$.

Следовательно, решение уравнения:

$x = \log_{12} 7$.

Ответ: $x = \log_{12} 7$.

в) Дано показательное уравнение $(\frac{1}{3})^x = 4$.

По определению логарифма, $x = \log_{\frac{1}{3}} 4$.

Данное выражение можно упростить. Для этого представим основание логарифма $\frac{1}{3}$ в виде степени: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$.

Теперь воспользуемся свойством логарифма для смены основания $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.

$x = \log_{3^{-1}} 4 = \frac{1}{-1} \log_3 4 = -\log_3 4$.

Ответ: $x = -\log_3 4$.

г) Дано показательное уравнение $0,2^x = 6$.

В первую очередь, преобразуем десятичную дробь в основании в обыкновенную:

$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Теперь уравнение имеет вид $(\frac{1}{5})^x = 6$.

Применяя определение логарифма, получаем $x = \log_{\frac{1}{5}} 6$.

Упростим полученный результат. Основание $\frac{1}{5}$ можно записать как $5^{-1}$.

Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$, находим:

$x = \log_{5^{-1}} 6 = \frac{1}{-1}\log_5 6 = -\log_5 6$.

Ответ: $x = -\log_5 6$.

14.23. a) $3^{x+1} = 14;$

б) $4^{5x-4} = 10;$

в) $\left(\frac{2}{7}\right)^{3-x} = 11;$

г) $(\sqrt{5})^{8-9x} = 6.$

а) Исходное показательное уравнение: $3^{x+1} = 14$.

Для решения этого уравнения необходимо прологарифмировать обе его части. Удобнее всего использовать логарифм по основанию 3.

$\log_3(3^{x+1}) = \log_3(14)$

Используя основное свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, получаем:

$x+1 = \log_3(14)$

Теперь выразим $x$, перенеся 1 в правую часть уравнения:

$x = \log_3(14) - 1$

Ответ: $x = \log_3(14) - 1$.

б) Дано уравнение: $4^{5x-4} = 10$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 4:

$\log_4(4^{5x-4}) = \log_4(10)$

Применяя свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$, упростим левую часть:

$5x-4 = \log_4(10)$

Далее решаем полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем -4 в правую часть:

$5x = \log_4(10) + 4$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{\log_4(10) + 4}{5}$

Ответ: $x = \frac{\log_4(10) + 4}{5}$.

в) Рассмотрим уравнение: $(\frac{2}{7})^{3-x} = 11$.

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $\frac{2}{7}$:

$\log_{\frac{2}{7}}((\frac{2}{7})^{3-x}) = \log_{\frac{2}{7}}(11)$

По свойству $\log_a(a^b) = b$ имеем:

$3-x = \log_{\frac{2}{7}}(11)$

Выразим $x$:

$-x = \log_{\frac{2}{7}}(11) - 3$

$x = 3 - \log_{\frac{2}{7}}(11)$

Для удобства можно преобразовать логарифм, используя свойство $\log_{\frac{a}{b}}(c) = -\log_{\frac{b}{a}}(c)$:

$x = 3 - (-\log_{\frac{7}{2}}(11)) = 3 + \log_{\frac{7}{2}}(11)$

Ответ: $x = 3 + \log_{\frac{7}{2}}(11)$.

г) Исходное уравнение: $(\sqrt{5})^{8-9x} = 6$.

Сначала преобразуем основание степени в левой части, представив корень как степень с дробным показателем: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.

$(5^{\frac{1}{2}})^{8-9x} = 6$

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим левую часть:

$5^{\frac{1}{2}(8-9x)} = 6$

$5^{4 - \frac{9}{2}x} = 6$

Теперь прологарифмируем обе части по основанию 5:

$\log_5(5^{4 - \frac{9}{2}x}) = \log_5(6)$

$4 - \frac{9}{2}x = \log_5(6)$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем 4 в правую часть:

$-\frac{9}{2}x = \log_5(6) - 4$

Умножим обе части на -1, чтобы избавиться от минуса перед $x$:

$\frac{9}{2}x = 4 - \log_5(6)$

Наконец, умножим обе части на $\frac{2}{9}$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2}{9}(4 - \log_5(6))$

Ответ: $x = \frac{2}{9}(4 - \log_5(6))$.