Страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

○15.9. Найдите область определения функции:

a) $y = \log_{8,1} (2^{x^2-5x+7} - 2)$;

б) $y = \log_{2}(\log_{0,1}x)$;

в) $y = \log_{0,6} \frac{2^{x^2-5x+7} - 2}{x}$;

г) $y = \log_{0,2}(\log_{3}x)$.

а) Область определения логарифмической функции задается условием, что ее аргумент должен быть строго больше нуля. Следовательно, для функции $y = \log_{8,1} (2^{x^2 - 5x + 7} - 2)$ необходимо выполнить неравенство:

$2^{x^2 - 5x + 7} - 2 > 0$

$2^{x^2 - 5x + 7} > 2$

Представим правую часть как степень с основанием 2: $2 = 2^1$.

$2^{x^2 - 5x + 7} > 2^1$

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 5x + 7 > 1$

$x^2 - 5x + 6 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Парабола $f(x) = x^2 - 5x + 6$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Таким образом, решением неравенства является объединение интервалов $(-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

б) Для функции $y = \log_2(\log_{0,1} x)$ область определения находится из системы неравенств, так как это сложная функция:

1. Аргумент внешнего логарифма должен быть больше нуля: $\log_{0,1} x > 0$.

2. Аргумент внутреннего логарифма должен быть больше нуля: $x > 0$.

Решим первое неравенство: $\log_{0,1} x > 0$. Представим $0$ как $\log_{0,1} 1$.

$\log_{0,1} x > \log_{0,1} 1$

Так как основание логарифма $0,1 < 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 1$

Теперь объединим полученные условия в систему:

$\begin{cases} x < 1 \\ x > 0 \end{cases}$

Решением системы является интервал $(0; 1)$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

в) Область определения функции $y = \log_{0,6} \left(\frac{2^{x^2 - 5x + 7} - 2}{x}\right)$ задается условием, что ее аргумент должен быть строго больше нуля:

$\frac{2^{x^2 - 5x + 7} - 2}{x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $2^{x^2 - 5x + 7} - 2 = 0$. Из решения пункта а) мы знаем, что корнями этого уравнения являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Нули знаменателя: $x = 0$.

Отметим точки $0, 2, 3$ на числовой прямой и определим знаки выражения на получившихся интервалах. Знак числителя $2^{x^2 - 5x + 7} - 2$ совпадает со знаком выражения $x^2 - 5x + 6$. Этот трехчлен положителен при $x \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$ и отрицателен при $x \in (2; 3)$.

На интервале $(-\infty; 0)$: числитель $(+)$, знаменатель $(-)$, дробь $(-)$.
На интервале $(0; 2)$: числитель $(+)$, знаменатель $(+)$, дробь $(+)$.
На интервале $(2; 3)$: числитель $(-)$, знаменатель $(+)$, дробь $(-)$.
На интервале $(3; \infty)$: числитель $(+)$, знаменатель $(+)$, дробь $(+)$.

Нас интересуют интервалы, где дробь положительна. Это $(0; 2)$ и $(3; \infty)$.

Ответ: $x \in (0; 2) \cup (3; \infty)$.

г) Для функции $y = \log_{0,2} (\log_3 x)$ область определения находится из системы неравенств:

1. Аргумент внешнего логарифма должен быть больше нуля: $\log_3 x > 0$.

2. Аргумент внутреннего логарифма должен быть больше нуля: $x > 0$.

Решим первое неравенство: $\log_3 x > 0$. Представим $0$ как $\log_3 1$.

$\log_3 x > \log_3 1$

Так как основание логарифма $3 > 1$, то при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x > 1$

Теперь объединим полученные условия в систему:

$\begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \end{cases}$

Решением системы является неравенство $x > 1$, то есть интервал $(1; \infty)$.

Ответ: $x \in (1; \infty)$.

15.10. Дано: $f(x) = \log_2 x$. Докажите, что выполняется следующее соотношение:

а) $f(2^x) = x$;

б) $f(4^x) + f(8^x) = 5x$.

Дана функция $f(x) = \log_2 x$. Необходимо доказать два соотношения.

а) Докажем, что $f(2^x) = x$.

Для этого подставим в определение функции $f(x)$ вместо аргумента $x$ выражение $2^x$:

$f(2^x) = \log_2(2^x)$

Далее воспользуемся основным свойством логарифма, которое гласит, что $\log_a(a^b) = b$. В нашем случае основание логарифма $a=2$, а выражение под логарифмом представляет собой это же основание в степени $x$.

Применяя это свойство, получаем:

$\log_2(2^x) = x$

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства $f(2^x)$ равна правой части $x$. Равенство доказано.

Ответ: $f(2^x) = x$.

б) Докажем, что $f(4^x) + f(8^x) = 5x$.

Рассмотрим левую часть равенства и подставим в нее определение функции $f(x)$:

$f(4^x) + f(8^x) = \log_2(4^x) + \log_2(8^x)$

Чтобы упростить это выражение, представим числа 4 и 8 в виде степеней с основанием 2, так как основание логарифма равно 2.

$4 = 2^2$, следовательно, $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$.

$8 = 2^3$, следовательно, $8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$.

Теперь подставим эти выражения обратно в сумму логарифмов:

$\log_2(4^x) + \log_2(8^x) = \log_2(2^{2x}) + \log_2(2^{3x})$

Снова применяем свойство логарифма $\log_a(a^b) = b$ для каждого слагаемого:

$\log_2(2^{2x}) = 2x$

$\log_2(2^{3x}) = 3x$

Сложим полученные результаты:

$2x + 3x = 5x$

Полученное выражение $5x$ совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, равенство доказано.

Ответ: $f(4^x) + f(8^x) = 5x$.

15.11. Дано: $f(x) = \log_{1/3} x$. Докажите, что выполняется следующее соотношение:

a) $f\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1}\right) = 2x+1;$

б) $f\left(\left(\frac{1}{9}\right)^x\right) - f\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{x-1}\right) = 3-x.$

а)

Дана функция $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$. Необходимо доказать, что выполняется соотношение $f\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1}\right) = 2x+1$.

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Подставим в функцию $f(x)$ вместо $x$ выражение $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1}$:

$f\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1}\right)$

Воспользуемся основным свойством логарифма: $\log_a(a^b) = b$. В нашем случае основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ и показатель степени в логарифмируемом выражении $b = 2x+1$.

Применяя это свойство, получаем:

$\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+1}\right) = 2x+1$

Таким образом, левая часть тождества равна правой части: $2x+1 = 2x+1$. Соотношение доказано.

Ответ: Соотношение доказано.

б)

Необходимо доказать, что выполняется соотношение $f\left(\left(\frac{1}{9}\right)^x\right) - f\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{x-1}\right) = 3-x$.

Преобразуем левую часть равенства, вычислив значения функции для каждого из аргументов.

1. Найдем значение первого члена $f\left(\left(\frac{1}{9}\right)^x\right)$:

$f\left(\left(\frac{1}{9}\right)^x\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{9}\right)^x\right)$

Представим число $\frac{1}{9}$ как степень основания логарифма $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$.

Тогда выражение примет вид:

$\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\left(\frac{1}{3}\right)^2\right)^x\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}\right)$

По основному свойству логарифма $\log_a(a^b) = b$ получаем:

$\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{2x}\right) = 2x$

2. Найдем значение второго члена $f\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{x-1}\right)$:

$f\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{x-1}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{x-1}\right)$

Представим число $\frac{1}{27}$ как степень основания логарифма $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{27} = \left(\frac{1}{3}\right)^3$.

Тогда выражение примет вид:

$\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\left(\frac{1}{3}\right)^3\right)^{x-1}\right) = \log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{3(x-1)}\right)$

По основному свойству логарифма $\log_a(a^b) = b$ получаем:

$\log_{\frac{1}{3}}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{3(x-1)}\right) = 3(x-1) = 3x - 3$

3. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$f\left(\left(\frac{1}{9}\right)^x\right) - f\left(\left(\frac{1}{27}\right)^{x-1}\right) = 2x - (3x - 3)$

Раскроем скобки и упростим:

$2x - 3x + 3 = -x + 3 = 3-x$

Левая часть тождества равна правой: $3-x = 3-x$. Соотношение доказано.

Ответ: Соотношение доказано.

Сравните числа:

15.12. a) $log_4 7$ и $log_4 23$;

б) $log_{\frac{2}{3}} 0,8$ и $log_{\frac{2}{3}} 1$;

в) $log_9 \sqrt{15}$ и $log_9 13$;

г) $log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7}$ и $log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$.

а)

Для сравнения чисел $\log_4 7$ и $\log_4 23$ воспользуемся свойством логарифмической функции $y = \log_a x$.
В данном случае основание логарифма $a = 4$. Так как основание больше единицы ($a > 1$), логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что чем больше аргумент, тем больше значение логарифма.
Сравним аргументы логарифмов: $7$ и $23$.
Очевидно, что $7 < 23$.
Поскольку функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $\log_4 7 < \log_4 23$.

Ответ: $\log_4 7 < \log_4 23$.

б)

Для сравнения чисел $\log_{\frac{2}{3}} 0.8$ и $\log_{\frac{2}{3}} 1$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{\frac{2}{3}} x$.
Основание логарифма $a = \frac{2}{3}$. Так как основание находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$), логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что чем больше аргумент, тем меньше значение логарифма.
Сравним аргументы логарифмов: $0.8$ и $1$.
Очевидно, что $0.8 < 1$.
Поскольку функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $\log_{\frac{2}{3}} 0.8 > \log_{\frac{2}{3}} 1$.

Ответ: $\log_{\frac{2}{3}} 0.8 > \log_{\frac{2}{3}} 1$.

в)

Для сравнения чисел $\log_9 \sqrt{15}$ и $\log_9 13$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_9 x$.
Основание логарифма $a = 9$. Так как $a > 1$, функция является возрастающей.
Сравним аргументы логарифмов: $\sqrt{15}$ и $13$.
Чтобы сравнить эти два положительных числа, возведем их в квадрат: $(\sqrt{15})^2 = 15$.
$13^2 = 169$.
Так как $15 < 169$, то и $\sqrt{15} < 13$.
Поскольку функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $\log_9 \sqrt{15} < \log_9 13$.

Ответ: $\log_9 \sqrt{15} < \log_9 13$.

г)

Для сравнения чисел $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7}$ и $\log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{\frac{1}{12}} x$.
Основание логарифма $a = \frac{1}{12}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Сравним аргументы логарифмов: $\frac{1}{7}$ и $\frac{2}{3}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $21$:
$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{3}{21}$.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21}$.
Так как $3 < 14$, то $\frac{3}{21} < \frac{14}{21}$, следовательно, $\frac{1}{7} < \frac{2}{3}$.
Поскольку функция убывающая, знак неравенства меняется на противоположный: $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7} > \log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$.

Ответ: $\log_{\frac{1}{12}} \frac{1}{7} > \log_{\frac{1}{12}} \frac{2}{3}$.

15.13. a) $\log_2 \frac{2^{3.5} \cdot 2^{-7}}{(2^6)^{-1}}$ и $\log_2(4\sqrt{2});$

б) $\log_{0.1} \frac{10^{-2.3} \cdot 10^{4.1}}{(10^3)^{-2}}$ и $\log_{0.1} (10\sqrt[3]{10}).$

а)

Требуется вычислить значения двух выражений.

Первое выражение: $\log_{2}\frac{2^{3.5} \cdot 2^{-7}}{(2^6)^{-1}}$

Сначала упростим аргумент логарифма, используя свойства степеней:

1. Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^{3.5} \cdot 2^{-7} = 2^{3.5 - 7} = 2^{-3.5}$

2. Упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{mn}$):
$(2^6)^{-1} = 2^{6 \cdot (-1)} = 2^{-6}$

3. Упростим всю дробь, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{2^{-3.5}}{2^{-6}} = 2^{-3.5 - (-6)} = 2^{-3.5 + 6} = 2^{2.5}$

Теперь исходное выражение можно переписать как:

$\log_{2}(2^{2.5})$

По определению логарифма ($\log_a(a^x) = x$):

$\log_{2}(2^{2.5}) = 2.5$

Ответ: $2.5$

Второе выражение: $\log_{2}(4\sqrt{2})$

Упростим аргумент логарифма, представив его как степень с основанием 2:

$4 = 2^2$

$\sqrt{2} = 2^{1/2}$

Следовательно, $4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 2^{2 + 1/2} = 2^{2.5}$

Подставим полученное значение в логарифм:

$\log_{2}(2^{2.5})$

По определению логарифма:

$\log_{2}(2^{2.5}) = 2.5$

Ответ: $2.5$

б)

Требуется вычислить значения двух выражений.

Первое выражение: $\log_{0.1}\frac{10^{-2.3} \cdot 10^{4.1}}{(10^3)^{-2}}$

Сначала упростим аргумент логарифма, используя свойства степеней:

1. Упростим числитель: $10^{-2.3} \cdot 10^{4.1} = 10^{-2.3 + 4.1} = 10^{1.8}$

2. Упростим знаменатель: $(10^3)^{-2} = 10^{3 \cdot (-2)} = 10^{-6}$

3. Упростим всю дробь: $\frac{10^{1.8}}{10^{-6}} = 10^{1.8 - (-6)} = 10^{1.8 + 6} = 10^{7.8}$

Исходное выражение принимает вид:

$\log_{0.1}(10^{7.8})$

Заметим, что основание логарифма $0.1 = 10^{-1}$. Используем свойство логарифма $\log_{a^k}(b^m) = \frac{m}{k}\log_a b$:

$\log_{0.1}(10^{7.8}) = \log_{10^{-1}}(10^{7.8}) = \frac{7.8}{-1} \log_{10}(10) = -7.8 \cdot 1 = -7.8$

Ответ: $-7.8$

Второе выражение: $\log_{0.1}(10^3\sqrt[3]{10})$

Упростим аргумент логарифма, представив его как степень с основанием 10:

$\sqrt[3]{10} = 10^{1/3}$

Следовательно, $10^3\sqrt[3]{10} = 10^3 \cdot 10^{1/3} = 10^{3 + 1/3} = 10^{10/3}$

Подставим полученное значение в логарифм:

$\log_{0.1}(10^{10/3})$

Так как $0.1 = 10^{-1}$, преобразуем логарифм:

$\log_{0.1}(10^{10/3}) = \log_{10^{-1}}(10^{10/3}) = \frac{10/3}{-1} \log_{10}(10) = -\frac{10}{3} \cdot 1 = -\frac{10}{3}$

Ответ: $-\frac{10}{3}$

Сравните с единицей число:

15.14. a) $log_3 41$;

б) $log_{2,3} 0,1$;

в) $log_{\frac{1}{7}} 2,6$;

г) $log_{\sqrt{7}} 0,4$.

а) Чтобы сравнить число $\log_3 41$ с единицей, представим единицу как логарифм с основанием 3. Мы знаем, что $1 = \log_3 3$.
Теперь задача сводится к сравнению двух логарифмов: $\log_3 41$ и $\log_3 3$.
Основание логарифма $a=3$, что больше 1. Логарифмическая функция с основанием больше единицы ($a > 1$) является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение логарифма.
Сравним аргументы: $41 > 3$.
Поскольку функция возрастающая, из $41 > 3$ следует, что $\log_3 41 > \log_3 3$.
Следовательно, $\log_3 41 > 1$.
Ответ: $\log_3 41 > 1$.

б) Сравним $\log_{2,3} 0,1$ с единицей. Представим единицу как логарифм с основанием 2,3: $1 = \log_{2,3} 2,3$.
Задача сводится к сравнению $\log_{2,3} 0,1$ и $\log_{2,3} 2,3$.
Основание логарифма $a=2,3$, что больше 1. Логарифмическая функция $y = \log_{2,3} x$ является возрастающей.
Сравним аргументы: $0,1 < 2,3$.
Так как функция возрастающая, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма. Таким образом, $\log_{2,3} 0,1 < \log_{2,3} 2,3$.
Следовательно, $\log_{2,3} 0,1 < 1$.
Ответ: $\log_{2,3} 0,1 < 1$.

в) Сравним $\log_{\frac{1}{7}} 2,6$ с единицей. Представим единицу как логарифм с основанием $\frac{1}{7}$: $1 = \log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7}$.
Задача сводится к сравнению $\log_{\frac{1}{7}} 2,6$ и $\log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7}$.
Основание логарифма $a=\frac{1}{7}$. Так как $0 < \frac{1}{7} < 1$, логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{7}} x$ является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма.
Сравним аргументы: $2,6 > \frac{1}{7}$.
Поскольку функция убывающая, из $2,6 > \frac{1}{7}$ следует, что $\log_{\frac{1}{7}} 2,6 < \log_{\frac{1}{7}} \frac{1}{7}$.
Следовательно, $\log_{\frac{1}{7}} 2,6 < 1$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{7}} 2,6 < 1$.

г) Сравним $\log_{\sqrt{7}} 0,4$ с единицей. Представим единицу как логарифм с основанием $\sqrt{7}$: $1 = \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7}$.
Задача сводится к сравнению $\log_{\sqrt{7}} 0,4$ и $\log_{\sqrt{7}} \sqrt{7}$.
Основание логарифма $a=\sqrt{7}$. Так как $7 > 1$, то и $\sqrt{7} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{7} > 1$. Логарифмическая функция с основанием больше единицы ($a > 1$) является возрастающей.
Сравним аргументы: $0,4 < \sqrt{7}$ (поскольку $0,4 < 1$, а $\sqrt{7} > 1$).
Так как функция возрастающая, меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение логарифма. Таким образом, $\log_{\sqrt{7}} 0,4 < \log_{\sqrt{7}} \sqrt{7}$.
Следовательно, $\log_{\sqrt{7}} 0,4 < 1$.
Ответ: $\log_{\sqrt{7}} 0,4 < 1$.

15.15. a) $ \log_6(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9}); $

б) $ \lg(\sqrt[3]{9} + 1)(\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{9} + 1). $

а) $\log_6((\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9}))$

Для упрощения выражения под знаком логарифма воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.

Обозначим $a = \sqrt[3]{9}$ и $b = \sqrt[3]{3}$.

Первый множитель в скобках $(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3})$ соответствует $(a-b)$.

Проверим, соответствует ли второй множитель $(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9})$ выражению $(a^2+ab+b^2)$.

Вычислим $a^2$, $ab$ и $b^2$:

$a^2 = (\sqrt[3]{9})^2 = \sqrt[3]{9^2} = \sqrt[3]{81}$

$ab = \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{9 \cdot 3} = \sqrt[3]{27}$

$b^2 = (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9}$

Действительно, второй множитель равен $a^2+ab+b^2$.

Следовательно, произведение под логарифмом равно разности кубов $a$ и $b$:

$(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{81} + \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{9}) = (\sqrt[3]{9})^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = 9 - 3 = 6$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\log_6(6) = 1$.

Ответ: $1$.

б) $\lg((\sqrt[3]{9} + 1)(\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{9} + 1))$

Для упрощения выражения под знаком логарифма воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3$.

Напомним, что $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

Обозначим $a = \sqrt[3]{9}$ и $b = 1$.

Первый множитель в скобках $(\sqrt[3]{9} + 1)$ соответствует $(a+b)$.

Проверим, соответствует ли второй множитель $(\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{9} + 1)$ выражению $(a^2-ab+b^2)$.

Вычислим $a^2$, $ab$ и $b^2$:

$a^2 = (\sqrt[3]{9})^2 = \sqrt[3]{9^2} = \sqrt[3]{81}$

$ab = \sqrt[3]{9} \cdot 1 = \sqrt[3]{9}$

$b^2 = 1^2 = 1$

Действительно, второй множитель равен $a^2-ab+b^2$.

Следовательно, произведение под логарифмом равно сумме кубов $a$ и $b$:

$(\sqrt[3]{9} + 1)(\sqrt[3]{81} - \sqrt[3]{9} + 1) = (\sqrt[3]{9})^3 + 1^3 = 9 + 1 = 10$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\lg(10) = \log_{10}(10) = 1$.

Ответ: $1$.