Страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Постройте график функции:

15.38. a) $y = \log_3 (x + 1) - 3;$

б) $y = \log_{0.2} (x - 2) + 1;$

в) $y = \log_5 (x - 1) + 2;$

г) $y = \log_{0.5} (x + 2) - 1.$

а) Построение графика функции $y = \log_3(x + 1) - 3$ осуществляется с помощью преобразований графика базовой логарифмической функции $y_0 = \log_3(x)$.
1. Сначала строим график функции $y_0 = \log_3(x)$. Это возрастающая функция, так как основание логарифма $3 > 1$. График проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Для точности построения найдем еще несколько точек: если $x=3$, то $y_0=\log_3(3)=1$; если $x=1/3$, то $y_0=\log_3(1/3)=-1$. Итак, ключевые точки: $(1/3, -1)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$.
2. Далее выполняем сдвиг графика $y_0 = \log_3(x)$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Получаем график функции $y_1 = \log_3(x+1)$. Вертикальная асимптота смещается и становится $x = -1$.
3. Затем сдвигаем полученный график $y_1 = \log_3(x+1)$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Получаем искомый график функции $y = \log_3(x + 1) - 3$.
Область определения функции находится из условия $x+1 > 0$, то есть $x > -1$.
Найдем новые координаты ключевых точек:- $(1/3, -1) \rightarrow (1/3 - 1, -1 - 3) = (-2/3, -4)$- $(1, 0) \rightarrow (1 - 1, 0 - 3) = (0, -3)$- $(3, 1) \rightarrow (3 - 1, 1 - 3) = (2, -2)$Точка пересечения с осью Oy: $(0, -3)$.
Точка пересечения с осью Ox (где $y=0$): $\log_3(x+1) - 3 = 0 \implies \log_3(x+1) = 3 \implies x+1 = 3^3 = 27 \implies x = 26$. Точка $(26, 0)$.

Ответ: График функции $y = \log_3(x + 1) - 3$ — это график $y=\log_3(x)$, смещенный на 1 единицу влево и на 3 единицы вниз. Вертикальная асимптота $x = -1$. График проходит через точки $(0, -3)$, $(2, -2)$ и $(26, 0)$.

б) Построение графика функции $y = \log_{0.2}(x - 2) + 1$ осуществляется с помощью преобразований графика базовой функции $y_0 = \log_{0.2}(x)$.
1. Строим график функции $y_0 = \log_{0.2}(x)$. Это убывающая функция, так как основание $0.2 < 1$. График проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Ключевые точки: $(0.2, 1)$, $(1, 0)$, $(5, -1)$ (поскольку $\log_{0.2}(5) = \log_{1/5}(5) = -1$).
2. Сдвигаем график $y_0 = \log_{0.2}(x)$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox, получая график $y_1 = \log_{0.2}(x-2)$. Вертикальная асимптота смещается на $x=2$.
3. Сдвигаем график $y_1 = \log_{0.2}(x-2)$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy, получая искомый график $y = \log_{0.2}(x - 2) + 1$.
Область определения: $x-2 > 0 \implies x > 2$.
Новые координаты ключевых точек:- $(0.2, 1) \rightarrow (0.2 + 2, 1 + 1) = (2.2, 2)$- $(1, 0) \rightarrow (1 + 2, 0 + 1) = (3, 1)$- $(5, -1) \rightarrow (5 + 2, -1 + 1) = (7, 0)$Точка пересечения с осью Ox: $(7, 0)$.
Пересечения с осью Oy нет, так как $x>2$.

Ответ: График функции $y = \log_{0.2}(x - 2) + 1$ — это график $y=\log_{0.2}(x)$, смещенный на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Вертикальная асимптота $x=2$. График проходит через точки $(2.2, 2)$, $(3, 1)$ и $(7, 0)$.

в) Построение графика функции $y = \log_5(x - 1) + 2$ осуществляется с помощью преобразований графика базовой функции $y_0 = \log_5(x)$.
1. Строим график $y_0 = \log_5(x)$. Это возрастающая функция (основание $5 > 1$). Асимптота $x=0$. Ключевые точки: $(0.2, -1)$, $(1, 0)$, $(5, 1)$.
2. Сдвигаем график $y_0$ на 1 единицу вправо, получая $y_1 = \log_5(x-1)$. Асимптота становится $x=1$.
3. Сдвигаем график $y_1$ на 2 единицы вверх, получая искомый график $y = \log_5(x - 1) + 2$.
Область определения: $x-1 > 0 \implies x > 1$.
Новые координаты ключевых точек:- $(0.2, -1) \rightarrow (0.2 + 1, -1 + 2) = (1.2, 1)$- $(1, 0) \rightarrow (1 + 1, 0 + 2) = (2, 2)$- $(5, 1) \rightarrow (5 + 1, 1 + 2) = (6, 3)$Точка пересечения с осью Ox ($y=0$): $\log_5(x-1) + 2 = 0 \implies \log_5(x-1) = -2 \implies x-1 = 5^{-2} = 0.04 \implies x = 1.04$. Точка $(1.04, 0)$.
Пересечения с осью Oy нет ($x>1$).

Ответ: График функции $y = \log_5(x - 1) + 2$ — это график $y=\log_5(x)$, смещенный на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота $x=1$. График проходит через точки $(1.04, 0)$, $(2, 2)$ и $(6, 3)$.

г) Построение графика функции $y = \log_{0.5}(x + 2) - 1$ осуществляется с помощью преобразований графика базовой функции $y_0 = \log_{0.5}(x)$.
1. Строим график $y_0 = \log_{0.5}(x)$. Это убывающая функция (основание $0.5 < 1$). Асимптота $x=0$. Ключевые точки: $(0.5, 1)$, $(1, 0)$, $(2, -1)$.
2. Сдвигаем график $y_0$ на 2 единицы влево, получая $y_1 = \log_{0.5}(x+2)$. Асимптота становится $x=-2$.
3. Сдвигаем график $y_1$ на 1 единицу вниз, получая искомый график $y = \log_{0.5}(x + 2) - 1$.
Область определения: $x+2 > 0 \implies x > -2$.
Новые координаты ключевых точек:- $(0.5, 1) \rightarrow (0.5 - 2, 1 - 1) = (-1.5, 0)$- $(1, 0) \rightarrow (1 - 2, 0 - 1) = (-1, -1)$- $(2, -1) \rightarrow (2 - 2, -1 - 1) = (0, -2)$Точка пересечения с осью Ox: $(-1.5, 0)$.
Точка пересечения с осью Oy: $(0, -2)$.

Ответ: График функции $y = \log_{0.5}(x + 2) - 1$ — это график $y=\log_{0.5}(x)$, смещенный на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз. Вертикальная асимптота $x=-2$. График проходит через точки $(-1.5, 0)$, $(-1, -1)$ и $(0, -2)$.

15.39. a) $y = \lg (5 - x);$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} (2x - 4);$

В) $y = \log_{0.5} (1 - x);$

Г) $y = \log_3 (3x + 6).$

Данная функция $y = \lg(5 - x)$ является логарифмической. Область определения логарифмической функции $y = \log_a(f(x))$ определяется условием, что выражение под знаком логарифма (аргумент) должно быть строго положительным, то есть $f(x) > 0$. Основание логарифма $a$ должно быть больше нуля и не равно единице. В данном случае, $\lg$ обозначает десятичный логарифм, основание которого равно 10, что удовлетворяет условиям.

Следовательно, для нахождения области определения функции необходимо решить неравенство: $5 - x > 0$

Перенесем 5 в правую часть неравенства, изменив знак: $-x > -5$

Умножим обе части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x < 5$

Таким образом, область определения функции состоит из всех действительных чисел, которые меньше 5. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 5)$.

Ответ: $(-\infty; 5)$

Функция $y = \log_{\frac{1}{2}}(2x - 4)$ является логарифмической. Основание логарифма $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Область определения функции находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным.

Составим и решим неравенство: $2x - 4 > 0$

Перенесем -4 в правую часть, изменив знак: $2x > 4$

Разделим обе части неравенства на 2 (положительное число, знак неравенства не меняется): $x > 2$

Область определения функции — это все действительные числа, большие 2. В виде интервала это записывается как $(2; +\infty)$.

Ответ: $(2; +\infty)$

Функция $y = \log_{0,5}(1 - x)$ является логарифмической. Основание логарифма $a = 0,5$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Область определения функции находится из условия положительности ее аргумента.

Решим неравенство: $1 - x > 0$

Перенесем 1 в правую часть: $-x > -1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x < 1$

Область определения функции — это все действительные числа, меньшие 1. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 1)$.

Ответ: $(-\infty; 1)$

Функция $y = \log_{3}(3x + 6)$ является логарифмической. Основание логарифма $a = 3$ удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Область определения функции определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

Составим и решим неравенство: $3x + 6 > 0$

Перенесем 6 в правую часть: $3x > -6$

Разделим обе части неравенства на 3: $x > -2$

Область определения функции — это все действительные числа, большие -2. В виде интервала это записывается как $(-2; +\infty)$.

Ответ: $(-2; +\infty)$

15.40. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} -3x + 3, & \text{если } x \le 1, \\ \log_{\frac{1}{3}} x, & \text{если } x > 1. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-8), f(-6), f(0), f(3), f(9)$.

б) Постройте и прочитайте график функции.

а) Вычислите f(-8), f(-6), f(0), f(3), f(9).

Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках необходимо определить, какую из двух формул, соответствующих условиям $x \le 1$ или $x > 1$, следует использовать.

• Вычисление $f(-8)$.
  Поскольку $-8 \le 1$, используем первую формулу: $f(x) = -3x + 3$.
  $f(-8) = -3(-8) + 3 = 24 + 3 = 27$.

• Вычисление $f(-6)$.
  Поскольку $-6 \le 1$, используем первую формулу: $f(x) = -3x + 3$.
  $f(-6) = -3(-6) + 3 = 18 + 3 = 21$.

• Вычисление $f(0)$.
  Поскольку $0 \le 1$, используем первую формулу: $f(x) = -3x + 3$.
  $f(0) = -3(0) + 3 = 0 + 3 = 3$.

• Вычисление $f(3)$.
  Поскольку $3 > 1$, используем вторую формулу: $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$.
  $f(3) = \log_{\frac{1}{3}} 3$. Чтобы найти это значение, решим уравнение $(\frac{1}{3})^y = 3$. Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, получаем $(3^{-1})^y = 3^1$, или $3^{-y} = 3^1$. Отсюда $-y=1$, то есть $y=-1$.
  $f(3) = -1$.

• Вычисление $f(9)$.
  Поскольку $9 > 1$, используем вторую формулу: $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$.
  $f(9) = \log_{\frac{1}{3}} 9$. Решим уравнение $(\frac{1}{3})^y = 9$. Так как $9 = 3^2 = ((\frac{1}{3})^{-1})^2 = (\frac{1}{3})^{-2}$, получаем $y=-2$.
  $f(9) = -2$.

Ответ: $f(-8) = 27$, $f(-6) = 21$, $f(0) = 3$, $f(3) = -1$, $f(9) = -2$.

б) Постройте и прочитайте график функции.

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей, соответствующих двум разным формулам на разных участках оси $x$.

1. Построение графика для $x \le 1$.
На этом промежутке функция задана формулой $y = -3x + 3$. Это линейная функция, ее график — прямая линия. Поскольку у нас есть ограничение $x \le 1$, мы строим луч. Найдем координаты двух точек для построения этого луча:

• Граничная точка: при $x=1$, $y = -3(1) + 3 = 0$. Получаем точку $(1, 0)$.
• Еще одна точка: при $x=0$, $y = -3(0) + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.

Проводим луч через точки $(0, 3)$ и $(1, 0)$, продолжая его влево и вверх.

2. Построение графика для $x > 1$.
На этом промежутке функция задана формулой $y = \log_{\frac{1}{3}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $\frac{1}{3}$, которое меньше 1, следовательно, функция убывающая. Найдем координаты нескольких ключевых точек:

• Предельное значение при $x \to 1^+$: $y \to \log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$. Это значит, что график начинается из точки $(1, 0)$, но сама точка не включается в эту часть графика. Однако, так как точка $(1, 0)$ является концом первой части графика, функция оказывается непрерывной.
• При $x=3$, $y = \log_{\frac{1}{3}} 3 = -1$. Получаем точку $(3, -1)$.
• При $x=9$, $y = \log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$. Получаем точку $(9, -2)$.

Соединяем эти точки плавной кривой.

Итоговый график:

Свойства функции (чтение графика):

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Функция определена для всех действительных чисел.

2. Область значений: $E(f) = (-\infty; +\infty)$. Функция принимает все действительные значения.

3. Монотонность: функция является строго убывающей на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$, так как обе ее части являются убывающими функциями на своих промежутках.

4. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x=1$. Это единственная точка пересечения графика с осью абсцисс (Ox).

5. Промежутки знакопостоянства:
- $f(x) > 0$ (график расположен выше оси Ox) при $x \in (-\infty; 1)$.
- $f(x) < 0$ (график расположен ниже оси Ox) при $x \in (1; +\infty)$.

6. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида, так как она не является ни четной ($f(-x) \ne f(x)$), ни нечетной ($f(-x) \ne -f(x)$). Ее график не симметричен ни относительно оси ординат (Oy), ни относительно начала координат.

7. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

8. Экстремумы: так как функция монотонно убывает, она не имеет точек локального максимума или минимума.

Ответ: График функции построен, его основные свойства проанализированы и представлены выше.

15.41. Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \begin{cases} -4x + 4, & \text{если } x < 1 \\ \log_2 x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -(x - 4)^2, & \text{если } x < 5 \\ \log_{0.2} x, & \text{если } x \ge 5 \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} \log_2 x, & \text{если } 0 < x < 2 \\ \left(\frac{1}{2}\right)^x, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \log_{\sqrt{2}} x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} -4x + 4, & \text{если } x < 1 \\ \log_2 x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Построение графика: График состоит из двух частей.

1. При $x < 1$ функция задана формулой $y = -4x + 4$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения найдем координаты двух точек. Например, при $x = 0$, $y = 4$; при $x = -1$, $y = 8$. В граничной точке $x=1$ имеем $y = -4(1) + 4 = 0$. Так как $x < 1$, точка $(1, 0)$ на этой прямой будет выколотой (незакрашенной). Таким образом, на интервале $(-\infty, 1)$ график является лучом, исходящим из точки $(1, 0)$ и проходящим через точку $(0, 4)$.

2. При $x \ge 1$ функция задана формулой $y = \log_2 x$. Это логарифмическая функция с основанием больше 1, следовательно, она возрастающая. Найдем несколько точек для построения: при $x = 1$, $y = \log_2 1 = 0$; при $x = 2$, $y = \log_2 2 = 1$; при $x = 4$, $y = \log_2 4 = 2$. Точка $(1, 0)$ принадлежит этому участку графика, она будет закрашенной.

В точке $x=1$ значение "левой" функции стремится к 0, а значение "правой" функции равно 0. Следовательно, функция непрерывна в точке $x=1$, и части графика соединяются.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
• Нули функции: $y=0$ при $x=1$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.
• Экстремумы: $x_{min} = 1$, $y_{min} = 0$. Точка $(1, 0)$ является точкой минимума.
• Четность/нечетность: функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).
• Асимптоты: отсутствуют.

Ответ: График функции состоит из луча прямой $y = -4x + 4$ на интервале $(-\infty, 1)$ и ветви логарифмической кривой $y = \log_2 x$ на полуинтервале $[1, +\infty)$. Части графика соединяются в точке $(1, 0)$, которая является точкой минимума. Функция непрерывна, ее область определения — все действительные числа, а область значений — $[0; +\infty)$.

б) $y = \begin{cases} -(x - 4)^2, & \text{если } x < 5 \\ \log_{0.2} x, & \text{если } x \ge 5 \end{cases}$

Построение графика: График состоит из двух частей.

1. При $x < 5$ функция задана формулой $y = -(x - 4)^2$. Это квадратичная функция, ее график — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(4, 0)$. В граничной точке $x=5$ имеем $y = -(5 - 4)^2 = -1$. Точка $(5, -1)$ будет выколотой.

2. При $x \ge 5$ функция задана формулой $y = \log_{0.2} x$. Это логарифмическая функция с основанием $0.2 < 1$, следовательно, она убывающая. Найдем несколько точек: при $x=5$, $y = \log_{0.2} 5 = \log_{1/5} 5 = -1$. Точка $(5, -1)$ принадлежит этому участку, она будет закрашенной. При $x=25$, $y = \log_{0.2} 25 = -2$.

В точке $x=5$ предел функции слева равен $-(5-4)^2 = -1$, и значение функции справа равно $\log_{0.2} 5 = -1$. Функция непрерывна в точке $x=5$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.
• Нули функции: $y=0$ при $x=4$.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 4]$ и убывает на промежутке $[4; +\infty)$.
• Экстремумы: $x_{max} = 4$, $y_{max} = 0$. Точка $(4, 0)$ является точкой максимума.
• Четность/нечетность: функция общего вида.
• Асимптоты: отсутствуют.

Ответ: График функции состоит из части параболы $y = -(x - 4)^2$ с вершиной в точке $(4, 0)$ на интервале $(-\infty, 5)$ и ветви логарифмической кривой $y = \log_{0.2} x$ на полуинтервале $[5, +\infty)$. Части графика соединяются в точке $(5, -1)$. Функция непрерывна, ее область определения — все действительные числа, область значений — $(-\infty; 0]$. Точка $(4, 0)$ — максимум функции.

в) $y = \begin{cases} \log_2 x, & \text{если } 0 < x < 2 \\ (\frac{1}{2})^x, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Построение графика: График состоит из двух частей.

1. При $0 < x < 2$ функция задана формулой $y = \log_2 x$. Это возрастающая логарифмическая кривая. Она проходит через точку $(1, 0)$. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$, то есть ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. В граничной точке $x=2$ имеем $y = \log_2 2 = 1$. Точка $(2, 1)$ будет выколотой.

2. При $x \ge 2$ функция задана формулой $y = (\frac{1}{2})^x$. Это показательная функция с основанием меньше 1, следовательно, она убывающая. В граничной точке $x=2$ имеем $y = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Точка $(2, \frac{1}{4})$ будет закрашенной. При $x \to +\infty$, $y \to 0$, то есть ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой.

В точке $x=2$ предел функции слева равен 1, а значение функции справа равно $\frac{1}{4}$. Так как эти значения не совпадают, функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=2$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 1)$.
• Непрерывность: функция непрерывна на $(0; 2)$ и на $[2; +\infty)$. В точке $x=2$ — разрыв первого рода.
• Нули функции: $y=0$ при $x=1$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1; 2) \cup [2; +\infty) = (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (0; 1)$.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $(0; 2)$ и убывает на промежутке $[2; +\infty)$.
• Экстремумы: отсутствуют.
• Четность/нечетность: функция общего вида (область определения несимметрична).
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось $Oy$) при $x \to 0^+$; горизонтальная асимптота $y=0$ (ось $Ox$) при $x \to +\infty$.

Ответ: График состоит из ветви логарифмической кривой $y = \log_2 x$ на интервале $(0, 2)$ и ветви показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$ на полуинтервале $[2, +\infty)$. В точке $x=2$ функция имеет разрыв (скачок). Свойства: $D(y) = (0; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; 1)$, вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to +\infty$.

г) $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0 \\ \log_{\sqrt{2}} x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Построение графика: График состоит из двух частей. Функция не определена в точке $x=0$.

1. При $x < 0$ функция задана формулой $y = \frac{1}{x}$. Ее график — ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. График имеет две асимптоты: вертикальную $x=0$ (ось $Oy$) и горизонтальную $y=0$ (ось $Ox$). При $x \to 0^-$, $y \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $y \to 0$. График проходит через точку $(-1, -1)$.

2. При $x > 0$ функция задана формулой $y = \log_{\sqrt{2}} x$. Это логарифмическая функция с основанием $\sqrt{2} \approx 1.41 > 1$, следовательно, она возрастающая. При $x \to 0^+$, $y \to -\infty$, то есть ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. График проходит через точки $(1, 0)$, $(\sqrt{2}, 1)$, $(2, 2)$.

В точке $x=0$ функция не определена и имеет бесконечный разрыв, так как с обеих сторон график уходит в $-\infty$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения. В точке $x=0$ — бесконечный разрыв.
• Нули функции: $y=0$ при $x=1$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1)$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: отсутствуют.
• Четность/нечетность: функция общего вида.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$ (ось $Oy$); горизонтальная асимптота $y=0$ (ось $Ox$) при $x \to -\infty$.

Ответ: График состоит из ветви гиперболы $y=1/x$ в третьей четверти и ветви логарифмической кривой $y = \log_{\sqrt{2}} x$ в первой и четвертой четвертях. Функция имеет бесконечный разрыв в точке $x=0$. Свойства: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; +\infty)$, вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$ (при $x \to -\infty$).

Постройте график функции:

15.42. a) $y = \log_2|x|$;

б) $y = |\log_{\frac{1}{2}}(1 + x)|$;

в) $y = \log_{\frac{1}{3}}(1 + |x|)$;

г) $y = |\log_3(-x)|$.

а) $y = \log_2|x|$

1. Построение графика начнем с основной функции $y_1 = \log_2(x)$. Это стандартная возрастающая логарифмическая функция. Ее область определения $x > 0$. График проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось $Oy$).

2. Искомая функция $y = \log_2|x|$ получается из $y_1$ заменой аргумента $x$ на $|x|$. Такое преобразование ($f(x) \to f(|x|)$) выполняется следующим образом: часть графика для $x > 0$ сохраняется, а затем эта часть симметрично отражается относительно оси ординат ($Oy$) для получения части графика при $x < 0$.

3. Функция $y = \log_2|x|$ является чётной, так как $y(-x) = \log_2|-x| = \log_2|x| = y(x)$. Это подтверждает, что ее график симметричен относительно оси $Oy$.

4. Область определения функции задается условием $|x| > 0$, то есть $x \neq 0$. Таким образом, область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; \infty)$. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой.

5. График состоит из двух ветвей:

• При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \log_2(x)$.
• При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \log_2(-x)$.

Ключевые точки: $(1, 0), (2, 1), (4, 2)$ на правой ветви и $(-1, 0), (-2, 1), (-4, 2)$ на левой.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей. Первая ветвь — это график функции $y = \log_2(x)$ для $x > 0$. Вторая ветвь симметрична первой относительно оси ординат. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой для обеих ветвей.

б) $y = |\log_{\frac{1}{2}}(1+x)|$

1. Построение будем выполнять по шагам. Сначала рассмотрим функцию $y_1 = \log_{\frac{1}{2}}(x)$. Это убывающая логарифмическая функция (основание $1/2 < 1$) с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

2. Затем построим график функции $y_2 = \log_{\frac{1}{2}}(1+x)$. Он получается из графика $y_1$ сдвигом на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс. Область определения: $1+x > 0$, то есть $x > -1$. Вертикальная асимптота смещается и становится $x = -1$. График проходит через начало координат, так как $y_2(0) = \log_{\frac{1}{2}}(1+0) = \log_{\frac{1}{2}}(1) = 0$.

3. Наконец, применим преобразование модуля: $y = |y_2| = |\log_{\frac{1}{2}}(1+x)|$. Это означает, что часть графика $y_2$, которая находится ниже оси абсцисс ($y_2 < 0$), должна быть симметрично отражена относительно этой оси. Часть графика, которая находится выше или на оси ($y_2 \ge 0$), остается без изменений.

4. Определим знаки функции $y_2$. Так как основание логарифма $1/2 < 1$, функция $y_2$ убывает.

• $y_2 \ge 0$ при $0 < 1+x \le 1$, то есть при $-1 < x \le 0$. Эта часть графика не меняется.
• $y_2 < 0$ при $1+x > 1$, то есть при $x > 0$. Эта часть графика отражается относительно оси $Ox$.

Ответ: График функции расположен в области $x > -1$. Он имеет вертикальную асимптоту $x = -1$. График проходит через точку $(0,0)$, где образуется "излом". Для $-1 < x \le 0$ график совпадает с графиком функции $y = \log_{\frac{1}{2}}(1+x)$, а для $x > 0$ он является отражением графика этой функции относительно оси абсцисс, то есть совпадает с графиком $y = -\log_{\frac{1}{2}}(1+x) = \log_2(1+x)$.

в) $y = \log_{\frac{1}{3}}(1+|x|)$

1. Данная функция имеет вид $y = f(|x|)$, где $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(1+x)$. Для построения такого графика сначала строят график функции $y_1 = \log_{\frac{1}{3}}(1+x)$ для $x \ge 0$.

2. При $x \ge 0$, наша функция имеет вид $y = \log_{\frac{1}{3}}(1+x)$. Это часть убывающей логарифмической кривой. График начинается в точке $(0, \log_{\frac{1}{3}}(1)) = (0,0)$. Другие точки на этой части графика: $(2, \log_{\frac{1}{3}}(1+2))=(2, -1)$, $(8, \log_{\frac{1}{3}}(1+8))=(8, -2)$.

3. Исходная функция $y = \log_{\frac{1}{3}}(1+|x|)$ является чётной, так как $y(-x) = \log_{\frac{1}{3}}(1+|-x|) = \log_{\frac{1}{3}}(1+|x|) = y(x)$. Следовательно, её график симметричен относительно оси ординат.

4. Чтобы получить полный график, мы берем построенную часть для $x \ge 0$ и симметрично отражаем её относительно оси $Oy$.

5. Область определения функции: $1+|x|>0$. Так как $|x| \ge 0$, то $1+|x| \ge 1$, поэтому неравенство выполняется для всех действительных $x$. Область определения — вся числовая прямая, $x \in (-\infty; \infty)$. Функция достигает своего максимума в точке $x=0$, $y(0)=0$. Вертикальных асимптот нет.

Ответ: График функции симметричен относительно оси ординат. Он имеет точку максимума (вершину) в точке $(0,0)$. Для $x \ge 0$ график совпадает с графиком функции $y = \log_{\frac{1}{3}}(1+x)$. Для $x < 0$ график является зеркальным отражением части для $x \ge 0$ относительно оси $Oy$. Вертикальных асимптот нет.

г) $y = |\log_3(-x)|$

1. Построение начнем с базовой функции $y_1 = \log_3(x)$. Это возрастающая логарифмическая функция с областью определения $x > 0$ и вертикальной асимптотой $x=0$.

2. Далее рассмотрим функцию $y_2 = \log_3(-x)$. Ее график получается отражением графика $y_1$ относительно оси $Oy$. Область определения: $-x > 0$, то есть $x < 0$. Вертикальная асимптота — ось $Oy$ ($x=0$). График проходит через точку $(-1, 0)$, так как $\log_3(-(-1))=\log_3(1)=0$.

3. Наконец, применяем преобразование модуля: $y = |y_2| = |\log_3(-x)|$. Часть графика $y_2$, лежащая под осью $Ox$, отражается симметрично относительно этой оси.

4. Определим знаки функции $y_2 = \log_3(-x)$.

• $y_2 \ge 0$ при $-x \ge 1$, то есть при $x \le -1$. Эта часть графика остается без изменений.
• $y_2 < 0$ при $0 < -x < 1$, то есть при $-1 < x < 0$. Эта часть графика отражается относительно оси $Ox$.

Ответ: График функции определен для $x < 0$. Ось $Oy$ ($x=0$) является вертикальной асимптотой. График касается оси абсцисс в точке $(-1,0)$, где образуется "излом". Для $x \le -1$ график совпадает с графиком функции $y = \log_3(-x)$. Для $-1 < x < 0$ он является отражением графика этой функции относительно оси абсцисс, то есть совпадает с графиком $y = -\log_3(-x)$.

15.43. a) $y = |1 - \log_2|x - 1||$

б) $y = |\log_{1,5}|2 - x| - 2|$

а) Для построения графика функции $y = |1 - \log_2|x-1||$ выполним следующие шаги:

1. Начнем с графика базовой функции $y_1 = \log_2 x$. Это стандартная логарифмическая функция, возрастающая на всей области определения $(0, +\infty)$, проходящая через точку $(1, 0)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x=0$.

2. Построим график $y_2 = \log_2|x|$. Для этого отразим часть графика $y_1$ для $x > 0$ симметрично относительно оси OY. Полученная функция четная, ее область определения $x \neq 0$.

3. Построим график $y_3 = \log_2|x-1|$. Это результат сдвига графика $y_2$ на 1 единицу вправо по оси OX. Вертикальная асимптота смещается в $x=1$. График становится симметричным относительно прямой $x=1$.

4. Построим график функции $y_4 = 1 - \log_2|x-1|$. Это можно сделать в два этапа: сначала отразить график $y_3$ относительно оси OX (получим $-\log_2|x-1|$), а затем сдвинуть его на 1 единицу вверх. Найдем нули функции $y_4$: $1 - \log_2|x-1| = 0 \implies \log_2|x-1|=1 \implies |x-1|=2$. Решения: $x-1=2 \implies x=3$ и $x-1=-2 \implies x=-1$.

5. Наконец, построим график искомой функции $y = |1 - \log_2|x-1||$. Для этого все части графика $y_4$, лежащие ниже оси OX, зеркально отражаем вверх относительно оси OX. Части графика, лежащие выше или на оси, остаются без изменений. Поскольку $y_4 = 1 - \log_2|x-1|$ отрицательна при $|x-1| > 2$ (то есть при $x < -1$ или $x > 3$), именно эти "ветви" графика отражаются вверх. Часть графика между нулями $x=-1$ и $x=3$ (кроме асимптоты $x=1$) остается на месте, так как на этом интервале $y_4 \ge 0$.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=1$, к которой он стремится к $+\infty$ с обеих сторон. График касается оси OX (имеет локальные минимумы) в точках $x=-1$ и $x=3$. График симметричен относительно прямой $x=1$.

б) Для построения графика функции $y = |\log_{1.5}|2-x| - 2|$ выполним следующие шаги:

1. Заметим, что $|2-x| = |x-2|$, поэтому функция эквивалентна $y = |\log_{1.5}|x-2| - 2|$. Начнем с графика базовой функции $y_1 = \log_{1.5} x$. Это логарифмическая функция с основанием $1.5 > 1$, она возрастает на $(0, +\infty)$, проходит через $(1, 0)$ и имеет асимптоту $x=0$.

2. Построим график $y_2 = \log_{1.5}|x|$, отразив часть графика $y_1$ для $x > 0$ симметрично относительно оси OY. Функция является четной, область ее определения $x \neq 0$.

3. Построим график $y_3 = \log_{1.5}|x-2|$, сдвинув график $y_2$ на 2 единицы вправо по оси OX. Вертикальная асимптота теперь проходит через $x=2$. График симметричен относительно прямой $x=2$.

4. Построим график $y_4 = \log_{1.5}|x-2| - 2$, сдвинув график $y_3$ на 2 единицы вниз по оси OY. Найдем нули функции $y_4$: $\log_{1.5}|x-2| - 2 = 0 \implies \log_{1.5}|x-2|=2 \implies |x-2|=1.5^2=2.25$. Решения: $x-2=2.25 \implies x=4.25$ и $x-2=-2.25 \implies x=-0.25$.

5. Наконец, построим график $y = |\log_{1.5}|x-2| - 2|$. Для этого все части графика $y_4$, лежащие ниже оси OX, зеркально отражаем вверх относительно оси OX. Части графика, лежащие выше, остаются на месте. Поскольку $y_4 = \log_{1.5}|x-2| - 2$ отрицательна при $|x-2| < 2.25$ (то есть при $-0.25 < x < 4.25$ и $x \neq 2$), именно эта центральная часть графика отражается вверх. "Ветви" при $x < -0.25$ и $x > 4.25$ остаются без изменений, так как на этих интервалах $y_4 \ge 0$.

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=2$, к которой он стремится к $+\infty$ с обеих сторон. График касается оси OX (имеет локальные минимумы) в точках $x=-0.25$ и $x=4.25$. График симметричен относительно прямой $x=2$.

15.44. a) $y = |\log_2 x - 1| + |\log_2 x + 1|;$

б) $y = |\log_3 x + 1| - |\log_3 x - 1|.$

а) $y = |\log_2 x - 1| + |\log_2 x + 1|$

Область определения функции задается условием $x > 0$.

Для упрощения выражения введем замену: пусть $t = \log_2 x$. Тогда функция примет вид $y = |t - 1| + |t + 1|$.

Чтобы раскрыть модули, рассмотрим три случая, в зависимости от значения $t$. Критические точки, в которых выражения под модулем меняют знак, это $t = 1$ и $t = -1$.

1. Если $t < -1$.

В этом случае оба выражения под модулем отрицательны: $t - 1 < 0$ и $t + 1 < 0$.
$y = -(t - 1) - (t + 1) = -t + 1 - t - 1 = -2t$.

2. Если $-1 \le t \le 1$.

В этом случае $t - 1 \le 0$, а $t + 1 \ge 0$.
$y = -(t - 1) + (t + 1) = -t + 1 + t + 1 = 2$.

3. Если $t > 1$.

В этом случае оба выражения под модулем положительны: $t - 1 > 0$ и $t + 1 > 0$.
$y = (t - 1) + (t + 1) = t - 1 + t + 1 = 2t$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, учитывая, что $t = \log_2 x$.

1. Случай $t < -1$ соответствует $\log_2 x < -1$. Так как основание логарифма $2 > 1$, неравенство равносильно $x < 2^{-1}$, то есть $x < 1/2$. С учетом области определения $x > 0$, получаем интервал $0 < x < 1/2$. На этом интервале $y = -2\log_2 x$.

2. Случай $-1 \le t \le 1$ соответствует $-1 \le \log_2 x \le 1$, что равносильно $2^{-1} \le x \le 2^1$, то есть $1/2 \le x \le 2$. На этом отрезке $y = 2$.

3. Случай $t > 1$ соответствует $\log_2 x > 1$, что равносильно $x > 2^1$, то есть $x > 2$. На этом интервале $y = 2\log_2 x$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} -2\log_2 x, & \text{если } 0 < x < 1/2 \\ 2, & \text{если } 1/2 \le x \le 2 \\ 2\log_2 x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} -2\log_2 x, & \text{если } 0 < x < 1/2 \\ 2, & \text{если } 1/2 \le x \le 2 \\ 2\log_2 x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

б) $y = |\log_3 x + 1| - |\log_3 x - 1|$

Область определения функции: $x > 0$.

Введем замену: пусть $t = \log_3 x$. Функция примет вид $y = |t + 1| - |t - 1|$.

Раскроем модули, рассмотрев три случая. Критические точки: $t = -1$ и $t = 1$.

1. Если $t < -1$.

В этом случае $t + 1 < 0$ и $t - 1 < 0$.
$y = -(t + 1) - (-(t - 1)) = -t - 1 + t - 1 = -2$.

2. Если $-1 \le t \le 1$.

В этом случае $t + 1 \ge 0$, а $t - 1 \le 0$.
$y = (t + 1) - (-(t - 1)) = t + 1 + t - 1 = 2t$.

3. Если $t > 1$.

В этом случае $t + 1 > 0$ и $t - 1 > 0$.
$y = (t + 1) - (t - 1) = t + 1 - t + 1 = 2$.

Вернемся к переменной $x$, где $t = \log_3 x$.

1. Случай $t < -1$ соответствует $\log_3 x < -1$. Так как основание логарифма $3 > 1$, неравенство равносильно $x < 3^{-1}$, то есть $x < 1/3$. С учетом $x > 0$, получаем интервал $0 < x < 1/3$. На этом интервале $y = -2$.

2. Случай $-1 \le t \le 1$ соответствует $-1 \le \log_3 x \le 1$, что равносильно $3^{-1} \le x \le 3^1$, то есть $1/3 \le x \le 3$. На этом отрезке $y = 2\log_3 x$.

3. Случай $t > 1$ соответствует $\log_3 x > 1$, что равносильно $x > 3^1$, то есть $x > 3$. На этом интервале $y = 2$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} -2, & \text{если } 0 < x < 1/3 \\ 2\log_3 x, & \text{если } 1/3 \le x \le 3 \\ 2, & \text{если } x > 3 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} -2, & \text{если } 0 < x < 1/3 \\ 2\log_3 x, & \text{если } 1/3 \le x \le 3 \\ 2, & \text{если } x > 3 \end{cases}$