Страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Объясните, какой смысл придаётся в математике символу $a^\alpha$, где $\alpha$ — иррациональное число. Рассмотрите каждый из указанных ниже случаев:

а) $a > 1$;

б) $0 < a < 1$;

в) $a = 1$;

г) $a = 0$;

д) $a < 0$.

Степень с иррациональным показателем $a^\alpha$ определяется через предел. Пусть $\alpha$ — иррациональное число, и пусть $r_1, r_2, r_3, \dots, r_n, \dots$ — последовательность рациональных чисел, такая, что $\lim_{n \to \infty} r_n = \alpha$. Тогда степень $a^\alpha$ определяется как предел последовательности $a^{r_1}, a^{r_2}, a^{r_3}, \dots, a^{r_n}, \dots$:

$$a^\alpha = \lim_{n \to \infty} a^{r_n}$$

Для существования и однозначности этого предела (независимости от выбора последовательности $r_n$) на основание $a$ накладываются определённые ограничения. Альтернативным и более строгим способом определения для $a > 0$ является формула с использованием показательной функции и натурального логарифма:

$$a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$$

Рассмотрим различные случаи для основания $a$.

а) a > 1
В этом случае показательная функция $f(x) = a^x$ является возрастающей для рациональных $x$. Пусть $\alpha$ — иррациональное число. Можно выбрать две последовательности рациональных чисел: возрастающую $(r_n')$ и убывающую $(r_n'')$, обе сходящиеся к $\alpha$ (например, десятичные приближения $\alpha$ с недостатком и с избытком). Так как $a > 1$ и функция $a^x$ возрастает, последовательность $a^{r_n'}$ будет возрастающей, а последовательность $a^{r_n''}$ — убывающей. Обе эти последовательности ограничены и сходятся к одному и тому же положительному действительному числу. Этот общий предел и принимается за значение $a^\alpha$. Число $a^\alpha$ является единственным числом, которое больше любого числа вида $a^r$ для всех рациональных $r < \alpha$ и меньше любого числа вида $a^s$ для всех рациональных $s > \alpha$. Используя формулу с натуральным логарифмом: так как $a > 1$, то $\ln a > 0$. Выражение $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$ корректно определено и является положительным действительным числом.
Ответ: Символ $a^\alpha$ при $a > 1$ и иррациональном $\alpha$ означает положительное действительное число, которое является пределом последовательности $a^{r_n}$, где $r_n$ — любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к $\alpha$. Это значение однозначно определено.

б) 0 < a < 1
В этом случае показательная функция $f(x) = a^x$ является убывающей для рациональных $x$. Аналогично предыдущему случаю, мы определяем $a^\alpha$ как предел последовательности $a^{r_n}$, где $r_n \to \alpha$. Из-за того, что функция убывающая, если взять возрастающую последовательность рациональных чисел $r_n' \to \alpha$, то последовательность $a^{r_n'}$ будет убывающей. Если же взять убывающую последовательность $r_n'' \to \alpha$, то $a^{r_n''}$ будет возрастающей. Обе последовательности также сходятся к одному и тому же положительному действительному числу, которое и является значением $a^\alpha$. Используя формулу с натуральным логарифмом: так как $0 < a < 1$, то $\ln a < 0$. Выражение $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$ также корректно определено и является положительным действительным числом.
Ответ: Символ $a^\alpha$ при $0 < a < 1$ и иррациональном $\alpha$ означает положительное действительное число, которое является пределом последовательности $a^{r_n}$, где $r_n$ — любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к $\alpha$. Это значение однозначно определено.

в) a = 1
Для любого рационального числа $r$ значение $1^r = 1$. Пусть $r_n$ — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к иррациональному числу $\alpha$. Тогда последовательность $a^{r_n} = 1^{r_n}$ является постоянной последовательностью, все члены которой равны 1. Предел такой последовательности равен 1.$$1^\alpha = \lim_{n \to \infty} 1^{r_n} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$$По формуле с логарифмом: $\ln 1 = 0$, поэтому $1^\alpha = e^{\alpha \ln 1} = e^{\alpha \cdot 0} = e^0 = 1$.
Ответ: Символ $1^\alpha$ при иррациональном $\alpha$ по определению равен 1.

г) a = 0
Степень $0^x$ определена для положительных рациональных показателей $x > 0$, и в этом случае $0^x = 0$. Для отрицательных рациональных показателей $x < 0$ она не определена ($0^x = 1/0^{-x}$ приводит к делению на ноль).Рассмотрим два случая для иррационального $\alpha$:
1. Если $\alpha > 0$, то можно выбрать последовательность положительных рациональных чисел $r_n$, сходящуюся к $\alpha$. Тогда для каждого члена последовательности $0^{r_n} = 0$. Предел такой последовательности равен нулю: $\lim_{n \to \infty} 0^{r_n} = 0$. Поэтому для иррационального $\alpha > 0$ полагают $0^\alpha = 0$.
2. Если $\alpha < 0$, то можно выбрать последовательность отрицательных рациональных чисел $r_n$, сходящуюся к $\alpha$. Для каждого $r_n < 0$ выражение $0^{r_n}$ не определено. Следовательно, невозможно построить последовательность и найти её предел.
Ответ: Если $\alpha$ — положительное иррациональное число, то $0^\alpha = 0$. Если $\alpha$ — отрицательное иррациональное число, то выражение $0^\alpha$ не определено.

д) a < 0
В этом случае определение степени с иррациональным показателем сталкивается с непреодолимыми трудностями в рамках действительных чисел. Степень отрицательного числа $a^r$ с рациональным показателем $r = p/q$ (где $p, q$ — целые, $q \neq 0$) определена в действительных числах не для всех $r$. Она определена только тогда, когда знаменатель $q$ несократимой дроби $p/q$ является нечётным числом. Любое иррациональное число $\alpha$ можно сколь угодно точно приблизить рациональными числами как с нечётными, так и с чётными знаменателями. Например, для $\alpha = \sqrt{2}$ можно взять приближение $r = 14/10 = 7/5$, тогда $(-2)^{7/5} = \sqrt[5]{(-2)^7}$ — действительное число. Но можно взять и приближение $r = 141/100$, тогда $(-2)^{141/100} = \sqrt[100]{(-2)^{141}}$ не является действительным числом, так как это корень чётной степени из отрицательного числа. Поскольку в любой окрестности иррационального числа $\alpha$ найдутся рациональные числа $r$, для которых $a^r$ не является действительным числом, то последовательность $a^{r_n}$ не может быть корректно определена в действительных числах. Следовательно, её предел не существует в множестве действительных чисел. Определение через логарифм $a^\alpha = e^{\alpha \ln a}$ также не работает, поскольку логарифм отрицательного числа $\ln a$ не определён в действительных числах.
Ответ: Символ $a^\alpha$ при $a < 0$ и иррациональном $\alpha$ в математике действительных чисел не определён.

16.37. a) $\log_x 8 - \log_x 2 = 2$;

б) $\log_x 2 + \log_x 8 = 4$;

В) $\log_x 3 + \log_x 9 = 3$;

Г) $\log_x \sqrt{5} + \log_x 25\sqrt{5} = 3$.

а) Решим уравнение $\log_x 8 - \log_x 2 = 2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для основания логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Согласно свойству разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$, преобразуем левую часть уравнения:
$\log_x (8 / 2) = 2$
$\log_x 4 = 2$
По определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. Применим это к нашему уравнению:
$x^2 = 4$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию $x > 0$. Корень $x = 2$ удовлетворяет всем условиям ОДЗ ($2 > 0$ и $2 \neq 1$).
Ответ: 2.

б) Решим уравнение $\log_x 2 + \log_x 8 = 4$.
ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$, получим:
$\log_x (2 \cdot 8) = 4$
$\log_x 16 = 4$
По определению логарифма:
$x^4 = 16$
Поскольку $16 = 2^4$, уравнение принимает вид:
$x^4 = 2^4$
Так как по ОДЗ основание $x$ должно быть положительным, единственным решением является $x=2$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: 2.

в) Решим уравнение $\log_x 3 + \log_x 9 = 3$.
ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Применим свойство суммы логарифмов:
$\log_x (3 \cdot 9) = 3$
$\log_x 27 = 3$
По определению логарифма:
$x^3 = 27$
Так как $27 = 3^3$, получаем:
$x^3 = 3^3$
Отсюда $x = 3$.
Корень $x=3$ удовлетворяет ОДЗ ($3 > 0$ и $3 \neq 1$).
Ответ: 3.

г) Решим уравнение $\log_x \sqrt{5} + \log_x 25\sqrt{5} = 3$.
ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Воспользуемся свойством суммы логарифмов:
$\log_x (\sqrt{5} \cdot 25\sqrt{5}) = 3$
Упростим выражение под знаком логарифма:
$\sqrt{5} \cdot 25\sqrt{5} = 25 \cdot (\sqrt{5})^2 = 25 \cdot 5 = 125$.
Уравнение принимает вид:
$\log_x 125 = 3$
По определению логарифма:
$x^3 = 125$
Так как $125 = 5^3$, получаем:
$x^3 = 5^3$
Отсюда $x = 5$.
Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ ($5 > 0$ и $5 \neq 1$).
Ответ: 5.

16.38. a) $y = \log_{2} 8x;$

б) $y = \log_{\frac{1}{2}} 4x;$

В) $y = \log_{3} \frac{x}{27};$

Г) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9}.$

а) Чтобы упростить функцию $y = \log_2 8x$, воспользуемся свойством логарифма произведения: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$. Область определения исходной функции: $8x > 0$, то есть $x > 0$.
Применяем свойство:
$y = \log_2 8x = \log_2 8 + \log_2 x$
Вычислим значение $\log_2 8$. Так как $2^3 = 8$, то $\log_2 8 = 3$.
Подставляем полученное значение в выражение:
$y = 3 + \log_2 x$
Область определения полученной функции $y = 3 + \log_2 x$ также $x > 0$, что совпадает с областью определения исходной функции. График этой функции получается из графика функции $y = \log_2 x$ сдвигом вверх на 3 единицы.
Ответ: $y = \log_2 x + 3$.

б) Упростим функцию $y = \log_{\frac{1}{2}} 4x$. Используем свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$. Область определения: $4x > 0$, то есть $x > 0$.
$y = \log_{\frac{1}{2}} 4x = \log_{\frac{1}{2}} 4 + \log_{\frac{1}{2}} x$
Вычислим значение $\log_{\frac{1}{2}} 4$. Пусть $\log_{\frac{1}{2}} 4 = k$, тогда по определению логарифма $(\frac{1}{2})^k = 4$.
Представим обе части уравнения с основанием 2: $(2^{-1})^k = 2^2$, откуда $2^{-k} = 2^2$.
Следовательно, $-k = 2$, то есть $k = -2$. Значит, $\log_{\frac{1}{2}} 4 = -2$.
Подставляем в выражение:
$y = -2 + \log_{\frac{1}{2}} x$
График этой функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ сдвигом вниз на 2 единицы.
Ответ: $y = \log_{\frac{1}{2}} x - 2$.

в) Для функции $y = \log_3 \frac{x}{27}$ применим свойство логарифма частного: $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$. Область определения: $\frac{x}{27} > 0$, то есть $x > 0$.
$y = \log_3 \frac{x}{27} = \log_3 x - \log_3 27$
Вычислим $\log_3 27$. Так как $3^3 = 27$, то $\log_3 27 = 3$.
Получаем упрощенный вид функции:
$y = \log_3 x - 3$
График этой функции получается из графика $y = \log_3 x$ сдвигом вниз на 3 единицы.
Ответ: $y = \log_3 x - 3$.

г) Упростим функцию $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9}$, используя свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$. Область определения: $\frac{x}{9} > 0$, то есть $x > 0$.
$y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x}{9} = \log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 9$
Вычислим значение $\log_{\frac{1}{3}} 9$. Пусть $\log_{\frac{1}{3}} 9 = k$, тогда $(\frac{1}{3})^k = 9$.
Представим обе части с основанием 3: $(3^{-1})^k = 3^2$, откуда $3^{-k} = 3^2$.
Следовательно, $-k = 2$, или $k = -2$. Значит, $\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$.
Подставляем в выражение:
$y = \log_{\frac{1}{3}} x - (-2) = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$
График этой функции получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ сдвигом вверх на 2 единицы.
Ответ: $y = \log_{\frac{1}{3}} x + 2$.

16.39. a) $y = \log_{2}x^3$;

б) $y = \log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{x}$;

в) $y = \log_{3}\frac{1}{x}$;

г) $y = \log_{\frac{1}{2}}x^3$.

а) $y = \log_2{x^3}$

Для нахождения производной данной функции, сначала упростим выражение, используя свойство логарифма $\log_a{b^c} = c \cdot \log_a{b}$. Это свойство применимо, так как область определения функции ($x^3 > 0$, т.е. $x > 0$) совпадает с областью определения упрощенной функции.

$y = 3 \cdot \log_2{x}$

Теперь найдем производную. Используем формулу производной логарифмической функции $(\log_a{x})' = \frac{1}{x \ln{a}}$ и правило дифференцирования произведения константы на функцию $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$:

$y' = (3 \cdot \log_2{x})' = 3 \cdot (\log_2{x})' = 3 \cdot \frac{1}{x \ln{2}} = \frac{3}{x \ln{2}}$

Ответ: $y' = \frac{3}{x \ln{2}}$

б) $y = \log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{x}}$

Упростим функцию, используя свойства логарифмов: $\log_a{\frac{1}{b}} = \log_a{b^{-1}} = -\log_a{b}$ и $\log_{\frac{1}{a}}{b} = \log_{a^{-1}}{b} = -\log_a{b}$. Область определения функции: $\frac{1}{x} > 0$, что означает $x > 0$.

Применим свойства последовательно:

$y = \log_{\frac{1}{3}}{x^{-1}} = - \log_{\frac{1}{3}}{x} = - \log_{3^{-1}}{x} = -(-\log_3{x}) = \log_3{x}$

Таким образом, исходная функция тождественно равна $y = \log_3{x}$ на ее области определения.

Найдем производную упрощенной функции, используя формулу $(\log_a{x})' = \frac{1}{x \ln{a}}$:

$y' = (\log_3{x})' = \frac{1}{x \ln{3}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln{3}}$

в) $y = \log_3{\frac{1}{x}}$

Упростим выражение, используя свойство логарифма $\log_a{\frac{1}{b}} = \log_a{b^{-1}} = -\log_a{b}$. Область определения функции: $\frac{1}{x} > 0$, что означает $x > 0$.

$y = \log_3{x^{-1}} = - \log_3{x}$

Теперь найдем производную функции $y = -\log_3{x}$:

$y' = (-\log_3{x})' = -1 \cdot (\log_3{x})' = - \frac{1}{x \ln{3}}$

Ответ: $y' = - \frac{1}{x \ln{3}}$

г) $y = \log_{\frac{1}{2}}{x^3}$

Для нахождения производной, сначала упростим функцию, используя свойства логарифмов $\log_a{b^c} = c \cdot \log_a{b}$ и $\log_{\frac{1}{a}}{b} = -\log_a{b}$. Область определения функции: $x^3 > 0$, то есть $x > 0$.

Применим свойства:

$y = 3 \cdot \log_{\frac{1}{2}}{x} = 3 \cdot \log_{2^{-1}}{x} = 3 \cdot (-\log_2{x}) = -3 \log_2{x}$

Теперь найдем производную функции $y = -3 \log_2{x}$:

$y' = (-3 \log_2{x})' = -3 \cdot (\log_2{x})' = -3 \cdot \frac{1}{x \ln{2}} = -\frac{3}{x \ln{2}}$

Ответ: $y' = -\frac{3}{x \ln{2}}$

16.40. a) $y = \log_2 \frac{4}{x}$;

б) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x^3}{27}$;

В) $y = \log_3 9x^3$;

Г) $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{8}{x}$.

а) Для упрощения функции $y = \log_2 \frac{4}{x}$ воспользуемся свойством логарифма частного $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$.
$y = \log_2 4 - \log_2 x$.
Поскольку $4 = 2^2$, то $\log_2 4 = 2$.
В итоге получаем: $y = 2 - \log_2 x$.

Ответ: $y = 2 - \log_2 x$.

б) Для функции $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x^3}{27}$ применим свойство логарифма частного, а затем свойство логарифма степени $\log_a M^k = k \log_a M$.
$y = \log_{\frac{1}{3}} x^3 - \log_{\frac{1}{3}} 27 = 3 \log_{\frac{1}{3}} x - \log_{\frac{1}{3}} 27$.
Вычислим значение константы: так как $27 = 3^3 = (\frac{1}{3})^{-3}$, то $\log_{\frac{1}{3}} 27 = -3$.
Подставив значение, получим: $y = 3 \log_{\frac{1}{3}} x - (-3) = 3 \log_{\frac{1}{3}} x + 3$.

Ответ: $y = 3 \log_{\frac{1}{3}} x + 3$.

в) Для функции $y = \log_3 9x^3$ используем свойство логарифма произведения $\log_a (M \cdot N) = \log_a M + \log_a N$ и свойство логарифма степени.
$y = \log_3 9 + \log_3 x^3$.
Вычислим первое слагаемое: $\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$.
Преобразуем второе слагаемое: $\log_3 x^3 = 3 \log_3 x$.
Таким образом, $y = 2 + 3 \log_3 x$.

Ответ: $y = 2 + 3 \log_3 x$.

г) Для функции $y = \log_{\frac{1}{2}} \frac{8}{x}$ применим свойство логарифма частного.
$y = \log_{\frac{1}{2}} 8 - \log_{\frac{1}{2}} x$.
Вычислим значение константы: так как $8 = 2^3 = (\frac{1}{2})^{-3}$, то $\log_{\frac{1}{2}} 8 = -3$.
Следовательно, $y = -3 - \log_{\frac{1}{2}} x$.

Ответ: $y = -3 - \log_{\frac{1}{2}} x$.

16.41. Докажите, что при заданных условиях выполняется требуемое равенство:

a) $\text{lg} \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\text{lg} a + \text{lg} b)$, если $a^2 + b^2 = 7ab$;

б) $\text{lg} \frac{a+2b}{4} = \frac{1}{2}(\text{lg} a + \text{lg} b)$, если $a^2 + 4b^2 = 12ab$.

а)

Нам дано условие $a^2 + b^2 = 7ab$ и требуется доказать, что $\lg \frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$.

Для того чтобы выражения $\lg a$ и $\lg b$ имели смысл, необходимо, чтобы $a > 0$ и $b > 0$.

Начнем с преобразования данного нам условия $a^2 + b^2 = 7ab$. Чтобы в левой части получить выражение, связанное с $(a+b)$, прибавим к обеим частям равенства $2ab$. Это позволит нам выделить полный квадрат суммы.

$a^2 + 2ab + b^2 = 7ab + 2ab$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(a+b)^2 = 9ab$

Так как $a > 0$ и $b > 0$, то и сумма $a+b > 0$. Извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:

$\sqrt{(a+b)^2} = \sqrt{9ab}$

$a+b = 3\sqrt{ab}$

Теперь разделим обе части на 3, чтобы получить выражение, стоящее под знаком логарифма в левой части доказываемого равенства:

$\frac{a+b}{3} = \sqrt{ab}$

Прологарифмируем обе части полученного равенства по основанию 10 (используя десятичный логарифм $\lg$):

$\lg\left(\frac{a+b}{3}\right) = \lg(\sqrt{ab})$

Преобразуем правую часть, используя свойства логарифмов: свойство логарифма степени $\lg(x^p) = p \lg(x)$ и свойство логарифма произведения $\lg(xy) = \lg(x) + \lg(y)$.

$\lg(\sqrt{ab}) = \lg\left((ab)^{\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2}\lg(ab) = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$

Таким образом, мы приходим к равенству:

$\lg\frac{a+b}{3} = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Нам дано условие $a^2 + 4b^2 = 12ab$ и требуется доказать, что $\lg \frac{a+2b}{4} = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$.

Как и в предыдущем пункте, из существования $\lg a$ и $\lg b$ следует, что $a > 0$ и $b > 0$.

Рассмотрим данное условие $a^2 + 4b^2 = 12ab$. Левая часть, $a^2 + 4b^2$, является частью формулы для квадрата суммы $(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$. Чтобы выделить полный квадрат, прибавим к обеим частям равенства $4ab$:

$a^2 + 4ab + 4b^2 = 12ab + 4ab$

Свернем левую часть по формуле квадрата суммы:

$(a+2b)^2 = 16ab$

Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, то и $a+2b > 0$. Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$\sqrt{(a+2b)^2} = \sqrt{16ab}$

$a+2b = 4\sqrt{ab}$

Разделим обе части на 4:

$\frac{a+2b}{4} = \sqrt{ab}$

Теперь прологарифмируем обе части по основанию 10:

$\lg\left(\frac{a+2b}{4}\right) = \lg(\sqrt{ab})$

Используя те же свойства логарифмов, что и в пункте а), преобразуем правую часть:

$\lg(\sqrt{ab}) = \lg\left((ab)^{\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2}\lg(ab) = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$

В результате мы получаем:

$\lg\frac{a+2b}{4} = \frac{1}{2}(\lg a + \lg b)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

Вычислите:

16.42. a) $log_2\frac{1}{3} + log_4 9$;

в) $log_{25} 9 - log_5 3$;

б) $log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{2} + log_3\frac{1}{2}$;

г) $log_{16} 4 - log_4 8.$

а) $ \log_2 \frac{1}{3} + \log_4 9 $

Для решения приведем логарифмы к одному основанию. Удобно привести всё к основанию 2, так как $4 = 2^2$.

Используем свойство логарифма $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $ для второго слагаемого:

$ \log_4 9 = \log_{2^2} 9 = \frac{1}{2} \log_2 9 $

Далее используем свойство $ n \log_a b = \log_a b^n $:

$ \frac{1}{2} \log_2 9 = \log_2 9^{\frac{1}{2}} = \log_2 \sqrt{9} = \log_2 3 $

Теперь исходное выражение выглядит так:

$ \log_2 \frac{1}{3} + \log_2 3 $

Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $ \log_a x + \log_a y = \log_a(xy) $:

$ \log_2 (\frac{1}{3} \cdot 3) = \log_2 1 $

Логарифм единицы по любому основанию (кроме 1) равен нулю.

$ \log_2 1 = 0 $

Ответ: $0$.

б) $ \log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{2} + \log_3 \frac{1}{2} $

Приведем логарифмы к основанию 3. Заметим, что $ \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} $.

Преобразуем первый член, используя свойство $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $:

$ \log_{\sqrt{3}} 3\sqrt{2} = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3\sqrt{2} = \frac{1}{1/2} \log_3 (3\sqrt{2}) = 2 \log_3 (3\sqrt{2}) $

Используем свойство $ n \log_a b = \log_a b^n $:

$ 2 \log_3 (3\sqrt{2}) = \log_3 ((3\sqrt{2})^2) = \log_3 (9 \cdot 2) = \log_3 18 $

Подставим полученное выражение в исходное:

$ \log_3 18 + \log_3 \frac{1}{2} $

Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a x + \log_a y = \log_a(xy) $:

$ \log_3 (18 \cdot \frac{1}{2}) = \log_3 9 $

Так как $9=3^2$, то:

$ \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2 $

Ответ: $2$.

в) $ \log_{25} 9 - \log_5 3 $

Приведем логарифмы к одному основанию 5. Заметим, что $25 = 5^2$ и $9=3^2$.

Преобразуем первый член, используя свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{25} 9 = \log_{5^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_5 3 = 1 \cdot \log_5 3 = \log_5 3 $

Подставим полученное выражение в исходное:

$ \log_5 3 - \log_5 3 = 0 $

Ответ: $0$.

г) $ \log_{16} 4 - \log_4 8 $

Для решения приведем логарифмы к одному основанию. Удобно использовать основание 2, так как $16=2^4$, $4=2^2$ и $8=2^3$.

Используем свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $.

Преобразуем первый член:

$ \log_{16} 4 = \log_{2^4} 2^2 = \frac{2}{4} \log_2 2 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $

Преобразуем второй член:

$ \log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2} \log_2 2 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} $

Теперь выполним вычитание:

$ \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} = -1 $

Ответ: $-1$.

16.43. а) $9^{\log_3 4} + \log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36;$

б) $\log_3 8 \cdot \log_2 27 - 3^{\log_9 25};$

в) $3^{4 \log_3 2} + \log_5 \sqrt{2} \cdot \log_4 25;$

г) $10^{0,5 \lg 16} + 14 \log_3 \sqrt{2} \cdot \log_4 81.$

а) $9^{\log_3 4} + \log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36$

Решим по частям. Сначала преобразуем первое слагаемое $9^{\log_3 4}$:

$9^{\log_3 4} = (3^2)^{\log_3 4} = 3^{2\log_3 4} = 3^{\log_3 4^2} = 3^{\log_3 16}$

Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$3^{\log_3 16} = 16$

Теперь преобразуем второе слагаемое $\log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36$. Воспользуемся формулой $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ после преобразования первого множителя:

$\log_{\sqrt{6}} 3 \cdot \log_3 36 = \frac{1}{\log_3 \sqrt{6}} \cdot \log_3 36 = \frac{\log_3 36}{\log_3 \sqrt{6}} = \log_{\sqrt{6}} 36$

Чтобы найти значение $\log_{\sqrt{6}} 36$, решим уравнение $(\sqrt{6})^x = 36$.

$6^{x/2} = 6^2$, откуда $x/2 = 2$ и $x = 4$.

Сложим полученные результаты:

$16 + 4 = 20$

Ответ: 20

б) $\log_3 8 \cdot \log_2 27 - 3^{\log_9 25}$

Рассмотрим произведение логарифмов $\log_3 8 \cdot \log_2 27$. Приведем аргументы логарифмов к степеням простых чисел:

$\log_3 8 = \log_3 2^3 = 3\log_3 2$

$\log_2 27 = \log_2 3^3 = 3\log_2 3$

Их произведение равно:

$3\log_3 2 \cdot 3\log_2 3 = 9 \cdot (\log_3 2 \cdot \log_2 3)$

По свойству $\log_a b \cdot \log_b a = 1$, получаем:

$9 \cdot 1 = 9$

Теперь преобразуем вычитаемое $3^{\log_9 25}$:

$\log_9 25 = \log_{3^2} 5^2 = \frac{2}{2} \log_3 5 = \log_3 5$

Тогда $3^{\log_9 25} = 3^{\log_3 5}$. По основному логарифмическому тождеству:

$3^{\log_3 5} = 5$

Вычислим разность:

$9 - 5 = 4$

Ответ: 4

в) $3^{4\log_3 2} + \log_5 \sqrt{2} \cdot \log_4 25$

Преобразуем первое слагаемое $3^{4\log_3 2}$, используя свойство $n \log_b a = \log_b a^n$:

$3^{4\log_3 2} = 3^{\log_3 2^4} = 3^{\log_3 16} = 16$

Преобразуем второе слагаемое $\log_5 \sqrt{2} \cdot \log_4 25$:

$\log_5 \sqrt{2} = \log_5 2^{1/2} = \frac{1}{2}\log_5 2$

$\log_4 25 = \log_{2^2} 5^2 = \frac{2}{2}\log_2 5 = \log_2 5$

Их произведение равно:

$(\frac{1}{2}\log_5 2) \cdot (\log_2 5) = \frac{1}{2} (\log_5 2 \cdot \log_2 5) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Сложим полученные результаты:

$16 + \frac{1}{2} = 16,5$

Ответ: 16,5

г) $10^{0,5 \lg 16} + 14 \log_3 \sqrt{2} \cdot \log_4 81$

Преобразуем первое слагаемое $10^{0,5 \lg 16}$. Учтем, что $\lg$ это логарифм по основанию 10:

$10^{0,5 \lg 16} = 10^{\lg 16^{0,5}} = 10^{\lg \sqrt{16}} = 10^{\lg 4} = 4$

Преобразуем второе слагаемое $14 \log_3 \sqrt{2} \cdot \log_4 81$:

$\log_3 \sqrt{2} = \log_3 2^{1/2} = \frac{1}{2}\log_3 2$

$\log_4 81 = \log_{2^2} 3^4 = \frac{4}{2}\log_2 3 = 2\log_2 3$

Произведение равно:

$14 \cdot (\frac{1}{2}\log_3 2) \cdot (2\log_2 3) = 14 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (\log_3 2 \cdot \log_2 3) = 14 \cdot 1 = 14$

Сложим полученные результаты:

$4 + 14 = 18$

Ответ: 18