Страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Верно ли, что уравнение $3^{2x-4} = 9^{x^2}$ равносильно уравнению $x - 2 = x^2$? Обоснуйте свой ответ.

Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Чтобы определить, являются ли данные уравнения равносильными, мы можем либо решить каждое из них и сравнить множества решений, либо показать, что одно уравнение может быть получено из другого с помощью равносильных преобразований.

Рассмотрим первое уравнение: $3^{2x-4} = 9^{x^2}$.

Это показательное уравнение. Для его решения приведем обе части к одному основанию. Заметим, что $9 = 3^2$. Подставим это в правую часть уравнения:

$9^{x^2} = (3^2)^{x^2} = 3^{2 \cdot x^2} = 3^{2x^2}$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$3^{2x-4} = 3^{2x^2}$.

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели. Это преобразование является равносильным, так как показательная функция $y=3^t$ строго монотонна.

$2x - 4 = 2x^2$.

Разделим обе части полученного уравнения на 2, что также является равносильным преобразованием:

$x - 2 = x^2$.

В результате равносильных преобразований мы получили второе уравнение, данное в условии задачи. Это означает, что любое решение первого уравнения является решением второго, и наоборот. Следовательно, уравнения равносильны.

Для полной проверки найдем решения уравнения $x - 2 = x^2$. Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 - x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Так как дискриминант $D < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что множество решений для уравнения $x - 2 = x^2$ является пустым множеством $(\emptyset)$.

Поскольку первое уравнение $3^{2x-4} = 9^{x^2}$ равносильно уравнению $x - 2 = x^2$, оно также не имеет действительных корней, и его множество решений тоже является пустым.

Так как множества решений обоих уравнений совпадают (оба являются пустыми), уравнения равносильны.

Ответ: да, верно. Уравнения равносильны, так как в результате равносильных преобразований первое уравнение приводится ко второму. Множество решений для обоих уравнений является пустым.

2. Перечислите основные методы решения показательных уравнений.

Существует несколько основных методов решения показательных уравнений. Выбор метода зависит от конкретного вида уравнения.

1. Приведение к одному основанию

Этот метод применяется, когда обе части уравнения можно представить в виде степеней с одинаковым основанием. Если уравнение имеет вид $a^{f(x)} = a^{g(x)}$, где $a > 0$ и $a \neq 1$, то оно равносильно уравнению $f(x) = g(x)$.

Пример: Решить уравнение $5^{2x-1} = 125$.

Представим число 125 как степень с основанием 5: $125 = 5^3$.

Получаем уравнение: $5^{2x-1} = 5^3$.

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$2x - 1 = 3$

$2x = 4$

$x = 2$

Ответ: преобразование уравнения к виду $a^{f(x)} = a^{g(x)}$ и последующий переход к равенству показателей $f(x) = g(x)$.

2. Вынесение общего множителя за скобки

Метод используется, если уравнение представляет собой сумму или разность нескольких степенных членов с одинаковым основанием. Используя свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, можно вынести за скобки общий множитель.

Пример: Решить уравнение $3^{x+2} - 3^x = 72$.

Преобразуем первое слагаемое: $3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$.

Уравнение примет вид: $9 \cdot 3^x - 3^x = 72$.

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x(9 - 1) = 72$

$3^x \cdot 8 = 72$

$3^x = 9$

$3^x = 3^2$

$x=2$

Ответ: вынесение за скобки степени с наименьшим показателем и решение получившегося простого уравнения.

3. Введение новой переменной (метод замены)

Этот метод эффективен для уравнений, которые можно свести к алгебраическим (чаще всего к квадратным) относительно некоторого показательного выражения. Уравнения вида $A \cdot a^{2f(x)} + B \cdot a^{f(x)} + C = 0$ решаются заменой $t = a^{f(x)}$, где $t > 0$.

Пример: Решить уравнение $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$.

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Уравнение можно переписать так: $(2^x)^2 - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$.

Введем новую переменную: пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $t > 0$.

Получим квадратное уравнение: $t^2 - 3t - 4 = 0$.

Находим его корни по теореме Виета или через дискриминант: $t_1 = 4$, $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t>0$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к исходной переменной с корнем $t_1=4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Ответ: замена повторяющегося показательного выражения новой переменной, сведение уравнения к алгебраическому и решение обратной замены с учетом области значений новой переменной.

4. Логарифмирование обеих частей уравнения

Метод применяется, когда основания степеней в левой и правой частях уравнения различны и не приводятся к одному. Логарифмируя обе части по одному и тому же основанию, можно "снять" переменные из показателей степени, используя свойство логарифма $\log_c(m^p) = p \cdot \log_c(m)$.

Пример: Решить уравнение $3^x = 7^{x+2}$.

Прологарифмируем обе части уравнения, например, по основанию 10 (можно использовать и натуральный логарифм $\ln$):

$\lg(3^x) = \lg(7^{x+2})$

Используем свойство логарифма степени:

$x \cdot \lg(3) = (x+2) \cdot \lg(7)$

Получили линейное уравнение относительно $x$. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $x$:

$x \cdot \lg(3) = x \cdot \lg(7) + 2 \cdot \lg(7)$

$x \cdot \lg(7) - x \cdot \lg(3) = -2 \cdot \lg(7)$

$x(\lg(7) - \lg(3)) = -2 \cdot \lg(7)$

$x = \frac{-2 \lg(7)}{\lg(7) - \lg(3)} = \frac{2 \lg(7)}{\lg(3) - \lg(7)} = \frac{\lg(49)}{\lg(3/7)}$

Ответ: логарифмирование обеих частей уравнения по одному и тому же основанию для преобразования показательного уравнения в алгебраическое.

5. Функционально-графический метод

Этот метод заключается в построении графиков функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями уравнения. Метод часто используется для нахождения количества корней или их приблизительных значений, а также в случаях, когда одна из функций является монотонно возрастающей, а другая — монотонно убывающей (в этом случае уравнение имеет не более одного корня).

Пример: Решить уравнение $2^x = 3-x$.

Рассмотрим две функции: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = 3-x$.

Функция $y_1 = 2^x$ является показательной, она монотонно возрастает на всей числовой оси.

Функция $y_2 = 3-x$ является линейной, она монотонно убывает на всей числовой оси.

Если одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Методом подбора легко найти, что при $x=1$ левая часть равна $2^1=2$, а правая часть равна $3-1=2$. Значит, $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: построение графиков функций, соответствующих левой и правой частям уравнения, и нахождение абсцисс точек их пересечения, либо анализ свойств функций (монотонность, область значений) для определения количества корней и их нахождения.

3. Сколько корней имеет уравнение $3^x = 5 - x$? уравнение $3^x = 4 - x$? Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Сколько корней имеет уравнение $3^x = 5 - x$?

Для того чтобы определить количество корней уравнения, рассмотрим его как равенство двух функций $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 5 - x$. Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения их графиков.
Функция $f(x) = 3^x$ является показательной и строго возрастает на всей числовой прямой.
Функция $g(x) = 5 - x$ является линейной и строго убывает на всей числовой прямой.
Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня.
Чтобы доказать, что корень существует, покажем, что разность функций $h(x) = f(x) - g(x) = 3^x - (5 - x) = 3^x + x - 5$ принимает значения разных знаков.
При $x = 1$: $h(1) = 3^1 + 1 - 5 = -1$.
При $x = 2$: $h(2) = 3^2 + 2 - 5 = 9 + 2 - 5 = 6$.
Так как функция $h(x)$ непрерывна, и на концах отрезка $[1, 2]$ её значения имеют разные знаки ($h(1) < 0$ и $h(2) > 0$), то по теореме о промежуточном значении внутри этого отрезка существует точка $x_0$, в которой $h(x_0) = 0$.
Таким образом, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: один корень.

Сколько корней имеет уравнение $3^x = 4 - x$?

Аналогично предыдущему случаю, рассмотрим функции $f(x) = 3^x$ (строго возрастающая) и $g(x) = 4 - x$ (строго убывающая). Уравнение может иметь не более одного корня.
Попробуем найти корень методом подбора. Проверим значение $x=1$:
Левая часть: $3^1 = 3$.
Правая часть: $4 - 1 = 3$.
Поскольку $3 = 3$, то $x=1$ является корнем уравнения.
Так как мы установили, что уравнение не может иметь более одного корня, то $x=1$ является единственным корнем.

Ответ: один корень.

Какое из этих уравнений вы можете решить устно?

Решить уравнение — значит найти все его корни.
Корень уравнения $3^x = 4 - x$ очень легко находится устным подбором: $x=1$. Поскольку мы доказали, что корень единственный, уравнение решено.
Корень уравнения $3^x = 5 - x$ находится в интервале $(1, 2)$, он не является целым или простым рациональным числом. Найти его точное значение устно, без применения специальных численных методов, невозможно.
Следовательно, устно можно решить второе уравнение.

Ответ: уравнение $3^x = 4 - x$.

17.18. а) $log_{23} (2x - 1) - log_{23} x = 0;$

б) $log_{0,5} (4x - 1) - log_{0,5} (7x - 3) = 1;$

в) $log_{3,4} (x^2 - 5x + 8) - log_{3,4} x = 0;$

г) $log_{\frac{1}{2}} (x + 9) - log_{\frac{1}{2}} (8 - 3x) = 2.$

а) Исходное уравнение: $ \log_{23}(2x - 1) - \log_{23}x = 0 $.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
Из первого неравенства получаем $ 2x > 1 $, то есть $ x > \frac{1}{2} $. Совмещая с условием $ x > 0 $, получаем ОДЗ: $ x > \frac{1}{2} $.
Теперь решим уравнение. Перенесем второй логарифм в правую часть:
$ \log_{23}(2x - 1) = \log_{23}x $
Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$ 2x - 1 = x $
$ 2x - x = 1 $
$ x = 1 $
Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ. Так как $ 1 > \frac{1}{2} $, корень подходит.
Ответ: $ 1 $.

б) Исходное уравнение: $ \log_{0.5}(4x - 1) - \log_{0.5}(7x - 3) = 1 $.
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} 4x - 1 > 0 \\ 7x - 3 > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > \frac{1}{4} \\ x > \frac{3}{7} \end{cases} $
Так как $ \frac{3}{7} > \frac{1}{4} $ (поскольку $ 12 > 7 $), ОДЗ: $ x > \frac{3}{7} $.
Используем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $:
$ \log_{0.5}\left(\frac{4x - 1}{7x - 3}\right) = 1 $
По определению логарифма:
$ \frac{4x - 1}{7x - 3} = 0.5^1 $
$ \frac{4x - 1}{7x - 3} = \frac{1}{2} $
Используя свойство пропорции, получаем:
$ 2(4x - 1) = 1(7x - 3) $
$ 8x - 2 = 7x - 3 $
$ 8x - 7x = -3 + 2 $
$ x = -1 $
Проверим корень на соответствие ОДЗ ($ x > \frac{3}{7} $). Так как $ -1 < \frac{3}{7} $, корень не является решением уравнения.
Ответ: нет решений.

в) Исходное уравнение: $ \log_{3.4}(x^2 - 5x + 8) - \log_{3.4}x = 0 $.
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x^2 - 5x + 8 > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
Рассмотрим квадратный трехчлен $ x^2 - 5x + 8 $. Его дискриминант $ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 25 - 32 = -7 $. Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при $ x^2 $ положительный ($ 1 > 0 $), парабола $ y = x^2 - 5x + 8 $ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $ x^2 - 5x + 8 > 0 $ для любого $ x $.
Следовательно, ОДЗ определяется только вторым условием: $ x > 0 $.
Решим уравнение:
$ \log_{3.4}(x^2 - 5x + 8) = \log_{3.4}x $
Приравниваем аргументы:
$ x^2 - 5x + 8 = x $
$ x^2 - 6x + 8 = 0 $
По теореме Виета находим корни: $ x_1 = 2 $, $ x_2 = 4 $.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ 2 > 0 $ и $ 4 > 0 $).
Ответ: $ 2; 4 $.

г) Исходное уравнение: $ \log_{\frac{1}{2}}(x + 9) - \log_{\frac{1}{2}}(8 - 3x) = 2 $.
Найдем ОДЗ:
$ \begin{cases} x + 9 > 0 \\ 8 - 3x > 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > -9 \\ -3x > -8 \end{cases} $
$ \begin{cases} x > -9 \\ x < \frac{8}{3} \end{cases} $
ОДЗ: $ -9 < x < \frac{8}{3} $.
Используем свойство разности логарифмов:
$ \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{x + 9}{8 - 3x}\right) = 2 $
По определению логарифма:
$ \frac{x + 9}{8 - 3x} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $
$ \frac{x + 9}{8 - 3x} = \frac{1}{4} $
Используя свойство пропорции:
$ 4(x + 9) = 1(8 - 3x) $
$ 4x + 36 = 8 - 3x $
$ 4x + 3x = 8 - 36 $
$ 7x = -28 $
$ x = -4 $
Проверим корень на соответствие ОДЗ ($ -9 < x < \frac{8}{3} $). Так как $ -9 < -4 < 2\frac{2}{3} $, корень подходит.
Ответ: $ -4 $.

17.19. a) $\log_2(x - 3)(x + 5) + \log_2\frac{x - 3}{x + 5} = 2;$

б) $\log_3(x + 3)(x + 5) + \log_3\frac{x + 3}{x + 5} = 4.$

а) $ \log_2((x-3)(x+5)) + \log_2(\frac{x-3}{x+5}) = 2 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} (x-3)(x+5) > 0 \\ \frac{x-3}{x+5} > 0 \end{cases} $

Оба неравенства равносильны. Решим первое неравенство $ (x-3)(x+5) > 0 $. Корнями соответствующего уравнения являются $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -5 $. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -5) \cup (3, \infty) $. Это и есть ОДЗ.

Используя свойство суммы логарифмов $ \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc) $, преобразуем левую часть уравнения:

$ \log_2 \left( (x-3)(x+5) \cdot \frac{x-3}{x+5} \right) = 2 $

Сокращаем дробь (это возможно, так как в ОДЗ $ x+5 \neq 0 $):

$ \log_2((x-3)^2) = 2 $

По определению логарифма:

$ (x-3)^2 = 2^2 $

$ (x-3)^2 = 4 $

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$ x-3 = 2 $ или $ x-3 = -2 $

Решаем полученные уравнения:

$ x_1 = 5 $

$ x_2 = 1 $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $ x \in (-\infty, -5) \cup (3, \infty) $.

Корень $ x_1 = 5 $ принадлежит ОДЗ, так как $ 5 > 3 $.

Корень $ x_2 = 1 $ не принадлежит ОДЗ, так как он не входит ни в один из интервалов.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $ 5 $.

б) $ \log_3((x+3)(x+5)) + \log_3(\frac{x+3}{x+5}) = 4 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} (x+3)(x+5) > 0 \\ \frac{x+3}{x+5} > 0 \end{cases} $

Оба неравенства равносильны. Решим неравенство $ (x+3)(x+5) > 0 $. Корнями соответствующего уравнения являются $ x_1 = -3 $ и $ x_2 = -5 $. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -5) \cup (-3, \infty) $. Это и есть ОДЗ.

Используя свойство суммы логарифмов $ \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc) $, преобразуем левую часть уравнения:

$ \log_3 \left( (x+3)(x+5) \cdot \frac{x+3}{x+5} \right) = 4 $

Сокращаем дробь (это возможно, так как в ОДЗ $ x+5 \neq 0 $):

$ \log_3((x+3)^2) = 4 $

По определению логарифма:

$ (x+3)^2 = 3^4 $

$ (x+3)^2 = 81 $

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

$ x+3 = 9 $ или $ x+3 = -9 $

Решаем полученные уравнения:

$ x_1 = 6 $

$ x_2 = -12 $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $ x \in (-\infty, -5) \cup (-3, \infty) $.

Корень $ x_1 = 6 $ принадлежит ОДЗ, так как $ 6 > -3 $.

Корень $ x_2 = -12 $ принадлежит ОДЗ, так как $ -12 < -5 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $ -12; 6 $.

17.20. a) $\lg(x - 1)^3 - 3 \lg(x - 3) = \lg 8;$

б) $\lg(x + 1)^5 - 5 \lg(x - 1) = \lg 32.$

а) $lg(x - 1)^3 - 3 lg(x - 3) = lg 8$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x - 1 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 3 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 3$.

Теперь преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов. Воспользуемся свойством $n \cdot \lg a = \lg a^n$:

$lg(x - 1)^3 - lg(x - 3)^3 = lg 8$

Применим свойство разности логарифмов $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$:

$lg \frac{(x - 1)^3}{(x - 3)^3} = lg 8$

$lg \left(\frac{x - 1}{x - 3}\right)^3 = lg 8$

Поскольку основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$\left(\frac{x - 1}{x - 3}\right)^3 = 8$

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$\frac{x - 1}{x - 3} = \sqrt[3]{8}$

$\frac{x - 1}{x - 3} = 2$

Теперь решим полученное рациональное уравнение (учитывая, что $x \ne 3$ согласно ОДЗ):

$x - 1 = 2(x - 3)$

$x - 1 = 2x - 6$

$2x - x = 6 - 1$

$x = 5$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x > 3$). Корень $x=5$ удовлетворяет этому условию ($5 > 3$), следовательно, он является решением уравнения.

Ответ: $5$

б) $lg(x + 1)^5 - 5 lg(x - 1) = lg 32$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} x + 1 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x > 1$.

Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов $n \cdot \lg a = \lg a^n$ и $\lg a - \lg b = \lg(a/b)$:

$lg(x + 1)^5 - lg(x - 1)^5 = lg 32$

$lg \frac{(x + 1)^5}{(x - 1)^5} = lg 32$

$lg \left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)^5 = lg 32$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$\left(\frac{x + 1}{x - 1}\right)^5 = 32$

Извлечем корень пятой степени из обеих частей уравнения, зная, что $32 = 2^5$:

$\frac{x + 1}{x - 1} = \sqrt[5]{32}$

$\frac{x + 1}{x - 1} = 2$

Решим полученное уравнение (учитывая, что $x \ne 1$ согласно ОДЗ):

$x + 1 = 2(x - 1)$

$x + 1 = 2x - 2$

$2x - x = 1 + 2$

$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли корень $x=3$ ОДЗ ($x > 1$). Условие $3 > 1$ выполняется, значит, корень является решением.

Ответ: $3$

17.21. a) $\log_2(x^3 - 1) - \log_2(x^2 + x + 1) = 4;$

б) $\log_{0.5}(x^6 - 6x^4 + 12x^2 - 8) = -3;$

в) $\log_{0.3}(x^3 + 27) - \log_{0.3}(x^2 - 3x + 9) = -1;$

г) $\log_5(x^6 + 9x^4 + 27x^2 + 27) = 3.$

а) $ \log_{2}(x^3 - 1) - \log_{2}(x^2 + x + 1) = 4 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1) $ x^3 - 1 > 0 \implies x^3 > 1 \implies x > 1. $

2) $ x^2 + x + 1 > 0 $. Дискриминант этого квадратного трехчлена $ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 $. Поскольку $ D < 0 $ и старший коэффициент (равный 1) положителен, выражение $ x^2 + x + 1 $ положительно при любых действительных значениях $x$.

Таким образом, ОДЗ уравнения: $ x > 1 $.

Используем свойство разности логарифмов $ \log_a M - \log_a N = \log_a \frac{M}{N} $:

$ \log_{2}\left(\frac{x^3 - 1}{x^2 + x + 1}\right) = 4 $

Применим формулу разности кубов $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $ к числителю дроби в аргументе логарифма:

$ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $

Подставим это в уравнение и сократим дробь:

$ \log_{2}\left(\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1}\right) = 4 $

$ \log_{2}(x - 1) = 4 $

По определению логарифма:

$ x - 1 = 2^4 $

$ x - 1 = 16 $

$ x = 17 $

Найденный корень $ x = 17 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 17 > 1 $).

Ответ: $17$

б) $ \log_{0,5}(x^6 - 6x^4 + 12x^2 - 8) = -3 $

Заметим, что выражение в аргументе логарифма является полным кубом разности. Используем формулу $ (a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $.

Пусть $ a = x^2 $ и $ b = 2 $. Тогда:

$ (x^2 - 2)^3 = (x^2)^3 - 3(x^2)^2(2) + 3(x^2)(2^2) - 2^3 = x^6 - 6x^4 + 12x^2 - 8 $

Перепишем исходное уравнение:

$ \log_{0,5}((x^2 - 2)^3) = -3 $

ОДЗ: $ (x^2 - 2)^3 > 0 \implies x^2 - 2 > 0 \implies x^2 > 2 $.

Используем свойство логарифма степени $ \log_a M^p = p \log_a M $:

$ 3 \log_{0,5}(x^2 - 2) = -3 $

$ \log_{0,5}(x^2 - 2) = -1 $

По определению логарифма:

$ x^2 - 2 = (0,5)^{-1} $

$ x^2 - 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} $

$ x^2 - 2 = 2 $

$ x^2 = 4 $

$ x_1 = 2 $, $ x_2 = -2 $

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x^2 > 2 $).

Для $ x_1 = 2 $: $ 2^2 = 4 $, $ 4 > 2 $. Корень подходит.

Для $ x_2 = -2 $: $ (-2)^2 = 4 $, $ 4 > 2 $. Корень подходит.

Ответ: $-2; 2$

в) $ \log_{0,3}(x^3 + 27) - \log_{0,3}(x^2 - 3x + 9) = -1 $

Найдем ОДЗ:

1) $ x^3 + 27 > 0 \implies x^3 > -27 \implies x > -3. $

2) $ x^2 - 3x + 9 > 0 $. Дискриминант $ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0 $. Так как $ D < 0 $ и старший коэффициент положителен, выражение всегда положительно.

ОДЗ уравнения: $ x > -3 $.

Используем свойство разности логарифмов:

$ \log_{0,3}\left(\frac{x^3 + 27}{x^2 - 3x + 9}\right) = -1 $

Применим формулу суммы кубов $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $:

$ x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9) $

Подставим в уравнение и упростим:

$ \log_{0,3}\left(\frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{x^2 - 3x + 9}\right) = -1 $

$ \log_{0,3}(x + 3) = -1 $

По определению логарифма:

$ x + 3 = (0,3)^{-1} $

$ x + 3 = \left(\frac{3}{10}\right)^{-1} $

$ x + 3 = \frac{10}{3} $

$ x = \frac{10}{3} - 3 = \frac{10 - 9}{3} = \frac{1}{3} $

Корень $ x = \frac{1}{3} $ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{3} > -3 $).

Ответ: $\frac{1}{3}$

г) $ \log_{5}(x^6 + 9x^4 + 27x^2 + 27) = 3 $

Заметим, что выражение в аргументе логарифма является полным кубом суммы. Используем формулу $ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $.

Пусть $ a = x^2 $ и $ b = 3 $. Тогда:

$ (x^2 + 3)^3 = (x^2)^3 + 3(x^2)^2(3) + 3(x^2)(3^2) + 3^3 = x^6 + 9x^4 + 27x^2 + 27 $

Перепишем исходное уравнение:

$ \log_{5}((x^2 + 3)^3) = 3 $

ОДЗ: $ (x^2 + 3)^3 > 0 $. Так как $ x^2 \ge 0 $, то $ x^2 + 3 \ge 3 > 0 $, следовательно, выражение всегда положительно. ОДЗ: $ x \in \mathbb{R} $.

Используем свойство логарифма степени:

$ 3 \log_{5}(x^2 + 3) = 3 $

$ \log_{5}(x^2 + 3) = 1 $

По определению логарифма:

$ x^2 + 3 = 5^1 $

$ x^2 + 3 = 5 $

$ x^2 = 2 $

$ x_1 = \sqrt{2} $, $ x_2 = -\sqrt{2} $

Оба корня являются действительными числами и входят в ОДЗ.

Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$

17.22. a) $\log_2^2 x - 4 \log_2 x + 3 = 0;$

б) $\log_4^2 x - \log_4 x - 2 = 0;$

в) $\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0;$

г) $\log_{0,2}^2 x + \log_{0,2} x - 6 = 0.$

а) $\log_2^2 x - 4 \log_2 x + 3 = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно $\log_2 x$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Введем замену переменной: пусть $t = \log_2 x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$t_1 = 1$ и $t_2 = 3$

Теперь выполним обратную замену:

1) $\log_2 x = 1 \implies x_1 = 2^1 = 2$.

2) $\log_2 x = 3 \implies x_2 = 2^3 = 8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: 2; 8.

б) $\log_4^2 x - \log_4 x - 2 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $\log_4 x$. ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену: пусть $t = \log_4 x$. Уравнение преобразуется к виду:

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.

$t_1 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1-3}{2} = -1$

$t_2 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1+3}{2} = 2$

Выполним обратную замену:

1) $\log_4 x = -1 \implies x_1 = 4^{-1} = \frac{1}{4}$.

2) $\log_4 x = 2 \implies x_2 = 4^2 = 16$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $\frac{1}{4}$; 16.

в) $\log_{\frac{1}{2}}^2 x + 3 \log_{\frac{1}{2}} x + 2 = 0$

Уравнение является квадратным относительно $\log_{\frac{1}{2}} x$. ОДЗ: $x > 0$.

Пусть $t = \log_{\frac{1}{2}} x$. Получаем уравнение:

$t^2 + 3t + 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно 2. Корни уравнения:

$t_1 = -1$ и $t_2 = -2$

Выполним обратную замену:

1) $\log_{\frac{1}{2}} x = -1 \implies x_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$.

2) $\log_{\frac{1}{2}} x = -2 \implies x_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 2^2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: 2; 4.

г) $\log_{0.2}^2 x + \log_{0.2} x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\log_{0.2} x$. ОДЗ: $x > 0$.

Введем замену: пусть $t = \log_{0.2} x$. Уравнение примет вид:

$t^2 + t - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1-5}{2} = -3$

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1+5}{2} = 2$

Выполним обратную замену, учитывая, что $0.2 = \frac{1}{5}$:

1) $\log_{0.2} x = -3 \implies x_1 = (0.2)^{-3} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125$.

2) $\log_{0.2} x = 2 \implies x_2 = (0.2)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{1}{25}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $\frac{1}{25}$; 125.

17.23. a) $2 \log_{5}^{2} x + 5 \log_{5} x + 2 = 0;$

б) $3 \log_{4}^{2} x - 7 \log_{4} x + 2 = 0;$

в) $2 \log_{0.3}^{2} x - 7 \log_{0.3} x - 4 = 0;$

г) $3 \log_{0.5}^{2} x + 5 \log_{0.5} x - 2 = 0.$

а) $2 \log_5^2 x + 5 \log_5 x + 2 = 0$

Это логарифмическое уравнение, которое сводится к квадратному. Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$.
Данное уравнение является квадратным относительно $\log_5 x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$. Тогда уравнение принимает вид: $2t^2 + 5t + 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Вычислим дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$
Корни уравнения для $t$ равны:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 3}{4} = -2$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
1) Если $t_1 = -2$, то $\log_5 x = -2$. По определению логарифма, $x = 5^{-2} = \frac{1}{25}$.
2) Если $t_2 = -0.5$, то $\log_5 x = -0.5$. Тогда $x = 5^{-0.5} = 5^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
Оба полученных значения $x$ положительны, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = \frac{1}{25}$, $x_2 = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

б) $3 \log_4^2 x - 7 \log_4 x + 2 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Сделаем замену $t = \log_4 x$. Уравнение примет вид: $3t^2 - 7t + 2 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$t_2 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$
Выполним обратную замену:
1) $\log_4 x = \frac{1}{3} \implies x = 4^{1/3} = \sqrt[3]{4}$.
2) $\log_4 x = 2 \implies x = 4^2 = 16$.
Оба корня положительны, значит, входят в ОДЗ.
Ответ: $x_1 = \sqrt[3]{4}$, $x_2 = 16$.

в) $2 \log_{0.3}^2 x - 7 \log_{0.3} x - 4 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Пусть $t = \log_{0.3} x$. Уравнение преобразуется к виду:
$2t^2 - 7t - 4 = 0$
Вычислим дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{2}{4} = -0.5$
$t_2 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$
Вернемся к переменной $x$:
1) $\log_{0.3} x = -0.5 \implies x = (0.3)^{-0.5} = (\frac{3}{10})^{-1/2} = (\frac{10}{3})^{1/2} = \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$.
2) $\log_{0.3} x = 4 \implies x = (0.3)^4 = (\frac{3}{10})^4 = \frac{81}{10000} = 0.0081$.
Оба корня положительны и удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 0.0081$, $x_2 = \frac{\sqrt{30}}{3}$.

г) $3 \log_{0.5}^2 x + 5 \log_{0.5} x - 2 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.
Произведем замену переменной $t = \log_{0.5} x$. Получим квадратное уравнение:
$3t^2 + 5t - 2 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$
Корни уравнения для $t$:
$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$
$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Выполним обратную замену для нахождения $x$:
1) $\log_{0.5} x = -2 \implies x = (0.5)^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
2) $\log_{0.5} x = \frac{1}{3} \implies x = (0.5)^{1/3} = (\frac{1}{2})^{1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2^2}}{2} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$.
Оба корня являются положительными числами, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $x_1 = 4$, $x_2 = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}$.

17.24. a) $\lg^2 x - \lg x + 1 = \frac{9}{\lg(10x)}$;

б) $\log_3^2 x + 3 \log_3 x + 9 = \frac{37}{\log_3 \left(\frac{x}{27}\right)}$;

в) $\lg^2 x - 2 \lg x + 4 = \frac{9}{\lg(100x)}$;

г) $\log_2^2 x + 7 \log_2 x + 49 = \frac{-218}{\log_2 \left(\frac{x}{128}\right)}$.

а)

Исходное уравнение: $\lg^2 x - \lg x + 1 = \frac{9}{\lg 10x}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $\lg 10x \neq 0$.
$\lg 10x \neq 0 \implies 10x \neq 1 \implies x \neq 0.1$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0, 0.1) \cup (0.1, +\infty)$.

Преобразуем знаменатель правой части, используя свойство логарифма произведения: $\lg 10x = \lg 10 + \lg x = 1 + \lg x$.
Уравнение принимает вид: $\lg^2 x - \lg x + 1 = \frac{9}{1 + \lg x}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение перепишется как:
$t^2 - t + 1 = \frac{9}{1 + t}$, при этом $t \neq -1$.

Умножим обе части на $(1+t)$:
$(t^2 - t + 1)(t + 1) = 9$.
В левой части находится формула суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=t$ и $b=1$.
$t^3 + 1^3 = 9$
$t^3 + 1 = 9$
$t^3 = 8$
$t = 2$.

Вернемся к исходной переменной:
$\lg x = 2$
$x = 10^2$
$x = 100$.

Корень $x=100$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $100$.

б)

Исходное уравнение: $\log_3^2 x + 3\log_3 x + 9 = \frac{37}{\log_3 \frac{x}{27}}$.
ОДЗ: $x > 0$ и $\log_3 \frac{x}{27} \neq 0$.
$\log_3 \frac{x}{27} \neq 0 \implies \frac{x}{27} \neq 1 \implies x \neq 27$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0, 27) \cup (27, +\infty)$.

Преобразуем знаменатель правой части, используя свойство логарифма частного: $\log_3 \frac{x}{27} = \log_3 x - \log_3 27 = \log_3 x - 3$.
Уравнение принимает вид: $\log_3^2 x + 3\log_3 x + 9 = \frac{37}{\log_3 x - 3}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_3 x$. Тогда уравнение перепишется как:
$t^2 + 3t + 9 = \frac{37}{t - 3}$, при этом $t \neq 3$.

Умножим обе части на $(t-3)$:
$(t^2 + 3t + 9)(t - 3) = 37$.
В левой части находится формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=t$ и $b=3$.
$t^3 - 3^3 = 37$
$t^3 - 27 = 37$
$t^3 = 64$
$t = 4$.

Вернемся к исходной переменной:
$\log_3 x = 4$
$x = 3^4$
$x = 81$.

Корень $x=81$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $81$.

в)

Исходное уравнение: $\lg^2 x - 2\lg x + 4 = \frac{9}{\lg 100x}$.
ОДЗ: $x > 0$ и $\lg 100x \neq 0$.
$\lg 100x \neq 0 \implies 100x \neq 1 \implies x \neq 0.01$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0, 0.01) \cup (0.01, +\infty)$.

Преобразуем знаменатель правой части: $\lg 100x = \lg 100 + \lg x = 2 + \lg x$.
Уравнение принимает вид: $\lg^2 x - 2\lg x + 4 = \frac{9}{2 + \lg x}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение перепишется как:
$t^2 - 2t + 4 = \frac{9}{t + 2}$, при этом $t \neq -2$.

Умножим обе части на $(t+2)$:
$(t^2 - 2t + 4)(t + 2) = 9$.
В левой части находится формула суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a=t$ и $b=2$.
$t^3 + 2^3 = 9$
$t^3 + 8 = 9$
$t^3 = 1$
$t = 1$.

Вернемся к исходной переменной:
$\lg x = 1$
$x = 10^1$
$x = 10$.

Корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $10$.

г)

Исходное уравнение: $\log_2^2 x + 7\log_2 x + 49 = \frac{-218}{\log_2 \frac{x}{128}}$.
ОДЗ: $x > 0$ и $\log_2 \frac{x}{128} \neq 0$.
$\log_2 \frac{x}{128} \neq 0 \implies \frac{x}{128} \neq 1 \implies x \neq 128$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0, 128) \cup (128, +\infty)$.

Преобразуем знаменатель правой части: $\log_2 \frac{x}{128} = \log_2 x - \log_2 128 = \log_2 x - 7$.
Уравнение принимает вид: $\log_2^2 x + 7\log_2 x + 49 = \frac{-218}{\log_2 x - 7}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2 x$. Тогда уравнение перепишется как:
$t^2 + 7t + 49 = \frac{-218}{t - 7}$, при этом $t \neq 7$.

Умножим обе части на $(t-7)$:
$(t^2 + 7t + 49)(t - 7) = -218$.
В левой части находится формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$, где $a=t$ и $b=7$.
$t^3 - 7^3 = -218$
$t^3 - 343 = -218$
$t^3 = 343 - 218$
$t^3 = 125$
$t = 5$.

Вернемся к исходной переменной:
$\log_2 x = 5$
$x = 2^5$
$x = 32$.

Корень $x=32$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $32$.