Страница 109, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

17.33. a) $x^{\log_3 x} = 81;$

б) $x^{\log_{0.5} x} = \frac{1}{16};$

В) $x^{\log_2 x} = 16;$

Г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x} = \frac{1}{81}.$

а) Дано уравнение $x^{\log_3 x} = 81$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования логарифма: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
$\log_3(x^{\log_3 x}) = \log_3(81)$
Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a b$, получим:
$(\log_3 x) \cdot (\log_3 x) = \log_3(81)$
$(\log_3 x)^2 = \log_3(3^4)$
$(\log_3 x)^2 = 4$
Из этого следует, что $\log_3 x$ может быть равен 2 или -2.
1. $\log_3 x = 2 \implies x = 3^2 = 9$.
2. $\log_3 x = -2 \implies x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$.
Оба корня $x=9$ и $x=\frac{1}{9}$ положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $9; \frac{1}{9}$.

б) Дано уравнение $x^{\log_{0,5} x} = \frac{1}{16}$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 0,5:
$\log_{0,5}(x^{\log_{0,5} x}) = \log_{0,5}(\frac{1}{16})$
$(\log_{0,5} x) \cdot (\log_{0,5} x) = \log_{0,5}(\frac{1}{16})$
$(\log_{0,5} x)^2 = \log_{0,5}((\frac{1}{2})^4) = \log_{0,5}(0,5^4)$
$(\log_{0,5} x)^2 = 4$
Отсюда $\log_{0,5} x = 2$ или $\log_{0,5} x = -2$.
1. $\log_{0,5} x = 2 \implies x = (0,5)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
2. $\log_{0,5} x = -2 \implies x = (0,5)^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$.
Оба корня $x=\frac{1}{4}$ и $x=4$ положительны и удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $4; \frac{1}{4}$.

в) Дано уравнение $x^{\log_2 x} = 16$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
$\log_2(x^{\log_2 x}) = \log_2(16)$
$(\log_2 x) \cdot (\log_2 x) = \log_2(16)$
$(\log_2 x)^2 = \log_2(2^4)$
$(\log_2 x)^2 = 4$
Отсюда $\log_2 x = 2$ или $\log_2 x = -2$.
1. $\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$.
2. $\log_2 x = -2 \implies x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.
Оба корня $x=4$ и $x=\frac{1}{4}$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $4; \frac{1}{4}$.

г) Дано уравнение $x^{\log_{1/3} x} = \frac{1}{81}$.
ОДЗ: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $\frac{1}{3}$:
$\log_{1/3}(x^{\log_{1/3} x}) = \log_{1/3}(\frac{1}{81})$
$(\log_{1/3} x) \cdot (\log_{1/3} x) = \log_{1/3}(\frac{1}{81})$
$(\log_{1/3} x)^2 = \log_{1/3}((\frac{1}{3})^4)$
$(\log_{1/3} x)^2 = 4$
Отсюда $\log_{1/3} x = 2$ или $\log_{1/3} x = -2$.
1. $\log_{1/3} x = 2 \implies x = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
2. $\log_{1/3} x = -2 \implies x = (\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$.
Оба корня $x=\frac{1}{9}$ и $x=9$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $9; \frac{1}{9}$.

О17.34.

a) $x^{\lg x - 2} = 1000;$

Б) $x^{\log_{0,5} x - 2} = 0,125;$

В) $x^{5 + \log_2 x} = \frac{1}{16};$

Г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x - 4} = 27.$

a) $x^{\lg x - 2} = 1000$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x > 0$.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 (десятичный логарифм, обозначается как $\lg$). Это целесообразно, так как в показателе степени содержится логарифм по основанию 10.
$\lg(x^{\lg x - 2}) = \lg(1000)$
Воспользуемся свойством логарифма степени $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$:
$(\lg x - 2) \cdot \lg x = \lg(10^3)$
Так как $\lg(10^3) = 3$, получаем:
$(\lg x - 2) \cdot \lg x = 3$
Введем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$(t - 2)t = 3$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену:
1) Если $\lg x = 3$, то $x = 10^3 = 1000$.
2) Если $\lg x = -1$, то $x = 10^{-1} = 0,1$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).
Ответ: 1000; 0,1.

б) $x^{\log_{0,5} x - 2} = 0,125$

ОДЗ: $x > 0$.
Представим число 0,125 в виде степени с основанием 0,5: $0,125 = \frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3 = 0,5^3$.
Уравнение принимает вид:
$x^{\log_{0,5} x - 2} = 0,5^3$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 0,5:
$\log_{0,5}(x^{\log_{0,5} x - 2}) = \log_{0,5}(0,5^3)$
Применяя свойство логарифма степени, получаем:
$(\log_{0,5} x - 2) \cdot \log_{0,5} x = 3$
Введем замену. Пусть $t = \log_{0,5} x$.
$(t - 2)t = 3$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
Корни этого квадратного уравнения, как и в предыдущем пункте, $t_1 = 3$ и $t_2 = -1$.
Выполним обратную замену:
1) Если $\log_{0,5} x = 3$, то $x = 0,5^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} = 0,125$.
2) Если $\log_{0,5} x = -1$, то $x = 0,5^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: 0,125; 2.

в) $x^{5 + \log_2 x} = \frac{1}{16}$

ОДЗ: $x > 0$.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2: $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
Уравнение принимает вид:
$x^{5 + \log_2 x} = 2^{-4}$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
$\log_2(x^{5 + \log_2 x}) = \log_2(2^{-4})$
$(5 + \log_2 x) \cdot \log_2 x = -4$
Введем замену. Пусть $t = \log_2 x$.
$(5 + t)t = -4$
$t^2 + 5t + 4 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -5$ и $t_1 \cdot t_2 = 4$. Корни: $t_1 = -1$ и $t_2 = -4$.
Выполним обратную замену:
1) Если $\log_2 x = -1$, то $x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
2) Если $\log_2 x = -4$, то $x = 2^{-4} = \frac{1}{16}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{2}$; $\frac{1}{16}$.

г) $x^{\log_{\frac{1}{3}} x - 4} = 27$

ОДЗ: $x > 0$.
Представим число 27 в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $27 = 3^3 = (\frac{1}{3})^{-3}$.
Уравнение принимает вид:
$x^{\log_{\frac{1}{3}} x - 4} = (\frac{1}{3})^{-3}$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $\frac{1}{3}$:
$\log_{\frac{1}{3}}(x^{\log_{\frac{1}{3}} x - 4}) = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-3})$
$(\log_{\frac{1}{3}} x - 4) \cdot \log_{\frac{1}{3}} x = -3$
Введем замену. Пусть $t = \log_{\frac{1}{3}} x$.
$(t - 4)t = -3$
$t^2 - 4t + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = 4$ и $t_1 \cdot t_2 = 3$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.
Выполним обратную замену:
1) Если $\log_{\frac{1}{3}} x = 1$, то $x = (\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$.
2) Если $\log_{\frac{1}{3}} x = 3$, то $x = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{27}$.

17.35. a) $10x^{\lg x} + x^{-\lg x} = 11;$

б) $x^{\log_2 x} + 32x^{-\log_2 x} = 3^2 + \log_3 2.$

а) $10x^{\lg x} + x^{-\lg x} = 11$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент десятичного логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

2. Преобразуем уравнение. Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, чтобы переписать член $x^{-\lg x}$ как $\frac{1}{x^{\lg x}}$.
Введем замену переменной. Пусть $y = x^{\lg x}$. Так как $x > 0$, то и $y > 0$.

После замены исходное уравнение принимает вид:
$10y + \frac{1}{y} = 11$

3. Решим полученное уравнение относительно $y$. Умножим обе части уравнения на $y$ (это возможно, так как $y \neq 0$):
$10y^2 + 1 = 11y$
$10y^2 - 11y + 1 = 0$

Это стандартное квадратное уравнение. Найдем его корни, например, через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 1 = 121 - 40 = 81 = 9^2$
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - 9}{2 \cdot 10} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + 9}{2 \cdot 10} = \frac{20}{20} = 1$

4. Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $y$.

Случай 1: $y = 1$.
$x^{\lg x} = 1$
Прологарифмируем обе части этого уравнения по основанию 10:
$\lg(x^{\lg x}) = \lg(1)$
Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)$, получаем:
$(\lg x) \cdot (\lg x) = 0$
$(\lg x)^2 = 0$
$\lg x = 0$
$x = 10^0 = 1$

Случай 2: $y = \frac{1}{10}$.
$x^{\lg x} = \frac{1}{10}$
Снова логарифмируем обе части по основанию 10:
$\lg(x^{\lg x}) = \lg(\frac{1}{10})$
$(\lg x)^2 = \lg(10^{-1})$
$(\lg x)^2 = -1$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

5. Таким образом, единственным решением является $x=1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $1$.

б) $x^{\log_2 x} + 32x^{-\log_2 x} = 3^{2+\log_3 2}$

1. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$, так как $x$ является аргументом логарифма.

2. Сначала упростим правую часть уравнения, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$:
$3^{2+\log_3 2} = 3^2 \cdot 3^{\log_3 2} = 9 \cdot 2 = 18$

3. Теперь уравнение выглядит так:
$x^{\log_2 x} + 32x^{-\log_2 x} = 18$
Введем замену переменной. Пусть $y = x^{\log_2 x}$. Тогда $x^{-\log_2 x} = \frac{1}{x^{\log_2 x}} = \frac{1}{y}$. Условие $x>0$ гарантирует, что $y>0$.
Подставляем в уравнение:
$y + \frac{32}{y} = 18$

4. Решим это уравнение. Умножим обе части на $y \neq 0$:
$y^2 + 32 = 18y$
$y^2 - 18y + 32 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета. Ищем два числа, сумма которых равна 18, а произведение 32. Это числа 2 и 16.
$y_1 = 2$, $y_2 = 16$.

5. Выполним обратную замену для каждого значения $y$.

Случай 1: $y = 2$.
$x^{\log_2 x} = 2$
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
$\log_2(x^{\log_2 x}) = \log_2(2)$
$(\log_2 x) \cdot (\log_2 x) = 1$
$(\log_2 x)^2 = 1$
Это уравнение распадается на два:
$\log_2 x = 1 \implies x = 2^1 = 2$
$\log_2 x = -1 \implies x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Случай 2: $y = 16$.
$x^{\log_2 x} = 16$
Прологарифмируем обе части по основанию 2:
$\log_2(x^{\log_2 x}) = \log_2(16)$
$(\log_2 x)^2 = \log_2(2^4)$
$(\log_2 x)^2 = 4$
Это уравнение также распадается на два:
$\log_2 x = 2 \implies x = 2^2 = 4$
$\log_2 x = -2 \implies x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

6. Мы получили четыре корня: $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 2, 4$. Все они положительные, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 2, 4$.

17.36. a) $6^{\log_6^2 x} + x^{\log_6 x} = 12;$

б) $10^{\lg^2 x} + 9x^{\lg x} = 1000.$

a) $6^{\log_6^2 x} + x^{\log_6 x} = 12$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, следовательно, $x > 0$.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством в виде $a = b^{\log_b a}$. Применим его к основанию $x$ во втором слагаемом, представив $x$ как $6^{\log_6 x}$.

Тогда второе слагаемое $x^{\log_6 x}$ можно преобразовать следующим образом:
$x^{\log_6 x} = (6^{\log_6 x})^{\log_6 x} = 6^{(\log_6 x) \cdot (\log_6 x)} = 6^{(\log_6 x)^2} = 6^{\log_6^2 x}$.

Как видим, оба слагаемых в левой части уравнения одинаковы. Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$6^{\log_6^2 x} + 6^{\log_6^2 x} = 12$
$2 \cdot 6^{\log_6^2 x} = 12$

Разделим обе части на 2:
$6^{\log_6^2 x} = 6$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$\log_6^2 x = 1$

Это уравнение распадается на два:
1) $\log_6 x = 1 \implies x_1 = 6^1 = 6$.
2) $\log_6 x = -1 \implies x_2 = 6^{-1} = \frac{1}{6}$.

Оба корня ($6$ и $\frac{1}{6}$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $6; \frac{1}{6}$.

б) $10^{\lg^2 x} + 9x^{\lg x} = 1000$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x > 0$, так как $x$ является аргументом десятичного логарифма ($\lg x = \log_{10} x$).

Используем свойство $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$. В нашем случае это можно записать как $x^{\lg x} = x^{\log_{10} x}$. Для преобразования этого выражения воспользуемся тождеством $x = 10^{\log_{10} x} = 10^{\lg x}$.

Тогда $x^{\lg x} = (10^{\lg x})^{\lg x} = 10^{(\lg x) \cdot (\lg x)} = 10^{(\lg x)^2} = 10^{\lg^2 x}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$10^{\lg^2 x} + 9 \cdot 10^{\lg^2 x} = 1000$

Сложим подобные слагаемые в левой части:
$10 \cdot 10^{\lg^2 x} = 1000$

Разделим обе части на 10:
$10^{\lg^2 x} = 100$

Представим 100 как степень 10:
$10^{\lg^2 x} = 10^2$

Приравняем показатели степеней:
$\lg^2 x = 2$

Отсюда получаем два возможных значения для $\lg x$:
1) $\lg x = \sqrt{2} \implies x_1 = 10^{\sqrt{2}}$.
2) $\lg x = -\sqrt{2} \implies x_2 = 10^{-\sqrt{2}}$.

Оба корня ($10^{\sqrt{2}}$ и $10^{-\sqrt{2}}$) являются положительными числами и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10^{\sqrt{2}}; 10^{-\sqrt{2}}$.

17.37. a) $\log_5 (6 - 5^x) = 1 - x;$

б) $\log_3 (4 \cdot 3^x - 1) = 2x - 1.$

а) $ \log_{5}(6 - 5^x) = 1 - x $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$ 6 - 5^x > 0 $

$ 6 > 5^x $

Логарифмируя обе части по основанию 5, получаем:

$ \log_5{6} > \log_5{5^x} $

$ x < \log_5{6} $

Теперь решим само уравнение. Используем определение логарифма: $ \log_a{b} = c \Leftrightarrow b = a^c $.

$ 6 - 5^x = 5^{1-x} $

Используя свойство степеней $ a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} $, преобразуем правую часть:

$ 6 - 5^x = \frac{5^1}{5^x} $

Введем замену переменной. Пусть $ t = 5^x $. Поскольку $ 5^x > 0 $ для любого $ x $, то $ t > 0 $.

$ 6 - t = \frac{5}{t} $

Умножим обе части уравнения на $ t $ (это возможно, так как $ t \neq 0 $):

$ t(6 - t) = 5 $

$ 6t - t^2 = 5 $

$ t^2 - 6t + 5 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни:

$ t_1 = 1 $, $ t_2 = 5 $.

Оба корня удовлетворяют условию $ t > 0 $. Вернемся к исходной переменной $ x $.

1) Если $ t = 1 $, то $ 5^x = 1 $, откуда $ x_1 = 0 $.

2) Если $ t = 5 $, то $ 5^x = 5 $, откуда $ x_2 = 1 $.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ $ x < \log_5{6} $.

Для $ x_1 = 0 $: $ 0 < \log_5{6} $. Это верно, так как $ \log_5{6} > \log_5{5} = 1 $.

Для $ x_2 = 1 $: $ 1 < \log_5{6} $. Это верно, так как $ 5^1 < 6 $.

Оба корня подходят.

Ответ: $ 0; 1 $.

б) $ \log_3(4 \cdot 3^{x-1} - 1) = 2x - 1 $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ 4 \cdot 3^{x-1} - 1 > 0 $

$ 4 \cdot \frac{3^x}{3} > 1 $

$ \frac{4}{3} \cdot 3^x > 1 $

$ 3^x > \frac{3}{4} $

Логарифмируя по основанию 3, получаем:

$ x > \log_3{\frac{3}{4}} $.

Решим уравнение, используя определение логарифма:

$ 4 \cdot 3^{x-1} - 1 = 3^{2x-1} $

Преобразуем степени:

$ 4 \cdot \frac{3^x}{3} - 1 = \frac{3^{2x}}{3} $

$ \frac{4}{3} \cdot 3^x - 1 = \frac{(3^x)^2}{3} $

Введем замену переменной. Пусть $ t = 3^x $, где $ t > 0 $.

$ \frac{4}{3}t - 1 = \frac{t^2}{3} $

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателей:

$ 4t - 3 = t^2 $

$ t^2 - 4t + 3 = 0 $

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни:

$ t_1 = 1 $, $ t_2 = 3 $.

Оба корня удовлетворяют условию $ t > 0 $. Выполним обратную замену.

1) Если $ t = 1 $, то $ 3^x = 1 $, откуда $ x_1 = 0 $.

2) Если $ t = 3 $, то $ 3^x = 3 $, откуда $ x_2 = 1 $.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ $ x > \log_3{\frac{3}{4}} $. Так как основание логарифма $ 3 > 1 $, а аргумент $ \frac{3}{4} < 1 $, то $ \log_3{\frac{3}{4}} < 0 $.

Для $ x_1 = 0 $: $ 0 > \log_3{\frac{3}{4}} $. Это верно, так как 0 больше любого отрицательного числа.

Для $ x_2 = 1 $: $ 1 > \log_3{\frac{3}{4}} $. Это также верно.

Оба корня являются решениями уравнения.

Ответ: $ 0; 1 $.

17.38. a) $\log_9(3^x + 2x - 20) = x - x \log_9 3;$

б) $0.4^{(\lg x)^2 - 1} = 6.25^{-2 - \lg x^2}.$

а) $\log_{9}(3^x + 2x - 20) = x - x \log_{9} 3$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$3^x + 2x - 20 > 0$

Преобразуем правую часть уравнения. Существует несколько способов. Рассмотрим один из них. Используем свойство логарифма $a = \log_{b} b^a$ и $c \log_{b} a = \log_{b} a^c$.

$x = \log_{9} 9^x$

$x \log_{9} 3 = \log_{9} 3^x$

Тогда правая часть уравнения примет вид:

$\log_{9} 9^x - \log_{9} 3^x = \log_{9}\left(\frac{9^x}{3^x}\right) = \log_{9}\left(\left(\frac{9}{3}\right)^x\right) = \log_{9} 3^x$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$\log_{9}(3^x + 2x - 20) = \log_{9} 3^x$

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:

$3^x + 2x - 20 = 3^x$

Вычтем $3^x$ из обеих частей уравнения:

$2x - 20 = 0$

$2x = 20$

$x = 10$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ:

$3^{10} + 2(10) - 20 = 3^{10} + 20 - 20 = 3^{10}$

Так как $3^{10} > 0$, корень $x=10$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $10$.

б) $0,4^{\lg^2 x - 1} = 6,25^{-2 - \lg x^2}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы десятичных логарифмов ($\lg$) должны быть положительными:

$x > 0$ и $x^2 > 0$. Второе условие означает $x \neq 0$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что:

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$6,25 = \frac{625}{100} = \frac{25}{4} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^{-2}$

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\lg^2 x - 1} = \left(\left(\frac{2}{5}\right)^{-2}\right)^{-2 - \lg x^2}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим правую часть:

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\lg^2 x - 1} = \left(\frac{2}{5}\right)^{-2(-2 - \lg x^2)}$

$\left(\frac{2}{5}\right)^{\lg^2 x - 1} = \left(\frac{2}{5}\right)^{4 + 2\lg x^2}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\lg^2 x - 1 = 4 + 2\lg x^2$

Используем свойство логарифма $\lg x^2 = 2\lg x$. Это преобразование корректно, так как по ОДЗ $x>0$.

$\lg^2 x - 1 = 4 + 2(2\lg x)$

$\lg^2 x - 1 = 4 + 4\lg x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\lg x$:

$\lg^2 x - 4\lg x - 5 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 4t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 4$

$t_1 \cdot t_2 = -5$

Подбором находим корни: $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Вернемся к исходной переменной:

1) $\lg x = 5 \Rightarrow x = 10^5 = 100000$.

2) $\lg x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0,1$.

Оба корня, $100000$ и $0,1$, положительны, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0,1; 100000$.

17.39. a) $x^2 \log_{36} (5x^2 - 2x - 3) - x \log_{\frac{1}{6}} \sqrt{5x^2 - 2x - 3} = x^2 + x;$

б) $x^2 \log_2 \frac{3+x}{10} - x^2 \log_{\frac{1}{2}}(2+3x) = x^2 - 4 + 2\log_{\sqrt{2}} \frac{3x^2 + 11x + 6}{10}.$

Исходное уравнение: $x^2 \log_{36}(5x^2 - 2x - 3) - x \log_{\frac{1}{6}} \sqrt{5x^2 - 2x - 3} = x^2 + x$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$5x^2 - 2x - 3 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $5x^2 - 2x - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

Корни: $x_1 = \frac{2 - 8}{10} = -0.6$ и $x_2 = \frac{2 + 8}{10} = 1$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется для $x \in (-\infty; -0.6) \cup (1; \infty)$. Это и есть ОДЗ.

2. Преобразуем уравнение, используя свойства логарифмов:

$\log_{36} a = \log_{6^2} a = \frac{1}{2}\log_6 a$

$\log_{\frac{1}{6}} a = \log_{6^{-1}} a = -\log_6 a$

$\log_b a^p = p\log_b a$

Применим эти свойства к нашему уравнению:

$x^2 \cdot \frac{1}{2} \log_6(5x^2 - 2x - 3) - x \cdot (-\log_6(5x^2 - 2x - 3)^{\frac{1}{2}}) = x^2 + x$

$\frac{x^2}{2} \log_6(5x^2 - 2x - 3) + x \cdot \frac{1}{2} \log_6(5x^2 - 2x - 3) = x^2 + x$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\log_6(5x^2-2x-3)$ в левой части:

$\frac{1}{2}(x^2+x)\log_6(5x^2-2x-3) = x^2+x$

3. Перенесем все члены в одну сторону и решим уравнение:

$(x^2+x)\left(\frac{1}{2}\log_6(5x^2-2x-3) - 1\right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $x^2 + x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$. Отсюда $x=0$ или $x=-1$.

Проверяем по ОДЗ: $x=0$ не входит в ОДЗ. $x=-1$ входит в ОДЗ, так как $-1 < -0.6$. Значит, $x=-1$ — корень уравнения.

Случай 2: $\frac{1}{2}\log_6(5x^2-2x-3) - 1 = 0 \Rightarrow \log_6(5x^2-2x-3) = 2$.

По определению логарифма: $5x^2-2x-3 = 6^2 = 36$.

$5x^2-2x-39 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-39) = 4 + 780 = 784 = 28^2$.

Корни: $x_3 = \frac{2 - 28}{10} = -2.6$ и $x_4 = \frac{2 + 28}{10} = 3$.

Проверяем по ОДЗ: $x=-2.6$ входит в ОДЗ, так как $-2.6 < -0.6$. $x=3$ входит в ОДЗ, так как $3 > 1$. Оба значения являются корнями.

Ответ: $-2.6; -1; 3$.

Исходное уравнение: $x^2 \log_2 \frac{3+x}{10} - x^2 \log_{\frac{1}{2}}(2+3x) = x^2 - 4 + 2 \log_{\sqrt{2}} \frac{3x^2+11x+6}{10}$.

1. Найдем ОДЗ. Все аргументы логарифмов должны быть положительными:

1) $\frac{3+x}{10} > 0 \Rightarrow x > -3$.

2) $2+3x > 0 \Rightarrow x > -\frac{2}{3}$.

3) $\frac{3x^2+11x+6}{10} > 0 \Rightarrow 3x^2+11x+6 > 0$. Корни трехчлена $3x^2+11x+6=0$ равны $x=-3$ и $x=-\frac{2}{3}$. Неравенство верно при $x \in (-\infty; -3) \cup (-\frac{2}{3}; \infty)$.

Пересечение всех трех условий дает ОДЗ: $x > -\frac{2}{3}$.

2. Преобразуем уравнение. Заметим, что $3x^2+11x+6 = (x+3)(3x+2)$. Используем свойства логарифмов:

$\log_{\frac{1}{2}}a = -\log_2 a$

$\log_{\sqrt{2}}a = \log_{2^{\frac{1}{2}}}a = 2\log_2 a$

Подставим в уравнение:

$x^2 \log_2 \frac{x+3}{10} + x^2 \log_2(3x+2) = x^2 - 4 + 2 \cdot 2 \log_2 \frac{(x+3)(3x+2)}{10}$

Сгруппируем логарифмы в левой части:

$x^2 \left(\log_2 \frac{x+3}{10} + \log_2(3x+2)\right) = x^2 - 4 + 4 \log_2 \frac{(x+3)(3x+2)}{10}$

$x^2 \log_2 \left(\frac{x+3}{10} \cdot (3x+2)\right) = x^2 - 4 + 4 \log_2 \frac{(x+3)(3x+2)}{10}$

$x^2 \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10} = x^2 - 4 + 4 \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10}$

3. Введем замену. Пусть $A = \log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10}$. Уравнение примет вид:

$x^2 A = x^2 - 4 + 4A$

$x^2 A - 4A = x^2 - 4$

$A(x^2 - 4) = x^2 - 4$

$(x^2-4)(A-1) = 0$

4. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Случай 1: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4$. Отсюда $x=2$ или $x=-2$.

Проверяем по ОДЗ ($x > -2/3$): $x=2$ подходит, $x=-2$ не подходит.

Случай 2: $A - 1 = 0 \Rightarrow A = 1$.

Возвращаемся к замене: $\log_2 \frac{3x^2+11x+6}{10} = 1$.

По определению логарифма: $\frac{3x^2+11x+6}{10} = 2^1 = 2$.

$3x^2+11x+6 = 20 \Rightarrow 3x^2+11x-14=0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.

Корни: $x = \frac{-11 - 17}{6} = -\frac{28}{6} = -\frac{14}{3}$ и $x = \frac{-11 + 17}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Проверяем по ОДЗ ($x > -2/3$): $x=1$ подходит, $x=-14/3$ не подходит.

Таким образом, у уравнения два корня.

Ответ: $1; 2$.

Решите систему уравнений:

17.40. a) $\begin{cases} \log_2 (x^2 + 3x - 2) - \log_2 y = 1, \\ 3x - y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x + y = 7, \\ \log_3 (x^2 + 4x - 3) - \log_3 y = 1. \end{cases}$

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \log_2(x^2 + 3x - 2) - \log_2 y = 1, \\ 3x - y = 2; \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $ \begin{cases} x^2 + 3x - 2 > 0, \\ y > 0. \end{cases} $

Из второго уравнения системы выразим y через x: $y = 3x - 2$.

Подставим это выражение в неравенство $y > 0$: $3x - 2 > 0 \implies 3x > 2 \implies x > \frac{2}{3}$.

Теперь подставим выражение для y в первое уравнение системы: $\log_2(x^2 + 3x - 2) - \log_2(3x - 2) = 1$.

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(\frac{b}{c})$: $\log_2\left(\frac{x^2 + 3x - 2}{3x - 2}\right) = 1$.

По определению логарифма: $\frac{x^2 + 3x - 2}{3x - 2} = 2^1 = 2$.

Решим полученное уравнение: $x^2 + 3x - 2 = 2(3x - 2)$
$x^2 + 3x - 2 = 6x - 4$
$x^2 - 3x + 2 = 0$.

Это квадратное уравнение. Его корни по теореме Виета: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.

1. Для $x_1 = 1$:
Проверяем условие $x > \frac{2}{3}$: $1 > \frac{2}{3}$ (верно).
Проверяем условие $x^2 + 3x - 2 > 0$: $1^2 + 3(1) - 2 = 1 + 3 - 2 = 2 > 0$ (верно).
Корень $x_1 = 1$ подходит. Найдем соответствующее значение y: $y_1 = 3x_1 - 2 = 3(1) - 2 = 1$.
Таким образом, первое решение системы: $(1, 1)$.

2. Для $x_2 = 2$:
Проверяем условие $x > \frac{2}{3}$: $2 > \frac{2}{3}$ (верно).
Проверяем условие $x^2 + 3x - 2 > 0$: $2^2 + 3(2) - 2 = 4 + 6 - 2 = 8 > 0$ (верно).
Корень $x_2 = 2$ подходит. Найдем соответствующее значение y: $y_2 = 3x_2 - 2 = 3(2) - 2 = 4$.
Таким образом, второе решение системы: $(2, 4)$.

Ответ: $(1, 1), (2, 4)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 7, \\ \log_3(x^2 + 4x - 3) - \log_3 y = 1. \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ): $ \begin{cases} x^2 + 4x - 3 > 0, \\ y > 0. \end{cases} $

Из первого уравнения системы выразим y через x: $y = 7 - 2x$.

Подставим это выражение в неравенство $y > 0$: $7 - 2x > 0 \implies 7 > 2x \implies x < \frac{7}{2}$.

Теперь подставим выражение для y во второе уравнение системы: $\log_3(x^2 + 4x - 3) - \log_3(7 - 2x) = 1$.

Используем свойство разности логарифмов: $\log_3\left(\frac{x^2 + 4x - 3}{7 - 2x}\right) = 1$.

По определению логарифма: $\frac{x^2 + 4x - 3}{7 - 2x} = 3^1 = 3$.

Решим полученное уравнение: $x^2 + 4x - 3 = 3(7 - 2x)$
$x^2 + 4x - 3 = 21 - 6x$
$x^2 + 10x - 24 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(-24) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm 14}{2}$.
$x_1 = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-10 - 14}{2} = \frac{-24}{2} = -12$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ.

1. Для $x_1 = 2$:
Проверяем условие $x < \frac{7}{2}$: $2 < 3.5$ (верно).
Проверяем условие $x^2 + 4x - 3 > 0$: $2^2 + 4(2) - 3 = 4 + 8 - 3 = 9 > 0$ (верно).
Корень $x_1 = 2$ подходит. Найдем соответствующее значение y: $y_1 = 7 - 2x_1 = 7 - 2(2) = 3$.
Таким образом, первое решение системы: $(2, 3)$.

2. Для $x_2 = -12$:
Проверяем условие $x < \frac{7}{2}$: $-12 < 3.5$ (верно).
Проверяем условие $x^2 + 4x - 3 > 0$: $(-12)^2 + 4(-12) - 3 = 144 - 48 - 3 = 93 > 0$ (верно).
Корень $x_2 = -12$ подходит. Найдем соответствующее значение y: $y_2 = 7 - 2x_2 = 7 - 2(-12) = 7 + 24 = 31$.
Таким образом, второе решение системы: $(-12, 31)$.

Ответ: $(2, 3), (-12, 31)$.

17.41. a) $\log_5(x + y) = 1,$

$\log_6 x + \log_6 y = 1;$

б) $\log_{0,5}(x + 2y) = \log_{0,5}(3x + y),$

$\log_7(x^2 - y) = \log_7 x;$

в) $\log_9(x - y) = \frac{1}{2},$

$\log_{64} x - \log_{64} y = \frac{1}{3};$

г) $\log_{\frac{1}{3}}(3x - y) = \log_{\frac{1}{3}}(x + 4),$

$\log_9(x^2 + x - y) = \log_9 x^2;$

a) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_5(x+y) = 1, \\ \log_6 x + \log_6 y = 1; \end{cases} $$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$x+y > 0$

$x > 0$

$y > 0$

Условия $x > 0$ и $y > 0$ автоматически обеспечивают выполнение условия $x+y > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение системы, используя определение логарифма:

$\log_5(x+y) = 1 \implies x+y = 5^1 \implies x+y = 5$

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$:

$\log_6 x + \log_6 y = 1 \implies \log_6(xy) = 1 \implies xy = 6^1 \implies xy = 6$

Получили систему алгебраических уравнений:

$$ \begin{cases} x+y = 5, \\ xy = 6. \end{cases} $$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 5-x$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$x(5-x) = 6$

$5x - x^2 = 6$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1=2$ и $x_2=3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1=2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.

Если $x_2=3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$.

Получили две пары решений: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Проверим, удовлетворяют ли эти решения ОДЗ ($x > 0, y > 0$).

Для пары $(2, 3)$: $2 > 0$ и $3 > 0$. Решение подходит.

Для пары $(3, 2)$: $3 > 0$ и $2 > 0$. Решение подходит.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_{0.5}(x+2y) = \log_{0.5}(3x+y), \\ \log_7(x^2-y) = \log_7 x; \end{cases} $$

ОДЗ определяется условиями:

$x+2y > 0$

$3x+y > 0$

$x^2-y > 0$

$x > 0$

Поскольку основания логарифмов в каждом уравнении равны, мы можем приравнять их аргументы.

Из первого уравнения:

$x+2y = 3x+y \implies y = 2x$

Из второго уравнения:

$x^2-y = x$

Получили систему:

$$ \begin{cases} y = 2x, \\ x^2-y = x. \end{cases} $$

Подставим $y=2x$ во второе уравнение:

$x^2 - 2x = x$

$x^2 - 3x = 0$

$x(x-3) = 0$

Отсюда $x_1=0$ или $x_2=3$.

Проверим решения по ОДЗ. Условие $x > 0$ исключает корень $x_1=0$.

Остается $x=3$. Найдем соответствующий $y$:

$y = 2x = 2 \cdot 3 = 6$.

Проверим пару $(3, 6)$ на соответствие всем условиям ОДЗ:

$x > 0 \implies 3 > 0$ (верно).

$x+2y > 0 \implies 3 + 2(6) = 15 > 0$ (верно).

$3x+y > 0 \implies 3(3) + 6 = 15 > 0$ (верно).

$x^2-y > 0 \implies 3^2 - 6 = 9 - 6 = 3 > 0$ (верно).

Решение подходит.

Ответ: $(3, 6)$.

в) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_9(x-y) = \frac{1}{2}, \\ \log_{64}x - \log_{64}y = \frac{1}{3}; \end{cases} $$

ОДЗ:

$x-y > 0 \implies x > y$

$x > 0$

$y > 0$

Объединенное ОДЗ: $x > y > 0$.

Преобразуем первое уравнение:

$\log_9(x-y) = \frac{1}{2} \implies x-y = 9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$

Преобразуем второе уравнение, используя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$\log_{64}\left(\frac{x}{y}\right) = \frac{1}{3} \implies \frac{x}{y} = 64^{1/3} = \sqrt[3]{64} = 4 \implies x=4y$

Получили систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x-y = 3, \\ x = 4y. \end{cases} $$

Подставим $x=4y$ в первое уравнение:

$4y - y = 3$

$3y = 3 \implies y = 1$

Теперь найдем $x$:

$x = 4y = 4 \cdot 1 = 4$

Получили решение $(4, 1)$.

Проверим его на соответствие ОДЗ ($x > y > 0$):

$4 > 1 > 0$. Условие выполняется.

Ответ: $(4, 1)$.

г) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_{\frac{1}{3}}(3x-y) = \log_{\frac{1}{3}}(x+4), \\ \log_9(x^2+x-y) = \log_9 x^2. \end{cases} $$

ОДЗ:

$3x-y > 0$

$x+4 > 0 \implies x > -4$

$x^2+x-y > 0$

$x^2 > 0 \implies x \ne 0$

Приравняем аргументы логарифмов в каждом уравнении.

Из первого уравнения:

$3x-y = x+4 \implies 2x - 4 = y$

Из второго уравнения:

$x^2+x-y = x^2 \implies x-y=0 \implies x=y$

Получили систему:

$$ \begin{cases} y = 2x-4, \\ y = x. \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений:

$x = 2x-4$

$x=4$

Так как $y=x$, то $y=4$.

Получили решение $(4, 4)$.

Проверим его по ОДЗ:

$x > -4 \implies 4 > -4$ (верно).

$x \ne 0 \implies 4 \ne 0$ (верно).

$3x-y > 0 \implies 3(4)-4 = 12-4 = 8 > 0$ (верно).

$x^2+x-y > 0 \implies 4^2+4-4 = 16 > 0$ (верно).

Все условия ОДЗ выполнены.

Ответ: $(4, 4)$.