Страница 84, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

13.34. а) $5^x \le -x + 6;$

в) $(\frac{1}{2})^x < 0,5x + 5;$

б) $(\frac{1}{4})^x > 3x + 1;$

г) $3^x \ge -x + 4.$

а) $5^x \le -x + 6$

Данное неравенство является трансцендентным, так как в него входят функции разного типа (показательная и линейная). Такие неравенства, как правило, решаются графическим или функционально-графическим методом.

Рассмотрим две функции: $y_1 = 5^x$ (левая часть неравенства) и $y_2 = -x + 6$ (правая часть неравенства).

Функция $y_1 = 5^x$ — показательная. Так как основание степени $5 > 1$, функция является строго возрастающей на всей числовой оси.

Функция $y_2 = -x + 6$ — линейная. Её график — прямая с угловым коэффициентом $k=-1$, поэтому функция является строго убывающей на всей числовой оси.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку пересечения, решив уравнение $y_1 = y_2$:

$5^x = -x + 6$

Подбором находим, что $x=1$ является корнем уравнения:

$5^1 = 5$
$-1 + 6 = 5$
$5 = 5$

Так как корень единственный, графики функций пересекаются в точке с абсциссой $x=1$.

Теперь решим неравенство $5^x \le -x + 6$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1 = 5^x$ лежит не выше графика функции $y_2 = -x + 6$.

Так как $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, то для всех $x < 1$ будет выполняться $y_1(x) < y_1(1)$ и $y_2(x) > y_2(1)$, то есть $5^x < 5$ и $-x+6 > 5$, откуда следует $5^x < -x+6$. При $x=1$ функции равны. Таким образом, неравенство $5^x \le -x + 6$ выполняется при $x \le 1$.

Ответ: $(-\infty; 1]$.

б) $(\frac{1}{4})^x > 3x + 1$

Рассмотрим две функции: $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2 = 3x + 1$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ — показательная. Так как основание $0 < \frac{1}{4} < 1$, функция является строго убывающей.

Функция $y_2 = 3x + 1$ — линейная, с угловым коэффициентом $k=3 > 0$, следовательно, она является строго возрастающей.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее из уравнения $(\frac{1}{4})^x = 3x + 1$.

Подбором находим, что $x=0$ является корнем:

$(\frac{1}{4})^0 = 1$
$3(0) + 1 = 1$
$1 = 1$

Следовательно, графики пересекаются в точке с абсциссой $x=0$.

Нам нужно решить неравенство $(\frac{1}{4})^x > 3x + 1$, то есть найти $x$, при которых график $y_1$ находится выше графика $y_2$.

Так как $y_1$ убывает, а $y_2$ возрастает, то при $x < 0$ будет выполняться $y_1(x) > y_1(0)=1$ и $y_2(x) < y_2(0)=1$. Следовательно, при $x < 0$ выполняется $y_1 > y_2$. При $x > 0$ знаки меняются, и $y_1 < y_2$.

Таким образом, решение неравенства — это промежуток $x < 0$.

Ответ: $(-\infty; 0)$.

в) $(\frac{1}{2})^x < 0,5x + 5$

Рассмотрим функции $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ и $y_2 = 0,5x + 5$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{2})^x$ — показательная, с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$, поэтому она строго убывает.

Функция $y_2 = 0,5x + 5$ — линейная, с угловым коэффициентом $k=0,5 > 0$, поэтому она строго возрастает.

Их графики могут пересечься только в одной точке. Найдем ее, решив уравнение $(\frac{1}{2})^x = 0,5x + 5$.

Подбором находим корень $x=-2$:

$(\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4$
$0,5(-2) + 5 = -1 + 5 = 4$
$4 = 4$

Точка пересечения имеет абсциссу $x=-2$.

Решаем неравенство $(\frac{1}{2})^x < 0,5x + 5$. Мы ищем значения $x$, при которых график $y_1$ находится ниже графика $y_2$.

Поскольку $y_1$ убывает, а $y_2$ возрастает, то при $x > -2$ значения $y_1$ будут меньше, чем в точке пересечения ($y_1(x) < 4$), а значения $y_2$ будут больше ($y_2(x) > 4$). Следовательно, при $x > -2$ выполняется неравенство $y_1 < y_2$.

Ответ: $(-2; +\infty)$.

г) $3^x \ge -x + 4$

Рассмотрим функции $y_1 = 3^x$ и $y_2 = -x + 4$.

Функция $y_1 = 3^x$ — показательная, с основанием $3 > 1$, строго возрастающая.

Функция $y_2 = -x + 4$ — линейная, с угловым коэффициентом $k=-1 < 0$, строго убывающая.

Их графики могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее из уравнения $3^x = -x + 4$.

Подбором находим корень $x=1$:

$3^1 = 3$
$-1 + 4 = 3$
$3 = 3$

Точка пересечения имеет абсциссу $x=1$.

Решаем неравенство $3^x \ge -x + 4$. Мы ищем значения $x$, при которых график $y_1$ находится не ниже графика $y_2$.

Поскольку $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, то при $x > 1$ значения $y_1$ будут больше, чем в точке пересечения ($y_1(x) > 3$), а значения $y_2$ будут меньше ($y_2(x) < 3$). Следовательно, при $x > 1$ выполняется неравенство $y_1 > y_2$. В точке $x=1$ функции равны.

Таким образом, неравенство $3^x \ge -x + 4$ выполняется при $x \ge 1$.

Ответ: $[1; +\infty)$.

13.35. a) $2^{2-x} > 2x - 3$;

б) $3^{3-2x} \leq 2x + 1$.

а) $2^{2-x} > 2x - 3$

Данное неравенство является трансцендентным, так как переменная $x$ входит и в показатель степени, и в линейное выражение. Такие неравенства обычно решаются с помощью анализа свойств функций.

Рассмотрим две функции: левую часть неравенства $f(x) = 2^{2-x}$ и правую часть $g(x) = 2x - 3$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых $f(x) > g(x)$.

1. Проанализируем функцию $f(x) = 2^{2-x}$. Это показательная функция. Ее можно представить как $f(x) = 2^2 \cdot 2^{-x} = \frac{4}{2^x}$. Так как основание $2 > 1$, функция $y=2^x$ является возрастающей, следовательно, функция $f(x) = \frac{4}{2^x}$ является монотонно убывающей на всей своей области определения (все действительные числа).

2. Проанализируем функцию $g(x) = 2x - 3$. Это линейная функция, ее график — прямая. Так как угловой коэффициент $k=2$ положителен, функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси.

Поскольку одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку пересечения, решив уравнение $f(x) = g(x)$:

$2^{2-x} = 2x - 3$

Решим это уравнение методом подбора. Проверим целочисленные значения $x$.

Пусть $x=2$.

Левая часть: $f(2) = 2^{2-2} = 2^0 = 1$.

Правая часть: $g(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$.

Поскольку $f(2) = g(2)$, точка $x=2$ является единственной точкой пересечения графиков функций.

Теперь вернемся к исходному неравенству $f(x) > g(x)$. Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, и они равны при $x=2$, то для всех $x < 2$ будет выполняться неравенство $f(x) > g(x)$, а для всех $x > 2$ будет выполняться обратное неравенство $f(x) < g(x)$.

Следовательно, решением неравенства $2^{2-x} > 2x - 3$ является интервал $x < 2$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

б) $3^{3-2x} \le 2x + 1$

Это также трансцендентное неравенство. Применим тот же метод анализа функций.

Введем функции $f(x) = 3^{3-2x}$ и $g(x) = 2x + 1$. Требуется найти значения $x$, для которых $f(x) \le g(x)$.

1. Функция $f(x) = 3^{3-2x}$ является показательной. Показатель степени $3-2x$ — убывающая линейная функция. Так как основание $3 > 1$, функция $f(x)$ является монотонно убывающей на всей числовой оси.

2. Функция $g(x) = 2x + 1$ является линейной с положительным угловым коэффициентом $k=2$, следовательно, она монотонно возрастает на всей числовой оси.

Так как одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, они могут иметь не более одной общей точки. Найдем точку их пересечения из уравнения $f(x) = g(x)$:

$3^{3-2x} = 2x + 1$

С помощью подбора найдем корень. Проверим $x=1$.

Левая часть: $f(1) = 3^{3-2(1)} = 3^1 = 3$.

Правая часть: $g(1) = 2(1) + 1 = 3$.

Значения совпали, значит, $x=1$ — единственный корень уравнения.

Теперь решим неравенство $f(x) \le g(x)$. Равенство достигается при $x=1$. Поскольку $f(x)$ — убывающая, а $g(x)$ — возрастающая, неравенство $f(x) < g(x)$ будет выполняться для всех $x$, больших точки пересечения, то есть при $x > 1$.

Объединяя равенство и строгое неравенство, получаем, что $f(x) \le g(x)$ выполняется при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

13.36. a) $(\frac{1}{3})^{x-1} \ge x^2;$

б) $x^2 + 6x + 9 \ge (0,1)^{x+2}.$

a)Решим неравенство $(\frac{1}{3})^{x-1} \ge x^2$.
Преобразуем левую часть неравенства: $(\frac{1}{3})^{x-1} = (3^{-1})^{x-1} = 3^{-(x-1)} = 3^{1-x}$.
Таким образом, неравенство принимает вид: $3^{1-x} \ge x^2$.
Это трансцендентное неравенство, которое решается анализом свойств функций. Рассмотрим функцию $h(x) = 3^{1-x} - x^2$. Нам необходимо найти все значения $x$, при которых $h(x) \ge 0$.
Сначала найдем корни уравнения $h(x) = 0$, то есть $3^{1-x} = x^2$.
Методом подбора легко заметить, что $x=1$ является корнем, так как $3^{1-1} = 3^0 = 1$ и $1^2 = 1$. Таким образом, $h(1)=0$.
Чтобы определить, есть ли другие корни и как ведет себя функция, исследуем ее на монотонность с помощью производной.
$h'(x) = (3^{1-x} - x^2)' = (3^{1-x})' - (x^2)' = 3^{1-x} \cdot \ln(3) \cdot (1-x)' - 2x = -3^{1-x}\ln(3) - 2x$.
Проанализируем знак производной $h'(x)$:
1. При $x \ge 0$: первое слагаемое $-3^{1-x}\ln(3)$ всегда отрицательно (так как $3^{1-x}>0$ и $\ln(3)>0$). Второе слагаемое $-2x$ является неположительным. Сумма отрицательного и неположительного числа всегда отрицательна (равенство нулю невозможно, так как первое слагаемое не равно нулю). Следовательно, $h'(x) < 0$ при $x \ge 0$.
2. При $x < 0$: пусть $x = -a$, где $a > 0$. Тогда производная примет вид $h'(-a) = -3^{1+a}\ln(3) + 2a$. Чтобы определить знак этого выражения, сравним $2a$ и $3^{1+a}\ln(3)$. Рассмотрим две функции от $a$: $u(a)=3^{1+a}\ln(3)$ и $v(a)=2a$ при $a>0$. При $a \to 0^+$, $u(a) \to 3\ln(3) > 0$ и $v(a) \to 0$. Их производные: $u'(a)=3^{1+a}(\ln 3)^2$ и $v'(a)=2$. Для всех $a>0$, $u'(a) = 3^{1+a}(\ln 3)^2 > 3^1(\ln 3)^2 \approx 3 \cdot (1.1)^2 = 3.63 > 2 = v'(a)$. Так как функция $u(a)$ в начальной точке ($a=0$) больше функции $v(a)$ и растет быстрее нее при всех $a>0$, то $u(a) > v(a)$ для всех $a \ge 0$. Это означает, что $h'(-a) = 2a - 3^{1+a}\ln(3) < 0$.
Из обоих случаев следует, что $h'(x) < 0$ для всех действительных $x$. Это значит, что функция $h(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси.
Поскольку функция $h(x)$ строго убывает и обращается в ноль в точке $x=1$, то неравенство $h(x) \ge 0$ выполняется для всех $x$, не превосходящих $1$.
Ответ: $(-\infty; 1]$.

б)Решим неравенство $x^2 + 6x + 9 \ge (0,1)^{x+2}$.
Преобразуем обе части неравенства. Левая часть является полным квадратом: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$. Правая часть: $(0,1)^{x+2} = (10^{-1})^{x+2} = 10^{-(x+2)}$.
Неравенство принимает вид: $(x+3)^2 \ge 10^{-(x+2)}$.
Рассмотрим функцию $h(x) = (x+3)^2 - 10^{-(x+2)}$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $h(x) \ge 0$.
Сначала найдем корни уравнения $h(x) = 0$, то есть $(x+3)^2 = 10^{-(x+2)}$.
Методом подбора находим корень $x=-2$:
Левая часть: $(-2+3)^2 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $10^{-(-2+2)} = 10^0 = 1$.
Так как $1=1$, $x=-2$ является корнем уравнения, то есть $h(-2)=0$.
Исследуем функцию $h(x)$ на монотонность с помощью производной.
$h'(x) = ((x+3)^2 - 10^{-(x+2)})' = 2(x+3) - 10^{-(x+2)} \cdot \ln(10) \cdot (-1) = 2(x+3) + 10^{-(x+2)}\ln(10)$.
Проанализируем знак производной $h'(x)$:
Первое слагаемое $2(x+3)$ положительно при $x>-3$, равно нулю при $x=-3$ и отрицательно при $x<-3$.
Второе слагаемое $10^{-(x+2)}\ln(10)$ всегда положительно, так как $10^y > 0$ и $\ln(10) > 0$.
1. При $x \ge -3$: $2(x+3) \ge 0$. Так как второе слагаемое строго положительно, их сумма $h'(x)$ будет строго положительна.
2. При $x < -3$: оба слагаемых могут иметь разные знаки. Исследуем $h'(x)$ подробнее. Найдем ее минимум. Для этого найдем вторую производную: $h''(x) = (2(x+3) + 10^{-(x+2)}\ln(10))' = 2 - 10^{-(x+2)}(\ln 10)^2$. Приравняем к нулю: $10^{-(x+2)} = \frac{2}{(\ln 10)^2}$. Это точка экстремума для $h'(x)$. Значение $h'(x)$ в этой точке будет минимальным. Вычислим его: $x_{min} \approx -1.58$. Это значение не входит в рассматриваемый диапазон $x<-3$.Проверим знак $h'(x)$ для $x<-3$. Докажем, что $2(x+3) + 10^{-(x+2)}\ln(10) > 0$, или $10^{-(x+2)}\ln(10) > -2(x+3)$. Пусть $y = -(x+3)$, где $y>0$. Тогда $x=-y-3$, и $-x-2=y+3-2=y+1$. Неравенство становится $10^{y+1}\ln(10) > 2y$. Функция $f(y) = 10^{y+1}\ln(10)$ растет экспоненциально, а $g(y)=2y$ — линейно. При $y \to 0^+$ (что соответствует $x \to -3^-$), $f(y) \to 10\ln(10)>0$, а $g(y) \to 0$. Так как экспоненциальная функция растет быстрее линейной и вначале больше, то $f(y) > g(y)$ для всех $y>0$. Значит, $h'(x)>0$ и при $x<-3$.
Таким образом, $h'(x) > 0$ для всех действительных $x$. Это означает, что функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.
Поскольку функция $h(x)$ строго возрастает и обращается в ноль в точке $x=-2$, то неравенство $h(x) \ge 0$ выполняется для всех $x$, не меньших $-2$.
Ответ: $[-2; +\infty)$.

13.37. a) $ \frac{1}{x} \le (4,5)^{x-1}; $

б) $ \frac{5}{x} \ge 3^{x-1} + 4. $

а)

Решим неравенство $\frac{1}{x} \le (4,5)^{x-1}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для данного неравенства: $x \ne 0$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

1. Пусть $x < 0$.
В этом случае левая часть неравенства, $\frac{1}{x}$, является отрицательным числом.
Правая часть, $(4,5)^{x-1}$, является значением показательной функции с основанием $4,5 > 1$, поэтому она всегда положительна при любом действительном $x$.
Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа, поэтому неравенство $\frac{1}{x} \le (4,5)^{x-1}$ выполняется для всех $x < 0$.
Решением в этом случае является интервал $(-\infty, 0)$.

2. Пусть $x > 0$.
Для решения неравенства на этом промежутке рассмотрим поведение функций в левой и правой частях: $f(x) = \frac{1}{x}$ и $g(x) = (4,5)^{x-1}$.
На промежутке $(0, +\infty)$ функция $f(x) = \frac{1}{x}$ (гипербола) является строго убывающей.
Функция $g(x) = (4,5)^{x-1}$ (показательная) является строго возрастающей, так как ее основание $4,5 > 1$.
Найдем точку пересечения графиков этих функций, решив уравнение $f(x) = g(x)$:
$\frac{1}{x} = (4,5)^{x-1}$.
Легко заметить, что $x=1$ является корнем этого уравнения, так как при подстановке получаем верное равенство:
$\frac{1}{1} = (4,5)^{1-1} \implies 1 = (4,5)^0 \implies 1 = 1$.
Поскольку на промежутке $(0, +\infty)$ убывающая функция $f(x)$ и возрастающая функция $g(x)$ могут пересечься только в одной точке, то $x=1$ — единственная точка их пересечения.
Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, то неравенство $f(x) \le g(x)$ будет выполняться при $x \ge 1$.
Решением в этом случае является промежуток $[1, +\infty)$.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях ($x < 0$ и $x > 0$), получаем окончательное решение неравенства.
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.

б)

Решим неравенство $\frac{5}{x} \ge 3^{x-1} + 4$.
ОДЗ: $x \ne 0$.
Рассмотрим два случая.

1. Пусть $x < 0$.
В этом случае левая часть неравенства, $\frac{5}{x}$, всегда отрицательна.
Правая часть, $3^{x-1} + 4$, всегда положительна. Более того, так как $3^{x-1} > 0$ при любом $x$, то $3^{x-1} + 4 > 4$.
Отрицательное число не может быть больше или равно положительному числу (которое к тому же больше 4). Следовательно, при $x < 0$ неравенство не имеет решений.

2. Пусть $x > 0$.
В этом случае обе части неравенства положительны. Рассмотрим функции $f(x) = \frac{5}{x}$ и $g(x) = 3^{x-1} + 4$.
На промежутке $(0, +\infty)$ функция $f(x) = \frac{5}{x}$ является строго убывающей.
Функция $g(x) = 3^{x-1} + 4$ является строго возрастающей (как сумма возрастающей показательной функции и константы).
Найдем их точку пересечения, решив уравнение $f(x) = g(x)$:
$\frac{5}{x} = 3^{x-1} + 4$.
Методом подбора находим, что $x=1$ является корнем:
$\frac{5}{1} = 3^{1-1} + 4 \implies 5 = 3^0 + 4 \implies 5 = 1 + 4 \implies 5 = 5$.
Так как на промежутке $(0, +\infty)$ убывающая функция $f(x)$ и возрастающая функция $g(x)$ пересекаются в единственной точке $x=1$, то неравенство $f(x) \ge g(x)$ будет выполняться для всех $x$ от $0$ до точки пересечения включительно.
То есть, при $0 < x \le 1$ выполняется $f(x) \ge g(x)$, а при $x > 1$ выполняется $f(x) < g(x)$.
Следовательно, решением в этом случае является полуинтервал $(0, 1]$.

Поскольку в первом случае решений не было, итоговое решение совпадает с решением для второго случая.
Ответ: $x \in (0, 1]$.

13.38. a) $x \cdot 2^x < 8;$

б) $x \cdot (0,5)^x \ge -8.$

а) $x \cdot 2^x < 8$

Для решения данного неравенства воспользуемся функционально-графическим методом. Рассмотрим функцию $f(x) = x \cdot 2^x$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x) < 8$.

Разобьем решение на два случая в зависимости от знака $x$.

1. Пусть $x \le 0$.
Если $x=0$, то $0 \cdot 2^0 = 0 \cdot 1 = 0$. Неравенство $0 < 8$ верно. Значит, $x=0$ является решением.
Если $x < 0$, то множитель $x$ отрицателен, а множитель $2^x$ всегда положителен. Следовательно, их произведение $x \cdot 2^x$ будет отрицательным. Любое отрицательное число меньше 8. Таким образом, все значения $x < 0$ являются решениями неравенства.

Объединяя эти два подслучая, получаем, что все $x$ из промежутка $(-\infty, 0]$ являются решениями.

2. Пусть $x > 0$.
В этом случае оба множителя, $x$ и $2^x$, положительны. Функция $y=x$ является возрастающей, и функция $y=2^x$ также является возрастающей при $x>0$. Произведение двух положительных возрастающих функций есть функция возрастающая. Следовательно, функция $f(x) = x \cdot 2^x$ является строго возрастающей на промежутке $(0, +\infty)$.

Найдем корень уравнения $x \cdot 2^x = 8$. Методом подбора легко найти, что $x=2$ является корнем, так как $2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$.

Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает при $x > 0$ и $f(2)=8$, то неравенство $f(x) < 8$ будет выполняться для всех $x$ из интервала $(0, 2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $(-\infty, 0] \cup (0, 2)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2)$.

б) $x \cdot (0.5)^x \ge -8$

Рассмотрим функцию $g(x) = x \cdot (0.5)^x$. Нам нужно решить неравенство $g(x) \ge -8$.

Также как и в предыдущем пункте, рассмотрим два случая.

1. Пусть $x \ge 0$.
Если $x=0$, то $0 \cdot (0.5)^0 = 0 \cdot 1 = 0$. Неравенство $0 \ge -8$ верно. Значит, $x=0$ является решением.
Если $x > 0$, то множитель $x$ положителен, и множитель $(0.5)^x$ также положителен. Следовательно, их произведение $g(x) = x \cdot (0.5)^x$ будет положительным. Любое положительное число больше или равно -8. Таким образом, все значения $x > 0$ являются решениями.

Следовательно, все $x$ из промежутка $[0, +\infty)$ являются решениями неравенства.

2. Пусть $x < 0$.
В этом случае неравенство имеет вид $x \cdot (0.5)^x \ge -8$. Преобразуем $(0.5)^x = (2^{-1})^x = 2^{-x}$. Неравенство примет вид $x \cdot 2^{-x} \ge -8$.

Для анализа поведения функции $g(x) = x \cdot 2^{-x}$ найдем ее производную: $g'(x) = (x)' \cdot 2^{-x} + x \cdot (2^{-x})' = 1 \cdot 2^{-x} + x \cdot (2^{-x} \cdot \ln(2) \cdot (-1)) = 2^{-x}(1 - x \ln 2)$.

При $x < 0$, множитель $2^{-x}$ всегда положителен. Выражение $1 - x \ln 2$ также будет положительным, так как $x < 0$ и $\ln 2 > 0$, следовательно $-x \ln 2 > 0$. Таким образом, $g'(x) > 0$ для всех $x < 0$. Это означает, что функция $g(x)$ является строго возрастающей на промежутке $(-\infty, 0)$.

Найдем корень уравнения $x \cdot (0.5)^x = -8$. Методом подбора проверяем целые отрицательные числа. Пусть $x=-2$. Тогда $g(-2) = -2 \cdot (0.5)^{-2} = -2 \cdot (2^2) = -2 \cdot 4 = -8$.

Мы нашли, что $g(-2) = -8$. Так как функция $g(x)$ строго возрастает при $x<0$, то неравенство $g(x) \ge -8$ будет выполняться для всех $x \ge -2$. Учитывая, что мы рассматриваем случай $x<0$, решением на этом промежутке будет интервал $[-2, 0)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $[-2, 0) \cup [0, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-2, +\infty)$.

13.39. a) $2x + 2 - x^2 \ge 3x^2 - 2x + 2$;

б) $2x^2 - 4x + 5 \ge 4x - 2 - x^2$.

а)

Дано неравенство: $2x + 2 - x^2 \ge 3x^2 - 2x + 2$.
Для решения перенесем все слагаемые в одну сторону, например, в правую, чтобы коэффициент при $x^2$ был положительным:

$0 \ge 3x^2 - 2x + 2 - (2x + 2 - x^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

$0 \ge 3x^2 - 2x + 2 - 2x - 2 + x^2$

$0 \ge (3x^2 + x^2) + (-2x - 2x) + (2 - 2)$

$0 \ge 4x^2 - 4x$

Запишем неравенство в более привычном виде:

$4x^2 - 4x \le 0$

Разделим обе части на 4 (так как 4 > 0, знак неравенства не меняется):

$x^2 - x \le 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x = 0$.
Вынесем $x$ за скобку:

$x(x - 1) = 0$

Корнями уравнения являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.
Графиком функции $y = x^2 - x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).
Следовательно, значения функции меньше или равны нулю на промежутке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства есть отрезок $[0, 1]$.

Ответ: $x \in [0, 1]$.

б)

Дано неравенство: $2^{x^2 - 4x + 5} \ge 4x - 2 - x^2$.

Это неравенство нестандартного вида. Проанализируем его левую и правую части по отдельности.

1. Левая часть: $f(x) = 2^{x^2 - 4x + 5}$
Преобразуем показатель степени, выделив полный квадрат:

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$.

Выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно, т.е. $(x-2)^2 \ge 0$ для любого $x$.
Тогда минимальное значение показателя степени $(x-2)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$. Это значение достигается при $x=2$.
Поскольку основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, наименьшее значение левой части неравенства равно $2^1 = 2$.

Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется: $2^{x^2 - 4x + 5} \ge 2$.

2. Правая часть: $g(x) = 4x - 2 - x^2$
Преобразуем это выражение, также выделив полный квадрат:

$-x^2 + 4x - 2 = -(x^2 - 4x + 2) = -((x^2 - 4x + 4) - 2) = -(x-2)^2 + 2 = 2 - (x-2)^2$.

Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вниз.
Так как $(x-2)^2 \ge 0$, то выражение $-(x-2)^2 \le 0$.
Следовательно, наибольшее значение правой части равно $2 - 0 = 2$. Это значение достигается при $x=2$.

Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется: $4x - 2 - x^2 \le 2$.

3. Сравнение
Мы получили, что для любого $x$:
Левая часть: $2^{x^2 - 4x + 5} \ge 2$
Правая часть: $4x - 2 - x^2 \le 2$

Отсюда следует, что левая часть всегда больше или равна правой части: $2^{x^2 - 4x + 5} \ge 2 \ge 4x - 2 - x^2$.
Это неравенство справедливо для всех действительных значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решите систему неравенств:

13.40. a) $\begin{cases} 2^{x+1} > 4, \\ 7^{3x-10} < 49; \end{cases}$ в) $\begin{cases} 0,4^{-x+3} < 0,16, \\ 0,1^{x^2+1} > 0,01; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^{4x+2,5} > \sqrt{2}, \\ 10^{x^2-1} > 1000; \end{cases}$ г) $\begin{cases} \sqrt{5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 1, \\ 0,2^{6-9x} \le 125. \end{cases}$

а)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 2^{x+1} > 4, \\ 7^{3x-10} < 49; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $2^{x+1} > 4$.

Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$.

Неравенство примет вид: $2^{x+1} > 2^2$.

Так как основание степени $2 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x+1 > 2$

$x > 2 - 1$

$x > 1$

2. Решим второе неравенство: $7^{3x-10} < 49$.

Представим число 49 в виде степени с основанием 7: $49 = 7^2$.

Неравенство примет вид: $7^{3x-10} < 7^2$.

Так как основание степени $7 > 1$, то знак неравенства сохраняется:

$3x-10 < 2$

$3x < 12$

$x < 4$

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x > 1$ и $x < 4$.

Таким образом, решение системы: $1 < x < 4$.

Ответ: $x \in (1; 4)$.

б)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} (\frac{1}{2})^{4x+2,5} > \sqrt{2}, \\ 10^{x^2-1} > 1000; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $(\frac{1}{2})^{4x+2,5} > \sqrt{2}$.

Приведем обе части к основанию 2: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\sqrt{2} = 2^{0,5}$.

Неравенство примет вид: $(2^{-1})^{4x+2,5} > 2^{0,5}$, что равносильно $2^{-4x-2,5} > 2^{0,5}$.

Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$-4x-2,5 > 0,5$

$-4x > 3$

$x < -\frac{3}{4}$

2. Решим второе неравенство: $10^{x^2-1} > 1000$.

Представим 1000 как степень 10: $1000 = 10^3$.

Неравенство примет вид: $10^{x^2-1} > 10^3$.

Так как основание $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2-1 > 3$

$x^2 > 4$

Решением этого неравенства является объединение интервалов: $x < -2$ или $x > 2$.

3. Найдем пересечение решений: $x < -\frac{3}{4}$ и ($x < -2$ или $x > 2$).

Пересекая эти множества, получаем $x < -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2)$.

в)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} 0,4^{-x+3} < 0,16, \\ 0,1^{x^2+1} > 0,01; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $0,4^{-x+3} < 0,16$.

Представим 0,16 как степень 0,4: $0,16 = 0,4^2$.

Неравенство примет вид: $0,4^{-x+3} < 0,4^2$.

Так как основание $0,4 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$-x+3 > 2$

$-x > -1$

$x < 1$

2. Решим второе неравенство: $0,1^{x^2+1} > 0,01$.

Представим 0,01 как степень 0,1: $0,01 = 0,1^2$.

Неравенство примет вид: $0,1^{x^2+1} > 0,1^2$.

Так как основание $0,1 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2+1 < 2$

$x^2 < 1$

Решением этого неравенства является интервал $-1 < x < 1$.

3. Найдем пересечение решений: $x < 1$ и $-1 < x < 1$.

Пересечением этих множеств является интервал $-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

г)

Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \sqrt{5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 1, \\ 0,2^{6-9x} \le 125. \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $\sqrt{5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 1$.

Приведем все части к основанию 5: $\sqrt{5} = 5^{0,5}$ и $1 = 5^0$.

Неравенство примет вид: $5^{0,5} \cdot 5^{2x-0,5} \ge 5^0$.

Сложим показатели степеней в левой части: $5^{0,5+2x-0,5} \ge 5^0$, что равносильно $5^{2x} \ge 5^0$.

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$2x \ge 0$

$x \ge 0$

2. Решим второе неравенство: $0,2^{6-9x} \le 125$.

Приведем обе части к основанию 5: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $125 = 5^3$.

Неравенство примет вид: $(5^{-1})^{6-9x} \le 5^3$, что равносильно $5^{-6+9x} \le 5^3$.

Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$-6+9x \le 3$

$9x \le 9$

$x \le 1$

3. Найдем пересечение решений: $x \ge 0$ и $x \le 1$.

Пересечением этих множеств является отрезок $0 \le x \le 1$.

Ответ: $x \in [0; 1]$.

13.41. a) $\begin{cases} 3^{2x+1} \ge 9, \\ 0,5^{x-1} \le 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (0,3)^{-4x+1} \le \frac{100}{9}, \\ 10^{2x+4} \ge 1; \end{cases}$

B) $\begin{cases} (\sqrt{3})^{6x-2} \ge \frac{1}{81}, \\ (0,2)^{3x+1} \le 5^{x-1}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (\sqrt{2})^{-3x-1} \le 2\sqrt{2}, \\ (\sqrt{0,4})^{4x-2} > 0,16. \end{cases}$

а) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} 3^{2x+1} \ge 9 \\ 0,5x - 1 \le 2 \end{cases} $$1) Решим первое неравенство: $3^{2x+1} \ge 9$.
Представим $9$ в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.
Неравенство принимает вид: $3^{2x+1} \ge 3^2$.
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция возрастает, поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$2x+1 \ge 2$
$2x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{2}$.
2) Решим второе неравенство: $0,5x - 1 \le 2$.
Это линейное неравенство:
$0,5x \le 3$
$x \le 6$.
3) Найдем пересечение решений обоих неравенств. Решением системы является пересечение промежутков $[\frac{1}{2}; +\infty)$ и $(-\infty; 6]$.
Таким образом, $x \in [\frac{1}{2}; 6]$.
Ответ: $[\frac{1}{2}; 6]$.

б) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} (0,3)^{-4x+1} \le \frac{100}{9} \\ 10^{2x+4} \ge 1 \end{cases} $$1) Решим первое неравенство: $(0,3)^{-4x+1} \le \frac{100}{9}$.
Представим обе части неравенства как степени с одним основанием $0,3$.
$0,3 = \frac{3}{10}$, а $\frac{100}{9} = (\frac{10}{3})^2 = ((\frac{3}{10})^{-1})^2 = (0,3)^{-2}$.
Неравенство принимает вид: $(0,3)^{-4x+1} \le (0,3)^{-2}$.
Так как основание $0,3 < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, знак неравенства меняется на противоположный:
$-4x + 1 \ge -2$
$-4x \ge -3$
$x \le \frac{3}{4}$.
2) Решим второе неравенство: $10^{2x+4} \ge 1$.
Представим $1$ как $10^0$.
$10^{2x+4} \ge 10^0$.
Так как основание $10 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$2x + 4 \ge 0$
$2x \ge -4$
$x \ge -2$.
3) Решением системы является пересечение множеств решений $x \le \frac{3}{4}$ и $x \ge -2$.
Таким образом, $x \in [-2; \frac{3}{4}]$.
Ответ: $[-2; \frac{3}{4}]$.

в) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} (\sqrt{3})^{6x-2} \ge \frac{1}{81} \\ (0,2)^{3x+1} \le 5^{x-1} \end{cases} $$1) Решим первое неравенство: $(\sqrt{3})^{6x-2} \ge \frac{1}{81}$.
Приведем обе части к основанию 3: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.
$(3^{\frac{1}{2}})^{6x-2} \ge 3^{-4}$
$3^{3x-1} \ge 3^{-4}$.
Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$3x - 1 \ge -4$
$3x \ge -3$
$x \ge -1$.
2) Решим второе неравенство: $(0,2)^{3x+1} \le 5^{x-1}$.
Приведем обе части к основанию 5: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
$(5^{-1})^{3x+1} \le 5^{x-1}$
$5^{-3x-1} \le 5^{x-1}$.
Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$-3x - 1 \le x - 1$
$-4x \le 0$
$x \ge 0$.
3) Решением системы является пересечение множеств решений $x \ge -1$ и $x \ge 0$.
Таким образом, $x \in [0; +\infty)$.
Ответ: $[0; +\infty)$.

г) Решим систему неравенств:$$ \begin{cases} (\sqrt{2})^{-3x-1} \le 2\sqrt{2} \\ (\sqrt{0,4})^{4x-2} > 0,16 \end{cases} $$1) Решим первое неравенство: $(\sqrt{2})^{-3x-1} \le 2\sqrt{2}$.
Приведем обе части к основанию 2: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ и $2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$.
$(2^{\frac{1}{2}})^{-3x-1} \le 2^{\frac{3}{2}}$
$2^{\frac{-3x-1}{2}} \le 2^{\frac{3}{2}}$.
Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$\frac{-3x-1}{2} \le \frac{3}{2}$
$-3x - 1 \le 3$
$-3x \le 4$
$x \ge -\frac{4}{3}$.
2) Решим второе неравенство: $(\sqrt{0,4})^{4x-2} > 0,16$.
Приведем обе части к основанию 0,4: $\sqrt{0,4} = (0,4)^{\frac{1}{2}}$ и $0,16 = (0,4)^2$.
$((0,4)^{\frac{1}{2}})^{4x-2} > (0,4)^2$
$(0,4)^{2x-1} > (0,4)^2$.
Так как основание $0,4 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный:
$2x - 1 < 2$
$2x < 3$
$x < \frac{3}{2}$.
3) Решением системы является пересечение множеств решений $x \ge -\frac{4}{3}$ и $x < \frac{3}{2}$.
Таким образом, $x \in [-\frac{4}{3}; \frac{3}{2})$.
Ответ: $[-\frac{4}{3}; \frac{3}{2})$.

13.42. Решите неравенство:

а) $\frac{x^2 + 4x + 4}{3^x - 27} \ge 0;$

б) $\frac{0.2^x - 0.008}{x^2 - 10x + 25} < 0;$

в) $\frac{25 - 0.2^x}{4x^2 - 4x + 1} \le 0;$

г) $\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x - 4} > 0.$

а) Решим неравенство $\frac{x^2 + 4x + 4}{3^x - 27} \ge 0$. Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом $(x+2)^2$. Неравенство принимает вид $\frac{(x+2)^2}{3^x - 27} \ge 0$. Знаменатель не может быть равен нулю, то есть $3^x - 27 \ne 0$, откуда $3^x \ne 3^3$ и $x \ne 3$. Выражение $(x+2)^2$ всегда неотрицательно ($ \ge 0$). Неравенство выполняется в двух случаях: 1) Дробь равна нулю. Это возможно, только если числитель равен нулю: $(x+2)^2 = 0 \implies x = -2$. Это значение удовлетворяет условию $x \ne 3$, поэтому является решением. 2) Дробь строго больше нуля. Если $x \ne -2$, то числитель $(x+2)^2 > 0$. В этом случае для выполнения неравенства требуется, чтобы и знаменатель был положителен: $3^x - 27 > 0 \implies 3^x > 27 \implies 3^x > 3^3$. Так как показательная функция с основанием $3 > 1$ является возрастающей, то $x > 3$. Объединяя полученные решения, получаем $x=-2$ и $x > 3$. Ответ: $x \in \{-2\} \cup (3, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{0.2^x - 0.008}{x^2 - 10x + 25} < 0$. Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель: $0.2^x - 0.008 = (0.2)^x - (0.2)^3$. Знаменатель: $x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$. Неравенство принимает вид $\frac{(0.2)^x - (0.2)^3}{(x-5)^2} < 0$. Знаменатель не может быть равен нулю: $(x-5)^2 \ne 0 \implies x \ne 5$. При всех $x \ne 5$ знаменатель $(x-5)^2$ строго положителен. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Для выполнения неравенства числитель должен быть отрицательным: $(0.2)^x - (0.2)^3 < 0 \implies (0.2)^x < (0.2)^3$. Так как показательная функция с основанием $0.2 \in (0, 1)$ является убывающей, то при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x > 3$. Учитывая условие $x \ne 5$, получаем решение. Ответ: $x \in (3, 5) \cup (5, \infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{25 - 0.2^x}{4x^2 - 4x + 1} \le 0$. Преобразуем числитель и знаменатель. Числитель: $25 - 0.2^x = 5^2 - (\frac{1}{5})^x = 5^2 - 5^{-x}$. Знаменатель: $4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2$. Неравенство принимает вид $\frac{5^2 - 5^{-x}}{(2x-1)^2} \le 0$. Знаменатель не может быть равен нулю: $(2x-1)^2 \ne 0 \implies x \ne 0.5$. При всех $x \ne 0.5$ знаменатель $(2x-1)^2$ строго положителен. Следовательно, знак дроби определяется знаком числителя. Для выполнения неравенства числитель должен быть меньше либо равен нулю: $5^2 - 5^{-x} \le 0 \implies 5^2 \le 5^{-x}$. Так как показательная функция с основанием $5 > 1$ является возрастающей, то $2 \le -x$. Умножая обе части на -1, меняем знак неравенства: $-2 \ge x$, или $x \le -2$. Это решение удовлетворяет условию $x \ne 0.5$. Ответ: $x \in (-\infty, -2]$.

г) Решим неравенство $\frac{x^2 + 6x + 9}{2^x - 4} > 0$. Преобразуем числитель: $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$. Неравенство принимает вид $\frac{(x+3)^2}{2^x - 4} > 0$. Так как неравенство строгое, дробь не может быть равна нулю, следовательно, числитель не может быть равен нулю: $(x+3)^2 \ne 0 \implies x \ne -3$. При всех $x \ne -3$ числитель $(x+3)^2$ строго положителен. Чтобы дробь была положительной, знаменатель также должен быть строго положителен: $2^x - 4 > 0 \implies 2^x > 4 \implies 2^x > 2^2$. Так как показательная функция с основанием $2 > 1$ является возрастающей, то $x > 2$. Это решение удовлетворяет условию $x \ne -3$. Ответ: $x \in (2, \infty)$.