Страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

13.43. а) $(x - 6)(5^x - 25) < 0;$

б) $(2x + 1)(3^{3-x} - 9) > 0.$

а) $(x - 6)(5^{x-6} - 25) < 0$

Для решения данного неравенства применим метод рационализации. Этот метод заключается в замене сложного выражения на более простое, имеющее тот же знак на всей области определения.

Знак выражения вида $a^{f(x)} - a^{g(x)}$ при $a>1$ совпадает со знаком выражения $f(x) - g(x)$.

Представим второй множитель в виде $5^{x-6} - 5^2$. Здесь основание $a=5 > 1$, поэтому знак этого множителя совпадает со знаком разности показателей: $x-6-2$, то есть $x-8$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему квадратичному неравенству:

$(x - 6)(x - 8) < 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Корни левой части: $x_1=6$ и $x_2=8$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. Графиком функции $y=(x-6)(x-8)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, отрицательные значения функция принимает на интервале между корнями.

Решением неравенства является интервал $(6; 8)$.

Ответ: $x \in (6; 8)$.

б) $(2x + 1)(3^{3-x} - 9) > 0$

Воспользуемся методом рационализации. Представим второй множитель в виде $3^{3-x} - 3^2$.

Так как основание $a=3 > 1$, знак выражения $3^{3-x} - 3^2$ совпадает со знаком разности показателей $(3-x) - 2$, что равно $1-x$.

Исходное неравенство равносильно неравенству:

$(2x + 1)(1 - x) > 0$

Решим это квадратичное неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части:

1) $2x+1=0 \implies x_1 = -1/2 = -0.5$

2) $1-x=0 \implies x_2 = 1$

Графиком функции $y=(2x+1)(1-x)=-2x^2+x+1$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Положительные значения функция принимает на интервале между корнями.

Следовательно, решением является интервал $(-0.5; 1)$.

Ответ: $x \in (-0.5; 1)$.

13.44. a) $\frac{x^2 - 2}{2^x - 8} < 0;$

б) $\frac{x^2 - 5}{5^x - 125} \ge 0.$

а) Решим неравенство $\frac{x^2 - 2}{2^x - 8} < 0$ методом обобщенных интервалов.

1. Определим нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x^2 - 2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Нули знаменателя: $2^x - 8 = 0 \implies 2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.
Так как знаменатель не может быть равен нулю, то $x \neq 3$.

2. Отметим на числовой оси точки $x=-\sqrt{2}$, $x=\sqrt{2}$ и $x=3$. Они разбивают ось на четыре интервала. Определим знак выражения на каждом из них, подставляя пробные точки:

- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4^2-2}{2^4-8} = \frac{14}{8} > 0$.
- При $\sqrt{2} < x < 3$ (например, $x=2$): $\frac{2^2-2}{2^2-8} = \frac{2}{-4} < 0$.
- При $-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ (например, $x=0$): $\frac{0^2-2}{2^0-8} = \frac{-2}{-7} > 0$.
- При $x < -\sqrt{2}$ (например, $x=-2$): $\frac{(-2)^2-2}{2^{-2}-8} = \frac{2}{1/4-8} < 0$.

3. Неравенство строгое ($<0$), поэтому выбираем интервалы, где выражение отрицательно. Граничные точки в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; 3)$.

б) Решим неравенство $\frac{x^2 - 5}{5^x - 125} \ge 0$ методом обобщенных интервалов.

1. Определим нули числителя и знаменателя.
Нули числителя: $x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$.
Нули знаменателя: $5^x - 125 = 0 \implies 5^x = 5^3 \implies x = 3$.
Из области определения следует, что $x \neq 3$.

2. Отметим на числовой оси точки $x=-\sqrt{5}$, $x=\sqrt{5}$ и $x=3$. Заметим, что $\sqrt{5} \approx 2.24$, так что $\sqrt{5} < 3$. Точки разбивают ось на интервалы. Определим знак выражения на каждом из них:

- При $x > 3$ (например, $x=4$): $\frac{4^2-5}{5^4-125} = \frac{11}{500} > 0$.
- При $\sqrt{5} < x < 3$ (например, $x=2.5$): $\frac{(2.5)^2-5}{5^{2.5}-125} = \frac{1.25}{25\sqrt{5}-125} < 0$ (т.к. $\sqrt{5} < 5$).
- При $-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}$ (например, $x=0$): $\frac{0^2-5}{5^0-125} = \frac{-5}{-124} > 0$.
- При $x < -\sqrt{5}$ (например, $x=-3$): $\frac{(-3)^2-5}{5^{-3}-125} = \frac{4}{1/125-125} < 0$.

3. Неравенство нестрогое ($\ge 0$), поэтому выбираем интервалы, где выражение положительно. Также в решение включаются нули числителя, т.е. точки $x=\sqrt{5}$ и $x=-\sqrt{5}$. Точка $x=3$, где знаменатель равен нулю, исключается.

Объединяя интервалы и точки, получаем решение.

Ответ: $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}] \cup (3; +\infty)$.

13.45. a) $(2^x - 8)(3^x - 81) < 0;$

б) $\left(3^{x+2} - \frac{1}{27}\right)\left(5^{3-2x} - 0,2\right) \ge 0.$

а)

Исходное неравенство: $(2^x - 8)(3^x - 81) < 0$.

Это неравенство эквивалентно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} 2^x - 8 > 0 \\ 3^x - 81 < 0 \end{cases}$ или 2) $\begin{cases} 2^x - 8 < 0 \\ 3^x - 81 > 0 \end{cases}$

Решим первую систему:

$\begin{cases} 2^x > 8 \\ 3^x < 81 \end{cases} \implies \begin{cases} 2^x > 2^3 \\ 3^x < 3^4 \end{cases}$

Так как основания степеней $2$ и $3$ больше $1$, то при переходе к неравенствам для показателей степени знаки неравенств сохраняются:

$\begin{cases} x > 3 \\ x < 4 \end{cases} \implies 3 < x < 4$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} 2^x < 8 \\ 3^x > 81 \end{cases} \implies \begin{cases} 2^x < 2^3 \\ 3^x > 3^4 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 3 \\ x > 4 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как нет числа, которое было бы одновременно меньше 3 и больше 4.

Объединяя решения обеих систем, получаем окончательный результат.

Ответ: $x \in (3; 4)$.

б)

Исходное неравенство: $(3^{x+2} - \frac{1}{27})(5^{3-2x} - 0,2) \ge 0$.

Сначала преобразуем числа к степеням с теми же основаниями, что и в показательных функциях:

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$

Неравенство принимает вид:

$(3^{x+2} - 3^{-3})(5^{3-2x} - 5^{-1}) \ge 0$.

Данное неравенство эквивалентно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} 3^{x+2} - 3^{-3} \ge 0 \\ 5^{3-2x} - 5^{-1} \ge 0 \end{cases}$ или 2) $\begin{cases} 3^{x+2} - 3^{-3} \le 0 \\ 5^{3-2x} - 5^{-1} \le 0 \end{cases}$

Решим первую систему:

$\begin{cases} 3^{x+2} \ge 3^{-3} \\ 5^{3-2x} \ge 5^{-1} \end{cases}$

Основания степеней $3$ и $5$ больше $1$, поэтому знаки неравенств сохраняются:

$\begin{cases} x+2 \ge -3 \\ 3-2x \ge -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ -2x \ge -4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 2 \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $[-5; 2]$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} 3^{x+2} \le 3^{-3} \\ 5^{3-2x} \le 5^{-1} \end{cases} \implies \begin{cases} x+2 \le -3 \\ 3-2x \le -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -5 \\ -2x \le -4 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le -5 \\ x \ge 2 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно меньше или равно $-5$ и больше или равно $2$.

Объединяя решения, полученные в обеих системах, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in [-5; 2]$.

13.46. a) При каких значениях параметра $a$ неравенство $9^x - 4(a - 1) \cdot 3^x + a > 1$ выполняется для любого значения $x$?

б) При каких значениях параметра $a$ неравенство $4^x - (a - 3) \cdot 2^{x+1} + 2a + 2 < 0$ не имеет решений?

a)

Требуется найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $9^x - 4(a - 1) \cdot 3^x + a > 1$ выполняется для любого значения $x$.

Перепишем неравенство в виде: $9^x - 4(a - 1) \cdot 3^x + a - 1 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Поскольку $x$ может быть любым действительным числом ($x \in \mathbb{R}$), то переменная $t$ принимает все положительные значения, то есть $t > 0$.

С учетом замены исходное неравенство принимает вид квадратного неравенства относительно $t$: $t^2 - 4(a - 1)t + a - 1 > 0$

Теперь задача сводится к нахождению всех таких значений параметра $a$, при которых это квадратное неравенство выполняется для всех $t > 0$.

Рассмотрим функцию $f(t) = t^2 - 4(a - 1)t + a - 1$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $t^2$ равен 1, что больше 0).

Найдем абсциссу вершины параболы: $t_v = -\frac{-4(a - 1)}{2 \cdot 1} = 2(a - 1)$.

Для того чтобы неравенство $f(t) > 0$ выполнялось для всех $t > 0$, рассмотрим два случая в зависимости от положения вершины параболы $t_v$.

Случай 1: Вершина параболы находится левее или в точке $t=0$, то есть $t_v \le 0$. $2(a - 1) \le 0 \implies a - 1 \le 0 \implies a \le 1$. В этом случае на интервале $(0, +\infty)$ функция $f(t)$ является возрастающей. Чтобы она была положительной на всем этом интервале, достаточно, чтобы ее значение в точке $t=0$ было неотрицательным: $f(0) \ge 0$. $f(0) = 0^2 - 4(a-1) \cdot 0 + a - 1 = a - 1$. $a - 1 \ge 0 \implies a \ge 1$. Система условий для этого случая: $\begin{cases} a \le 1 \\ a \ge 1 \end{cases}$ Единственное решение этой системы — $a = 1$. При $a=1$ неравенство для $t$ имеет вид $t^2 > 0$, что верно для всех $t > 0$. Значит, $a=1$ является решением.

Случай 2: Вершина параболы находится правее $t=0$, то есть $t_v > 0$. $2(a - 1) > 0 \implies a > 1$. В этом случае наименьшее значение функции $f(t)$ на интервале $(0, +\infty)$ достигается в вершине. Чтобы неравенство $f(t) > 0$ выполнялось для всех $t > 0$, необходимо, чтобы значение функции в вершине было положительным: $f(t_v) > 0$. $f(t_v) = (2(a-1))^2 - 4(a-1)(2(a-1)) + a - 1 = 4(a-1)^2 - 8(a-1)^2 + a - 1 = -4(a-1)^2 + a - 1$. Решаем неравенство: $-4(a-1)^2 + a - 1 > 0$ $-4(a^2 - 2a + 1) + a - 1 > 0$ $-4a^2 + 8a - 4 + a - 1 > 0$ $-4a^2 + 9a - 5 > 0$ $4a^2 - 9a + 5 < 0$ Найдем корни квадратного трехчлена $4a^2 - 9a + 5 = 0$. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 81 - 80 = 1$. $a_1 = \frac{9-1}{8} = 1$, $a_2 = \frac{9+1}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$. Решением неравенства $4a^2 - 9a + 5 < 0$ является интервал $(1, 5/4)$. Учитывая условие этого случая $a > 1$, получаем, что $a \in (1, 5/4)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем: $a=1$ и $a \in (1, 5/4)$. Итоговый промежуток: $a \in [1, 5/4)$.

Ответ: $a \in [1, 5/4)$.

б)

Требуется найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $4^x - (a - 3) \cdot 2^{x+1} + 2a + 2 < 0$ не имеет решений.

Утверждение "неравенство не имеет решений" эквивалентно тому, что противоположное неравенство выполняется для всех допустимых значений $x$. То есть, неравенство $4^x - (a - 3) \cdot 2^{x+1} + 2a + 2 \ge 0$ должно выполняться для любого $x \in \mathbb{R}$.

Преобразуем неравенство: $(2^x)^2 - (a - 3) \cdot 2 \cdot 2^x + 2a + 2 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $x \in \mathbb{R}$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $t^2 - 2(a - 3)t + 2a + 2 \ge 0$

Задача сводится к нахождению таких $a$, при которых это квадратное неравенство выполняется для всех $t > 0$.

Рассмотрим функцию $g(t) = t^2 - 2(a - 3)t + 2a + 2$. График — парабола с ветвями вверх.

Абсцисса вершины параболы: $t_v = -\frac{-2(a - 3)}{2 \cdot 1} = a - 3$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Вершина параболы находится левее или в точке $t=0$, то есть $t_v \le 0$. $a - 3 \le 0 \implies a \le 3$. На интервале $(0, +\infty)$ функция $g(t)$ возрастает. Для выполнения условия $g(t) \ge 0$ достаточно, чтобы $g(0) \ge 0$. $g(0) = 0^2 - 2(a-3) \cdot 0 + 2a + 2 = 2a + 2$. $2a + 2 \ge 0 \implies a \ge -1$. С учетом условия $a \le 3$ получаем решение для этого случая: $a \in [-1, 3]$.

Случай 2: Вершина параболы находится правее $t=0$, то есть $t_v > 0$. $a - 3 > 0 \implies a > 3$. Наименьшее значение функции на $(0, +\infty)$ достигается в вершине. Необходимо, чтобы $g(t_v) \ge 0$. $g(t_v) = (a-3)^2 - 2(a-3)(a-3) + 2a + 2 = -(a-3)^2 + 2a + 2$. Решаем неравенство: $-(a^2 - 6a + 9) + 2a + 2 \ge 0$ $-a^2 + 6a - 9 + 2a + 2 \ge 0$ $-a^2 + 8a - 7 \ge 0$ $a^2 - 8a + 7 \le 0$ Корни квадратного трехчлена $a^2 - 8a + 7 = 0$ равны $a_1 = 1$ и $a_2 = 7$. Решением неравенства является отрезок $[1, 7]$. Учитывая условие этого случая $a > 3$, получаем $a \in (3, 7]$.

Объединяя решения из обоих случаев, $a \in [-1, 3] \cup (3, 7]$, получаем итоговый ответ.

Ответ: $a \in [-1, 7]$.

13.47. Найдите количество всех целых решений неравенства

$4^{x-1} - 9 \cdot 2^x + 32 \le 0$.

Для решения показательного неравенства $4^{x-1} - 9 \cdot 2^x + 32 \le 0$ приведем все степенные выражения к одному основанию 2.

Поскольку $4^{x-1} = (2^2)^{x-1} = 2^{2(x-1)} = 2^{2x-2} = 2^{2x} \cdot 2^{-2} = \frac{(2^x)^2}{4}$, исходное неравенство можно переписать в виде:

$\frac{(2^x)^2}{4} - 9 \cdot 2^x + 32 \le 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. Неравенство примет вид квадратного неравенства относительно $t$:

$\frac{t^2}{4} - 9t + 32 \le 0$.

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$t^2 - 36t + 128 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 36t + 128 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 36, а их произведение равно 128. Легко подобрать корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = 32$.

Графиком функции $y = t^2 - 36t + 128$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции не положительны ($\le 0$) на отрезке между корнями. Таким образом, решение неравенства для $t$:

$4 \le t \le 32$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену $t = 2^x$:

$4 \le 2^x \le 32$.

Представим числа 4 и 32 как степени двойки:

$2^2 \le 2^x \le 2^5$.

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y = 2^x$ является возрастающей, поэтому можно перейти к неравенству для показателей степеней, сохранив знаки неравенства:

$2 \le x \le 5$.

Решением неравенства является отрезок $[2, 5]$. Нас интересует количество целых решений. Целыми числами на этом отрезке являются 2, 3, 4, 5.

Их количество равно 4.

Ответ: 4.

13.48. Найдите сумму всех целых положительных чисел, которые являются решениями неравенства $14^{x-1} < 5^{x+1}$.

Для решения показательного неравенства $14^{x-1} < 5^{x+1}$ прологарифмируем обе его части. Можно использовать натуральный логарифм (ln). Так как основание логарифма $e \approx 2.718 > 1$, функция $y = \ln(t)$ является возрастающей, поэтому знак неравенства при логарифмировании сохраняется.

$\ln(14^{x-1}) < \ln(5^{x+1})$

Используем свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$:

$(x-1)\ln(14) < (x+1)\ln(5)$

Раскроем скобки:

$x\ln(14) - \ln(14) < x\ln(5) + \ln(5)$

Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левой части неравенства, а постоянные члены — в правой:

$x\ln(14) - x\ln(5) < \ln(14) + \ln(5)$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(\ln(14) - \ln(5)) < \ln(14) + \ln(5)$

Применим свойства логарифмов: $\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$ и $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$:

$x \ln(\frac{14}{5}) < \ln(14 \cdot 5)$

$x \ln(2.8) < \ln(70)$

Чтобы выразить $x$, разделим обе части на $\ln(2.8)$. Так как $2.8 > 1$, то $\ln(2.8) > 0$, и знак неравенства не меняется.

$x < \frac{\ln(70)}{\ln(2.8)}$

Используя формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$, получаем:

$x < \log_{2.8}(70)$

Теперь оценим значение $\log_{2.8}(70)$, чтобы найти целые решения. Найдем, между какими целыми числами находится это значение, последовательно возводя 2.8 в целые степени:

$(2.8)^1 = 2.8$

$(2.8)^2 = 7.84$

$(2.8)^3 = (2.8)^2 \cdot 2.8 = 7.84 \cdot 2.8 = 21.952$

$(2.8)^4 = (2.8)^3 \cdot 2.8 = 21.952 \cdot 2.8 = 61.4656$

$(2.8)^5 = (2.8)^4 \cdot 2.8 = 61.4656 \cdot 2.8 = 172.09368$

Мы видим, что $(2.8)^4 < 70 < (2.8)^5$.

Это означает, что $4 < \log_{2.8}(70) < 5$.

Таким образом, решение неравенства $x < \log_{2.8}(70)$ представляет собой интервал $(-\infty; \log_{2.8}(70))$, где $\log_{2.8}(70)$ — число, находящееся между 4 и 5.

По условию задачи, нам нужно найти сумму всех целых положительных чисел, которые являются решениями. Целые положительные числа — это натуральные числа: $1, 2, 3, 4, ...$ .

Из них неравенству $x < \log_{2.8}(70)$ удовлетворяют числа: $1, 2, 3, 4$.

Найдем сумму этих чисел:

$1 + 2 + 3 + 4 = 10$

Ответ: 10

13.49. Из всех целых чисел, которые не являются решениями неравенства $ (10^{4x-9} - 1)(3^{5x-21} - 1) \ge 0 $, найдите число, наименее удаленное от множества решений этого неравенства.

Сначала решим неравенство $(10^{4x-9} - 1)(3^{5x-21} - 1) \ge 0$.

Для решения используем метод интервалов. Найдем нули каждого множителя, приравняв их к нулю:

1) $10^{4x-9} - 1 = 0 \implies 10^{4x-9} = 1 \implies 10^{4x-9} = 10^0$.
$4x - 9 = 0 \implies x = \frac{9}{4} = 2.25$.

2) $3^{5x-21} - 1 = 0 \implies 3^{5x-21} = 1 \implies 3^{5x-21} = 3^0$.
$5x - 21 = 0 \implies x = \frac{21}{5} = 4.2$.

Отметим на числовой оси точки $x=2.25$ и $x=4.2$. Эти точки делят ось на три интервала. Определим знаки произведения $(10^{4x-9} - 1)(3^{5x-21} - 1)$ на каждом интервале:

– при $x > 4.2$ оба множителя положительны, их произведение положительно;
– при $2.25 < x < 4.2$ множитель $(10^{4x-9} - 1)$ положителен, а множитель $(3^{5x-21} - 1)$ отрицателен, их произведение отрицательно;
– при $x < 2.25$ оба множителя отрицательны, их произведение положительно.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), в решение включаются точки, где произведение равно нулю. Таким образом, множество решений неравенства: $x \in (-\infty; 2.25] \cup [4.2; +\infty)$.

Далее найдем все целые числа, которые не являются решениями данного неравенства. Эти числа должны принадлежать интервалу $(2.25; 4.2)$.

В этот интервал попадают целые числа $3$ и $4$.

Теперь необходимо найти, какое из этих двух чисел, $3$ или $4$, наименее удалено от множества решений $S = (-\infty; 2.25] \cup [4.2; +\infty)$. Расстояние от точки до множества — это кратчайшее расстояние от этой точки до какой-либо точки множества. Для чисел $3$ и $4$ ближайшими точками множества $S$ являются его граничные точки $2.25$ и $4.2$.

Вычислим расстояние от числа $3$ до множества $S$:

$d_3 = \min(|3 - 2.25|, |3 - 4.2|) = \min(0.75, 1.2) = 0.75$.

Вычислим расстояние от числа $4$ до множества $S$:

$d_4 = \min(|4 - 2.25|, |4 - 4.2|) = \min(1.75, 0.2) = 0.2$.

Сравнивая полученные расстояния, видим, что $0.2 < 0.75$, то есть $d_4 < d_3$. Следовательно, число $4$ является наименее удаленным от множества решений.

Ответ: 4

13.50. Укажите наименьшее натуральное число $x$, при котором число $3 \cdot 2^x$ составляет менее $50\%$ от числа $3^x + 5$.

Согласно условию, число $3 \cdot 2^x$ составляет менее 50% от числа $3^x + 5$. Запишем это в виде математического неравенства:

$3 \cdot 2^x < 0.5 \cdot (3^x + 5)$

Для упрощения решения умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$2 \cdot (3 \cdot 2^x) < 3^x + 5$

$6 \cdot 2^x < 3^x + 5$

Поскольку в задаче требуется найти наименьшее натуральное число $x$, мы можем решить это неравенство методом подбора, последовательно проверяя значения $x$, начиная с 1.

При x = 1:

$6 \cdot 2^1 < 3^1 + 5$

$12 < 3 + 5$

$12 < 8$ (неверно)

При x = 2:

$6 \cdot 2^2 < 3^2 + 5$

$6 \cdot 4 < 9 + 5$

$24 < 14$ (неверно)

При x = 3:

$6 \cdot 2^3 < 3^3 + 5$

$6 \cdot 8 < 27 + 5$

$48 < 32$ (неверно)

При x = 4:

$6 \cdot 2^4 < 3^4 + 5$

$6 \cdot 16 < 81 + 5$

$96 < 86$ (неверно)

При x = 5:

$6 \cdot 2^5 < 3^5 + 5$

$6 \cdot 32 < 243 + 5$

$192 < 248$ (верно)

Мы нашли, что при $x=5$ неравенство впервые выполняется. Поскольку показательная функция $y=3^x$ растет быстрее, чем $y=6 \cdot 2^x$, для всех натуральных чисел $x > 5$ данное неравенство также будет верным. Следовательно, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию, — это 5.

Ответ: 5

Докажите, что верно равенство:

14.1. a) $ \log_2 8 = 3; $

б) $ \log_3 \frac{1}{9} = -2; $

в) $ \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = 4; $

г) $ \log_{\frac{1}{5}} 625 = -4. $

Для доказательства данных равенств воспользуемся определением логарифма: $\log_b a = c$ тогда и только тогда, когда $b^c = a$, где $a > 0$, $b > 0$ и $b \neq 1$.

а) Чтобы доказать, что $\log_2 8 = 3$, необходимо проверить, выполняется ли равенство $2^3 = 8$ согласно определению логарифма. Выполним возведение в степень: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. Поскольку $8=8$, исходное равенство верно. Ответ: Равенство $\log_2 8 = 3$ верно, так как $2^3 = 8$.

б) Чтобы доказать, что $\log_3 \frac{1}{9} = -2$, необходимо проверить, выполняется ли равенство $3^{-2} = \frac{1}{9}$. Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), получаем: $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$. Поскольку $\frac{1}{9} = \frac{1}{9}$, исходное равенство верно. Ответ: Равенство $\log_3 \frac{1}{9} = -2$ верно, так как $3^{-2} = \frac{1}{9}$.

в) Чтобы доказать, что $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = 4$, необходимо проверить, выполняется ли равенство $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$. Выполним возведение в степень: $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$. Поскольку $\frac{1}{16} = \frac{1}{16}$, исходное равенство верно. Ответ: Равенство $\log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{16} = 4$ верно, так как $(\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.

г) Чтобы доказать, что $\log_{\frac{1}{5}} 625 = -4$, необходимо проверить, выполняется ли равенство $(\frac{1}{5})^{-4} = 625$. Используя свойство степени с отрицательным показателем ($(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$), получаем: $(\frac{1}{5})^{-4} = (\frac{5}{1})^4 = 5^4$. Вычислим $5^4$: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$. Поскольку $625 = 625$, исходное равенство верно. Ответ: Равенство $\log_{\frac{1}{5}} 625 = -4$ верно, так как $(\frac{1}{5})^{-4} = 625$.

14.2. а) $\log_2 2 = 1$;

б) $\log_2 4\sqrt{2} = 2,5$;

в) $\log_{0,1} 0,1 = 1$;

г) $\lg 100\sqrt[5]{10} = 2,2$.

а) Проверим истинность равенства $\log_2 2 = 1$.

Согласно основному свойству логарифмов, логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице: $\log_a a = 1$.

В данном случае основание $a=2$ и число под логарифмом тоже равно 2, следовательно, равенство $\log_2 2 = 1$ является верным.

Ответ: Равенство верно.

б) Проверим истинность равенства $\log_2 4\sqrt{2} = 2,5$.

Для вычисления значения логарифма преобразуем выражение под знаком логарифма, $4\sqrt{2}$, представив его как степень с основанием 2.

Поскольку $4 = 2^2$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, то:

$4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{1/2}$

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), получаем:

$2^{2 + 1/2} = 2^{5/2} = 2^{2,5}$

Теперь подставим полученное значение обратно в логарифм:

$\log_2 (2^{2,5})$

Используя свойство логарифма $\log_a (a^x) = x$, получаем:

$\log_2 (2^{2,5}) = 2,5$

Следовательно, равенство $\log_2 4\sqrt{2} = 2,5$ является верным.

Ответ: Равенство верно.

в) Проверим истинность равенства $\log_{0,1} 0,1 = 1$.

Как и в пункте а), воспользуемся свойством $\log_a a = 1$.

В данном случае основание $a=0,1$ и число под логарифмом также равно 0,1. Таким образом, равенство $\log_{0,1} 0,1 = 1$ является верным.

Ответ: Равенство верно.

г) Проверим истинность равенства $\lg 100\sqrt[5]{10} = 2,2$.

Символ $\lg$ обозначает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10 ($\lg x = \log_{10} x$).

Преобразуем выражение под знаком логарифма, $100\sqrt[5]{10}$, представив его как степень с основанием 10.

Поскольку $100 = 10^2$ и $\sqrt[5]{10} = 10^{1/5}$, то:

$100\sqrt[5]{10} = 10^2 \cdot 10^{1/5}$

Используя свойство умножения степеней, получаем:

$10^{2 + 1/5} = 10^{10/5 + 1/5} = 10^{11/5}$

Преобразуем показатель степени в десятичную дробь: $11/5 = 2,2$.

Таким образом, $100\sqrt[5]{10} = 10^{2,2}$.

Подставим это значение в логарифм:

$\lg(10^{2,2}) = \log_{10}(10^{2,2})$

Используя свойство $\log_a (a^x) = x$, получаем:

$\log_{10}(10^{2,2}) = 2,2$

Следовательно, равенство $\lg 100\sqrt[5]{10} = 2,2$ является верным.

Ответ: Равенство верно.

14.3. Вычислите:

а) $log_2 2^4$;

б) $log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-7}$;

в) $log_8 8^{-3}$;

г) $log_{0,1} (0,1)^5$.

а) Для вычисления выражения $\log_2 2^4$ используется одно из ключевых свойств логарифма: логарифм числа $b$ в степени $p$ по основанию $a$ равен произведению показателя степени $p$ на логарифм числа $b$ по основанию $a$. Формула выглядит так: $\log_a b^p = p \cdot \log_a b$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\log_2 2^4 = 4 \cdot \log_2 2$
Далее, воспользуемся еще одним свойством: логарифм числа по основанию, равному самому этому числу, всегда равен единице ($\log_a a = 1$). В нашем случае $\log_2 2 = 1$.
Подставим это значение в наше выражение:
$4 \cdot 1 = 4$
Также можно решить задачу проще, используя следствие из определения логарифма: $\log_a a^x = x$. В этом случае $a=2$ и $x=4$, поэтому результат сразу равен 4.
Ответ: 4

б) В выражении $\log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-7}$ основание логарифма $a = \frac{1}{3}$ совпадает с основанием степени под знаком логарифма. Показатель степени равен -7.
Используя свойство $\log_a a^x = x$, мы можем сразу найти значение выражения.
$\log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-7} = -7$
Для пошагового решения можно вынести показатель степени за знак логарифма:
$\log_{\frac{1}{3}} \left(\frac{1}{3}\right)^{-7} = -7 \cdot \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$
Поскольку $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$, получаем:
$-7 \cdot 1 = -7$
Ответ: -7

в) Выражение $\log_8 8^{-3}$ имеет ту же структуру, что и предыдущие. Основание логарифма $a=8$ и основание степени под логарифмом совпадают. Показатель степени равен -3.
Применяем свойство $\log_a a^x = x$:
$\log_8 8^{-3} = -3$
Подробное решение с выносом показателя степени:
$\log_8 8^{-3} = -3 \cdot \log_8 8$
Так как $\log_8 8 = 1$, то:
$-3 \cdot 1 = -3$
Ответ: -3

г) В последнем примере $\log_{0,1} (0,1)^5$ мы снова видим, что основание логарифма $a=0,1$ совпадает с основанием степени аргумента. Показатель степени $x=5$.
Используем свойство $\log_a a^x = x$ для нахождения ответа:
$\log_{0,1} (0,1)^5 = 5$
Распишем решение по шагам:
$\log_{0,1} (0,1)^5 = 5 \cdot \log_{0,1} 0,1$
Так как $\log_{0,1} 0,1 = 1$, получаем:
$5 \cdot 1 = 5$
Ответ: 5