Страница 81, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

13.14. а) $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \ge 1;$

В) $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \le 1;$

б) $0,36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1;$

Г) $\left(\frac{29}{30}\right)^{\frac{9x-18}{6-x}} > 1.$

а) $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \geq 1$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 19: $1 = 19^0$.

Неравенство принимает вид: $19^{\frac{2x-3}{x+2}} \geq 19^0$.

Так как основание степени $19 > 1$, показательная функция $y=19^t$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$\frac{2x-3}{x+2} \geq 0$

Решим полученное дробно-рациональное неравенство методом интервалов. Сначала найдем область определения: знаменатель не должен равняться нулю, то есть $x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2x-3 = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1.5$.

Нуль знаменателя: $x+2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка $x=1.5$ будет включена в решение (закрашенная), так как неравенство нестрогое ($\geq$). Точка $x=-2$ будет исключена (выколотая), так как она обращает знаменатель в ноль.

Определим знаки выражения $\frac{2x-3}{x+2}$ на полученных интервалах:

• При $x \in (1.5, +\infty)$, например $x=2$, выражение $\frac{2(2)-3}{2+2} = \frac{1}{4} > 0$.
• При $x \in (-2, 1.5)$, например $x=0$, выражение $\frac{2(0)-3}{0+2} = -\frac{3}{2} < 0$.
• При $x \in (-\infty, -2)$, например $x=-3$, выражение $\frac{2(-3)-3}{-3+2} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0$.

Поскольку нам нужно, чтобы выражение было больше или равно нулю, выбираем интервалы со знаком "+".

Решением неравенства является объединение интервалов: $(-\infty, -2) \cup [1.5, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2) \cup [1.5, +\infty)$.

б) $0,36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 1$

Представим 1 в виде степени с основанием 0,36: $1 = 0,36^0$.

Неравенство принимает вид: $0,36^{\frac{7x+1}{2-x}} < 0,36^0$.

Так как основание степени $0 < 0,36 < 1$, показательная функция $y=0,36^t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{7x+1}{2-x} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Область определения: $2-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$.

Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $7x+1 = 0 \Rightarrow 7x = -1 \Rightarrow x = -1/7$.

Нуль знаменателя: $2-x = 0 \Rightarrow x = 2$.

Отметим точки на числовой прямой. Обе точки ($x=-1/7$ и $x=2$) будут выколотыми, так как исходное неравенство строгое.

Определим знаки выражения $\frac{7x+1}{2-x}$ на интервалах:

• При $x \in (2, +\infty)$, например $x=3$, выражение $\frac{7(3)+1}{2-3} = \frac{22}{-1} < 0$.
• При $x \in (-1/7, 2)$, например $x=0$, выражение $\frac{7(0)+1}{2-0} = \frac{1}{2} > 0$.
• При $x \in (-\infty, -1/7)$, например $x=-1$, выражение $\frac{7(-1)+1}{2-(-1)} = \frac{-6}{3} < 0$.

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля (знак "+").

Решением является интервал $(-1/7, 2)$.

Ответ: $(-1/7, 2)$.

в) $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \leq 1$

Представим 1 как степень с основанием 37: $1 = 37^0$.

Получаем неравенство: $37^{\frac{5x-9}{x+6}} \leq 37^0$.

Основание степени $37 > 1$, поэтому показательная функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$\frac{5x-9}{x+6} \leq 0$

Решаем методом интервалов. ОДЗ: $x+6 \neq 0 \Rightarrow x \neq -6$.

Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5x-9 = 0 \Rightarrow 5x = 9 \Rightarrow x = 1.8$.

Нуль знаменателя: $x+6 = 0 \Rightarrow x = -6$.

Отметим точки на числовой прямой: $x=1.8$ — закрашенная (неравенство нестрогое), $x=-6$ — выколотая (знаменатель).

Определим знаки выражения $\frac{5x-9}{x+6}$ на интервалах:

• При $x \in (1.8, +\infty)$, например $x=2$, выражение $\frac{5(2)-9}{2+6} = \frac{1}{8} > 0$.
• При $x \in (-6, 1.8)$, например $x=0$, выражение $\frac{5(0)-9}{0+6} = -\frac{9}{6} < 0$.
• При $x \in (-\infty, -6)$, например $x=-7$, выражение $\frac{5(-7)-9}{-7+6} = \frac{-44}{-1} > 0$.

Выбираем интервал, где выражение меньше или равно нулю (знак "-").

Решение: $x \in (-6, 1.8]$.

Ответ: $(-6, 1.8]$.

г) $(\frac{29}{30})^{\frac{9x-18}{6-x}} > 1$

Представим 1 как степень с основанием $\frac{29}{30}$: $1 = (\frac{29}{30})^0$.

Неравенство принимает вид: $(\frac{29}{30})^{\frac{9x-18}{6-x}} > (\frac{29}{30})^0$.

Так как основание степени $0 < \frac{29}{30} < 1$, показательная функция убывающая. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$\frac{9x-18}{6-x} < 0$

Решаем методом интервалов. ОДЗ: $6-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 6$.

Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $9x-18 = 0 \Rightarrow 9x=18 \Rightarrow x=2$.

Нуль знаменателя: $6-x=0 \Rightarrow x=6$.

Отметим точки на числовой прямой. Обе точки ($x=2$ и $x=6$) выколотые, так как неравенство строгое.

Определим знаки выражения $\frac{9x-18}{6-x}$ на интервалах:

• При $x \in (6, +\infty)$, например $x=7$, выражение $\frac{9(7)-18}{6-7} = \frac{45}{-1} < 0$.
• При $x \in (2, 6)$, например $x=3$, выражение $\frac{9(3)-18}{6-3} = \frac{9}{3} > 0$.
• При $x \in (-\infty, 2)$, например $x=0$, выражение $\frac{9(0)-18}{6-0} = -3 < 0$.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля (знак "-").

Решением является объединение интервалов $(-\infty, 2) \cup (6, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, 2) \cup (6, +\infty)$.

13.15. a) $5^{\frac{x}{x+3}} \leqslant 5;$

б) $(\frac{4}{9})^{\frac{2x-1}{3x+5}} > \frac{4}{9};$

В) $17^{\frac{x}{x-8}} \geqslant 17;$

Г) $(0,21)^{\frac{3x+4}{x-8}} < 0,21.$

а) $5^{\frac{x}{x+3}} \le 5$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 5: $5 = 5^1$.
Неравенство принимает вид:
$5^{\frac{x}{x+3}} \le 5^1$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.
$\frac{x}{x+3} \le 1$
Перенесем 1 в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{x}{x+3} - 1 \le 0$
$\frac{x - (x+3)}{x+3} \le 0$
$\frac{x - x - 3}{x+3} \le 0$
$\frac{-3}{x+3} \le 0$
Числитель дроби (-3) является отрицательным числом. Чтобы вся дробь была меньше или равна нулю, ее знаменатель должен быть строго больше нуля (знаменатель не может быть равен нулю).
$x+3 > 0$
$x > -3$
Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

б) $(\frac{4}{9})^{\frac{2x-1}{3x+5}} > \frac{4}{9}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{4}{9}$: $\frac{4}{9} = (\frac{4}{9})^1$.
Неравенство принимает вид:
$(\frac{4}{9})^{\frac{2x-1}{3x+5}} > (\frac{4}{9})^1$
Так как основание степени $a = \frac{4}{9}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y=(\frac{4}{9})^t$ является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$\frac{2x-1}{3x+5} < 1$
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{2x-1}{3x+5} - 1 < 0$
$\frac{2x-1 - (3x+5)}{3x+5} < 0$
$\frac{2x-1-3x-5}{3x+5} < 0$
$\frac{-x-6}{3x+5} < 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{x+6}{3x+5} > 0$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
$x+6=0 \implies x=-6$
$3x+5=0 \implies x=-5/3$
Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения $\frac{x+6}{3x+5}$ на полученных интервалах $(-\infty; -6)$, $(-6; -5/3)$ и $(-5/3; +\infty)$.

• При $x > -5/3$ (например, $x=0$): $\frac{0+6}{3(0)+5} = \frac{6}{5} > 0$.
• При $-6 < x < -5/3$ (например, $x=-3$): $\frac{-3+6}{3(-3)+5} = \frac{3}{-4} < 0$.
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{-7+6}{3(-7)+5} = \frac{-1}{-16} > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty; -6)$ и $(-5/3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-\frac{5}{3}; +\infty)$.

в) $17^{\frac{x}{x-8}} \ge 17$

Представим правую часть в виде степени: $17 = 17^1$.
$17^{\frac{x}{x-8}} \ge 17^1$
Так как основание степени $17 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей сохраняется.
$\frac{x}{x-8} \ge 1$
Перенесем 1 в левую часть:
$\frac{x}{x-8} - 1 \ge 0$
$\frac{x - (x-8)}{x-8} \ge 0$
$\frac{x - x + 8}{x-8} \ge 0$
$\frac{8}{x-8} \ge 0$
Числитель $8$ положителен. Чтобы дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть строго больше нуля.
$x-8 > 0$
$x > 8$
Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

г) $(0,21)^{\frac{3x+4}{x-8}} < 0,21$

Представим правую часть в виде степени: $0,21 = (0,21)^1$.
$(0,21)^{\frac{3x+4}{x-8}} < (0,21)^1$
Так как основание степени $a=0,21$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.
$\frac{3x+4}{x-8} > 1$
Перенесем 1 в левую часть:
$\frac{3x+4}{x-8} - 1 > 0$
$\frac{3x+4 - (x-8)}{x-8} > 0$
$\frac{3x+4 - x + 8}{x-8} > 0$
$\frac{2x+12}{x-8} > 0$
$\frac{2(x+6)}{x-8} > 0$
Разделим обе части на 2 (знак неравенства не изменится):
$\frac{x+6}{x-8} > 0$
Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=-6$ и $x=8$.
Нанесем точки на числовую ось и определим знаки выражения на интервалах $(-\infty; -6)$, $(-6; 8)$ и $(8; +\infty)$.

• При $x > 8$ (например, $x=10$): $\frac{10+6}{10-8} = \frac{16}{2} > 0$.
• При $-6 < x < 8$ (например, $x=0$): $\frac{0+6}{0-8} = \frac{6}{-8} < 0$.
• При $x < -6$ (например, $x=-7$): $\frac{-7+6}{-7-8} = \frac{-1}{-15} > 0$.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty; -6)$ и $(8; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (8; +\infty)$.

13.16. a) $3^{\frac{x-4}{x}-3} < \frac{1}{27}$;

В) $8^{\frac{2-x}{x}-2} > \frac{1}{64}$;

б) $(\frac{8}{9})^{\frac{6x-1}{x}-1} \ge \frac{81}{64}$;

Г) $(\frac{6}{11})^{\frac{5x+1}{x}+1} \le \frac{121}{36}$.

а)

Исходное неравенство:

$3^{\frac{x-4}{x} - 3} < \frac{1}{27}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3:

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$

Теперь неравенство выглядит так:

$3^{\frac{x-4}{x} - 3} < 3^{-3}$

Так как основание степени $3 > 1$, то показательная функция является возрастающей. Это означает, что для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$\frac{x-4}{x} - 3 < -3$

Прибавим 3 к обеим частям:

$\frac{x-4}{x} < 0$

Решим это рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

Нуль знаменателя: $x = 0$. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $x=0$ будет выколотой.

Отметим точки 0 и 4 на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{x-4}{x}$ на полученных интервалах:

• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{-1-4}{-1} = 5 > 0$
• При $0 < x < 4$ (например, $x=1$): $\frac{1-4}{1} = -3 < 0$
• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{5-4}{5} = 0.2 > 0$

Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля. Это интервал $(0; 4)$.

Ответ: $x \in (0; 4)$.

б)

Исходное неравенство:

$(\frac{8}{9})^{\frac{6x-1}{x} - 1} \ge \frac{81}{64}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{8}{9}$:

$\frac{81}{64} = \frac{9^2}{8^2} = (\frac{9}{8})^2 = ((\frac{8}{9})^{-1})^2 = (\frac{8}{9})^{-2}$

Теперь неравенство выглядит так:

$(\frac{8}{9})^{\frac{6x-1}{x} - 1} \ge (\frac{8}{9})^{-2}$

Так как основание степени $0 < \frac{8}{9} < 1$, то показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе к показателям степени знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{6x-1}{x} - 1 \le -2$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{6x-1}{x} - 1 + 2 \le 0$

$\frac{6x-1}{x} + 1 \le 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{6x-1+x}{x} \le 0$

$\frac{7x-1}{x} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $7x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{7}$. Точка включается в решение.

Нуль знаменателя: $x = 0$. Точка выкалывается.

Отметим точки 0 и $\frac{1}{7}$ на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{7x-1}{x}$ на интервалах:

• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{7(-1)-1}{-1} = 8 > 0$
• При $0 < x \le \frac{1}{7}$ (например, $x=0.1$): $\frac{7(0.1)-1}{0.1} = -3 \le 0$
• При $x > \frac{1}{7}$ (например, $x=1$): $\frac{7(1)-1}{1} = 6 > 0$

Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $(0; \frac{1}{7}]$.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{7}]$.

в)

Исходное неравенство:

$8^{\frac{2-x}{x} - 2} > \frac{1}{64}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 8:

$\frac{1}{64} = \frac{1}{8^2} = 8^{-2}$

Теперь неравенство выглядит так:

$8^{\frac{2-x}{x} - 2} > 8^{-2}$

Так как основание степени $8 > 1$, показательная функция является возрастающей. Знак неравенства для показателей степени сохраняется:

$\frac{2-x}{x} - 2 > -2$

Прибавим 2 к обеим частям:

$\frac{2-x}{x} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2 - x = 0 \Rightarrow x = 2$.

Нуль знаменателя: $x = 0$.

Обе точки выколотые. Отметим их на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{2-x}{x}$ на интервалах:

• При $x < 0$ (например, $x=-1$): $\frac{2-(-1)}{-1} = -3 < 0$
• При $0 < x < 2$ (например, $x=1$): $\frac{2-1}{1} = 1 > 0$
• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{2-3}{3} = -\frac{1}{3} < 0$

Нам нужен интервал, где выражение больше нуля. Это интервал $(0; 2)$.

Ответ: $x \in (0; 2)$.

г)

Исходное неравенство:

$(\frac{6}{11})^{\frac{5x+1}{x} + 1} \le \frac{121}{36}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{6}{11}$:

$\frac{121}{36} = \frac{11^2}{6^2} = (\frac{11}{6})^2 = ((\frac{6}{11})^{-1})^2 = (\frac{6}{11})^{-2}$

Теперь неравенство выглядит так:

$(\frac{6}{11})^{\frac{5x+1}{x} + 1} \le (\frac{6}{11})^{-2}$

Так как основание степени $0 < \frac{6}{11} < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к показателям степени знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{5x+1}{x} + 1 \ge -2$

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{5x+1}{x} + 1 + 2 \ge 0$

$\frac{5x+1}{x} + 3 \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{5x+1+3x}{x} \ge 0$

$\frac{8x+1}{x} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $8x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{8}$. Точка включается в решение.

Нуль знаменателя: $x = 0$. Точка выкалывается.

Отметим точки $-\frac{1}{8}$ и 0 на числовой прямой и определим знаки выражения $\frac{8x+1}{x}$ на интервалах:

• При $x < -\frac{1}{8}$ (например, $x=-1$): $\frac{8(-1)+1}{-1} = 7 > 0$
• При $-\frac{1}{8} \le x < 0$ (например, $x=-0.1$): $\frac{8(-0.1)+1}{-0.1} = -2 < 0$
• При $x > 0$ (например, $x=1$): $\frac{8(1)+1}{1} = 9 > 0$

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это интервалы $(-\infty; -\frac{1}{8}]$ и $(0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{8}] \cup (0; +\infty)$.

13.17. a) $3^{\sqrt{x^2-5x+6}} \ge 1$;

б) $0,4^{\sqrt{4x^2-13x+3}} \le 1$;

В) $9^{\sqrt{5+4x-x^2}} \ge 1$;

Г) $\left(\frac{4}{5}\right)^{\sqrt{6+x-x^2}} \le 1$.

а) Решим неравенство $3^{\sqrt{x^2-5x+6}} \ge 1$.
Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 3: $1 = 3^0$.
Неравенство принимает вид: $3^{\sqrt{x^2-5x+6}} \ge 3^0$.
Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$\sqrt{x^2-5x+6} \ge 0$.
По определению, арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Поэтому данное неравенство выполняется для всех значений $x$, для которых выражение под корнем определено, то есть неотрицательно.
Таким образом, задача сводится к нахождению области определения подкоренного выражения:
$x^2-5x+6 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2-5x+6 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$.
Графиком функции $y = x^2-5x+6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции неотрицательны при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня.
Следовательно, решение неравенства: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.

б) Решим неравенство $0,4^{\sqrt{4x^2-13x+3}} \le 1$.
Представим 1 как степень с основанием 0,4: $1 = 0,4^0$.
Неравенство принимает вид: $0,4^{\sqrt{4x^2-13x+3}} \le 0,4^0$.
Так как основание степени $0,4 < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:
$\sqrt{4x^2-13x+3} \ge 0$.
Это неравенство, как и в предыдущем пункте, выполняется для всех $x$ из области определения квадратного корня.
Найдем область определения, решив неравенство:
$4x^2-13x+3 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2-13x+3 = 0$ через дискриминант.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 169 - 48 = 121 = 11^2$.
$x_{1,2} = \frac{-(-13) \pm 11}{2 \cdot 4} = \frac{13 \pm 11}{8}$.
$x_1 = \frac{13-11}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$x_2 = \frac{13+11}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
Графиком функции $y = 4x^2-13x+3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $y \ge 0$ выполняется на промежутках $(-\infty; \frac{1}{4}] \cup [3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; \frac{1}{4}] \cup [3; +\infty)$.

в) Решим неравенство $9^{\sqrt{5+4x-x^2}} \ge 1$.
Представим 1 как $9^0$. Неравенство примет вид: $9^{\sqrt{5+4x-x^2}} \ge 9^0$.
Основание $9 > 1$, поэтому знак неравенства для показателей сохраняется:
$\sqrt{5+4x-x^2} \ge 0$.
Неравенство справедливо для всех $x$ из области определения подкоренного выражения.
$5+4x-x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на -1, изменив знак на противоположный:
$x^2-4x-5 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2-4x-5 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.
Парабола $y = x^2-4x-5$ направлена ветвями вверх. Неравенство $y \le 0$ выполняется между корнями (включая сами корни).
Следовательно, решение: $-1 \le x \le 5$.
Ответ: $[-1; 5]$.

г) Решим неравенство $(\frac{4}{5})^{\sqrt{6+x-x^2}} \le 1$.
Представим 1 как $(\frac{4}{5})^0$. Неравенство примет вид: $(\frac{4}{5})^{\sqrt{6+x-x^2}} \le (\frac{4}{5})^0$.
Так как основание $0 < \frac{4}{5} < 1$, показательная функция убывающая, поэтому знак неравенства для показателей меняется на противоположный:
$\sqrt{6+x-x^2} \ge 0$.
Неравенство выполняется на области определения подкоренного выражения.
$6+x-x^2 \ge 0$.
Умножим на -1 и сменим знак:
$x^2-x-6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2-x-6=0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2-x-6$ с ветвями вверх. Неотрицательные значения функция принимает между корнями.
Следовательно, решение: $-2 \le x \le 3$.
Ответ: $[-2; 3]$.

13.18. а) $2^{|x-3|} \ge \sqrt[4]{2};$

б) $5^{|x+9|} \le \sqrt[3]{25};$

В) $\left(\frac{1}{4}\right)^{|x| \cdot (x-1)} \ge \frac{1}{16};$

Г) $(0,3)^{|x^2-1|} \le 0,027.$

а) $2^{|x-3|} \ge \sqrt[4]{2}$

Сначала представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 2:

$\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}$

Теперь неравенство выглядит так:

$2^{|x-3|} \ge 2^{\frac{1}{4}}$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:

$|x-3| \ge \frac{1}{4}$

Это неравенство с модулем распадается на два случая:

1) $x-3 \ge \frac{1}{4}$

$x \ge 3 + \frac{1}{4}$

$x \ge \frac{12}{4} + \frac{1}{4}$

$x \ge \frac{13}{4}$

2) $x-3 \le -\frac{1}{4}$

$x \le 3 - \frac{1}{4}$

$x \le \frac{12}{4} - \frac{1}{4}$

$x \le \frac{11}{4}$

Объединяя решения этих двух случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{11}{4}] \cup [\frac{13}{4}; +\infty)$.

б) $5^{|x+9|} \le \sqrt[3]{25}$

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 5:

$\sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}$

Теперь неравенство имеет вид:

$5^{|x+9|} \le 5^{\frac{2}{3}}$

Основание степени $5 > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$|x+9| \le \frac{2}{3}$

Это неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:

$-\frac{2}{3} \le x+9 \le \frac{2}{3}$

Вычтем 9 из всех частей неравенства:

$-\frac{2}{3} - 9 \le x \le \frac{2}{3} - 9$

$-\frac{2}{3} - \frac{27}{3} \le x \le \frac{2}{3} - \frac{27}{3}$

$-\frac{29}{3} \le x \le -\frac{25}{3}$

Ответ: $x \in [-\frac{29}{3}; -\frac{25}{3}]$.

в) $(\frac{1}{4})^{|x| \cdot (x-1)} \ge \frac{1}{16}$

Приведем обе части неравенства к одному основанию $\frac{1}{4}$:

$\frac{1}{16} = (\frac{1}{4})^2$

Неравенство принимает вид:

$(\frac{1}{4})^{|x|(x-1)} \ge (\frac{1}{4})^2$

Так как основание степени $0 < \frac{1}{4} < 1$, показательная функция является убывающей. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$|x|(x-1) \le 2$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля:

1) Если $x \ge 0$, то $|x| = x$. Неравенство становится:

$x(x-1) \le 2$

$x^2 - x - 2 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $x \in [-1, 2]$. Учитывая условие $x \ge 0$, получаем решение для этого случая: $x \in [0, 2]$.

2) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Неравенство становится:

$-x(x-1) \le 2$

$-x^2 + x \le 2$

$0 \le x^2 - x + 2$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - x + 2$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), этот трехчлен всегда принимает положительные значения. Следовательно, неравенство $x^2 - x + 2 \ge 0$ верно для всех действительных чисел. Учитывая условие $x < 0$, получаем решение для этого случая: $x \in (-\infty, 0)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ: $(-\infty, 0) \cup [0, 2]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

г) $(0,3)^{|x^2-1|} \le 0,027$

Представим правую часть в виде степени с основанием 0,3:

$0,027 = (0,3)^3$

Неравенство принимает вид:

$(0,3)^{|x^2-1|} \le (0,3)^3$

Основание степени $0 < 0,3 < 1$, поэтому показательная функция убывающая. При переходе к неравенству для показателей знак меняется на противоположный:

$|x^2-1| \ge 3$

Это неравенство с модулем распадается на два случая:

1) $x^2-1 \ge 3$

$x^2 \ge 4$

$|x| \ge 2$, что дает $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

2) $x^2-1 \le -3$

$x^2 \le -2$

Это неравенство не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, решением является только результат первого случая.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.

13.19. a) $(\frac{1}{2})^{|x|} < (\frac{1}{4})^{|x+8|}$;

б) $(0,2)^{|-x|} > (0,04)^{|x-9|}$;

В) $(\sqrt{3})^{2|x|} \le 3^{|-x+9|}$;

Г) $(\sqrt{5})^{-3|x|} \ge 5^{-|9x-1|}$.

а)

Дано показательное неравенство: $(\frac{1}{2})^{|x|} < (\frac{1}{4})^{|x+8|}$.

Первым шагом приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^2$.

Подставим это в исходное неравенство:

$(\frac{1}{2})^{|x|} < ((\frac{1}{2})^2)^{|x+8|}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(\frac{1}{2})^{|x|} < (\frac{1}{2})^{2|x+8|}$

Так как основание степени $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция является убывающей. Это означает, что при переходе от неравенства для степеней к неравенству для их показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$|x| > 2|x+8|$

Обе части полученного неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства. Это позволяет избавиться от модулей.

$x^2 > (2(x+8))^2$

$x^2 > 4(x+8)^2$

$x^2 > 4(x^2 + 16x + 64)$

$x^2 > 4x^2 + 64x + 256$

Перенесем все члены в одну сторону:

$0 > 3x^2 + 64x + 256$

или

$3x^2 + 64x + 256 < 0$

Теперь решим это квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 + 64x + 256 = 0$ с помощью дискриминанта.

$D = b^2 - 4ac = 64^2 - 4 \cdot 3 \cdot 256 = 4096 - 3072 = 1024$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-64 - 32}{2 \cdot 3} = \frac{-96}{6} = -16$

$x_2 = \frac{-64 + 32}{2 \cdot 3} = \frac{-32}{6} = -\frac{16}{3}$

Графиком функции $y = 3x^2 + 64x + 256$ является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Неравенство $3x^2 + 64x + 256 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решением является интервал $(-16, -\frac{16}{3})$.

Ответ: $x \in (-16; -\frac{16}{3})$.

б)

Дано неравенство: $(0,2)^{|-x|} > (0,04)^{|x-9|}$.

Упростим выражение, используя свойство модуля $|-x| = |x|$. Приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что $0,2 = \frac{1}{5}$ и $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = (\frac{1}{5})^2 = (0,2)^2$.

Неравенство принимает вид:

$(0,2)^{|x|} > ((0,2)^2)^{|x-9|}$

$(0,2)^{|x|} > (0,2)^{2|x-9|}$

Основание степени $a = 0,2$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому показательная функция убывает. При сравнении показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$|x| < 2|x-9|$

Возведем обе неотрицательные части неравенства в квадрат:

$x^2 < 4(x-9)^2$

$x^2 < 4(x^2 - 18x + 81)$

$x^2 < 4x^2 - 72x + 324$

$0 < 3x^2 - 72x + 324$

Разделим обе части на 3:

$x^2 - 24x + 108 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 24x + 108 = 0$.

Дискриминант $D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 576 - 432 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{24 - 12}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{24 + 12}{2} = \frac{36}{2} = 18$

Парабола $y = x^2 - 24x + 108$ имеет ветви вверх. Неравенство $x^2 - 24x + 108 > 0$ выполняется для значений $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Таким образом, решение: $x \in (-\infty, 6) \cup (18, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 6) \cup (18; \infty)$.

в)

Дано неравенство: $(\sqrt{3})^{2|x|} \le 3^{|-x+9|}$.

Приведем обе части к основанию 3. Учтем, что $\sqrt{3} = 3^{1/2}$ и $|-x+9| = |-(x-9)| = |x-9|$.

$(3^{1/2})^{2|x|} \le 3^{|x-9|}$

$3^{|x|} \le 3^{|x-9|}$

Основание степени $a = 3$ больше 1, поэтому показательная функция возрастает. При переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$|x| \le |x-9|$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 \le (x-9)^2$

$x^2 \le x^2 - 18x + 81$

$0 \le -18x + 81$

$18x \le 81$

$x \le \frac{81}{18}$

$x \le \frac{9}{2}$ или $x \le 4,5$.

Решение можно представить в виде интервала $(-\infty, 4,5]$.

Ответ: $x \in (-\infty; 4,5]$.

г)

Дано неравенство: $(\sqrt{5})^{-3|x|} \ge 5^{-|9x-1|}$.

Приведем обе части к основанию 5, используя $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.

$(5^{1/2})^{-3|x|} \ge 5^{-|9x-1|}$

$5^{-\frac{3}{2}|x|} \ge 5^{-|9x-1|}$

Основание $a = 5$ больше 1, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства для показателей сохраняется.

$-\frac{3}{2}|x| \ge -|9x-1|$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{3}{2}|x| \le |9x-1|$

Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:

$3|x| \le 2|9x-1|$

Возведем в квадрат обе неотрицательные части:

$(3|x|)^2 \le (2|9x-1|)^2$

$9x^2 \le 4(9x-1)^2$

$9x^2 \le 4(81x^2 - 18x + 1)$

$9x^2 \le 324x^2 - 72x + 4$

$0 \le 315x^2 - 72x + 4$

Решим квадратное неравенство $315x^2 - 72x + 4 \ge 0$. Найдем корни уравнения $315x^2 - 72x + 4 = 0$.

$D = (-72)^2 - 4 \cdot 315 \cdot 4 = 5184 - 5040 = 144 = 12^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{72 - 12}{2 \cdot 315} = \frac{60}{630} = \frac{6}{63} = \frac{2}{21}$

$x_2 = \frac{72 + 12}{2 \cdot 315} = \frac{84}{630} = \frac{14}{105} = \frac{2}{15}$

Парабола $y = 315x^2 - 72x + 4$ имеет ветви вверх. Неравенство $\ge 0$ выполняется вне интервала между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение: $x \in (-\infty, \frac{2}{21}] \cup [\frac{2}{15}, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{21}] \cup [\frac{2}{15}; \infty)$.

13.20. Сколько натуральных чисел являются решениями неравенства:

a) $8^{-2x+8} > 512;$

б) $(\frac{1}{9})^{8x-23} \ge \frac{1}{81};$

в) $2^{5x-7} \le 16;$

г) $0,1^{4x-5} > 0,001?$

а)Исходное неравенство: $8^{-2x+8} > 512$.
Представим обе части неравенства в виде степени с основанием 8. Мы знаем, что $512 = 8^3$.
Неравенство принимает вид: $8^{-2x+8} > 8^3$.
Так как основание степени $8 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$-2x + 8 > 3$
$-2x > 3 - 8$
$-2x > -5$
При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:
$x < \frac{-5}{-2}$
$x < 2,5$
Натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству, — это 1 и 2. Всего их 2.
Ответ: 2

б)Исходное неравенство: $(\frac{1}{9})^{8x-23} \ge \frac{1}{81}$.
Представим обе части неравенства в виде степени с основанием $\frac{1}{9}$. Мы знаем, что $\frac{1}{81} = (\frac{1}{9})^2$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{9})^{8x-23} \ge (\frac{1}{9})^2$.
Так как основание степени $0 < \frac{1}{9} < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$8x - 23 \le 2$
$8x \le 2 + 23$
$8x \le 25$
$x \le \frac{25}{8}$
$x \le 3,125$
Натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству, — это 1, 2, 3. Всего их 3.
Ответ: 3

в)Исходное неравенство: $2^{5x-7} \le 16$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 2. Мы знаем, что $16 = 2^4$.
Неравенство принимает вид: $2^{5x-7} \le 2^4$.
Так как основание степени $2 > 1$, то знак неравенства сохраняется:
$5x - 7 \le 4$
$5x \le 4 + 7$
$5x \le 11$
$x \le \frac{11}{5}$
$x \le 2,2$
Натуральные числа, удовлетворяющие этому неравенству, — это 1 и 2. Всего их 2.
Ответ: 2

г)Исходное неравенство: $0,1^{4x-5} > 0,001$.
Представим обе части неравенства в виде степени с основанием 0,1. Мы знаем, что $0,001 = 0,1^3$.
Неравенство принимает вид: $0,1^{4x-5} > 0,1^3$.
Так как основание степени $0 < 0,1 < 1$, то знак неравенства меняется на противоположный:
$4x - 5 < 3$
$4x < 3 + 5$
$4x < 8$
$x < 2$
Единственное натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству, — это 1. Всего 1 число.
Ответ: 1