Страница 74, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

12.8. а) $(\sqrt{12})^x \cdot (\sqrt{3})^x = \frac{1}{6};$

В) $(\sqrt[3]{3})^{2x} \cdot (\sqrt[3]{9})^{2x} = 243;$

б) $\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3} = 0,81^{-2x};$

Г) $\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}\right)^{x^2+4} = 20,25^{x+1}.$

а) $(\sqrt{12})^x \cdot (\sqrt{3})^x = \frac{1}{6}$

Используя свойство произведения степеней с одинаковым показателем $(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n)$, преобразуем левую часть уравнения:
$(\sqrt{12} \cdot \sqrt{3})^x = \frac{1}{6}$
Используя свойство корней $(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b})$, упростим выражение в скобках:
$(\sqrt{12 \cdot 3})^x = \frac{1}{6}$
$(\sqrt{36})^x = \frac{1}{6}$
$6^x = \frac{1}{6}$
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 6, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$6^x = 6^{-1}$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$x = -1$
Ответ: -1

б) $(\frac{\sqrt{10}}{3})^{3x^2 - 3} = 0,81^{-2x}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе части к одному основанию.
Преобразуем правую часть. Представим десятичную дробь $0,81$ в виде обыкновенной дроби: $0,81 = \frac{81}{100}$.
Заметим, что $\frac{81}{100} = (\frac{9}{10})^2$.
Основание в левой части уравнения равно $\frac{\sqrt{10}}{3}$. Возведем его в квадрат: $(\frac{\sqrt{10}}{3})^2 = \frac{10}{9}$.
Видно, что основания $\frac{10}{9}$ и $\frac{9}{10}$ являются взаимно обратными числами, то есть $\frac{9}{10} = (\frac{10}{9})^{-1}$.
Приведем обе части уравнения к основанию $\frac{10}{9}$.
Левая часть: $(\frac{\sqrt{10}}{3})^{3x^2 - 3} = ((\frac{10}{9})^{\frac{1}{2}})^{3x^2 - 3} = (\frac{10}{9})^{\frac{3x^2 - 3}{2}}$.
Правая часть: $0,81^{-2x} = ((\frac{9}{10})^2)^{-2x} = ((\frac{10}{9})^{-2})^{-2x} = (\frac{10}{9})^{4x}$.
Получаем уравнение:
$(\frac{10}{9})^{\frac{3x^2 - 3}{2}} = (\frac{10}{9})^{4x}$
Приравниваем показатели степеней:
$\frac{3x^2 - 3}{2} = 4x$
$3x^2 - 3 = 8x$
$3x^2 - 8x - 3 = 0$
Решаем квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $3; -\frac{1}{3}$

в) $(\sqrt[3]{3})^{2x} \cdot (\sqrt[3]{9})^{2x} = 243$

Упростим левую часть уравнения, используя свойство $(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n)$:
$(\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{9})^{2x} = 243$
$(\sqrt[3]{3 \cdot 9})^{2x} = 243$
$(\sqrt[3]{27})^{2x} = 243$
$3^{2x} = 243$
Представим число 243 в виде степени с основанием 3:
$3^1=3$, $3^2=9$, $3^3=27$, $3^4=81$, $3^5=243$.
Таким образом, $243 = 3^5$.
Подставим это в уравнение:
$3^{2x} = 3^5$
Приравниваем показатели степеней:
$2x = 5$
$x = \frac{5}{2} = 2,5$
Ответ: 2,5

г) $(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}})^{x^2 + 4} = 20,25^{x+1}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию.
Сначала преобразуем правую часть. Переведем десятичную дробь в обыкновенную:
$20,25 = 20\frac{25}{100} = 20\frac{1}{4} = \frac{80+1}{4} = \frac{81}{4}$.
Теперь преобразуем основание левой части: $\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}$.
Попытаемся найти связь между основаниями $\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}$ и $\frac{81}{4}$. Для этого представим основание левой части через степени: $\frac{2^{1/4}}{3^{1/2}}$.
Возведем это выражение в некоторую степень, чтобы избавиться от дробных показателей. Например, в 8-ю степень:
$(\frac{2^{1/4}}{3^{1/2}})^8 = \frac{(2^{1/4})^8}{(3^{1/2})^8} = \frac{2^{8/4}}{3^{8/2}} = \frac{2^2}{3^4} = \frac{4}{81}$.
Мы получили число, обратное основанию правой части: $\frac{4}{81} = (\frac{81}{4})^{-1}$.
Итак, $(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}})^8 = (\frac{81}{4})^{-1}$. Отсюда, извлекая корень 8-й степени, получаем: $\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}} = ((\frac{81}{4})^{-1})^{1/8} = (\frac{81}{4})^{-1/8}$.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$((\frac{81}{4})^{-1/8})^{x^2 + 4} = (\frac{81}{4})^{x+1}$
$(\frac{81}{4})^{-\frac{x^2+4}{8}} = (\frac{81}{4})^{x+1}$
Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней:
$-\frac{x^2+4}{8} = x+1$
Умножим обе части на -8:
$x^2+4 = -8(x+1)$
$x^2+4 = -8x - 8$
$x^2 + 8x + 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение, например, по теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -8$
$x_1 \cdot x_2 = 12$
Подбором находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = -6$.
Ответ: -6; -2

12.9. a) $\sqrt{625} \cdot \sqrt{5^{14x-9}} = \sqrt[6]{125} \cdot 5^{6x-12};$

б) $\sqrt[3]{0,2} \cdot \sqrt{0,2^{2x-\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{0,04^{-3x+6}}.$

а) $\sqrt{625} \cdot \sqrt{5^{14x-9}} = \sqrt[6]{125} \cdot 5^{6x-12}$

Для решения данного уравнения необходимо привести все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 5.
Преобразуем каждый множитель:

• $\sqrt{625} = \sqrt{25^2} = 25 = 5^2$
• $\sqrt{5^{14x-9}} = (5^{14x-9})^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{14x-9}{2}}$
• $\sqrt[6]{125} = \sqrt[6]{5^3} = 5^{\frac{3}{6}} = 5^{\frac{1}{2}}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$5^2 \cdot 5^{\frac{14x-9}{2}} = 5^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{6x-12}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$5^{2 + \frac{14x-9}{2}} = 5^{\frac{1}{2} + (6x-12)}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 + \frac{14x-9}{2} = \frac{1}{2} + 6x - 12$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$2 \cdot 2 + 2 \cdot \frac{14x-9}{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot (6x - 12)$

$4 + 14x - 9 = 1 + 12x - 24$

Упростим обе части уравнения:

$14x - 5 = 12x - 23$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения в правую:

$14x - 12x = -23 + 5$

$2x = -18$

$x = \frac{-18}{2}$

$x = -9$

Ответ: $-9$

б) $\sqrt[3]{0,2} \cdot \sqrt{0,2^{2x-\frac{1}{3}}} = \sqrt[3]{0,04^{-3x+6}}$

Приведем все части уравнения к основанию 0,2.
Преобразуем каждый множитель, используя свойства степеней и корней ($\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$):

• $\sqrt[3]{0,2} = 0,2^{\frac{1}{3}}$
• $\sqrt{0,2^{2x-\frac{1}{3}}} = (0,2^{2x-\frac{1}{3}})^{\frac{1}{2}} = 0,2^{\frac{2x-\frac{1}{3}}{2}} = 0,2^{x-\frac{1}{6}}$
• $\sqrt[3]{0,04^{-3x+6}} = \sqrt[3]{(0,2^2)^{-3x+6}} = \sqrt[3]{0,2^{2(-3x+6)}} = \sqrt[3]{0,2^{-6x+12}} = 0,2^{\frac{-6x+12}{3}} = 0,2^{-2x+4}$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$0,2^{\frac{1}{3}} \cdot 0,2^{x-\frac{1}{6}} = 0,2^{-2x+4}$

Сложим показатели степеней в левой части уравнения:

$0,2^{\frac{1}{3} + x - \frac{1}{6}} = 0,2^{-2x+4}$

$0,2^{\frac{2}{6} - \frac{1}{6} + x} = 0,2^{-2x+4}$

$0,2^{\frac{1}{6} + x} = 0,2^{-2x+4}$

Теперь приравняем показатели степеней:

$\frac{1}{6} + x = -2x + 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения в правую:

$x + 2x = 4 - \frac{1}{6}$

$3x = \frac{24}{6} - \frac{1}{6}$

$3x = \frac{23}{6}$

$x = \frac{23}{6} \div 3$

$x = \frac{23}{18}$

Ответ: $\frac{23}{18}$

12.10. a) $\frac{3^{x^2}}{9^x} = 27;$

б) $\frac{2^{x^2}}{4^x} = 4^4;$

В) $\frac{7^{x^2}}{49^{3x}} = 7^7;$

Г) $\frac{2^{2x^2}}{4^{3x}} = 4^4.$

а) Исходное уравнение: $\frac{3^{x^2}}{9^x} = 27$.

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем все его части к одному основанию, в данном случае к основанию 3. Нам известно, что $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$\frac{3^{x^2}}{(3^2)^x} = 3^3$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, упростим знаменатель:

$\frac{3^{x^2}}{3^{2x}} = 3^3$

Теперь применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{x^2 - 2x} = 3^3$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 2x = 3$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$

$x_2 = \frac{2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = 3, x_2 = -1$.

б) Исходное уравнение: $\frac{2^{x^2}}{4^x} = 4^4$.

Приведем все части уравнения к основанию 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$.

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{2^{x^2}}{(2^2)^x} = (2^2)^4$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$\frac{2^{x^2}}{2^{2x}} = 2^8$

Применяя свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, упростим левую часть:

$2^{x^2 - 2x} = 2^8$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x^2 - 2x = 8$

Получаем квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 8 = 0$

Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4$

$x_2 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{2 - 6}{2} = -2$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -2$.

в) Исходное уравнение: $\frac{7^{x^2}}{49^{3x}} = 7^7$.

Приведем все части уравнения к основанию 7. Нам известно, что $49 = 7^2$.

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{7^{x^2}}{(7^2)^{3x}} = 7^7$

Упростим знаменатель, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\frac{7^{x^2}}{7^{6x}} = 7^7$

Далее используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$7^{x^2 - 6x} = 7^7$

Приравниваем показатели степеней:

$x^2 - 6x = 7$

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 6x - 7 = 0$

Решим уравнение. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 6$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -7$. Этим условиям удовлетворяют числа 7 и -1.

Проверим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = 7$

$x_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = 7, x_2 = -1$.

г) Исходное уравнение: $\frac{2^{2x^2}}{4^{3x}} = 4^4$.

Приведем все части уравнения к основанию 2, так как $4 = 2^2$.

Подставим это в уравнение:

$\frac{2^{2x^2}}{(2^2)^{3x}} = (2^2)^4$

Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$\frac{2^{2x^2}}{2^{6x}} = 2^8$

Используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{2x^2 - 6x} = 2^8$

Приравниваем показатели степеней:

$2x^2 - 6x = 8$

Перенесем 8 в левую часть и разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$2x^2 - 6x - 8 = 0$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 3$ и $x_1 \cdot x_2 = -4$. Подходят корни 4 и -1.

Проверим через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{3 - 5}{2} = -1$

Ответ: $x_1 = 4, x_2 = -1$.

12.11. a) $3^{x+1} \cdot 5^x = 675;$

Б) $4^{x+2} \cdot 3^{x+1} = 576;$

В) $5 \cdot 2^{3x} \cdot 3^x = 2880;$

Г) $2^{2x+1} \cdot 5^x = 16000.$

a) $3^{x+1} \cdot 5^x = 675$
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1$.
Уравнение принимает вид: $3 \cdot 3^x \cdot 5^x = 675$.
Используем свойство $a^k \cdot b^k = (ab)^k$: $3 \cdot (3 \cdot 5)^x = 675$.
$3 \cdot 15^x = 675$.
Разделим обе части уравнения на 3: $15^x = \frac{675}{3}$.
$15^x = 225$.
Представим 225 как степень 15: $225 = 15^2$.
$15^x = 15^2$.
Следовательно, $x=2$.
Ответ: $2$.

б) $4^{x+2} \cdot 3^{x+1} = 576$
Используем свойство $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$: $4^{x+2} = 4^x \cdot 4^2 = 16 \cdot 4^x$ и $3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$.
Уравнение принимает вид: $16 \cdot 4^x \cdot 3 \cdot 3^x = 576$.
Сгруппируем множители: $(16 \cdot 3) \cdot (4^x \cdot 3^x) = 576$.
$48 \cdot (4 \cdot 3)^x = 576$.
$48 \cdot 12^x = 576$.
Разделим обе части на 48: $12^x = \frac{576}{48}$.
$12^x = 12$.
Поскольку $12 = 12^1$, то $12^x = 12^1$.
Следовательно, $x=1$.
Ответ: $1$.

в) $5 \cdot 2^{3x} \cdot 3^x = 2880$
Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{3x} = (2^3)^x = 8^x$.
Уравнение принимает вид: $5 \cdot 8^x \cdot 3^x = 2880$.
Используем свойство $a^k \cdot b^k = (ab)^k$: $5 \cdot (8 \cdot 3)^x = 2880$.
$5 \cdot 24^x = 2880$.
Разделим обе части на 5: $24^x = \frac{2880}{5}$.
$24^x = 576$.
Представим 576 как степень 24: $576 = 24^2$.
$24^x = 24^2$.
Следовательно, $x=2$.
Ответ: $2$.

г) $2^{2x+1} \cdot 5^x = 16000$
Преобразуем $2^{2x+1}$ используя свойства степеней: $2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = (2^2)^x \cdot 2 = 4^x \cdot 2$.
Уравнение принимает вид: $2 \cdot 4^x \cdot 5^x = 16000$.
Используем свойство $a^k \cdot b^k = (ab)^k$: $2 \cdot (4 \cdot 5)^x = 16000$.
$2 \cdot 20^x = 16000$.
Разделим обе части на 2: $20^x = \frac{16000}{2}$.
$20^x = 8000$.
Представим 8000 как степень 20: $8000 = 20^3$.
$20^x = 20^3$.
Следовательно, $x=3$.
Ответ: $3$.

12.12. a) $27^{\sqrt{x-1}} = \sqrt{9^{x+1}}$;

б) $2^{\sqrt{13-x^2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$;

В) $3^x \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x+1}} = 243$;

Г) $(0.1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}} = \frac{1}{10^6}$.

а) Исходное уравнение: $27^{\sqrt{x-1}} = \sqrt{9^{x+1}}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.
Приведем обе части уравнения к основанию 3.
Левая часть: $27^{\sqrt{x-1}} = (3^3)^{\sqrt{x-1}} = 3^{3\sqrt{x-1}}$.
Правая часть: $\sqrt{9^{x+1}} = (9^{x+1})^{\frac{1}{2}} = ((3^2)^{x+1})^{\frac{1}{2}} = (3^{2(x+1)})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{2(x+1)}{2}} = 3^{x+1}$.
Получаем уравнение: $3^{3\sqrt{x-1}} = 3^{x+1}$.
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$3\sqrt{x-1} = x+1$.
Так как $x \ge 1$, правая часть $x+1$ положительна. Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(3\sqrt{x-1})^2 = (x+1)^2$
$9(x-1) = x^2 + 2x + 1$
$9x - 9 = x^2 + 2x + 1$
$x^2 - 7x + 10 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$.
Оба корня удовлетворяют условию ОДЗ ($x \ge 1$).
Проверим корни, подставив их в уравнение $3\sqrt{x-1} = x+1$:
При $x=2$: $3\sqrt{2-1} = 2+1 \Rightarrow 3\sqrt{1} = 3 \Rightarrow 3 = 3$. Верно.
При $x=5$: $3\sqrt{5-1} = 5+1 \Rightarrow 3\sqrt{4} = 6 \Rightarrow 3 \cdot 2 = 6$. Верно.
Ответ: 2; 5.

б) Исходное уравнение: $2^{\sqrt{13-x^2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$.
Найдем ОДЗ: $13-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 13 \Rightarrow -\sqrt{13} \le x \le \sqrt{13}$.
Упростим правую часть уравнения: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$.
Представим 8 в виде степени с основанием 2: $8 = 2^3$.
Уравнение принимает вид: $2^{\sqrt{13-x^2}} = 2^3$.
Приравниваем показатели степеней:
$\sqrt{13-x^2} = 3$.
Возведем обе части в квадрат:
$13-x^2 = 9$
$x^2 = 13 - 9$
$x^2 = 4$.
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($-\sqrt{13} \le x \le \sqrt{13}$).
Ответ: -2; 2.

в) Исходное уравнение: $3^x \cdot (\frac{1}{3})^{\sqrt{x+1}} = 243$.
Найдем ОДЗ: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$.
Приведем все части уравнения к основанию 3.
$(\frac{1}{3})^{\sqrt{x+1}} = (3^{-1})^{\sqrt{x+1}} = 3^{-\sqrt{x+1}}$.
$243 = 3^5$.
Подставим в исходное уравнение: $3^x \cdot 3^{-\sqrt{x+1}} = 3^5$.
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$3^{x - \sqrt{x+1}} = 3^5$.
Приравниваем показатели:
$x - \sqrt{x+1} = 5$.
Изолируем корень: $x-5 = \sqrt{x+1}$.
Для существования решения необходимо, чтобы правая часть (арифметический корень) была неотрицательной. Это уже учтено в ОДЗ. Также левая часть должна быть неотрицательной: $x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5$. Это более сильное ограничение, чем ОДЗ.
Возведем обе части в квадрат при условии $x \ge 5$:
$(x-5)^2 = x+1$
$x^2 - 10x + 25 = x+1$
$x^2 - 11x + 24 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 8$.
Проверяем корни по условию $x \ge 5$.
$x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \ge 5$, значит, это посторонний корень.
$x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge 5$.
Ответ: 8.

г) Исходное уравнение: $(0.1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}} = \frac{1}{10^6}$.
Найдем ОДЗ. Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$
$x+6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -6$.
Общее ОДЗ: $x \ge -1$.
Приведем обе части уравнения к основанию 10.
$0.1 = 10^{-1}$ и $\frac{1}{10^6} = 10^{-6}$.
Левая часть: $( (10^{-1})^{\sqrt{x+1}} )^{\sqrt{x+6}} = 10^{-\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+6}} = 10^{-\sqrt{(x+1)(x+6)}}$.
Уравнение принимает вид: $10^{-\sqrt{(x+1)(x+6)}} = 10^{-6}$.
Приравниваем показатели:
$-\sqrt{(x+1)(x+6)} = -6$
$\sqrt{(x+1)(x+6)} = 6$.
Возведем обе части в квадрат:
$(x+1)(x+6) = 36$
$x^2 + 6x + x + 6 = 36$
$x^2 + 7x - 30 = 0$.
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{-7+13}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
$x_2 = \frac{-7-13}{2} = \frac{-20}{2} = -10$.
Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge -1$):
$x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge -1$.
$x_2 = -10$ не удовлетворяет условию $-10 \ge -1$, это посторонний корень.
Ответ: 3.

12.13. а) $2^x = 3^x$;

б) $25^x = 7^{2x}$;

В) $(\frac{1}{3})^{2x} = 8^x$;

Г) $(\frac{1}{4})^x = (\frac{1}{5})^x$.

а) Дано показательное уравнение $2^x = 3^x$.
Поскольку основания степеней различны, а показатели одинаковы, мы можем разделить обе части уравнения на $3^x$. Это преобразование является равносильным, так как $3^x > 0$ при любых значениях $x$.
$\frac{2^x}{3^x} = \frac{3^x}{3^x}$
Используя свойство частного степеней с одинаковыми показателями $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получаем:
$(\frac{2}{3})^x = 1$
Равенство $a^y = 1$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) выполняется только тогда, когда показатель степени $y=0$.
Следовательно, $x = 0$.
Ответ: $x=0$.

б) Дано уравнение $25^x = 7^{2x}$.
Сначала приведем степени к одному показателю. Представим $25$ как $5^2$:
$(5^2)^x = 7^{2x}$
По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$5^{2x} = 7^{2x}$
Теперь, когда показатели степеней равны ($2x$), разделим обе части уравнения на $7^{2x}$ (так как $7^{2x} > 0$):
$\frac{5^{2x}}{7^{2x}} = 1$
$(\frac{5}{7})^{2x} = 1$
Это равенство истинно, когда показатель степени равен нулю:
$2x = 0$
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

в) Дано уравнение $(\frac{1}{3})^{2x} = 8^x$.
Приведем степени к одному показателю $x$. Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство $(a^m)^n = (a^n)^m$:
$((\frac{1}{3})^2)^x = 8^x$
Вычислим значение в скобках:
$(\frac{1}{9})^x = 8^x$
Теперь, когда показатели степеней равны, разделим обе части на $8^x$ (так как $8^x > 0$):
$\frac{(\frac{1}{9})^x}{8^x} = 1$
$(\frac{1/9}{8})^x = 1$
$(\frac{1}{72})^x = 1$
Равенство выполняется, когда показатель степени равен нулю:
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

г) Дано уравнение $(\frac{1}{4})^x = (\frac{1}{5})^x$.
Основания степеней различны, а показатели одинаковы. Разделим обе части уравнения на $(\frac{1}{5})^x$ (так как $(\frac{1}{5})^x > 0$):
$\frac{(\frac{1}{4})^x}{(\frac{1}{5})^x} = 1$
Используя свойство частного степеней, получаем:
$(\frac{1/4}{1/5})^x = 1$
Упростим основание дроби: $\frac{1/4}{1/5} = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{1} = \frac{5}{4}$.
$(\frac{5}{4})^x = 1$
Это равенство истинно только тогда, когда показатель степени равен нулю.
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

12.14. а) $3^x \cdot 7^{x+2} = 49 \cdot 4^x;$

б) $6^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x};$

в) $2^{x+1} \cdot 5^{x+3} = 250 \cdot 9^x;$

г) $35^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}.$

Дано уравнение: $3^x \cdot 7^{x+2} = 49 \cdot 4^x$.

Преобразуем уравнение, приведя степени к простым основаниям и используя их свойства. Заметим, что $49 = 7^2$ и $7^{x+2} = 7^x \cdot 7^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$3^x \cdot (7^x \cdot 7^2) = 7^2 \cdot 4^x$

Разделим обе части уравнения на $7^2$ (поскольку $7^2 \neq 0$):

$3^x \cdot 7^x = 4^x$

Используем свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$ для левой части:

$(3 \cdot 7)^x = 4^x$

$21^x = 4^x$

Разделим обе части на $4^x$ (это возможно, так как $4^x > 0$ для любого $x$):

$\frac{21^x}{4^x} = 1$

$(\frac{21}{4})^x = 1$

Любое число (кроме нуля), возведенное в степень 0, равно 1. Следовательно, показатель степени должен быть равен нулю.

$x = 0$

Ответ: $x=0$.

Дано уравнение: $6^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$.

Разложим основание 6 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$.

Тогда уравнение примет вид:

$(2 \cdot 3)^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$

Применяя свойство $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$2^{2x+4} \cdot 3^{2x+4} = 2^{8+x} \cdot 3^{3x}$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями, разделив обе части уравнения на $2^{8+x}$ и $3^{2x+4}$:

$\frac{2^{2x+4}}{2^{8+x}} = \frac{3^{3x}}{3^{2x+4}}$

Используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, упростим выражения:

$2^{(2x+4)-(8+x)} = 3^{3x-(2x+4)}$

$2^{2x+4-8-x} = 3^{3x-2x-4}$

$2^{x-4} = 3^{x-4}$

Разделим обе части на $3^{x-4}$:

$\frac{2^{x-4}}{3^{x-4}} = 1$

$(\frac{2}{3})^{x-4} = 1$

Это равенство истинно, только если показатель степени равен нулю:

$x-4=0$

$x=4$

Ответ: $x=4$.

Дано уравнение: $2^{x+1} \cdot 5^{x+3} = 250 \cdot 9^x$.

Преобразуем обе части уравнения. Разложим числа на простые множители и воспользуемся свойствами степеней:

$2^{x+1} = 2^1 \cdot 2^x$

$5^{x+3} = 5^3 \cdot 5^x = 125 \cdot 5^x$

$250 = 2 \cdot 125 = 2 \cdot 5^3$

$9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$(2 \cdot 2^x) \cdot (125 \cdot 5^x) = (2 \cdot 5^3) \cdot 3^{2x}$

$2 \cdot 125 \cdot 2^x \cdot 5^x = 2 \cdot 125 \cdot 3^{2x}$

Разделим обе части на $2 \cdot 125$:

$2^x \cdot 5^x = 3^{2x}$

Сгруппируем степени:

$(2 \cdot 5)^x = (3^2)^x$

$10^x = 9^x$

Разделим обе части на $9^x$:

$(\frac{10}{9})^x = 1$

Показатель степени должен быть равен нулю:

$x=0$

Ответ: $x=0$.

Дано уравнение: $35^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$.

Разложим основание 35 на простые множители: $35 = 5 \cdot 7$.

$(5 \cdot 7)^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$

Раскроем скобки в левой части:

$5^{4x+2} \cdot 7^{4x+2} = 5^{3x+4} \cdot 7^{5x}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{5^{4x+2}}{5^{3x+4}} = \frac{7^{5x}}{7^{4x+2}}$

Упростим показатели степеней, вычитая их:

$5^{(4x+2)-(3x+4)} = 7^{5x-(4x+2)}$

$5^{4x+2-3x-4} = 7^{5x-4x-2}$

$5^{x-2} = 7^{x-2}$

Разделим обе части на $7^{x-2}$:

$(\frac{5}{7})^{x-2} = 1$

Равенство выполняется, если показатель степени равен нулю:

$x-2=0$

$x=2$

Ответ: $x=2$.

12.15. a) $2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 6.25 \cdot 2^{x+1};$

б) $3^{5x-1} \cdot 7^{2x-2} = 3^{3x+1}.$

а) $2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 6,25 \cdot 2^{x+1}$

Для решения этого показательного уравнения, сначала преобразуем десятичную дробь $6,25$ в обыкновенную, а затем в степень с основанием 2 или 5.
$6,25 = 6 \frac{25}{100} = 6 \frac{1}{4} = \frac{25}{4} = \frac{5^2}{2^2} = 5^2 \cdot 2^{-2}$.

Подставим это значение обратно в уравнение:
$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = (5^2 \cdot 2^{-2}) \cdot 2^{x+1}$

Применим свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для правой части:
$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 5^2 \cdot 2^{-2 + x+1}$
$2^{4x+2} \cdot 5^{-3x-1} = 5^2 \cdot 2^{x-1}$

Теперь разделим обе части уравнения на $2^{x-1}$ и $5^{-3x-1}$, чтобы сгруппировать степени с одинаковыми основаниями. Важно отметить, что $2^{x-1} \neq 0$ и $5^{-3x-1} \neq 0$ для любых $x$.
$\frac{2^{4x+2}}{2^{x-1}} = \frac{5^2}{5^{-3x-1}}$

Применим свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$2^{(4x+2) - (x-1)} = 5^{2 - (-3x-1)}$
$2^{4x+2-x+1} = 5^{2+3x+1}$
$2^{3x+3} = 5^{3x+3}$

Разделим обе части на $5^{3x+3}$ (что не равно нулю):
$\frac{2^{3x+3}}{5^{3x+3}} = 1$
$(\frac{2}{5})^{3x+3} = 1$

Так как любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1, то показатель степени должен быть равен нулю:
$3x+3 = 0$
$3x = -3$
$x = -1$

Ответ: $-1$

б) $3^{5x-1} \cdot 7^{2x-2} = 3^{3x+1}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями. Для этого разделим обе части уравнения на $3^{3x+1}$ (так как $3^{3x+1} \neq 0$ для любого $x$).
$\frac{3^{5x-1} \cdot 7^{2x-2}}{3^{3x+1}} = 1$

Применим свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ к членам с основанием 3:
$3^{(5x-1) - (3x+1)} \cdot 7^{2x-2} = 1$
$3^{5x-1-3x-1} \cdot 7^{2x-2} = 1$
$3^{2x-2} \cdot 7^{2x-2} = 1$

Теперь применим свойство степеней $a^c \cdot b^c = (a \cdot b)^c$:
$(3 \cdot 7)^{2x-2} = 1$
$21^{2x-2} = 1$

Поскольку $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$, показатель степени должен быть равен нулю:
$2x-2 = 0$
$2x = 2$
$x = 1$

Ответ: $1$

12.16. a) $4(\sqrt{5} - 2)^{x - 12} = \left(\frac{2}{\sqrt{5} + 2}\right)^{x - 12}$;

б) $9(3 - \sqrt{8})^{2x + 1} = \left(\frac{3}{3 + \sqrt{8}}\right)^{2x + 1}$.

а) Исходное уравнение: $4(\sqrt{5} - 2)^{x-12} = \left(\frac{2}{\sqrt{5} + 2}\right)^{x-12}$.
Первым шагом упростим выражение в скобках в правой части уравнения. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{5} - 2)$:
$\frac{2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{5 - 4} = \frac{2(\sqrt{5} - 2)}{1} = 2(\sqrt{5} - 2)$.
Теперь подставим это преобразованное выражение обратно в исходное уравнение:
$4(\sqrt{5} - 2)^{x-12} = (2(\sqrt{5} - 2))^{x-12}$.
Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$ для правой части:
$4(\sqrt{5} - 2)^{x-12} = 2^{x-12} \cdot (\sqrt{5} - 2)^{x-12}$.
Заметим, что основание $\sqrt{5} - 2 > 0$ (поскольку $\sqrt{5} \approx 2.236$). Следовательно, выражение $(\sqrt{5} - 2)^{x-12}$ никогда не равно нулю, и мы можем безопасно разделить обе части уравнения на него:
$4 = 2^{x-12}$.
Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$.
$2^2 = 2^{x-12}$.
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$2 = x - 12$.
Отсюда находим $x$:
$x = 2 + 12 = 14$.
Ответ: $x=14$.

б) Исходное уравнение: $9(3 - \sqrt{8})^{2x+1} = \left(\frac{3}{3 + \sqrt{8}}\right)^{2x+1}$.
Как и в предыдущем задании, начнем с упрощения выражения в правой части. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(3 - \sqrt{8})$:
$\frac{3}{3 + \sqrt{8}} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{(3 + \sqrt{8})(3 - \sqrt{8})} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{3^2 - (\sqrt{8})^2} = \frac{3(3 - \sqrt{8})}{9 - 8} = 3(3 - \sqrt{8})$.
Подставим результат в исходное уравнение:
$9(3 - \sqrt{8})^{2x+1} = (3(3 - \sqrt{8}))^{2x+1}$.
Применим свойство степени к правой части:
$9(3 - \sqrt{8})^{2x+1} = 3^{2x+1} \cdot (3 - \sqrt{8})^{2x+1}$.
Основание $3 - \sqrt{8} > 0$ (поскольку $\sqrt{8} \approx 2.828$). Значит, выражение $(3 - \sqrt{8})^{2x+1}$ не равно нулю, и на него можно разделить обе части уравнения:
$9 = 3^{2x+1}$.
Представим число 9 как степень с основанием 3: $9 = 3^2$.
$3^2 = 3^{2x+1}$.
Приравниваем показатели степеней, так как их основания равны:
$2 = 2x + 1$.
Решаем полученное линейное уравнение:
$2x = 2 - 1$.
$2x = 1$.
$x = \frac{1}{2}$.
Ответ: $x=\frac{1}{2}$.