Страница 67, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11.39. Докажите, что для функции $y = f(x)$, где $f(x) = 2^x$, выполняется равенство:

a) $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$;

б) $f(x + 1) \cdot f(2x) = 2f^3(x)$;

в) $f(-2x) = \frac{1}{f^2(x)}$;

г) $f(\cos^2 x) = \sqrt{2f(\cos 2x)}.$

а) Для доказательства равенства $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$ подставим в него определение функции $f(x) = 2^x$.
Преобразуем левую часть равенства:
$f(x_1) \cdot f(x_2) = 2^{x_1} \cdot 2^{x_2}$
Используем свойство произведения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$2^{x_1} \cdot 2^{x_2} = 2^{x_1+x_2}$
Теперь преобразуем правую часть равенства:
$f(x_1+x_2) = 2^{x_1+x_2}$
Поскольку левая и правая части равенства приводятся к одному и тому же виду ($2^{x_1+x_2}$), тождество доказано.
Ответ: Равенство доказано.

б) Докажем равенство $f(x + 1) \cdot f(2x) = 2f^3(x)$.
Подставим $f(x) = 2^x$ в левую часть:
$f(x + 1) \cdot f(2x) = 2^{x+1} \cdot 2^{2x} = 2^{(x+1)+2x} = 2^{3x+1}$.
Теперь подставим $f(x) = 2^x$ в правую часть:
$2f^3(x) = 2 \cdot (f(x))^3 = 2 \cdot (2^x)^3 = 2^1 \cdot 2^{3x} = 2^{1+3x} = 2^{3x+1}$.
Левая и правая части равны, следовательно, равенство является верным.
Ответ: Равенство доказано.

в) Для доказательства тождества $f(-2x) = \frac{1}{f^2(x)}$ воспользуемся определением функции $f(x) = 2^x$.
Левая часть:
$f(-2x) = 2^{-2x}$.
Правая часть:
$\frac{1}{f^2(x)} = \frac{1}{(f(x))^2} = \frac{1}{(2^x)^2} = \frac{1}{2^{2x}}$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, видим, что $\frac{1}{2^{2x}} = 2^{-2x}$.
Таким образом, обе части равенства равны $2^{-2x}$, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

г) Докажем, что $f(\cos^2 x) = \sqrt{2f(\cos 2x)}$.
Подставим $f(x)=2^x$ в левую часть:
$f(\cos^2 x) = 2^{\cos^2 x}$.
Подставим $f(x)=2^x$ в правую часть:
$\sqrt{2f(\cos 2x)} = \sqrt{2 \cdot 2^{\cos 2x}} = \sqrt{2^{1+\cos 2x}} = (2^{1+\cos 2x})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1+\cos 2x}{2}}$.
Чтобы доказать исходное равенство, необходимо показать, что равны показатели степеней в левой и правой частях:
$\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.
Это известная тригонометрическая формула понижения степени. Её можно вывести из формулы косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
Из неё следует, что $2\cos^2 x = 1 + \cos 2x$, и, разделив обе части на 2, получаем $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.
Поскольку показатели степеней равны, исходное равенство доказано.
Ответ: Равенство доказано.

11.40. Докажите, что для функции $y = f(x)$, где $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, выполняется равенство:

a) $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2);$

б) $f(x - 1) \cdot f(3x) = 3f^4(x);$

в) $f(-5x) = \frac{1}{f^5(x)};$

г) $f(\sin^2 x) = \frac{1}{\sqrt{3}f(\cos 2x)}.$

Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = (\frac{1}{3})^x$. Докажем следующие равенства:

а) $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$
Преобразуем левую часть равенства, используя определение функции:
$f(x_1) \cdot f(x_2) = (\frac{1}{3})^{x_1} \cdot (\frac{1}{3})^{x_2}$.
По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$(\frac{1}{3})^{x_1} \cdot (\frac{1}{3})^{x_2} = (\frac{1}{3})^{x_1 + x_2}$.
Правая часть равенства по определению функции:
$f(x_1 + x_2) = (\frac{1}{3})^{x_1 + x_2}$.
Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

б) $f(x - 1) \cdot f(3x) = 3f^4(x)$
Преобразуем левую часть равенства:
$f(x - 1) \cdot f(3x) = (\frac{1}{3})^{x-1} \cdot (\frac{1}{3})^{3x} = (\frac{1}{3})^{(x-1)+3x} = (\frac{1}{3})^{4x-1}$.
Используя свойство степени $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, можем записать:
$(\frac{1}{3})^{4x-1} = \frac{(\frac{1}{3})^{4x}}{(\frac{1}{3})^1} = 3 \cdot (\frac{1}{3})^{4x}$.
Теперь преобразуем правую часть равенства:
$3f^4(x) = 3 \cdot (f(x))^4 = 3 \cdot ((\frac{1}{3})^x)^4 = 3 \cdot (\frac{1}{3})^{4x}$.
Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

в) $f(-5x) = \frac{1}{f^5(x)}$
Преобразуем левую часть равенства:
$f(-5x) = (\frac{1}{3})^{-5x}$.
Преобразуем правую часть равенства:
$\frac{1}{f^5(x)} = \frac{1}{(f(x))^5} = \frac{1}{((\frac{1}{3})^x)^5} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^{5x}}$.
По свойству степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем:
$(\frac{1}{3})^{-5x} = \frac{1}{(\frac{1}{3})^{5x}}$.
Левая часть равна правой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

г) $f(\sin^2 x) = \frac{1}{\sqrt{3f(\cos 2x)}}$
Преобразуем левую часть равенства:
$f(\sin^2 x) = (\frac{1}{3})^{\sin^2 x}$.
Теперь преобразуем правую часть. Сначала найдем выражение под корнем:
$3f(\cos 2x) = 3 \cdot (\frac{1}{3})^{\cos 2x} = 3^1 \cdot (3^{-1})^{\cos 2x} = 3^1 \cdot 3^{-\cos 2x} = 3^{1 - \cos 2x}$.
Подставим это обратно в правую часть:
$\frac{1}{\sqrt{3f(\cos 2x)}} = \frac{1}{\sqrt{3^{1 - \cos 2x}}} = \frac{1}{(3^{1 - \cos 2x})^{1/2}} = \frac{1}{3^{\frac{1 - \cos 2x}{2}}} = 3^{-(\frac{1 - \cos 2x}{2})} = 3^{\frac{\cos 2x - 1}{2}}$.
Используем тригонометрическое тождество двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, откуда следует, что $\cos 2x - 1 = -2\sin^2 x$.
Подставим это выражение в показатель степени правой части:
$3^{\frac{\cos 2x - 1}{2}} = 3^{\frac{-2\sin^2 x}{2}} = 3^{-\sin^2 x}$.
Теперь сравним с левой частью. Так как $\frac{1}{3} = 3^{-1}$, то:
$f(\sin^2 x) = (\frac{1}{3})^{\sin^2 x} = (3^{-1})^{\sin^2 x} = 3^{-\sin^2 x}$.
Левая и правая части равны $3^{-\sin^2 x}$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

Найдите область определения функции:

11.41. а) $y = 4^{x^2-1};$

в) $y = \left(\frac{3}{8}\right)^{-x^2+2};$

б) $y = 7^{\frac{1}{x}};$

г) $y = 9,1^{\frac{1}{x-1}}.$

а) Дана функция $y = 4^{x^2-1}$. Это показательная функция, которая определена для всех значений переменной $x$, для которых определен ее показатель степени. Показатель степени $x^2-1$ является многочленом, который определен для любых действительных значений $x$. Таким образом, область определения исходной функции — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) Дана функция $y = 7^{\frac{1}{x}}$. Это показательная функция, область определения которой совпадает с областью определения ее показателя степени $f(x) = \frac{1}{x}$. Выражение $\frac{1}{x}$ представляет собой дробь, которая имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Следовательно, необходимо потребовать, чтобы $x \neq 0$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) Дана функция $y = \left(\frac{3}{8}\right)^{-x^2+2}$. Это показательная функция, которая определена для всех значений переменной $x$, для которых определен ее показатель степени. Показатель степени $-x^2+2$ является многочленом, который определен для любых действительных значений $x$. Таким образом, область определения исходной функции — это множество всех действительных чисел.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) Дана функция $y = 9,1^{\frac{1}{x-1}}$. Это показательная функция, область определения которой совпадает с областью определения ее показателя степени $f(x) = \frac{1}{x-1}$. Выражение $\frac{1}{x-1}$ представляет собой дробь, которая имеет смысл только тогда, когда ее знаменатель не равен нулю. Следовательно, необходимо потребовать, чтобы $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

11.42. a) $y = \frac{1}{2^x - 1}$;

Б) $y = \frac{x+2}{0,5^x - 2}$;

В) $y = \frac{x}{3^x - 9}$;

Г) $y = \frac{2x+1}{\left(\frac{1}{3}\right)^x - 27}$.

а)

Область определения функции (ОДЗ) находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Для функции $y = \frac{1}{2^x - 1}$ имеем ограничение:

$2^x - 1 \neq 0$

$2^x \neq 1$

Представим 1 в виде степени с основанием 2:

$2^x \neq 2^0$

Из равенства оснований следует равенство показателей, поэтому:

$x \neq 0$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

б)

Область определения функции $y = \frac{x + 2}{0,5^x - 2}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$0,5^x - 2 \neq 0$

$0,5^x \neq 2$

Представим 0,5 в виде степени с основанием 2: $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.

$(2^{-1})^x \neq 2^1$

$2^{-x} \neq 2^1$

Из равенства оснований следует равенство показателей:

$-x \neq 1$

$x \neq -1$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -1.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

в)

Область определения функции $y = \frac{x}{3^x - 9}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$3^x - 9 \neq 0$

$3^x \neq 9$

Представим 9 в виде степени с основанием 3:

$3^x \neq 3^2$

Из равенства оснований следует равенство показателей:

$x \neq 2$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 2.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

г)

Область определения функции $y = \frac{2x + 1}{(\frac{1}{3})^x - 27}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$(\frac{1}{3})^x - 27 \neq 0$

$(\frac{1}{3})^x \neq 27$

Представим обе части неравенства в виде степеней с основанием 3: $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $27 = 3^3$.

$(3^{-1})^x \neq 3^3$

$3^{-x} \neq 3^3$

Из равенства оснований следует равенство показателей:

$-x \neq 3$

$x \neq -3$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме -3.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

11.43. a) $y = \frac{x + 1}{\sqrt{3^x - 27}}$;

Б) $y = \frac{2x + 4}{\sqrt{0,6^x - 0,36}} \text{;}$

В) $y = \frac{3^x + 3}{3^{2x} - 9}$;

Г) $y = \frac{\sqrt{5^x} - 5}{5^x - 25}$.

а) Область определения функции $y = \frac{x + 1}{\sqrt{3^x - 27}}$ находится из условия, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго больше нуля, так как на ноль делить нельзя и извлекать корень из отрицательного числа в области действительных чисел тоже нельзя.

Решим неравенство:

$3^x - 27 > 0$

Перенесем 27 в правую часть:

$3^x > 27$

Представим 27 как степень числа 3: $27 = 3^3$.

$3^x > 3^3$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, мы можем сравнить показатели, сохранив знак неравенства:

$x > 3$

Таким образом, область определения функции – это интервал от 3 до плюс бесконечности.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \frac{2x + 4}{\sqrt{0,6^x - 0,36}}$ находится из условия, что подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным.

Решим неравенство:

$0,6^x - 0,36 > 0$

Перенесем 0,36 в правую часть:

$0,6^x > 0,36$

Представим 0,36 как степень числа 0,6: $0,36 = (0,6)^2$.

$0,6^x > (0,6)^2$

Так как основание степени $0 < 0,6 < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при сравнении показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Таким образом, область определения функции – это интервал от минус бесконечности до 2.

Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

в) Область определения функции $y = \frac{3^x + 3}{3^{2x} - 9}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$3^{2x} - 9 = 0$

$3^{2x} = 9$

Представим 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.

$3^{2x} = 3^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:

$2x = 2$

$x = 1$

Таким образом, $x$ не может быть равен 1. Область определения функции – это все действительные числа, кроме 1.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

г) Для функции $y = \frac{\sqrt{5^x} - 5}{5^x - 25}$ необходимо выполнение двух условий: выражение под корнем должно быть неотрицательным, и знаменатель не должен равняться нулю.

1. Условие для подкоренного выражения: $5^x \ge 0$. Показательная функция $a^x$ с основанием $a>0$ всегда положительна ($a^x > 0$), поэтому это условие выполняется для любого действительного числа $x$.

2. Условие для знаменателя: $5^x - 25 \neq 0$.

Найдем значения $x$, которые нужно исключить:

$5^x - 25 = 0$

$5^x = 25$

Представим 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$.

$5^x = 5^2$

Приравниваем показатели:

$x = 2$

Объединяя оба условия, получаем, что область определения функции – это все действительные числа, кроме 2.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.