Страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11.19. Сравните значения $(\sqrt{3})^\alpha$ и $(\sqrt{3})^\beta$, если:

а) $\alpha = 0,3$, $\beta = \frac{1}{4}$;

б) $\alpha = -\frac{1}{3}$, $\beta = -0,4$;

в) $\alpha = 1,9$, $\beta = 2,1$;

г) $\alpha = 3,1$, $\beta = \sqrt{10}$.

Для сравнения значений $(\sqrt{3})^\alpha$ и $(\sqrt{3})^\beta$ используется свойство показательной функции $y = a^x$. Основание степени $a = \sqrt{3}$ больше 1 (так как $1^2=1$, $2^2=4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$). Для функции $y=a^x$ с основанием $a>1$ справедливо утверждение: чем больше показатель степени $x$, тем больше значение функции $y$. Таким образом, чтобы сравнить степени, достаточно сравнить их показатели $\alpha$ и $\beta$. Если $\alpha > \beta$, то $(\sqrt{3})^\alpha > (\sqrt{3})^\beta$, и наоборот.

а) Сравниваем показатели $\alpha = 0,3$ и $\beta = \frac{1}{4}$. Для этого представим $\beta$ в виде десятичной дроби: $\beta = \frac{1}{4} = 0,25$. Теперь сравним $\alpha$ и $\beta$: $0,3 > 0,25$, следовательно, $\alpha > \beta$. Поскольку основание $\sqrt{3} > 1$, показательная функция является возрастающей. Из того, что $\alpha > \beta$, следует, что $(\sqrt{3})^\alpha > (\sqrt{3})^\beta$.
Ответ: $(\sqrt{3})^{0,3} > (\sqrt{3})^{\frac{1}{4}}$.

б) Сравниваем показатели $\alpha = -\frac{1}{3}$ и $\beta = -0,4$. Представим $\alpha$ в виде десятичной дроби: $\alpha = -\frac{1}{3} = -0,333...$ Теперь сравним $\alpha = -0,333...$ и $\beta = -0,4$. Для отрицательных чисел, то число больше, модуль которого меньше. Так как $|-0,333...| < |-0,4|$, то $-0,333... > -0,4$. Следовательно, $\alpha > \beta$. Так как основание $\sqrt{3} > 1$, функция $y = (\sqrt{3})^x$ возрастает, а значит $(\sqrt{3})^\alpha > (\sqrt{3})^\beta$.
Ответ: $(\sqrt{3})^{-\frac{1}{3}} > (\sqrt{3})^{-0,4}$.

в) Сравниваем показатели $\alpha = 1,9$ и $\beta = 2,1$. Очевидно, что $1,9 < 2,1$, то есть $\alpha < \beta$. Поскольку основание $\sqrt{3} > 1$, функция $y = (\sqrt{3})^x$ является возрастающей. Следовательно, из $\alpha < \beta$ следует, что $(\sqrt{3})^\alpha < (\sqrt{3})^\beta$.
Ответ: $(\sqrt{3})^{1,9} < (\sqrt{3})^{2,1}$.

г) Сравниваем показатели $\alpha = 3,1$ и $\beta = \sqrt{10}$. Оба числа положительные, поэтому для их сравнения можно сравнить их квадраты. Если $\alpha^2 < \beta^2$, то и $\alpha < \beta$. Найдем квадраты чисел: $\alpha^2 = (3,1)^2 = 9,61$. $\beta^2 = (\sqrt{10})^2 = 10$. Сравниваем квадраты: $9,61 < 10$, следовательно, $\alpha^2 < \beta^2$. Отсюда следует, что $3,1 < \sqrt{10}$, то есть $\alpha < \beta$. Поскольку основание $\sqrt{3} > 1$, показательная функция является возрастающей. Из $\alpha < \beta$ следует, что $(\sqrt{3})^\alpha < (\sqrt{3})^\beta$.
Ответ: $(\sqrt{3})^{3,1} < (\sqrt{3})^{\sqrt{10}}$.

11.20. Сравните значения $(0,6)^{x_1}$ и $(0,6)^{x_2}$, если:

а) $x_1 = 0,2, x_2 = \frac{1}{3};$

Б) $x_1 = \sqrt{5}, x_2 = 2,5;$

В) $x_1 = -4,1, x_2 = -5;$

Г) $x_1 = -6,5, x_2 = 0,1.$

Для сравнения значений $(0.6)^{x_1}$ и $(0.6)^{x_2}$ воспользуемся свойствами показательной функции $y = a^x$. В данном случае основание степени $a = 0.6$.

Так как $0 < 0.6 < 1$, показательная функция $y = (0.6)^x$ является убывающей на всей области определения. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из неравенства $x_1 < x_2$ следует неравенство $(0.6)^{x_1} > (0.6)^{x_2}$. Иными словами, меньшему значению показателя степени соответствует большее значение самой степени.

Применим это правило для каждого случая.

а) $x_1 = 0.2, x_2 = \frac{1}{3}$

Сначала сравним показатели $x_1$ и $x_2$. Для этого представим десятичную дробь $0.2$ в виде обыкновенной:

$x_1 = 0.2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Теперь сравним дроби $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{3}$. Приведем их к общему знаменателю $15$:

$\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$; $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$

Поскольку $3 < 5$, то $\frac{3}{15} < \frac{5}{15}$, а значит, $x_1 < x_2$.

Так как функция $y = (0.6)^x$ является убывающей, то из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $(0.6)^{x_1} > (0.6)^{x_2}$.

Ответ: $(0.6)^{0.2} > (0.6)^{\frac{1}{3}}$.

б) $x_1 = \sqrt{5}, x_2 = 2.5$

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$. Оба числа положительны, поэтому мы можем сравнить их квадраты, чтобы избавиться от корня:

$x_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

$x_2^2 = (2.5)^2 = 6.25$

Поскольку $5 < 6.25$, то и $\sqrt{5} < 2.5$. Таким образом, $x_1 < x_2$.

Так как функция $y = (0.6)^x$ является убывающей, то из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $(0.6)^{x_1} > (0.6)^{x_2}$.

Ответ: $(0.6)^{\sqrt{5}} > (0.6)^{2.5}$.

в) $x_1 = -4.1, x_2 = -5$

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$.

При сравнении отрицательных чисел, то число больше, модуль которого меньше. Так как $|-4.1| = 4.1$ и $|-5| = 5$, и $4.1 < 5$, то $-4.1 > -5$. Следовательно, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y = (0.6)^x$ является убывающей, то из неравенства $x_1 > x_2$ следует, что $(0.6)^{x_1} < (0.6)^{x_2}$.

Ответ: $(0.6)^{-4.1} < (0.6)^{-5}$.

г) $x_1 = -6.5, x_2 = 0.1$

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$.

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому $-6.5 < 0.1$, что означает $x_1 < x_2$.

Так как функция $y = (0.6)^x$ является убывающей, то из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $(0.6)^{x_1} > (0.6)^{x_2}$.

Ответ: $(0.6)^{-6.5} > (0.6)^{0.1}$.

11.21. Определите, какое из чисел $ \left(\frac{3}{7}\right)^{x_1} $ или $ \left(\frac{3}{7}\right)^{x_2} $ больше, если:

а) $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -\frac{3}{5}$;

б) $x_1 = -\frac{6}{7}, x_2 = -\frac{10}{11}$;

в) $x_1 = \frac{5}{7}, x_2 = \frac{3}{11}$;

г) $x_1 = -1,6, x_2 = -3$.

Для решения этой задачи необходимо использовать свойство показательной функции $y = a^x$. В данном случае мы имеем дело с функцией $y = (\frac{3}{7})^x$.

Основание степени $a = \frac{3}{7}$. Так как $0 < a < 1$, показательная функция с таким основанием является убывающей на всей области определения. Это означает, что для любых двух показателей степени $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то $(\frac{3}{7})^{x_1} < (\frac{3}{7})^{x_2}$. Иными словами, большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

Чтобы определить, какое из чисел больше, мы должны сначала сравнить их показатели степени $x_1$ и $x_2$.

а) Дано $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{3}{5}$.

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю, который равен 15:

$x_1 = \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$

$x_2 = \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$

Поскольку $10 > 9$, то $\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$, а значит, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y = (\frac{3}{7})^x$ является убывающей, из неравенства $x_1 > x_2$ следует, что $(\frac{3}{7})^{x_1} < (\frac{3}{7})^{x_2}$.

Ответ: число $(\frac{3}{7})^{\frac{3}{5}}$ больше.

б) Дано $x_1 = -\frac{6}{7}$ и $x_2 = -\frac{10}{11}$.

Сравним отрицательные показатели $x_1$ и $x_2$. Сначала сравним их модули (абсолютные величины): $\frac{6}{7}$ и $\frac{10}{11}$. Общий знаменатель равен 77:

$\frac{6}{7} = \frac{6 \cdot 11}{7 \cdot 11} = \frac{66}{77}$

$\frac{10}{11} = \frac{10 \cdot 7}{11 \cdot 7} = \frac{70}{77}$

Так как $66 < 70$, то $\frac{66}{77} < \frac{70}{77}$, то есть $\frac{6}{7} < \frac{10}{11}$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{6}{7} > -\frac{10}{11}$. Следовательно, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y = (\frac{3}{7})^x$ является убывающей, из $x_1 > x_2$ следует, что $(\frac{3}{7})^{x_1} < (\frac{3}{7})^{x_2}$.

Ответ: число $(\frac{3}{7})^{-\frac{10}{11}}$ больше.

в) Дано $x_1 = \frac{5}{7}$ и $x_2 = \frac{3}{11}$.

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$. Приведем дроби к общему знаменателю 77:

$x_1 = \frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 11}{7 \cdot 11} = \frac{55}{77}$

$x_2 = \frac{3}{11} = \frac{3 \cdot 7}{11 \cdot 7} = \frac{21}{77}$

Поскольку $55 > 21$, то $\frac{55}{77} > \frac{21}{77}$, а значит, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y = (\frac{3}{7})^x$ является убывающей, из $x_1 > x_2$ следует, что $(\frac{3}{7})^{x_1} < (\frac{3}{7})^{x_2}$.

Ответ: число $(\frac{3}{7})^{\frac{3}{11}}$ больше.

г) Дано $x_1 = -1,6$ и $x_2 = -3$.

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$.

Так как $-1,6$ находится на числовой прямой правее, чем $-3$, то $-1,6 > -3$. Следовательно, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y = (\frac{3}{7})^x$ является убывающей, из $x_1 > x_2$ следует, что $(\frac{3}{7})^{x_1} < (\frac{3}{7})^{x_2}$.

Ответ: число $(\frac{3}{7})^{-3}$ больше.

11.22. Сравните числа:

а) $1,3^{34}$ и $1,3^{40}$;

б) $(\frac{7}{9})^{16,2}$ и $(\frac{7}{9})^{-3}$;

в) $12,1^{\sqrt{3}}$ и $12,1^{\sqrt{5}}$;

г) $(0,65)^{-\sqrt{2}}$ и $(0,65)^{\frac{1}{2}}$.

а) Для сравнения чисел $1,3^{34}$ и $1,3^{40}$ используется свойство показательной функции $y = a^x$. В данном случае основание $a = 1,3$. Поскольку $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из того, что $x_1 < x_2$, следует $a^{x_1} < a^{x_2}$. Сравним показатели степеней: $34 < 40$. Следовательно, при возрастающей функции с основанием $1,3$ получаем, что $1,3^{34} < 1,3^{40}$.
Ответ: $1,3^{34} < 1,3^{40}$.

б) Для сравнения чисел $(\frac{7}{9})^{16,2}$ и $(\frac{7}{9})^{-3}$ рассмотрим показательную функцию $y = (\frac{7}{9})^x$. Основание степени $a = \frac{7}{9}$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из того, что $x_1 < x_2$, следует $a^{x_1} > a^{x_2}$. Сравним показатели степеней: $16,2 > -3$. Так как функция убывающая, большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции. Следовательно, $(\frac{7}{9})^{16,2} < (\frac{7}{9})^{-3}$.
Ответ: $(\frac{7}{9})^{16,2} < (\frac{7}{9})^{-3}$.

в) Для сравнения чисел $12,1^{\sqrt{3}}$ и $12,1^{\sqrt{5}}$ рассмотрим показательную функцию $y = 12,1^x$. Основание степени $a = 12,1$. Поскольку $a > 1$, функция является возрастающей. Сравним показатели степеней: $\sqrt{3}$ и $\sqrt{5}$. Так как $3 < 5$, то и $\sqrt{3} < \sqrt{5}$. Поскольку функция возрастающая, большему значению показателя степени соответствует большее значение функции. Следовательно, $12,1^{\sqrt{3}} < 12,1^{\sqrt{5}}$.
Ответ: $12,1^{\sqrt{3}} < 12,1^{\sqrt{5}}$.

г) Для сравнения чисел $(0,65)^{-\sqrt{2}}$ и $(0,65)^{\frac{1}{2}}$ рассмотрим показательную функцию $y = (0,65)^x$. Основание степени $a = 0,65$. Поскольку $0 < a < 1$, функция является убывающей. Сравним показатели степеней: $-\sqrt{2}$ и $\frac{1}{2}$. Так как $-\sqrt{2}$ — отрицательное число (приблизительно $-1,41$), а $\frac{1}{2} = 0,5$ — положительное, то $-\sqrt{2} < \frac{1}{2}$. Поскольку функция убывающая, меньшему значению показателя степени соответствует большее значение функции. Следовательно, $(0,65)^{-\sqrt{2}} > (0,65)^{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $(0,65)^{-\sqrt{2}} > (0,65)^{\frac{1}{2}}$.

Расположите числа в порядке возрастания:

11.23. a) $2^{\frac{1}{3}}$; $2^{-\frac{1}{2}}$; $2^{\sqrt{3}}$; $2^{-\sqrt{2}}$; $2^{14}$; $1$;

б) $0,3^9$; $1$; $0,3^{-\sqrt{5}}$; $0,3^{\frac{1}{2}}$; $0,3^{-9}$; $0,3^{\frac{1}{3}}$.

а)

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их. Все числа, кроме единицы, представляют собой степень с основанием $2$. Число $1$ можно представить как $2^0$.

Поскольку основание степени $a=2$ больше единицы ($a>1$), показательная функция $y=a^x$ является возрастающей. Это означает, что чем больше показатель степени $x$, тем больше значение числа $a^x$. Следовательно, чтобы расположить числа в порядке возрастания, достаточно расположить их показатели степени в порядке возрастания.

Показатели степеней данных чисел: $\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{2}$, $\sqrt{3}$, $-\sqrt{2}$, $1,4$ и $0$ (от числа $1=2^0$).

Сравним эти показатели. Для удобства можно использовать их приблизительные десятичные значения:

• $-\sqrt{2} \approx -1,414$
• $-\frac{1}{2} = -0,5$
• $0$
• $\frac{1}{3} \approx 0,333$
• $1,4$
• $\sqrt{3} \approx 1,732$

Расположив показатели в порядке возрастания, получаем: $-\sqrt{2} < -\frac{1}{2} < 0 < \frac{1}{3} < 1,4 < \sqrt{3}$

Так как функция $y=2^x$ возрастающая, порядок для самих чисел будет таким же: $2^{-\sqrt{2}} < 2^{-\frac{1}{2}} < 2^0 < 2^{\frac{1}{3}} < 2^{1,4} < 2^{\sqrt{3}}$

Заменив $2^0$ на $1$, получаем итоговый ряд чисел в порядке возрастания.

Ответ: $2^{-\sqrt{2}}$, $2^{-\frac{1}{2}}$, $1$, $2^{\frac{1}{3}}$, $2^{1,4}$, $2^{\sqrt{3}}$.

б)

В данном случае все числа, кроме единицы, являются степенями с основанием $0,3$. Число $1$ можно представить как $0,3^0$.

Поскольку основание степени $a=0,3$ находится в интервале от $0$ до $1$ ($0 < a < 1$), показательная функция $y=a^x$ является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени $x$, тем меньше значение числа $a^x$. Таким образом, чтобы расположить числа в порядке возрастания, нужно расположить их показатели степени в порядке убывания.

Показатели степеней данных чисел: $9$, $0$ (от $1=0,3^0$), $-\sqrt{5}$, $\frac{1}{2}$, $-9$, $\frac{1}{3}$.

Сначала расположим показатели в порядке возрастания, чтобы не запутаться: $-9 < -\sqrt{5} < 0 < \frac{1}{3} < \frac{1}{2} < 9$ (Приблизительные значения: $-\sqrt{5} \approx -2,236$; $\frac{1}{3} \approx 0,333$; $\frac{1}{2}=0,5$)

Теперь расположим показатели в порядке убывания: $9 > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > 0 > -\sqrt{5} > -9$

Так как функция $y=0,3^x$ убывающая, то из $x_1 > x_2$ следует $0,3^{x_1} < 0,3^{x_2}$. Применяя это свойство к убывающему ряду показателей, мы получим возрастающий ряд значений степеней: $0,3^9 < 0,3^{\frac{1}{2}} < 0,3^{\frac{1}{3}} < 0,3^0 < 0,3^{-\sqrt{5}} < 0,3^{-9}$

Заменив $0,3^0$ на $1$, получаем итоговый ряд.

Ответ: $0,3^9$, $0,3^{\frac{1}{2}}$, $0,3^{\frac{1}{3}}$, $1$, $0,3^{-\sqrt{5}}$, $0,3^{-9}$.

11.24. a) $(\sqrt{3})^{\frac{2}{3}}$; $(\sqrt{3})^{-\sqrt{2}}$; $(\sqrt{3})^{1,2}$; 1; $(\sqrt{3})^{\sqrt{2}}$; $(\sqrt{3})^{\sqrt{3}};

б) $(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})^{0,3}$; $(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})^{0}$; $(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})^{-0,2}$.

a) Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Все выражения, кроме единицы, представляют собой степень с основанием $\sqrt{3}$. Поскольку основание $\sqrt{3} \approx 1,732 > 1$, степенная функция $y = (\sqrt{3})^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.

Представим число $1$ как степень с основанием $\sqrt{3}$: $1 = (\sqrt{3})^0$. Теперь задача сводится к сравнению показателей степеней: $\frac{2}{3}$; $-\sqrt{2}$; $1,2$; $0$; $\sqrt{2}$; $\sqrt{3}$.

Расположим показатели в порядке возрастания. Для этого оценим их приближенные значения:

• $-\sqrt{2} \approx -1,414$
• $0$
• $\frac{2}{3} \approx 0,667$
• $1,2$
• $\sqrt{2} \approx 1,414$
• $\sqrt{3} \approx 1,732$

Сравнивая значения, получаем следующую последовательность показателей: $-\sqrt{2} < 0 < \frac{2}{3} < 1,2 < \sqrt{2} < \sqrt{3}$.

Так как функция $y = (\sqrt{3})^x$ возрастающая, то сами числа располагаются в том же порядке: $(\sqrt{3})^{-\sqrt{2}} < (\sqrt{3})^0 < (\sqrt{3})^{\frac{2}{3}} < (\sqrt{3})^{1,2} < (\sqrt{3})^{\sqrt{2}} < (\sqrt{3})^{\sqrt{3}}$.

Заменив $(\sqrt{3})^0$ обратно на $1$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $(\sqrt{3})^{-\sqrt{2}}$; $1$; $(\sqrt{3})^{\frac{2}{3}}$; $(\sqrt{3})^{1,2}$; $(\sqrt{3})^{\sqrt{2}}$; $(\sqrt{3})^{\sqrt{3}}$.

б) Все числа представляют собой степень с одинаковым основанием $a = \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}$. Сначала определим, больше или меньше единицы это основание.

Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей, поэтому из того, что $3 > 2$, следует $\sqrt[3]{3} > \sqrt[3]{2}$. Значит, основание $a = \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}$ является положительным числом.

Теперь сравним основание $a$ с единицей. Для этого сравним $\sqrt[3]{3}$ и $1 + \sqrt[3]{2}$. Возведем оба положительных выражения в куб:

• $(\sqrt[3]{3})^3 = 3$
• $(1 + \sqrt[3]{2})^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt[3]{2} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt[3]{2})^2 + (\sqrt[3]{2})^3 = 1 + 3\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{4} + 2 = 3 + 3\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{4}$

Поскольку $3\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{4} > 0$, то $3 + 3\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{4} > 3$. Следовательно, $(1 + \sqrt[3]{2})^3 > (\sqrt[3]{3})^3$, а значит и $1 + \sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{3}$. Отсюда получаем, что $1 > \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}$.

Таким образом, основание степени $a$ удовлетворяет неравенству $0 < a < 1$. Для такого основания степенная функция $y = a^x$ является убывающей. Это значит, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, нужно расположить их показатели в порядке убывания. Показатели степеней: $0,3$; $0$; $-0,2$. В порядке убывания они располагаются так: $0,3 > 0 > -0,2$.

Следовательно, соответствующие степени будут расположены в обратном (возрастающем) порядке: $(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})^{0,3} < (\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})^{0} < (\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})^{-0,2}$.

Ответ: $(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})^{0,3}$; $(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})^{0}$; $(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})^{-0,2}$.

11.25. a) $(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{\frac{5}{6}})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-0.2})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{\frac{2}{3}})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-\frac{1}{6}})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{1.3})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^{-2.1})$;

б) $(\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{0.1})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-0.5})$; $(\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{-3.4}).

а)

В данном задании все числа являются степенями с одинаковым основанием $a = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Оценим величину основания. Так как $\sqrt{5} > \sqrt{1} = 1$, то $0 < \frac{1}{\sqrt{5}} < 1$.

Показательная функция $y = a^x$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени, тем меньше значение функции. Следовательно, чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо их показатели степени расположить в порядке убывания.

Выпишем показатели степеней: $\frac{5}{6}$; $-0,2$; $\frac{2}{3}$; $-\frac{1}{6}$; $1,3$; $-2,1$.

Сравним эти числа. Для удобства можно перевести их в десятичные дроби или привести к общему знаменателю.

• $\frac{5}{6} \approx 0,833...$
• $-0,2$
• $\frac{2}{3} \approx 0,667...$
• $-\frac{1}{6} \approx -0,167...$
• $1,3$
• $-2,1$

Расположим показатели в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему): $1,3 > \frac{5}{6} > \frac{2}{3} > -\frac{1}{6} > -0,2 > -2,1$.

Поскольку функция убывающая, порядок для самих чисел будет обратным. Располагаем числа в порядке возрастания: $(\frac{1}{\sqrt{5}})^{1,3} < (\frac{1}{\sqrt{5}})^{\frac{5}{6}} < (\frac{1}{\sqrt{5}})^{\frac{2}{3}} < (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-\frac{1}{6}} < (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-0,2} < (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-2,1}$.

Ответ: в порядке возрастания: $(\frac{1}{\sqrt{5}})^{1,3}; (\frac{1}{\sqrt{5}})^{\frac{5}{6}}; (\frac{1}{\sqrt{5}})^{\frac{2}{3}}; (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-\frac{1}{6}}; (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-0,2}; (\frac{1}{\sqrt{5}})^{-2,1}$.

б)

Все числа имеют одинаковое основание $a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Определим знак и величину основания. Для этого сравним числа $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$ и $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Это равносильно сравнению их знаменателей $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt{2}$.

Возведем оба знаменателя в степень 6 (наименьшее общее кратное показателей корней 2 и 3):
$(\sqrt[3]{2})^6 = (2^{1/3})^6 = 2^2 = 4$
$(\sqrt{2})^6 = (2^{1/2})^6 = 2^3 = 8$

Так как $4 < 8$, то $\sqrt[3]{2} < \sqrt{2}$. Для положительных чисел, чем больше знаменатель, тем меньше дробь, поэтому $\frac{1}{\sqrt[3]{2}} > \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Следовательно, основание $a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$ является положительным числом ($a > 0$).

Теперь оценим его величину. Поскольку $\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{1} = 1$, то $0 < \frac{1}{\sqrt[3]{2}} < 1$. Так как мы вычитаем положительное число $\frac{1}{\sqrt{2}}$, то $a = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} < \frac{1}{\sqrt[3]{2}} < 1$.

Таким образом, основание $a$ находится в интервале $0 < a < 1$. Показательная функция с таким основанием является убывающей. Чтобы расположить числа в порядке возрастания, их показатели степени нужно расположить в порядке убывания.

Показатели степеней: $0,1$; $-0,5$; $-3,4$.

Расположим их в порядке убывания: $0,1 > -0,5 > -3,4$.

Так как функция убывающая, порядок для самих чисел будет обратным. В порядке возрастания числа располагаются так: $(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{0,1} < (\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{-0,5} < (\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{-3,4}$.

Ответ: в порядке возрастания: $(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{0,1}; (\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{-0,5}; (\frac{1}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}})^{-3,4}$.