Страница 66, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на указанном промежутке:

11.34. a) $y = (\sqrt{2})^x$, $(-\infty; 4];$

б) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x$, $(-\infty; 2];$

в) $y = (\sqrt[3]{5})^x$, $[0; +\infty);$

г) $y = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x$, $[-2; +\infty).$

а) Дана показательная функция $y = (\sqrt{2})^x$ на промежутке $(-\infty; 4]$. Основание функции $a = \sqrt{2}$. Так как $a > 1$, функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. На промежутке, не ограниченном слева и ограниченном справа, возрастающая функция достигает своего наибольшего значения в крайней правой точке промежутка и не имеет наименьшего значения. Наибольшее значение достигается при $x = 4$: $y_{наиб} = (\sqrt{2})^4 = (2^{1/2})^4 = 2^{4/2} = 2^2 = 4$. Поскольку при $x \to -\infty$ значение функции $y \to 0$, но никогда его не достигает, наименьшего значения у функции на данном промежутке нет.
Ответ: наибольшее значение функции равно 4, наименьшего значения не существует.

б) Дана показательная функция $y = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^x$ на промежутке $(-\infty; 2]$. Основание функции $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. На промежутке, не ограниченном слева и ограниченном справа, убывающая функция достигает своего наименьшего значения в крайней правой точке промежутка и не имеет наибольшего значения. Наименьшее значение достигается при $x = 2$: $y_{наим} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$. Поскольку при $x \to -\infty$ значение функции $y \to +\infty$, наибольшего значения у функции на данном промежутке нет.
Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{3}$, наибольшего значения не существует.

в) Дана показательная функция $y = (\sqrt[3]{5})^x$ на промежутке $[0; +\infty)$. Основание функции $a = \sqrt[3]{5}$. Так как $a > 1$ (поскольку $\sqrt[3]{5} > \sqrt[3]{1} = 1$), функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. На промежутке, ограниченном слева и не ограниченном справа, возрастающая функция достигает своего наименьшего значения в крайней левой точке промежутка и не имеет наибольшего значения. Наименьшее значение достигается при $x = 0$: $y_{наим} = (\sqrt[3]{5})^0 = 1$. Поскольку при $x \to +\infty$ значение функции $y \to +\infty$, наибольшего значения у функции на данном промежутке нет.
Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшего значения не существует.

г) Дана показательная функция $y = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^x$ на промежутке $[-2; +\infty)$. Основание функции $a = \frac{1}{\sqrt{7}}$. Так как $0 < a < 1$ (поскольку $\sqrt{7} > 1$), функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. На промежутке, ограниченном слева и не ограниченном справа, убывающая функция достигает своего наибольшего значения в крайней левой точке промежутка и не имеет наименьшего значения. Наибольшее значение достигается при $x = -2$: $y_{наиб} = \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2} = (\sqrt{7})^2 = 7$. Поскольку при $x \to +\infty$ значение функции $y \to 0$, но никогда его не достигает, наименьшего значения у функции на данном промежутке нет.
Ответ: наибольшее значение функции равно 7, наименьшего значения не существует.

11.35. а) $y = 3^{x-1} + 8, [-3; 1];$

б) $y = 5 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^x + 4, [-1; 2];$

в) $y = 7^{x-2} + 9, [0; 2];$

г) $y = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x + 13, [-2; 3].$

а) Рассмотрим функцию $y = 3^{x-1} + 8$ на отрезке $[-3; 1]$. Так как основание степени $3 > 1$, а показатель $x-1$ — возрастающая функция, то и вся функция $y = 3^{x-1} + 8$ является возрастающей на данном отрезке. Следовательно, свое наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-3) = 3^{-3-1} + 8 = 3^{-4} + 8 = \frac{1}{81} + 8 = 8\frac{1}{81}$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = 3^{1-1} + 8 = 3^0 + 8 = 1 + 8 = 9$.
Ответ: $y_{наим} = 8\frac{1}{81}$, $y_{наиб} = 9$.

б) Рассмотрим функцию $y = 5 \cdot (\frac{3}{5})^x + 4$ на отрезке $[-1; 2]$. Так как основание степени $a = \frac{3}{5}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{3}{5})^x$ является убывающей. Умножение на положительное число $5$ и сложение с числом $4$ не изменяют характер монотонности, поэтому вся функция убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-1) = 5 \cdot (\frac{3}{5})^{-1} + 4 = 5 \cdot \frac{5}{3} + 4 = \frac{25}{3} + 4 = 8\frac{1}{3} + 4 = 12\frac{1}{3}$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = 5 \cdot (\frac{3}{5})^2 + 4 = 5 \cdot \frac{9}{25} + 4 = \frac{9}{5} + 4 = 1,8 + 4 = 5,8$.
Ответ: $y_{наим} = 5,8$, $y_{наиб} = 12\frac{1}{3}$.

в) Рассмотрим функцию $y = 7^{x-2} + 9$ на отрезке $[0; 2]$. Так как основание степени $7 > 1$, а показатель $x-2$ — возрастающая функция, то и вся функция $y = 7^{x-2} + 9$ является возрастающей на данном отрезке. Следовательно, свое наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 7^{0-2} + 9 = 7^{-2} + 9 = \frac{1}{49} + 9 = 9\frac{1}{49}$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = 7^{2-2} + 9 = 7^0 + 9 = 1 + 9 = 10$.
Ответ: $y_{наим} = 9\frac{1}{49}$, $y_{наиб} = 10$.

г) Рассмотрим функцию $y = 4 \cdot (\frac{1}{2})^x + 13$ на отрезке $[-2; 3]$. Так как основание степени $a = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, показательная функция $y = (\frac{1}{2})^x$ является убывающей. Умножение на положительное число $4$ и сложение с числом $13$ не изменяют характер монотонности, поэтому вся функция убывает. Следовательно, свое наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.
Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-2) = 4 \cdot (\frac{1}{2})^{-2} + 13 = 4 \cdot 2^2 + 13 = 4 \cdot 4 + 13 = 16 + 13 = 29$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(3) = 4 \cdot (\frac{1}{2})^3 + 13 = 4 \cdot \frac{1}{8} + 13 = \frac{1}{2} + 13 = 13,5$.
Ответ: $y_{наим} = 13,5$, $y_{наиб} = 29$.

11.36. a) $y = 32 \cdot 2^{x-6} - 5$, $[-1; 2]$;

б) $y = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x-4} + 10$, $[-2; 3]$;

в) $y = 27 \cdot 3^{-x-2} + 4$, $[1; 3]$;

г) $y = 125 \cdot 5^{-x-4} - 12$, $[-2; 0]$;

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = 32 \cdot 2^{x-6} - 5$ на отрезке $[-1; 2]$, сначала упростим её выражение: $y = 2^5 \cdot 2^{x-6} - 5 = 2^{5+x-6} - 5 = 2^{x-1} - 5$.
Это показательная функция. Основание степени $a=2$ больше 1, а показатель $t(x) = x-1$ является возрастающей функцией. Следовательно, вся функция $y(x)$ является возрастающей на заданном отрезке.
Наименьшее значение возрастающей функции на отрезке достигается в его начале, а наибольшее — в конце.
Вычисляем значения на границах отрезка:
$y_{наим} = y(-1) = 2^{-1-1} - 5 = 2^{-2} - 5 = \frac{1}{4} - 5 = 0.25 - 5 = -4.75$.
$y_{наиб} = y(2) = 2^{2-1} - 5 = 2^1 - 5 = 2 - 5 = -3$.
Ответ: Наименьшее значение функции равно $-4.75$, наибольшее значение равно $-3$.

б) Для функции $y = 8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{x-4} + 10$ на отрезке $[-2; 3]$ найдем наименьшее и наибольшее значения. Упростим выражение: $y = 2^3 \cdot (2^{-1})^{x-4} + 10 = 2^3 \cdot 2^{-x+4} + 10 = 2^{7-x} + 10$.
Это показательная функция с основанием $a=2 > 1$. Показатель степени $t(x) = 7-x$ является убывающей функцией, так как коэффициент при $x$ отрицателен. Следовательно, вся функция $y(x)$ является убывающей.
Наибольшее значение убывающей функции на отрезке достигается в его начале, а наименьшее — в конце.
Вычисляем значения на границах отрезка:
$y_{наиб} = y(-2) = 2^{7-(-2)} + 10 = 2^9 + 10 = 512 + 10 = 522$.
$y_{наим} = y(3) = 2^{7-3} + 10 = 2^4 + 10 = 16 + 10 = 26$.
Ответ: Наименьшее значение функции равно $26$, наибольшее значение равно $522$.

в) Найдем наименьшее и наибольшее значения для функции $y = 27 \cdot 3^{-x-2} + 4$ на отрезке $[1; 3]$. Упростим выражение: $y = 3^3 \cdot 3^{-x-2} + 4 = 3^{3-x-2} + 4 = 3^{1-x} + 4$.
Это показательная функция с основанием $a=3 > 1$. Показатель степени $t(x) = 1-x$ является убывающей функцией. Следовательно, вся функция $y(x)$ является убывающей.
Наибольшее значение убывающей функции на отрезке достигается в его начале, а наименьшее — в конце.
Вычисляем значения на границах отрезка:
$y_{наиб} = y(1) = 3^{1-1} + 4 = 3^0 + 4 = 1 + 4 = 5$.
$y_{наим} = y(3) = 3^{1-3} + 4 = 3^{-2} + 4 = \frac{1}{9} + 4 = 4\frac{1}{9}$.
Ответ: Наименьшее значение функции равно $4\frac{1}{9}$, наибольшее значение равно $5$.

г) Найдем наименьшее и наибольшее значения для функции $y = 125 \cdot 5^{-x-4} - 12$ на отрезке $[-2; 0]$. Упростим выражение: $y = 5^3 \cdot 5^{-x-4} - 12 = 5^{3-x-4} - 12 = 5^{-x-1} - 12$.
Это показательная функция с основанием $a=5 > 1$. Показатель степени $t(x) = -x-1$ является убывающей функцией. Следовательно, вся функция $y(x)$ является убывающей.
Наибольшее значение убывающей функции на отрезке достигается в его начале, а наименьшее — в конце.
Вычисляем значения на границах отрезка:
$y_{наиб} = y(-2) = 5^{-(-2)-1} - 12 = 5^{2-1} - 12 = 5^1 - 12 = -7$.
$y_{наим} = y(0) = 5^{-0-1} - 12 = 5^{-1} - 12 = \frac{1}{5} - 12 = 0.2 - 12 = -11.8$.
Ответ: Наименьшее значение функции равно $-11.8$, наибольшее значение равно $-7$.

11.37. На каком отрезке функция $y = 2^x$ принимает:

а) наибольшее значение, равное 32, и наименьшее, равное $\frac{1}{2}$;

б) наибольшее значение, равное $\frac{1}{8}$, и наименьшее, равное $\frac{1}{128}$?

а) Дана функция $y = 2^x$. Поскольку основание степени $a=2$ больше 1, эта показательная функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Это означает, что на любом отрезке $[x_1; x_2]$ наименьшее значение функция принимает в левой точке отрезка ($x_1$), а наибольшее — в правой ($x_2$).

По условию, наименьшее значение функции равно $\frac{1}{2}$, а наибольшее равно $32$. Нам нужно найти концы отрезка $x_1$ и $x_2$.

Найдем $x_1$, при котором достигается наименьшее значение:$y_{min} = 2^{x_1} = \frac{1}{2}$.Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, то уравнение принимает вид:$2^{x_1} = 2^{-1}$.Отсюда следует, что $x_1 = -1$.

Найдем $x_2$, при котором достигается наибольшее значение:$y_{max} = 2^{x_2} = 32$.Так как $32 = 2^5$, то уравнение принимает вид:$2^{x_2} = 2^5$.Отсюда следует, что $x_2 = 5$.

Таким образом, искомый отрезок, на котором функция $y = 2^x$ принимает наименьшее значение $\frac{1}{2}$ и наибольшее $32$, это отрезок $[-1; 5]$.Ответ: $[-1; 5]$

б) Аналогично пункту а), мы используем свойство возрастания функции $y = 2^x$.

По условию, наименьшее значение функции равно $\frac{1}{128}$, а наибольшее равно $\frac{1}{8}$.

Найдем левую границу отрезка $x_1$, соответствующую наименьшему значению:$y_{min} = 2^{x_1} = \frac{1}{128}$.Так как $128 = 2^7$, то $\frac{1}{128} = 2^{-7}$. Уравнение принимает вид:$2^{x_1} = 2^{-7}$.Отсюда $x_1 = -7$.

Найдем правую границу отрезка $x_2$, соответствующую наибольшему значению:$y_{max} = 2^{x_2} = \frac{1}{8}$.Так как $8 = 2^3$, то $\frac{1}{8} = 2^{-3}$. Уравнение принимает вид:$2^{x_2} = 2^{-3}$.Отсюда $x_2 = -3$.

Следовательно, искомый отрезок — это $[-7; -3]$.Ответ: $[-7; -3]$

11.38. На каком отрезке функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ принимает:

а) наибольшее значение, равное 81, и наименьшее, равное $\frac{1}{27}$;

б) наименьшее значение, равное $\frac{1}{\sqrt{3}}$, и наибольшее, равное $\frac{1}{\sqrt[7]{9}}$?

Функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ является показательной. Так как основание $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей своей области определения. Это значит, что для любого отрезка $[x_1, x_2]$ наибольшее значение функция принимает в левой точке $x_1$, а наименьшее — в правой точке $x_2$. То есть, $y_{наиб} = y(x_1)$ и $y_{наим} = y(x_2)$.

а)

По условию, наибольшее значение функции $y_{наиб} = 81$ и наименьшее значение $y_{наим} = \frac{1}{27}$.

Найдём левую границу отрезка $x_1$, для которой функция принимает наибольшее значение:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{x_1} = 81$
Представим $81$ в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $81 = 3^4 = (3^{-1})^{-4} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}$.
Тогда уравнение примет вид: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x_1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4}$.
Отсюда следует, что $x_1 = -4$.

Найдём правую границу отрезка $x_2$, для которой функция принимает наименьшее значение:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{x_2} = \frac{1}{27}$
Представим $\frac{1}{27}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3}$.
Тогда уравнение примет вид: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3}$.
Отсюда следует, что $x_2 = 3$.

Таким образом, искомый отрезок: $[-4, 3]$.

Ответ: $[-4, 3]$.

б)

По условию, наименьшее значение функции $y_{наим} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и наибольшее значение $y_{наиб} = \frac{1}{\sqrt[7]{9}}$.

Найдём левую границу отрезка $x_1$, для которой функция принимает наибольшее значение:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{x_1} = \frac{1}{\sqrt[7]{9}}$
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{\sqrt[7]{9}} = \frac{1}{(3^2)^{1/7}} = \frac{1}{3^{2/7}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2/7}$.
Тогда уравнение примет вид: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x_1} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2/7}$.
Отсюда следует, что $x_1 = \frac{2}{7}$.

Найдём правую границу отрезка $x_2$, для которой функция принимает наименьшее значение:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{x_2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
Представим правую часть в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3^{1/2}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/2}$.
Тогда уравнение примет вид: $\left(\frac{1}{3}\right)^{x_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/2}$.
Отсюда следует, что $x_2 = \frac{1}{2}$.

Таким образом, искомый отрезок: $[\frac{2}{7}, \frac{1}{2}]$.

Ответ: $[\frac{2}{7}, \frac{1}{2}]$.