Страница 73, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

12.1. а) $4^x = \frac{1}{16};$

б) $7^x = \frac{1}{343};$

в) $\left(\frac{1}{6}\right)^x = 36;$

г) $0,2^x = 0,00032.$

а) $4^x = \frac{1}{16}$

Для решения этого показательного уравнения необходимо привести обе части к одному основанию. В качестве общего основания выберем число 4.

Правая часть уравнения, $\frac{1}{16}$, может быть представлена как степень числа 4. Сначала заметим, что $16 = 4^2$.

Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, мы можем переписать правую часть:

$\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$4^x = 4^{-2}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = -2$

Ответ: -2

б) $7^x = \frac{1}{343}$

Приведем обе части уравнения к основанию 7.

Найдем, в какой степени число 7 дает 343:

$7^1 = 7$

$7^2 = 49$

$7^3 = 49 \times 7 = 343$

Таким образом, $343 = 7^3$.

Теперь представим правую часть уравнения как степень с основанием 7:

$\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3}$

Подставим это в исходное уравнение:

$7^x = 7^{-3}$

Так как основания степеней равны, то равны и их показатели:

$x = -3$

Ответ: -3

в) $(\frac{1}{6})^x = 36$

Для решения этого уравнения приведем обе части к основанию 6.

Левую часть уравнения можно преобразовать, используя свойство $(a^{-1})^n = a^{-n}$:

$(\frac{1}{6})^x = (6^{-1})^x = 6^{-x}$

Правую часть уравнения представим как степень с основанием 6:

$36 = 6^2$

Теперь уравнение выглядит так:

$6^{-x} = 6^2$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$-x = 2$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $x$:

$x = -2$

Ответ: -2

г) $0,2^x = 0,00032$

В этом уравнении основание степени в левой части равно 0,2. Попробуем представить правую часть как степень числа 0,2.

Вычислим последовательно степени числа 0,2:

$0,2^1 = 0,2$

$0,2^2 = 0,04$

$0,2^3 = 0,008$

$0,2^4 = 0,0016$

$0,2^5 = 0,00032$

Таким образом, мы выяснили, что $0,00032 = 0,2^5$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$0,2^x = 0,2^5$

Поскольку основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$x = 5$

Ответ: 5

12.2. a) $10^x = \sqrt[4]{1000}$;

б) $5^x = \frac{1}{\sqrt[3]{25}};$

в) $0,3^x = \sqrt[4]{0,0081};$

г) $\left(\frac{1}{5}\right)^x = 25\sqrt{5}.$

а) $10^x = \sqrt[4]{1000}$

Для решения данного показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 10.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 10. Мы знаем, что $1000 = 10^3$. Корень четвертой степени можно представить в виде дробного показателя степени $\frac{1}{4}$.

$\sqrt[4]{1000} = \sqrt[4]{10^3} = (10^3)^{\frac{1}{4}} = 10^{3 \cdot \frac{1}{4}} = 10^{\frac{3}{4}}$

Теперь уравнение принимает вид:

$10^x = 10^{\frac{3}{4}}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = \frac{3}{4}$

Ответ: $x = \frac{3}{4}$

б) $5^x = \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 5.

Преобразуем правую часть. Знаем, что $25 = 5^2$. Корень третьей степени можно записать как степень с показателем $\frac{1}{3}$.

$\sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = (5^2)^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$

Теперь подставим это в знаменатель дроби:

$\frac{1}{\sqrt[3]{25}} = \frac{1}{5^{\frac{2}{3}}}$

Используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$5^{-\frac{2}{3}}$

Исходное уравнение можно записать как:

$5^x = 5^{-\frac{2}{3}}$

Приравнивая показатели степеней с одинаковыми основаниями, находим $x$:

$x = -\frac{2}{3}$

Ответ: $x = -\frac{2}{3}$

в) $0,3^x = \sqrt[4]{0,0081}$

Приведем правую часть уравнения к основанию 0,3.

Заметим, что $0,3^4 = 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 \cdot 0,3 = 0,09 \cdot 0,09 = 0,0081$.

Следовательно, правую часть можно переписать следующим образом:

$\sqrt[4]{0,0081} = \sqrt[4]{(0,3)^4}$

Так как основание 0,3 положительное, то $\sqrt[4]{(0,3)^4} = 0,3$. А $0,3$ это то же самое, что $0,3^1$.

Получаем уравнение:

$0,3^x = 0,3^1$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x = 1$

Ответ: $x = 1$

г) $(\frac{1}{5})^x = 25\sqrt{5}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию, например, к основанию 5.

Преобразуем левую часть, используя свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$(\frac{1}{5})^x = (5^{-1})^x = 5^{-x}$

Теперь преобразуем правую часть. Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.

$25\sqrt{5} = 5^2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:

$5^{2 + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{4}{2} + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{2}}$

Уравнение принимает вид:

$5^{-x} = 5^{\frac{5}{2}}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x = \frac{5}{2}$

$x = -\frac{5}{2}$

Ответ: $x = -\frac{5}{2}$

12.3. а) $0,3^x = \frac{1000}{27}$;

б) $(\frac{4}{5})^x = \frac{25}{16}$;

в) $0,7^x = \frac{1000}{343}$;

г) $(\frac{3}{2})^x = \frac{16}{81}$.

а) $0,3^x = \frac{1000}{27}$
Для решения этого показательного уравнения необходимо привести обе части к одному основанию.
Представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной дроби: $0,3 = \frac{3}{10}$.
Тогда левая часть уравнения примет вид: $(\frac{3}{10})^x$.
Теперь преобразуем правую часть уравнения: $\frac{1000}{27} = \frac{10^3}{3^3} = (\frac{10}{3})^3$.
Получаем уравнение: $(\frac{3}{10})^x = (\frac{10}{3})^3$.
Чтобы основания стали одинаковыми, воспользуемся свойством степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, которое для дробей выглядит как $(\frac{b}{a})^n = (\frac{a}{b})^{-n}$.
Применим это свойство к правой части: $(\frac{10}{3})^3 = (\frac{3}{10})^{-3}$.
Теперь уравнение выглядит так: $(\frac{3}{10})^x = (\frac{3}{10})^{-3}$.
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $x = -3$.
Ответ: -3

б) $(\frac{4}{5})^x = \frac{25}{16}$
Приведем обе части уравнения к основанию $\frac{4}{5}$.
Левая часть уже имеет нужное основание: $(\frac{4}{5})^x$.
Преобразуем правую часть: $\frac{25}{16} = \frac{5^2}{4^2} = (\frac{5}{4})^2$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{4}{5})^x = (\frac{5}{4})^2$.
Основания $\frac{4}{5}$ и $\frac{5}{4}$ являются взаимно обратными числами. Используем свойство степени $(\frac{b}{a})^n = (\frac{a}{b})^{-n}$: $(\frac{5}{4})^2 = (\frac{4}{5})^{-2}$.
Подставим это в уравнение: $(\frac{4}{5})^x = (\frac{4}{5})^{-2}$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны: $x = -2$.
Ответ: -2

в) $0,7^x = \frac{1000}{343}$
Приведем обе части уравнения к одному основанию.
Представим $0,7$ в виде дроби: $0,7 = \frac{7}{10}$. Левая часть: $(\frac{7}{10})^x$.
Преобразуем правую часть. Заметим, что $1000 = 10^3$ и $343 = 7^3$.
Следовательно, $\frac{1000}{343} = \frac{10^3}{7^3} = (\frac{10}{7})^3$.
Получаем уравнение: $(\frac{7}{10})^x = (\frac{10}{7})^3$.
Используя свойство $(\frac{b}{a})^n = (\frac{a}{b})^{-n}$, преобразуем правую часть: $(\frac{10}{7})^3 = (\frac{7}{10})^{-3}$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{7}{10})^x = (\frac{7}{10})^{-3}$.
Приравнивая показатели степеней, получаем: $x = -3$.
Ответ: -3

г) $(\frac{3}{2})^x = \frac{16}{81}$
Приведем обе части уравнения к основанию $\frac{3}{2}$.
Левая часть уже в нужном виде: $(\frac{3}{2})^x$.
Преобразуем правую часть. Заметим, что $16 = 2^4$ и $81 = 3^4$.
Тогда $\frac{16}{81} = \frac{2^4}{3^4} = (\frac{2}{3})^4$.
Уравнение становится: $(\frac{3}{2})^x = (\frac{2}{3})^4$.
Основания $\frac{3}{2}$ и $\frac{2}{3}$ взаимно обратны. Преобразуем правую часть с помощью свойства $(\frac{b}{a})^n = (\frac{a}{b})^{-n}$: $(\frac{2}{3})^4 = (\frac{3}{2})^{-4}$.
Получаем: $(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^{-4}$.
Приравниваем показатели, так как основания равны: $x = -4$.
Ответ: -4

12.4. a) $2^{x+1} = 4;$

б) $5^{3x-1} = 0,2;$

В) $0,4^{4-5x} = 0,16\sqrt{0,4};$

Г) $(\frac{1}{2})^{2-x} = 8\sqrt{2}.$

а) Чтобы решить показательное уравнение $2^{x+1} = 4$, необходимо привести обе его части к одному и тому же основанию. В левой части основание равно 2. Представим число 4 в правой части как степень с основанием 2: $4 = 2^2$. После этого уравнение принимает вид: $2^{x+1} = 2^2$. Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $x+1 = 2$. Решая это линейное уравнение, находим $x$: $x = 2 - 1$, следовательно, $x = 1$.
Ответ: $1$.

б) Рассмотрим уравнение $5^{3x-1} = 0,2$. Для его решения также приведем обе части к одному основанию, которым в данном случае будет 5. Десятичную дробь 0,2 представим в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Используя свойство отрицательной степени ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), запишем $\frac{1}{5}$ как $5^{-1}$. Теперь уравнение выглядит так: $5^{3x-1} = 5^{-1}$. Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $3x-1 = -1$. Решаем полученное уравнение: $3x = -1 + 1$, то есть $3x = 0$. Отсюда $x = 0$.
Ответ: $0$.

в) Исходное уравнение: $0,4^{4-5x} = 0,16\sqrt{0,4}$. Приведем обе части уравнения к основанию 0,4. Преобразуем правую часть уравнения. Заметим, что $0,16 = (0,4)^2$. Квадратный корень из 0,4 можно записать в виде степени: $\sqrt{0,4} = (0,4)^{1/2}$. Таким образом, правая часть уравнения равна $(0,4)^2 \cdot (0,4)^{1/2}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $(0,4)^{2 + 1/2} = (0,4)^{2,5}$. Теперь уравнение имеет вид: $0,4^{4-5x} = 0,4^{2,5}$. Приравниваем показатели степеней: $4-5x = 2,5$. Решаем это линейное уравнение: $-5x = 2,5 - 4$, $-5x = -1,5$. Находим $x$: $x = \frac{-1,5}{-5} = 0,3$.
Ответ: $0,3$.

г) Дано уравнение $(\frac{1}{2})^{2-x} = 8\sqrt{2}$. Приведем обе части к основанию 2. Преобразуем левую часть: $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, тогда $(\frac{1}{2})^{2-x} = (2^{-1})^{2-x}$. При возведении степени в степень показатели перемножаются: $2^{-1 \cdot (2-x)} = 2^{-2+x} = 2^{x-2}$. Теперь преобразуем правую часть. Число 8 — это $2^3$, а $\sqrt{2}$ — это $2^{1/2}$. Значит, $8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{1/2}$. Складываем показатели: $2^{3 + 1/2} = 2^{3,5}$. Уравнение принимает вид: $2^{x-2} = 2^{3,5}$. Приравниваем показатели: $x-2 = 3,5$. Находим $x$: $x = 3,5 + 2 = 5,5$.
Ответ: $5,5$.

12.5. a) $3^{1-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x+3}$;

б) $6^{2x-8} = 216^x$;

В) $\left(\frac{1}{6}\right)^{4x-7} = 6^{x-3}$;

Г) $\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = 1,5^{2x-3}$.

а) $3^{1-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x+3}$

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе части к одному основанию. В данном случае это основание 3. Поскольку дробь $\frac{1}{3}$ можно представить как $3^{-1}$, уравнение принимает следующий вид:

$3^{1-x} = (3^{-1})^{2x+3}$

Далее, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, мы упрощаем правую часть уравнения:

$3^{1-x} = 3^{-1 \cdot (2x+3)}$

$3^{1-x} = 3^{-2x-3}$

Теперь, когда основания в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$1-x = -2x-3$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x - x = -3 - 1$

$x = -4$

Ответ: $x = -4$.

б) $6^{2x-8} = 216^x$

Для решения данного уравнения необходимо привести обе его части к общему основанию. Заметим, что $216$ является степенью числа $6$.

$6^2 = 36$, $6^3 = 216$.

Подставим $6^3$ вместо $216$ в исходное уравнение:

$6^{2x-8} = (6^3)^x$

Применяя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$6^{2x-8} = 6^{3x}$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$2x-8 = 3x$

Решаем линейное уравнение:

$3x - 2x = -8$

$x = -8$

Ответ: $x = -8$.

в) $\left(\frac{1}{6}\right)^{4x-7} = 6^{x-3}$

Приведем обе части уравнения к общему основанию 6. Мы знаем, что $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.

Подставим это выражение в левую часть уравнения:

$(6^{-1})^{4x-7} = 6^{x-3}$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для левой части:

$6^{-1 \cdot (4x-7)} = 6^{x-3}$

$6^{-4x+7} = 6^{x-3}$

Теперь, когда основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-4x+7 = x-3$

Решим полученное линейное уравнение:

$7+3 = x+4x$

$10 = 5x$

$x = \frac{10}{5} = 2$

Ответ: $x = 2$.

г) $\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = 1.5^{2x-3}$

Для решения этого уравнения приведем обе части к одному основанию. Сначала представим десятичную дробь $1.5$ в виде обыкновенной:

$1.5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

Теперь уравнение выглядит так:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x-3}$

Основания $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ являются взаимно обратными числами. Мы можем выразить одно через другое: $\frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$.

Подставим это в правую часть уравнения:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^{2x-3}$

Используя свойство степени, упростим правую часть:

$\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-(2x-3)}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2x+3}$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$8x+1 = -2x+3$

Решаем линейное уравнение:

$8x+2x = 3-1$

$10x = 2$

$x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0.2$

Ответ: $x = 0.2$.

12.6. a) $3^{x^2 - 4,5} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{27};$

б) $0,5^{x^2 - 5,5} \cdot \sqrt{0,5} = 32;$

в) $\sqrt{2^{-1}} \cdot 2^{x^2 - 7,5} = \frac{1}{128};$

г) $0,1^{x^2 - 0,5} \cdot \sqrt{0,1} = 0,001.$

а) $3^{x^2 - 4,5} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{27}$

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем все его части к одному основанию — 3.
Представим $\sqrt{3}$ как $3^{0,5}$ и $\frac{1}{27}$ как $\frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$3^{x^2 - 4,5} \cdot 3^{0,5} = 3^{-3}$

Воспользуемся свойством степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части уравнения:

$3^{(x^2 - 4,5) + 0,5} = 3^{-3}$

$3^{x^2 - 4} = 3^{-3}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$x^2 - 4 = -3$

Решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 = 4 - 3$

$x^2 = 1$

$x = \pm\sqrt{1}$

Ответ: $\pm 1$.

б) $0,5^{x^2 - 5,5} \cdot \sqrt{0,5} = 32$

Приведем все части уравнения к одному основанию. Удобнее всего использовать основание 2.
Представим $0,5$ как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, $\sqrt{0,5}$ как $\sqrt{2^{-1}} = (2^{-1})^{0,5} = 2^{-0,5}$ и $32$ как $2^5$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(2^{-1})^{x^2 - 5,5} \cdot 2^{-0,5} = 2^5$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$2^{-1 \cdot (x^2 - 5,5)} \cdot 2^{-0,5} = 2^5$

$2^{-x^2 + 5,5} \cdot 2^{-0,5} = 2^5$

Теперь сложим показатели степеней в левой части:

$2^{-x^2 + 5,5 - 0,5} = 2^5$

$2^{-x^2 + 5} = 2^5$

Приравняем показатели степеней:

$-x^2 + 5 = 5$

$-x^2 = 0$

$x^2 = 0$

Ответ: $0$.

в) $\sqrt{2^{-1}} \cdot 2^{x^2 - 7,5} = \frac{1}{128}$

Приведем все части уравнения к основанию 2.
Представим $\sqrt{2^{-1}}$ как $(2^{-1})^{0,5} = 2^{-0,5}$ и $\frac{1}{128}$ как $\frac{1}{2^7} = 2^{-7}$.

Уравнение принимает вид:

$2^{-0,5} \cdot 2^{x^2 - 7,5} = 2^{-7}$

Сложим показатели степеней в левой части:

$2^{-0,5 + x^2 - 7,5} = 2^{-7}$

$2^{x^2 - 8} = 2^{-7}$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 - 8 = -7$

$x^2 = 8 - 7$

$x^2 = 1$

$x = \pm\sqrt{1}$

Ответ: $\pm 1$.

г) $0,1^{x^2 - 0,5} \cdot \sqrt{0,1} = 0,001$

Приведем все части уравнения к основанию 0,1.
Представим $\sqrt{0,1}$ как $0,1^{0,5}$ и $0,001$ как $0,1^3$.

Подставим эти значения в уравнение:

$0,1^{x^2 - 0,5} \cdot 0,1^{0,5} = 0,1^3$

Сложим показатели степеней в левой части:

$0,1^{(x^2 - 0,5) + 0,5} = 0,1^3$

$0,1^{x^2} = 0,1^3$

Приравняем показатели степеней:

$x^2 = 3$

$x = \pm\sqrt{3}$

Ответ: $\pm \sqrt{3}$.

12.7. a) $2^x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{1}{9};$

б) $\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 3^x = \sqrt{\frac{27}{125}};$

в) $5^x \cdot 2^x = 0,1^{-3};$

г) $0,3^x \cdot 3^x = \sqrt[3]{0,81}.$

а) Дано уравнение $2^x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{1}{9}$.
Используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (ab)^n$, преобразуем левую часть уравнения:
$2^x \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x = \left(2 \cdot \frac{3}{2}\right)^x = 3^x$.
Теперь представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 3:
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$.
Уравнение принимает вид:
$3^x = 3^{-2}$.
Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны.
$x = -2$.
Ответ: -2.

б) Дано уравнение $\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 3^x = \sqrt{\frac{27}{125}}$.
Упростим левую часть, применив свойство степеней:
$\left(\frac{1}{5}\right)^x \cdot 3^x = \left(\frac{1}{5} \cdot 3\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^x$.
Преобразуем правую часть. Представим числа под корнем в виде степеней и запишем корень как степень с дробным показателем:
$\sqrt{\frac{27}{125}} = \sqrt{\frac{3^3}{5^3}} = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^3} = \left(\left(\frac{3}{5}\right)^3\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{3}{2}}$.
Теперь уравнение выглядит так:
$\left(\frac{3}{5}\right)^x = \left(\frac{3}{5}\right)^{\frac{3}{2}}$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

в) Дано уравнение $5^x \cdot 2^x = 0,1^{-3}$.
Преобразуем левую часть уравнения:
$5^x \cdot 2^x = (5 \cdot 2)^x = 10^x$.
Теперь преобразуем правую часть. Запишем 0,1 как степень числа 10:
$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.
Тогда $0,1^{-3} = (10^{-1})^{-3} = 10^{(-1) \cdot (-3)} = 10^3$.
Уравнение принимает вид:
$10^x = 10^3$.
Приравниваем показатели степеней:
$x = 3$.
Ответ: 3.

г) Дано уравнение $0,3^x \cdot 3^x = \sqrt[3]{0,81}$.
Упростим левую часть:
$0,3^x \cdot 3^x = (0,3 \cdot 3)^x = 0,9^x$.
Преобразуем правую часть. Представим подкоренное выражение как степень с основанием 0,9 и запишем кубический корень как степень $\frac{1}{3}$:
$\sqrt[3]{0,81} = \sqrt[3]{0,9^2} = (0,9^2)^{\frac{1}{3}} = 0,9^{2 \cdot \frac{1}{3}} = 0,9^{\frac{2}{3}}$.
Получаем уравнение:
$0,9^x = 0,9^{\frac{2}{3}}$.
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
$x = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.