Страница 69, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

11.51. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 2^x, \text{ если } x \ge 0 \\ 3x + 1, \text{ если } x < 0 \end{cases}$.

a) Вычислите $f(-3)$; $f(-2,5)$; $f(0)$; $f(2)$; $f(3,5)$.

б) Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$.

а) Для вычисления значений функции $y = f(x)$ необходимо определить, для какого интервала подходит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу из определения кусочно-заданной функции.

• Вычисление $f(-3)$:
  Аргумент $x = -3$. Так как $-3 < 0$, используем формулу $f(x) = 3x + 1$.
  $f(-3) = 3 \cdot (-3) + 1 = -9 + 1 = -8$.
• Вычисление $f(-2,5)$:
  Аргумент $x = -2,5$. Так как $-2,5 < 0$, используем формулу $f(x) = 3x + 1$.
  $f(-2,5) = 3 \cdot (-2,5) + 1 = -7,5 + 1 = -6,5$.
• Вычисление $f(0)$:
  Аргумент $x = 0$. Так как $0 \ge 0$, используем формулу $f(x) = 2^x$.
  $f(0) = 2^0 = 1$.
• Вычисление $f(2)$:
  Аргумент $x = 2$. Так как $2 \ge 0$, используем формулу $f(x) = 2^x$.
  $f(2) = 2^2 = 4$.
• Вычисление $f(3,5)$:
  Аргумент $x = 3,5$. Так как $3,5 \ge 0$, используем формулу $f(x) = 2^x$.
  $f(3,5) = 2^{3,5} = 2^{7/2} = \sqrt{2^7} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$.

Ответ: $f(-3)=-8$; $f(-2,5)=-6,5$; $f(0)=1$; $f(2)=4$; $f(3,5)=8\sqrt{2}$.

б) Построение и чтение графика функции $y = f(x)$.

Построение графика:

График функции состоит из двух частей, соответствующих двум разным формулам на разных участках оси $x$.

1. На интервале $(-\infty, 0)$ график функции $y = f(x)$ совпадает с графиком линейной функции $y = 3x + 1$. Это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Например, $(-1, -2)$ и $(-2, -5)$. Поскольку интервал строго $x < 0$, точка на оси $y$ не включается. Предел функции при $x \to 0^-$ равен $3 \cdot 0 + 1 = 1$. Таким образом, эта часть графика представляет собой луч, который заканчивается в точке $(0, 1)$, сама точка при этом выколота.
2. На полуинтервале $[0, +\infty)$ график функции совпадает с графиком показательной функции $y = 2^x$. Этот график начинается в точке $(0, 2^0) = (0, 1)$, которая "закрашивает" выколотую точку из предыдущего шага, и далее возрастает, проходя через точки $(1, 2)$, $(2, 4)$ и т.д.

В итоге получается единый непрерывный график, состоящий из луча и части экспоненты, которые плавно соединяются в точке $(0, 1)$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: функция принимает все действительные значения. Для $x < 0$, значения $y = 3x+1$ покрывают интервал $(-\infty, 1)$. Для $x \ge 0$, значения $y = 2^x$ покрывают полуинтервал $[1, +\infty)$. Объединяя их, получаем $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность/нечетность: функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной), так как не выполняются условия $f(-x) = f(x)$ и $f(-x) = -f(x)$. Например, $f(2) = 4$, а $f(-2) = 3(-2)+1 = -5$.
• Нули функции: $f(x)=0$. Для $x < 0$ решаем уравнение $3x + 1 = 0$, откуда $x = -1/3$. Для $x \ge 0$ уравнение $2^x = 0$ не имеет решений. Таким образом, у функции один нуль: $x = -1/3$.
• Промежутки знакопостоянства: Исходя из нуля функции и ее возрастания, имеем: $f(x) > 0$ при $x \in (-1/3; +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty; -1/3)$.
• Монотонность: На интервале $(-\infty, 0)$ функция возрастает, так как производная $(3x+1)'=3 > 0$. На интервале $(0, +\infty)$ функция также возрастает, так как производная $(2^x)'=2^x\ln 2 > 0$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, она строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
• Экстремумы: Так как функция строго монотонна, у нее нет точек локального максимума или минимума.
• Непрерывность: Функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: График функции представляет собой комбинацию луча $y=3x+1$ на интервале $(-\infty, 0)$ и кривой $y=2^x$ на полуинтервале $[0, +\infty)$, соединенных в точке $(0,1)$. Основные свойства: область определения и значений – все действительные числа; функция непрерывна и строго возрастает на всей числовой оси; единственный корень $x=-1/3$; не является ни четной, ни нечетной; экстремумов не имеет.

11.52. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 4^x, \text{ если } x < 1, \\ -x^2 + 1, \text{ если } x \ge 1. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-3); f(-2,5); f(0); f(1); f(2)$.

б) Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$.

а)

Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках, необходимо определить, по какой из двух формул производится расчет, в зависимости от того, какому промежутку принадлежит аргумент $x$.

- Для $x = -3$: так как $-3 < 1$, используется формула $f(x) = 4^x$.
$f(-3) = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$.

- Для $x = -2,5$: так как $-2,5 < 1$, используется формула $f(x) = 4^x$.
$f(-2,5) = 4^{-2,5} = 4^{-5/2} = (\sqrt{4})^{-5} = 2^{-5} = \frac{1}{32}$.

- Для $x = 0$: так как $0 < 1$, используется формула $f(x) = 4^x$.
$f(0) = 4^0 = 1$.

- Для $x = 1$: так как $1 \ge 1$, используется формула $f(x) = -x^2 + 1$.
$f(1) = -(1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$.

- Для $x = 2$: так как $2 \ge 1$, используется формула $f(x) = -x^2 + 1$.
$f(2) = -(2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$.

Ответ: $f(-3) = \frac{1}{64}$; $f(-2,5) = \frac{1}{32}$; $f(0) = 1$; $f(1) = 0$; $f(2) = -3$.

б)

Построение графика.
График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей.
1. Для $x < 1$ строим график показательной функции $y = 4^x$. Это возрастающая кривая, которая проходит через точку $(0; 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось $Ox$) при $x \to -\infty$. В граничной точке $x=1$ график имеет разрыв; предел слева равен $\lim_{x \to 1^-} 4^x = 4$. Таким образом, эта часть графика заканчивается выколотой точкой с координатами $(1; 4)$.
2. Для $x \ge 1$ строим график квадратичной функции $y = -x^2 + 1$. Это часть параболы с ветвями, направленными вниз. Эта часть графика начинается в точке $(1; 0)$, поскольку $f(1)=0$, и убывает при дальнейшем увеличении $x$. Например, она проходит через точку $(2; -3)$.

Свойства функции (чтение графика).
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 4)$.
3. Нули функции: $f(x) = 0$ при $x=1$.
4. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; 1)$; $f(x) < 0$ при $x \in (1; +\infty)$.
5. Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1)$, убывает на промежутке $[1; +\infty)$.
6. Четность/нечетность: функция является функцией общего вида (не является ни четной, ни нечетной).
7. Непрерывность: функция непрерывна на интервалах $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$. В точке $x=1$ имеет разрыв первого рода (скачок).
8. Экстремумы: функция не имеет точек локального максимума или минимума.

Ответ: График функции представляет собой объединение части графика показательной функции $y=4^x$ на интервале $(-\infty; 1)$ и части графика параболы $y=-x^2+1$ на луче $[1; +\infty)$. Основные свойства функции перечислены выше.

11.53. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{2}\right)^x, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x} + 1, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

a) Вычислите $f(-5); f(-2,5); f(0); f(4); f(1,69)$.

б) Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$.

а) Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, какой из двух формул нужно воспользоваться в зависимости от знака аргумента $x$.

• Для $x = -5$: поскольку $-5 < 0$, используем формулу $f(x) = (\frac{1}{2})^x$.
  $f(-5) = (\frac{1}{2})^{-5} = 2^5 = 32$.

• Для $x = -2,5$: поскольку $-2,5 < 0$, используем формулу $f(x) = (\frac{1}{2})^x$.
  $f(-2,5) = (\frac{1}{2})^{-2,5} = (2^{-1})^{-2,5} = 2^{2,5} = 2^{5/2} = \sqrt{2^5} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.

• Для $x = 0$: поскольку $0 \ge 0$, используем формулу $f(x) = \sqrt{x} + 1$.
  $f(0) = \sqrt{0} + 1 = 0 + 1 = 1$.

• Для $x = 4$: поскольку $4 \ge 0$, используем формулу $f(x) = \sqrt{x} + 1$.
  $f(4) = \sqrt{4} + 1 = 2 + 1 = 3$.

• Для $x = 1,69$: поскольку $1,69 \ge 0$, используем формулу $f(x) = \sqrt{x} + 1$.
  $f(1,69) = \sqrt{1,69} + 1 = 1,3 + 1 = 2,3$.

Ответ: $f(-5) = 32$; $f(-2,5) = 4\sqrt{2}$; $f(0) = 1$; $f(4) = 3$; $f(1,69) = 2,3$.

б) Построим и прочитаем график функции $y = f(x)$.

График функции состоит из двух частей:

1. На промежутке $(-\infty, 0)$ это график показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$. Это убывающая кривая, асимптотически приближающаяся к оси $x$ при $x \to +\infty$ (но мы рассматриваем только $x<0$). График проходит через контрольные точки: $(-1, 2)$, $(-2, 4)$, $(-3, 8)$. При приближении $x$ к $0$ слева, $y$ стремится к $1$. В точке $(0,1)$ на этой части графика будет "выколотая" точка.

2. На промежутке $[0, +\infty)$ это график функции $y = \sqrt{x} + 1$. Это правая ветвь параболы $x = (y-1)^2$, или, что то же самое, график стандартной функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу вверх вдоль оси $y$. График начинается в точке $(0, 1)$ (точка "закрашена") и проходит через контрольные точки: $(1, 2)$, $(4, 3)$, $(9, 4)$.

Так как предел левой части графика в точке $x=0$ совпадает со значением правой части в этой же точке ($f(0)=1$), то "выколотая" точка заполняется, и функция является непрерывной на всей числовой прямой.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Область значений: $E(f) = [1; +\infty)$.

• Четность/нечетность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как область определения симметрична относительно нуля, но условие $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$ не выполняется. Например, $f(-1)=2$, а $f(1)=2$, но $f(-2)=4$, а $f(2)=\sqrt{2}+1 \neq 4$.

• Нули функции: Нет, так как $y \ge 1$ для всех $x$. График не пересекает ось $Ox$.

• Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$.

• Промежутки монотонности: Функция убывает при $x \in (-\infty, 0]$ и возрастает при $x \in [0, +\infty)$.

• Точки экстремума: $x_{min} = 0$ — точка минимума. $y_{min} = f(0) = 1$ — минимальное значение функции.

Ответ: График функции построен путем объединения части графика показательной функции $y = (\frac{1}{2})^x$ при $x < 0$ и части графика степенной функции $y = \sqrt{x} + 1$ при $x \ge 0$. Функция непрерывна, убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$, имеет точку минимума $(0, 1)$. Область значений функции — $[1, +\infty)$.

11.54. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \left(\frac{1}{4}\right)^x, & \text{если } x \le 0, \\ \cos x, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-3); f(-2); f\left(-\frac{3}{2}\right); f(0); f\left(\frac{\pi}{4}\right); f\left(\frac{3}{2}\pi\right).$

б) Постройте и прочитайте график функции $y = f(x)$.

а)

Для вычисления значений функции $f(x)$ необходимо определить, какую из двух формул нужно использовать в зависимости от значения аргумента $x$. Если $x \le 0$, используется формула $f(x) = (\frac{1}{4})^x$. Если $x > 0$, используется формула $f(x) = \cos x$.

• Вычислим $f(-3)$. Так как $-3 \le 0$, используем первую формулу: $f(-3) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-3} = 4^3 = 64$.

• Вычислим $f(-2)$. Так как $-2 \le 0$, используем первую формулу: $f(-2) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-2} = 4^2 = 16$.

• Вычислим $f(-\frac{3}{2})$. Так как $-\frac{3}{2} \le 0$, используем первую формулу: $f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.

• Вычислим $f(0)$. Так как $0 \le 0$, используем первую формулу: $f(0) = \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1$.

• Вычислим $f(\frac{\pi}{4})$. Так как $\frac{\pi}{4} > 0$, используем вторую формулу: $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Вычислим $f(\frac{3}{2}\pi)$. Так как $\frac{3}{2}\pi > 0$, используем вторую формулу: $f\left(\frac{3}{2}\pi\right) = \cos\left(\frac{3}{2}\pi\right) = 0$.

Ответ: $f(-3) = 64$; $f(-2) = 16$; $f(-\frac{3}{2}) = 8$; $f(0) = 1$; $f(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$; $f(\frac{3}{2}\pi) = 0$.

б)

График функции $y=f(x)$ состоит из двух частей:

1. При $x \le 0$ это график показательной функции $y = (\frac{1}{4})^x$. Это убывающая кривая, проходящая через точки $(-2, 16)$, $(-1, 4)$, $(0, 1)$. При $x \to -\infty$, $y \to +\infty$.

2. При $x > 0$ это график функции $y = \cos x$. Это стандартная косинусоида, осциллирующая между $-1$ и $1$.

Функция непрерывна в точке $x=0$, так как $f(0)=1$ и предел функции справа $\lim_{x \to 0^+} \cos x = 1$. Таким образом, в точке $(0, 1)$ график показательной функции плавно переходит в график косинуса.

Свойства функции (чтение графика):

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Область значений: $E(f) = [-1; +\infty)$. Наименьшее значение функции равно $-1$, наибольшего значения не существует.

• Четность/нечетность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси $Oy$, ни относительно начала координат. Например, $f(\pi) = -1$, а $f(-\pi) = 4^\pi$.

• Нули функции: $f(x) = 0$ при $\cos x = 0$ и $x > 0$. Это происходит в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - любое целое неотрицательное число ($k=0, 1, 2, \dots$).

• Промежутки знакопостоянства:

  • $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}) \cup \dots$

  • $f(x) < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \cup (\frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2}) \cup \dots$

• Промежутки монотонности:

  • Функция убывает на промежутках $(-\infty, \pi]$, $[2\pi, 3\pi]$, $[4\pi, 5\pi], \dots$

  • Функция возрастает на промежутках $[\pi, 2\pi]$, $[3\pi, 4\pi]$, $[5\pi, 6\pi], \dots$

• Точки экстремума и экстремумы:

  • Точки минимума: $x = \pi, 3\pi, 5\pi, \dots$ (или $x = \pi + 2k\pi$, где $k \ge 0$ целое). Значение в этих точках (локальные и глобальные минимумы) равно $y_{min} = -1$.

  • Точки локального максимума: $x = 2\pi, 4\pi, 6\pi, \dots$ (или $x = 2k\pi$, где $k \ge 1$ целое). Значение в этих точках (локальные максимумы) равно $y_{max} = 1$.

  • Глобального максимума у функции нет.

Ответ: График функции представляет собой кривую показательной функции $y = (\frac{1}{4})^x$ для $x \le 0$, которая в точке $(0, 1)$ переходит в график косинусоиды $y = \cos x$ для $x > 0$. Основные свойства: $D(f) = (-\infty; +\infty)$, $E(f) = [-1; +\infty)$, функция непрерывна, общего вида, имеет нули в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$. Глобальный минимум $y_{min}=-1$ достигается в точках $x = \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$. Глобального максимума нет.

11.55. Постройте график функции:

a) $y = \begin{cases} 4^x, & \text{если } x < 0 \\ \cos x, & \text{если } 0 \le x < \pi \\ x - \pi - 1, & \text{если } x \ge \pi \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \le -\frac{\pi}{2} \\ x + \frac{\pi}{2} - 1, & \text{если } -\frac{\pi}{2} < x \le 0 \\ \left(\frac{1}{3}\right)^x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

а)

Функция задана кусочно:$y = \begin{cases} 4^x, & \text{если } x < 0 \\ \cos x, & \text{если } 0 \le x < \pi \\ x - \pi - 1, & \text{если } x \ge \pi \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждый участок отдельно.

1. При $x < 0$ строим график функции $y = 4^x$. Это показательная функция с основанием больше 1 ($4>1$), ее график возрастает. При $x \to -\infty$, $y \to 0$ (ось Ox является горизонтальной асимптотой). График проходит через точку $(-1, 4^{-1}) = (-1, 0.25)$. При $x \to 0^-$, $y \to 4^0 = 1$. Точка $(0, 1)$ не принадлежит этому участку графика, на графике в этом месте будет «выколотая» точка.

2. При $0 \le x < \pi$ строим график функции $y = \cos x$. Это часть стандартной косинусоиды.Найдем значения на концах промежутка:При $x=0$, $y = \cos(0) = 1$. Точка $(0, 1)$ принадлежит графику. Она совпадает с предельной точкой предыдущего участка, значит в точке $x=0$ разрыва нет, и «выколотая» точка закрашивается.При $x \to \pi^-$, $y \to \cos(\pi) = -1$. Точка $(\pi, -1)$ не принадлежит этому участку графика, на графике она будет «выколотой».На этом интервале график пересекает ось Ox в точке $(\pi/2, 0)$, так как $\cos(\pi/2) = 0$.

3. При $x \ge \pi$ строим график функции $y = x - \pi - 1$. Это линейная функция, ее график — луч, выходящий из точки $(\pi, y(\pi))$.Найдем значение в начальной точке:При $x=\pi$, $y = \pi - \pi - 1 = -1$. Точка $(\pi, -1)$ принадлежит графику. Она совпадает с предельной точкой предыдущего участка, поэтому разрыва в точке $x=\pi$ нет.Для построения луча найдем еще одну точку. Например, при $x = \pi+1$, $y = (\pi+1) - \pi - 1 = 0$. Луч проходит через точку $(\pi+1, 0)$.

Объединяя все три части, получаем итоговый график. Функция является непрерывной на всей числовой оси.

Ответ: График построен на основе трех функций: возрастающей показательной функции $y=4^x$ на $(-\infty, 0)$, части косинусоиды $y=\cos x$ на $[0, \pi)$ и луча $y=x-\pi-1$ на $[\pi, +\infty)$. Функция непрерывна. График представлен на рисунке выше.

б)

Функция задана кусочно:$y = \begin{cases} \sin x, & \text{если } x \le -\frac{\pi}{2} \\ x + \frac{\pi}{2} - 1, & \text{если } -\frac{\pi}{2} < x \le 0 \\ (\frac{1}{3})^x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Для построения графика рассмотрим каждый участок отдельно.

1. При $x \le -\frac{\pi}{2}$ строим график функции $y = \sin x$. Это часть стандартной синусоиды.В конечной точке промежутка $x = -\pi/2$, значение функции $y = \sin(-\pi/2) = -1$. Точка $(-\pi/2, -1)$ принадлежит графику.График проходит через точки $(-\pi, 0)$, $(-3\pi/2, 1)$ и так далее, осциллируя между -1 и 1.

2. При $-\frac{\pi}{2} < x \le 0$ строим график функции $y = x + \frac{\pi}{2} - 1$. Это линейная функция, ее график — отрезок прямой (без левого конца).Найдем значения на концах промежутка:При $x \to (-\pi/2)^+$, $y \to -\pi/2 + \pi/2 - 1 = -1$. Точка $(-\pi/2, -1)$ является предельной. Так как на предыдущем участке $y(-\pi/2)=-1$, функция в точке $x = -\pi/2$ непрерывна.При $x=0$, $y = 0 + \pi/2 - 1 = \pi/2 - 1$. Поскольку $\pi \approx 3.14$, то $y(0) \approx 1.57 - 1 = 0.57$. Точка $(0, \pi/2 - 1)$ принадлежит графику.

3. При $x > 0$ строим график функции $y = (\frac{1}{3})^x$. Это показательная функция с основанием меньше 1 ($0 < 1/3 < 1$), ее график убывает.При $x \to 0^+$, $y \to (1/3)^0 = 1$. Точка $(0, 1)$ не принадлежит этому участку («выколотая» точка).Сравним значение в точке $x=0$ со значением на предыдущем участке: $y(0) = \pi/2 - 1 \approx 0.57$, а предел справа равен 1. Так как $1 \ne \pi/2 - 1$, функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=0$.При $x \to +\infty$, $y \to 0$ (ось Ox является горизонтальной асимптотой). График проходит через точку $(1, 1/3)$.

Объединяя все три части, получаем итоговый график. Функция непрерывна всюду, кроме точки $x=0$, где она терпит разрыв.

Ответ: График построен на основе трех функций: части синусоиды $y=\sin x$ на $(-\infty, -\pi/2]$, отрезка прямой $y=x+\pi/2-1$ на $(-\pi/2, 0]$ и убывающей показательной функции $y=(1/3)^x$ на $(0, +\infty)$. Функция имеет разрыв в точке $x=0$. График представлен на рисунке выше.