Страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

11.73. a) $3^x \ge 4 - x;$

б) $(\frac{1}{2})^x \le x + 3;$

в) $5^x < 6 - x;$

г) $(\frac{1}{7})^x > x + 8.$

Рассмотрим неравенство $3^x \ge 4 - x$.

Для решения этого неравенства используем функционально-графический метод. Введем две функции: $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 4 - x$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x) \ge g(x)$.

Функция $f(x) = 3^x$ является показательной с основанием $3 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей числовой оси.

Функция $g(x) = 4 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $-1$, следовательно, она строго убывает на всей числовой оси.

Так как одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x) = g(x)$, то есть $3^x = 4 - x$.

Методом подбора находим корень уравнения. При $x=1$ получаем: $3^1 = 3$ и $4 - 1 = 3$. Равенство $3=3$ верное, значит, $x=1$ — единственный корень уравнения, и это абсцисса точки пересечения графиков.

Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x > 1$ будет выполняться неравенство $f(x) > g(x)$, а при $x < 1$ — неравенство $f(x) < g(x)$. В точке $x=1$ функции равны. Исходное неравенство $3^x \ge 4 - x$ выполняется при $x \ge 1$.

Ответ: $x \ge 1$.

Рассмотрим неравенство $(\frac{1}{2})^x \le x + 3$.

Введем две функции: $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $g(x) = x + 3$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x) \le g(x)$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ является показательной с основанием $0 < \frac{1}{2} < 1$, следовательно, она строго убывает на всей числовой оси.

Функция $g(x) = x + 3$ является линейной с положительным угловым коэффициентом $1$, следовательно, она строго возрастает на всей числовой оси.

Так как одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку пересечения, решив уравнение $(\frac{1}{2})^x = x + 3$.

Подбором находим корень. При $x=-1$ получаем: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2$ и $-1 + 3 = 2$. Равенство $2=2$ верное, значит, $x=-1$ — единственный корень уравнения.

При $x > -1$ убывающая функция $f(x)$ будет принимать значения меньше, чем возрастающая функция $g(x)$ (то есть $f(x) < g(x)$). При $x < -1$ будет $f(x) > g(x)$. В точке $x=-1$ функции равны. Исходное неравенство $(\frac{1}{2})^x \le x + 3$ выполняется при $x \ge -1$.

Ответ: $x \ge -1$.

Рассмотрим неравенство $5^x < 6 - x$.

Введем две функции: $f(x) = 5^x$ и $g(x) = 6 - x$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x) < g(x)$.

Функция $f(x) = 5^x$ является показательной с основанием $5 > 1$, следовательно, она строго возрастает.

Функция $g(x) = 6 - x$ является линейной, она строго убывает.

Графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем ее, решив уравнение $5^x = 6 - x$.

Подбором находим корень $x=1$, так как $5^1 = 5$ и $6 - 1 = 5$.

Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x < 1$ значения $f(x)$ будут меньше значений $g(x)$, то есть $f(x) < g(x)$. При $x > 1$ будет $f(x) > g(x)$. Исходное неравенство строгое, поэтому точка $x=1$ не включается в решение.

Ответ: $x < 1$.

Рассмотрим неравенство $(\frac{1}{7})^x > x + 8$.

Введем две функции: $f(x) = (\frac{1}{7})^x$ и $g(x) = x + 8$. Нам нужно найти все значения $x$, при которых $f(x) > g(x)$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{7})^x$ является показательной с основанием $0 < \frac{1}{7} < 1$, следовательно, она строго убывает.

Функция $g(x) = x + 8$ является линейной, она строго возрастает.

Графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем ее, решив уравнение $(\frac{1}{7})^x = x + 8$.

Подбором находим корень $x=-1$, так как $(\frac{1}{7})^{-1} = 7$ и $-1 + 8 = 7$.

Так как $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, то при $x < -1$ значения $f(x)$ будут больше значений $g(x)$, то есть $f(x) > g(x)$. При $x > -1$ будет $f(x) < g(x)$. Исходное неравенство строгое, поэтому точка $x=-1$ не включается в решение.

Ответ: $x < -1$.

11.74. a) $2^x \ge \frac{2}{x}$;

б) $(\frac{1}{4})^x < -\frac{4}{x}$;

в) $5^x \le \frac{5}{x}$;

г) $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$.

а) $2^x \ge \frac{2}{x}$

Решим данное неравенство графическим методом. Для этого рассмотрим две функции: $y_1(x) = 2^x$ и $y_2(x) = \frac{2}{x}$. Нам нужно найти такие значения $x$, при которых график функции $y_1$ находится на или выше графика функции $y_2$.

1. Функция $y_1 = 2^x$ — это показательная функция с основанием больше 1. Она является возрастающей на всей числовой оси и всегда принимает положительные значения ($y_1 > 0$).

2. Функция $y_2 = \frac{2}{x}$ — это гипербола, определенная для всех $x \ne 0$. При $x > 0$ значения $y_2$ положительны, а при $x < 0$ — отрицательны.

Рассмотрим два промежутка:

• Если $x < 0$, то $y_1 = 2^x$ всегда положительна, а $y_2 = \frac{2}{x}$ всегда отрицательна. Следовательно, на этом промежутке $2^x > \frac{2}{x}$ выполняется всегда. Таким образом, все $x \in (-\infty, 0)$ являются решениями.
• Если $x > 0$, обе функции положительны. Функция $y_1 = 2^x$ возрастает, а функция $y_2 = \frac{2}{x}$ убывает. Это значит, что их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем точку пересечения подбором. При $x=1$ получаем: $y_1(1) = 2^1 = 2$ и $y_2(1) = \frac{2}{1} = 2$. Значит, $x=1$ — точка пересечения. Так как $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, то при $x > 1$ будет выполняться $2^x > \frac{2}{x}$, а при $0 < x < 1$ будет $2^x < \frac{2}{x}$. Условию $2^x \ge \frac{2}{x}$ удовлетворяет промежуток $[1, \infty)$.

Объединяя решения для $x < 0$ и $x > 0$, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$.

б) $(\frac{1}{4})^x < -\frac{4}{x}$

Решим неравенство графически. Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2(x) = -\frac{4}{x}$.

1. Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ — показательная функция с основанием меньше 1. Она является убывающей и всегда положительной ($y_1 > 0$).

2. Функция $y_2 = -\frac{4}{x}$ — гипербола, определенная для всех $x \ne 0$. При $x > 0$ значения $y_2$ отрицательны, а при $x < 0$ — положительны.

Рассмотрим два промежутка:

• Если $x > 0$, то $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ положительна, а $y_2 = -\frac{4}{x}$ отрицательна. Неравенство $(\frac{1}{4})^x < -\frac{4}{x}$ (положительное число меньше отрицательного) не может выполняться. Решений на этом промежутке нет.
• Если $x < 0$, обе функции положительны. Найдем точку пересечения их графиков. Подставим $x=-1$: $y_1(-1) = (\frac{1}{4})^{-1} = 4$ и $y_2(-1) = -\frac{4}{-1} = 4$. Точка пересечения — $x=-1$. Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{1}{4})^x + \frac{4}{x}$. Нам нужно найти, где $f(x) < 0$. Мы знаем, что $f(-1) = 0$. Найдем производную: $f'(x) = (\frac{1}{4})^x \ln(\frac{1}{4}) - \frac{4}{x^2} = -(\frac{1}{4})^x \ln(4) - \frac{4}{x^2}$. Так как $(\frac{1}{4})^x > 0$, $\ln(4) > 0$ и $x^2 > 0$, то $f'(x) < 0$ для всех $x \ne 0$. Это значит, что функция $f(x)$ является убывающей. Поскольку $f(x)$ убывает и $f(-1)=0$, то при $x > -1$ значения $f(x)$ будут меньше $f(-1)$, то есть $f(x) < 0$. Учитывая, что мы рассматриваем случай $x < 0$, получаем решение $(-1, 0)$.

Таким образом, решение неравенства — это интервал, найденный во втором случае.

Ответ: $x \in (-1, 0)$.

в) $5^x \le \frac{5}{x}$

Решим неравенство графическим методом. Рассмотрим функции $y_1(x) = 5^x$ и $y_2(x) = \frac{5}{x}$.

1. Функция $y_1 = 5^x$ — возрастающая показательная функция, всегда положительная.

2. Функция $y_2 = \frac{5}{x}$ — гипербола, расположенная в I и III четвертях ($y_2 > 0$ при $x > 0$ и $y_2 < 0$ при $x < 0$).

Рассмотрим два промежутка:

• Если $x < 0$, то $y_1 = 5^x$ положительна, а $y_2 = \frac{5}{x}$ отрицательна. Неравенство $5^x \le \frac{5}{x}$ (положительное число меньше или равно отрицательному) не выполняется. Решений на этом промежутке нет.
• Если $x > 0$, обе функции положительны. $y_1 = 5^x$ возрастает, а $y_2 = \frac{5}{x}$ убывает. Их графики пересекаются не более одного раза. Найдем точку пересечения подбором: при $x=1$ имеем $y_1(1)=5^1=5$ и $y_2(1)=\frac{5}{1}=5$. Точка пересечения — $x=1$. Нам нужно, чтобы $y_1 \le y_2$. Поскольку $y_1$ возрастает, а $y_2$ убывает, то при $0 < x < 1$ будет $5^x < \frac{5}{x}$, а при $x > 1$ будет $5^x > \frac{5}{x}$. Равенство достигается при $x=1$. Следовательно, решение на этом промежутке — $(0, 1]$.

Итоговое решение — это решение, найденное во втором случае.

Ответ: $x \in (0, 1]$.

г) $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$

Решим неравенство графически. Рассмотрим функции $y_1(x) = (\frac{1}{8})^x$ и $y_2(x) = -\frac{8}{x}$.

1. Функция $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ — убывающая показательная функция, всегда положительная.

2. Функция $y_2 = -\frac{8}{x}$ — гипербола, расположенная во II и IV четвертях ($y_2 > 0$ при $x < 0$ и $y_2 < 0$ при $x > 0$).

Рассмотрим два промежутка:

• Если $x > 0$, то $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ положительна, а $y_2 = -\frac{8}{x}$ отрицательна. Неравенство $(\frac{1}{8})^x > -\frac{8}{x}$ (положительное число больше отрицательного) выполняется всегда. Таким образом, все $x \in (0, \infty)$ являются решениями.
• Если $x < 0$, обе функции положительны. Найдем точку пересечения их графиков. При $x=-1$ имеем: $y_1(-1) = (\frac{1}{8})^{-1} = 8$ и $y_2(-1) = -\frac{8}{-1} = 8$. Точка пересечения — $x=-1$. Рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{1}{8})^x + \frac{8}{x}$. Нам нужно найти, где $f(x) > 0$. Мы знаем, что $f(-1)=0$. Производная $f'(x) = -(\frac{1}{8})^x \ln(8) - \frac{8}{x^2}$ всегда отрицательна при $x \ne 0$. Значит, функция $f(x)$ убывающая. Поскольку $f(x)$ убывает и $f(-1)=0$, то при $x < -1$ значения $f(x)$ будут больше $f(-1)$, то есть $f(x) > 0$. Таким образом, решение на этом промежутке — $(-\infty, -1)$.

Объединяя решения для $x > 0$ и $x < 0$, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

11.75. a) $2^x + 1 \ge \cos x;$

Б) $2^{|x|} + 1 > 2 \cos x;$

В) $(\frac{1}{3})^x + 1 < \sin x;$

Г) $3^{|x|} \le \cos 2x.$

а) $2^x + 1 \ge \cos x$

Рассмотрим левую и правую части неравенства как отдельные функции.
Левая часть: $f(x) = 2^x + 1$. Так как показательная функция $2^x$ всегда положительна ($2^x > 0$ для любого действительного $x$), то $f(x) = 2^x + 1 > 1$. Таким образом, область значений левой части — это интервал $(1, +\infty)$.
Правая часть: $g(x) = \cos x$. Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $-1 \le \cos x \le 1$.
Сравнивая значения, которые могут принимать левая и правая части, мы видим, что левая часть всегда строго больше 1, а правая часть никогда не превышает 1. То есть, для любого действительного числа $x$ выполняется $2^x + 1 > 1 \ge \cos x$.
Следовательно, неравенство $2^x + 1 \ge \cos x$ справедливо для всех действительных $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

б) $2^{|x|} + 1 > 2 \cos x$

Оценим значения левой и правой частей неравенства.
Левая часть: $f(x) = 2^{|x|} + 1$. Поскольку $|x| \ge 0$ для любого $x$, а показательная функция $y=2^t$ является возрастающей, то $2^{|x|} \ge 2^0 = 1$. Отсюда следует, что $f(x) = 2^{|x|} + 1 \ge 1 + 1 = 2$. Равенство $f(x) = 2$ достигается только при $|x|=0$, то есть при $x=0$. Для всех $x \ne 0$ выполняется строгое неравенство $f(x) > 2$.
Правая часть: $g(x) = 2 \cos x$. Область значений функции $\cos x$ — это $[-1, 1]$, следовательно, область значений функции $g(x)$ — это отрезок $[-2, 2]$. Максимальное значение, равное 2, достигается, когда $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Исходное неравенство $2^{|x|} + 1 > 2 \cos x$. Мы установили, что левая часть всегда не меньше 2, а правая часть всегда не больше 2. Неравенство может не выполняться только в том случае, если левая часть равна правой. Это возможно лишь тогда, когда обе части равны 2.
Система уравнений:
$\begin{cases} 2^{|x|} + 1 = 2 \\ 2 \cos x = 2 \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $2^{|x|} = 1$, что означает $|x|=0$, то есть $x=0$.
Подставив $x=0$ во второе уравнение, получаем $2 \cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$, что верно.
Значит, при $x=0$ левая и правая части неравенства равны: $2^{|0|} + 1 = 2$ и $2 \cos(0) = 2$. В этом случае исходное неравенство принимает вид $2 > 2$, что является ложным.
Для всех остальных $x \ne 0$, левая часть $2^{|x|} + 1 > 2$, а правая часть $2 \cos x \le 2$, поэтому неравенство $2^{|x|} + 1 > 2 \cos x$ всегда выполняется.
Таким образом, решением являются все действительные числа, кроме $x=0$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) $(\frac{1}{3})^x + 1 < \sin x$

Оценим значения левой и правой частей неравенства.
Левая часть: $f(x) = (\frac{1}{3})^x + 1$. Так как показательная функция $(\frac{1}{3})^x$ всегда принимает положительные значения, то есть $(\frac{1}{3})^x > 0$, то левая часть всегда строго больше 1: $f(x) > 1$.
Правая часть: $g(x) = \sin x$. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. То есть, $\sin x \le 1$ для любого $x$.
Неравенство требует, чтобы значение левой части было меньше значения правой. Однако мы установили, что $f(x) > 1$, а $g(x) \le 1$. Это означает, что для любого действительного $x$ левая часть всегда больше правой.
Следовательно, неравенство $(\frac{1}{3})^x + 1 < \sin x$ не имеет решений.
Ответ: $\emptyset$.

г) $3^{|x|} \le \cos(2x)$

Оценим значения левой и правой частей неравенства.
Левая часть: $f(x) = 3^{|x|}$. Так как $|x| \ge 0$ и функция $y=3^t$ является возрастающей, то $3^{|x|} \ge 3^0 = 1$. Минимальное значение левой части равно 1 и достигается только при $x=0$.
Правая часть: $g(x) = \cos(2x)$. Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Максимальное значение правой части равно 1.
Неравенство $f(x) \le g(x)$ может выполняться только в том случае, когда $f(x) \ge 1$ и $g(x) \le 1$ одновременно. Это возможно лишь в точке, где обе части принимают свое предельное значение, то есть равны 1.
$f(x) = 3^{|x|} = 1$ и $g(x) = \cos(2x) = 1$.
Из уравнения $3^{|x|} = 1$ следует, что $|x|=0$, откуда $x=0$.
Проверим, выполняется ли второе равенство при $x=0$: $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$.
Поскольку при $x=0$ обе части неравенства равны 1, неравенство $1 \le 1$ выполняется. Это единственное возможное решение.
Ответ: $\{0\}$.

11.76. а) $|x - 1| \ge 2,5^x;$

б) $|2x - 1| \le 3,1^x;$

в) $2^x \le |x - 3|;$

г) $(\frac{1}{3})^x \ge |x + 4|.$

а) $|x - 1| \ge 2,5^x$

Для решения данного неравенства используем графический метод. Построим на одной координатной плоскости графики функций $y = |x - 1|$ и $y = 2,5^x$.

1. График функции $y = |x - 1|$ — это "галочка" с вершиной в точке $(1, 0)$. Он состоит из двух лучей: $y = 1 - x$ при $x < 1$ и $y = x - 1$ при $x \ge 1$.

2. График функции $y = 2,5^x$ — это показательная функция с основанием больше 1, поэтому она возрастает. График проходит через точку $(0, 1)$.

Найдем точки пересечения графиков. Для этого решим уравнение $|x - 1| = 2,5^x$.

Легко заметить, что $x=0$ является корнем, так как $|0 - 1| = 1$ и $2,5^0 = 1$.

Рассмотрим два случая:

- При $x \ge 1$: Уравнение принимает вид $x - 1 = 2,5^x$. При $x=1$ левая часть равна 0, а правая 2,5. Так как показательная функция $y=2,5^x$ растет гораздо быстрее линейной функции $y=x-1$, то при $x > 1$ график $y=2,5^x$ будет всегда выше графика $y=x-1$. Пересечений в этой области нет.

- При $x < 1$: Уравнение принимает вид $1 - x = 2,5^x$. Мы уже нашли корень $x=0$. Функция $y=1-x$ является убывающей, а функция $y=2,5^x$ — возрастающей. Следовательно, они могут пересечься не более одного раза. Этот корень — $x=0$.

Теперь определим, на каких промежутках выполняется неравенство $|x - 1| \ge 2,5^x$, то есть где график $y = |x - 1|$ находится не ниже графика $y = 2,5^x$.

- При $x > 0$: Возьмем пробную точку, например $x=1$. $|1-1| = 0$, $2,5^1 = 2,5$. Неравенство $0 \ge 2,5$ ложно. Значит, для $x>0$ решение отсутствует.

- При $x < 0$: Возьмем пробную точку, например $x=-1$. $|-1-1| = 2$, $2,5^{-1} = 0,4$. Неравенство $2 \ge 0,4$ истинно.

Таким образом, график $y=|x-1|$ находится не ниже графика $y=2,5^x$ при $x \le 0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.

б) $|2x - 1| \le 3,1^x$

Решим неравенство графическим методом. Построим графики функций $y = |2x - 1|$ и $y = 3,1^x$.

1. График $y = |2x - 1|$ — "галочка" с вершиной в точке, где $2x-1=0$, то есть в $x=1/2$. Вершина — $(1/2, 0)$.

2. График $y = 3,1^x$ — возрастающая показательная функция, проходящая через точку $(0, 1)$.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $|2x - 1| = 3,1^x$.

При $x=0$: $|2 \cdot 0 - 1| = 1$ и $3,1^0 = 1$. Таким образом, $x=0$ — точка пересечения.

Рассмотрим поведение функций на разных интервалах:

- При $x < 0$: Возьмем $x=-1$. $|2(-1) - 1| = 3$. $3,1^{-1} \approx 0,32$. Неравенство $3 \le 0,32$ ложно. На этом интервале решений нет.

- При $x > 0$:

Рассмотрим промежуток $0 < x < 1/2$. Здесь $|2x-1| = 1-2x$. Неравенство $1-2x \le 3,1^x$. В точке $x=0$ было равенство. При $x>0$ левая часть $1-2x$ убывает, а правая $3,1^x$ возрастает. Следовательно, неравенство будет выполняться.

Рассмотрим промежуток $x \ge 1/2$. Здесь $|2x-1| = 2x-1$. Неравенство $2x-1 \le 3,1^x$. При $x=1/2$ имеем $0 \le \sqrt{3,1}$, что верно. Рассмотрим функцию $h(x) = 3,1^x - (2x-1)$. Ее производная $h'(x) = 3,1^x \ln(3,1) - 2$. $h'(x)=0$ при $3,1^x = 2/\ln(3,1) \approx 1,769$. $x = \log_{3,1}(1,769) \approx 0,5$. Минимальное значение функции $h(x)$ на этом луче близко к $h(1/2) = \sqrt{3,1} > 0$. Так как минимальное значение положительно, $h(x) > 0$ для всех $x \ge 1/2$, то есть $3,1^x > 2x-1$ на этом промежутке.

Итак, неравенство выполняется при $x=0$ и при всех $x > 0$.

Ответ: $x \in [0, +\infty)$.

в) $2^x \le |x - 3|$

Рассмотрим графики функций $y = 2^x$ и $y = |x - 3|$.

1. $y = 2^x$ — возрастающая показательная функция, проходит через $(0, 1)$ и $(1, 2)$.

2. $y = |x - 3|$ — "галочка" с вершиной в $(3, 0)$.

Найдем точки пересечения, решив уравнение $2^x = |x - 3|$.

- При $x \ge 3$: уравнение $2^x = x-3$. При $x=3$, $2^3=8$, а $x-3=0$. При $x>3$ показательная функция $2^x$ растет намного быстрее линейной $x-3$, поэтому пересечений в этой области нет. $2^x > x-3$ для всех $x \ge 3$.

- При $x < 3$: уравнение $2^x = 3-x$. Подбором находим корень $x=1$: $2^1=2$ и $3-1=2$. Функция $f(x)=2^x+x-3$ имеет производную $f'(x)=2^x\ln 2 + 1 > 0$, следовательно, она строго возрастает, а значит, имеет не более одного корня. Таким образом, $x=1$ — единственная точка пересечения.

Определим, где выполняется неравенство $2^x \le |x - 3|$.

- Мы установили, что при $x > 1$ (и $x < 3$), $2^x > 3-x = |x-3|$. Также мы знаем, что при $x \ge 3$, $2^x > x-3 = |x-3|$. Значит, для $x > 1$ решений нет.

- При $x < 1$, функция $y=2^x$ возрастает, а $y=3-x$ убывает. Так как при $x=1$ они равны, то при $x < 1$ будет выполняться $2^x < 3-x = |x-3|$.

Включая точку равенства $x=1$, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 1]$.

г) $(\frac{1}{3})^x \ge |x + 4|$

Рассмотрим графики функций $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = |x + 4|$.

1. $y = (\frac{1}{3})^x = 3^{-x}$ — убывающая показательная функция, проходит через $(0, 1)$ и $(-1, 3)$.

2. $y = |x + 4|$ — "галочка" с вершиной в $(-4, 0)$.

Найдем точки пересечения: $(\frac{1}{3})^x = |x + 4|$.

- При $x \ge -4$: уравнение $(\frac{1}{3})^x = x+4$. Легко проверить, что $x=-1$ является корнем: $(\frac{1}{3})^{-1} = 3$ и $-1+4 = 3$. Функция $f(x) = (\frac{1}{3})^x - x - 4$ является строго убывающей, так как ее производная $f'(x) = -(\frac{1}{3})^x\ln 3 - 1 < 0$. Значит, корень $x=-1$ единственный.

- При $x < -4$: уравнение $(\frac{1}{3})^x = -(x+4) = -x-4$. Рассмотрим функцию $g(x) = (\frac{1}{3})^x + x + 4$. При $x=-4$, $g(-4) = (\frac{1}{3})^{-4} -4+4 = 81 > 0$. При $x \to -\infty$, слагаемое $(\frac{1}{3})^x$ растет гораздо быстрее, чем $|x|$, поэтому $g(x) \to +\infty$. Функция $g(x)$ на интервале $(-\infty, -4)$ всегда положительна, так как она убывает (ее производная $g'(x) = 1 - 3^{-x}\ln 3 < 0$ для $x<-4$) от $+\infty$ до $g(-4)=81$. Значит, $(\frac{1}{3})^x > -x-4$ на всем этом интервале. Точек пересечения здесь нет.

Теперь решим неравенство $(\frac{1}{3})^x \ge |x + 4|$.

- На промежутке $(-\infty, -4)$, как мы показали, $(\frac{1}{3})^x > -x-4 = |x+4|$, так что неравенство выполняется.

- В точке $x=-4$: $(\frac{1}{3})^{-4} = 81$, $|-4+4|=0$. $81 \ge 0$, верно.

- На промежутке $[-4, \infty)$. Здесь есть точка пересечения $x=-1$. Так как функция $f(x) = (\frac{1}{3})^x - |x+4|$ убывает на этом промежутке, то $f(x) \ge 0$ при $x \le -1$.

Объединяя все случаи, получаем, что неравенство выполняется для всех $x \le -1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1]$.

11.77. a) $2^x - 1 \ge \sqrt{x}$;

б) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x \le \sqrt{x} + 1$;

В) $3^x - 1 \ge -\sqrt{x}$;

Г) ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x \ge \sqrt{x} + 1$.

а) $2^x - 1 \ge \sqrt{x}$
Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства определяется существованием квадратного корня: $x \ge 0$.
Рассмотрим две функции: $f(x) = 2^x - 1$ и $g(x) = \sqrt{x}$. Необходимо найти значения $x$, при которых график функции $f(x)$ находится не ниже графика функции $g(x)$.
Функция $f(x) = 2^x - 1$ является возрастающей. Функция $g(x) = \sqrt{x}$ также является возрастающей.
Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение $2^x - 1 = \sqrt{x}$. Методом подбора легко найти два корня:
1. При $x=0$: $f(0) = 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0$, $g(0) = \sqrt{0} = 0$. Равенство $f(0) = g(0)$ выполняется, значит, $x=0$ — корень.
2. При $x=1$: $f(1) = 2^1 - 1 = 1$, $g(1) = \sqrt{1} = 1$. Равенство $f(1) = g(1)$ выполняется, значит, $x=1$ — корень.
Функция $f(x)$ является выпуклой вниз (её вторая производная положительна), а функция $g(x)$ — выпуклой вверх (её вторая производная отрицательна). Такие функции могут пересекаться не более двух раз. Следовательно, $x=0$ и $x=1$ — единственные точки пересечения.
Проверим выполнение неравенства на интервалах, на которые точки пересечения делят ОДЗ:
- На интервале $(0, 1)$, возьмем $x = 1/4$. Получаем $2^{1/4} - 1 \approx 1.189 - 1 = 0.189$ и $\sqrt{1/4} = 0.5$. Так как $0.189 < 0.5$, неравенство на этом интервале не выполняется.
- На интервале $(1, +\infty)$, возьмем $x=4$. Получаем $2^4 - 1 = 15$ и $\sqrt{4} = 2$. Так как $15 > 2$, неравенство на этом интервале выполняется.
Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки $x=0$ и $x=1$ включаются в решение.
Объединяя результаты, получаем итоговое решение.
Ответ: $\{0\} \cup [1, +\infty)$.

б) $(\frac{1}{4})^x \le \sqrt{x} + 1$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ и $g(x) = \sqrt{x} + 1$.
Функция $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ является строго убывающей на всей своей области определения.
Функция $g(x) = \sqrt{x} + 1$ является строго возрастающей на своей области определения $[0, +\infty)$.
Найдем точку пересечения, решив уравнение $(\frac{1}{4})^x = \sqrt{x} + 1$.
При $x=0$: $f(0) = (\frac{1}{4})^0 = 1$ и $g(0) = \sqrt{0} + 1 = 1$. Таким образом, $x=0$ — точка пересечения.
Поскольку на промежутке $[0, +\infty)$ одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, они могут пересечься не более одного раза. Следовательно, $x=0$ — единственная точка пересечения.
Для любого $x > 0$ имеем: $f(x) = (\frac{1}{4})^x < (\frac{1}{4})^0 = 1$ и $g(x) = \sqrt{x} + 1 > \sqrt{0} + 1 = 1$.
Отсюда следует, что для всех $x > 0$ выполняется $f(x) < g(x)$.
Неравенство $f(x) \le g(x)$ выполняется при $x=0$ (достигается равенство) и при всех $x > 0$ (выполняется строгое неравенство). Значит, неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.
Ответ: $[0, +\infty)$.

в) $3^x - 1 \ge -\sqrt{x}$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Перепишем неравенство в виде $3^x + \sqrt{x} \ge 1$.
Рассмотрим функцию $f(x) = 3^x + \sqrt{x}$. Нам нужно решить $f(x) \ge 1$.
Функция $y_1(x) = 3^x$ — строго возрастающая. Функция $y_2(x) = \sqrt{x}$ — строго возрастающая на $[0, +\infty)$. Их сумма $f(x)$ также является строго возрастающей функцией на $[0, +\infty)$.
Найдем значение функции на левой границе области определения, при $x=0$:
$f(0) = 3^0 + \sqrt{0} = 1 + 0 = 1$.
При $x=0$ выполняется равенство $f(0)=1$, значит, неравенство $f(x) \ge 1$ верно.
Так как $f(x)$ строго возрастает, для любого $x > 0$ будет выполняться $f(x) > f(0)$, то есть $f(x) > 1$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$ из области допустимых значений.
Ответ: $[0, +\infty)$.

г) $(\frac{1}{3})^x \ge \sqrt{x} + 1$
ОДЗ: $x \ge 0$.
Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{3})^x$ и $g(x) = \sqrt{x} + 1$.
Функция $f(x)$ является строго убывающей. Функция $g(x)$ является строго возрастающей.
Найдем точку пересечения графиков, решив уравнение $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x} + 1$.
При $x=0$: $f(0) = (\frac{1}{3})^0 = 1$ и $g(0) = \sqrt{0} + 1 = 1$. Значит, $x=0$ — точка пересечения.
Так как на $[0, +\infty)$ одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, у них может быть не более одной точки пересечения. Значит, $x=0$ — единственная общая точка.
Рассмотрим поведение функций при $x > 0$:
$f(x) = (\frac{1}{3})^x < (\frac{1}{3})^0 = 1$.
$g(x) = \sqrt{x} + 1 > \sqrt{0} + 1 = 1$.
Таким образом, для всех $x > 0$ выполняется $f(x) < g(x)$.
Следовательно, неравенство $f(x) \ge g(x)$ не выполняется ни для какого $x > 0$. Равенство достигается только в точке $x=0$.
Ответ: $\{0\}$.

11.78. a) Найдите наибольшее целочисленное значение функции $y = 10^{\sin 2x \cos 3x + \cos 2x \sin 3x + 0,5}$

b) Сколько целых чисел принадлежит области значений функции $y = 30 \cdot 3^{\cos 2,5x \cos 3,5x + \sin 2,5x \sin 3,5x - 2}$

а) Рассмотрим функцию $y = 10^{\sin 2x \cos 3x + \cos 2x \sin 3x + 0,5}$.

Выражение в показателе степени можно упростить, используя тригонометрическую формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = 3x$, поэтому:

$\sin 2x \cos 3x + \cos 2x \sin 3x = \sin(2x + 3x) = \sin(5x)$.

Таким образом, функция принимает вид: $y = 10^{\sin(5x) + 0,5}$.

Чтобы найти наибольшее значение функции $y$, нужно найти наибольшее значение её показателя, так как основание степени $10 > 1$.

Область значений функции синус: $-1 \le \sin(5x) \le 1$.

Следовательно, наибольшее значение показателя степени равно:

$(\sin(5x) + 0,5)_{max} = 1 + 0,5 = 1,5$.

Тогда наибольшее значение функции $y$ равно:

$y_{max} = 10^{1,5} = 10^{3/2} = \sqrt{10^3} = \sqrt{1000}$.

Оценим значение $\sqrt{1000}$. Мы знаем, что $31^2 = 961$ и $32^2 = 1024$.

Поскольку $961 < 1000 < 1024$, то $31 < \sqrt{1000} < 32$.

Следовательно, наибольшее значение функции $y$ находится между 31 и 32. Наибольшее целое число, которое не превышает это значение, равно 31.

Ответ: 31

б) Рассмотрим функцию $y = 30 \cdot 3^{\cos 2,5x \cos 3,5x + \sin 2,5x \sin 3,5x} - 2$.

Упростим выражение в показателе степени, используя тригонометрическую формулу косинуса разности: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

В нашем случае можно взять $\alpha = 3,5x$ и $\beta = 2,5x$, тогда:

$\cos 2,5x \cos 3,5x + \sin 2,5x \sin 3,5x = \cos(3,5x - 2,5x) = \cos x$.

Функция принимает вид: $y = 30 \cdot 3^{\cos x} - 2$.

Чтобы найти область значений функции $y$, найдем сначала область значений выражения $3^{\cos x}$.

Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.

Поскольку функция $f(t) = 3^t$ возрастающая, её наименьшее и наибольшее значения достигаются при наименьшем и наибольшем значениях показателя $t = \cos x$.

Наименьшее значение $3^{\cos x}$ равно $3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Наибольшее значение $3^{\cos x}$ равно $3^1 = 3$.

Таким образом, $ \frac{1}{3} \le 3^{\cos x} \le 3$.

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y$:

$y_{min} = 30 \cdot \frac{1}{3} - 2 = 10 - 2 = 8$.

$y_{max} = 30 \cdot 3 - 2 = 90 - 2 = 88$.

Область значений функции $y$ - это отрезок $[8, 88]$.

Найдем количество целых чисел, принадлежащих этому отрезку. Целые числа - это 8, 9, 10, ..., 88. Их количество равно:

$88 - 8 + 1 = 81$.

Ответ: 81

11.79. Решите уравнение:

a) $(\operatorname{tg} \frac{3\pi}{8})^{x+2} = -7 - x^3;$

б) $(\sin \frac{\pi}{10})^{x-3} = \sqrt[4]{x-2}.$

a) $(\text{tg}\frac{3\pi}{8})^{x+2} = -7 - x^3$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом анализа свойств функций, стоящих в левой и правой частях.

Рассмотрим функцию в левой части: $f(x) = (\text{tg}\frac{3\pi}{8})^{x+2}$.

Это показательная функция. Оценим её основание $a = \text{tg}\frac{3\pi}{8}$. Угол $\frac{3\pi}{8}$ находится в первой четверти ($0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2}$). Поскольку $\frac{3\pi}{8} > \frac{\pi}{4}$, а функция тангенс возрастает на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, то $\text{tg}\frac{3\pi}{8} > \text{tg}\frac{\pi}{4} = 1$. Так как основание степени больше 1, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Рассмотрим функцию в правой части: $g(x) = -7 - x^3$.

Это кубическая функция. Для определения её монотонности найдем производную: $g'(x) = (-7 - x^3)' = -3x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $g'(x) = -3x^2 \le 0$ для любого $x$. Производная обращается в ноль только в одной точке $x=0$. Следовательно, функция $g(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси.

Уравнение вида $f(x) = g(x)$, где одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, может иметь не более одного решения. Попробуем найти это решение методом подбора.

Проверим, является ли $x=-2$ корнем уравнения:

Подставим $x=-2$ в левую часть: $(\text{tg}\frac{3\pi}{8})^{-2+2} = (\text{tg}\frac{3\pi}{8})^0 = 1$.

Подставим $x=-2$ в правую часть: $-7 - (-2)^3 = -7 - (-8) = -7 + 8 = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x=-2$ является корнем уравнения. Поскольку это единственно возможное решение, других корней нет.

Ответ: $-2$.

б) $(\sin\frac{\pi}{10})^{x-3} = \sqrt[4]{x-2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Выражение под корнем четной (четвертой) степени должно быть неотрицательным:

$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in [2, +\infty)$.

Как и в предыдущем пункте, рассмотрим свойства функций в левой и правой частях уравнения на их общей области определения.

Рассмотрим функцию в левой части: $f(x) = (\sin\frac{\pi}{10})^{x-3}$.

Это показательная функция. Оценим её основание $a = \sin\frac{\pi}{10}$. Угол $\frac{\pi}{10}$ находится в первой четверти, и $0 < \frac{\pi}{10} < \frac{\pi}{2}$. Следовательно, $0 < \sin\frac{\pi}{10} < \sin\frac{\pi}{2} = 1$. Так как основание степени $a$ находится в интервале $(0, 1)$, функция $f(x)$ является строго убывающей на своей области определения.

Рассмотрим функцию в правой части: $g(x) = \sqrt[4]{x-2}$.

Эта функция является композицией двух возрастающих функций: $t(x) = x-2$ (линейная с положительным коэффициентом) и $h(t) = \sqrt[4]{t}$ (степенная с показателем $\frac{1}{4} > 0$). Композиция возрастающих функций является возрастающей функцией. Следовательно, функция $g(x)$ строго возрастает на своей области определения $x \ge 2$.

Уравнение, в котором строго убывающая функция равна строго возрастающей, может иметь не более одного решения. Найдем это решение методом подбора, учитывая ОДЗ.

Проверим, является ли $x=3$ корнем уравнения ($x=3$ входит в ОДЗ):

Подставим $x=3$ в левую часть: $(\sin\frac{\pi}{10})^{3-3} = (\sin\frac{\pi}{10})^0 = 1$.

Подставим $x=3$ в правую часть: $\sqrt[4]{3-2} = \sqrt[4]{1} = 1$.

Так как $1 = 1$, то $x=3$ является корнем уравнения. Поскольку это единственно возможное решение, других корней нет.

Ответ: $3$.

11.80. Решите неравенство:

а) $5^x + 6^x \ge 11$;

б) $3^{x-4} + 2^{x-2} \le 11$.

а) $5^x + 6^x \ge 11$

Рассмотрим функцию $f(x) = 5^x + 6^x$. Эта функция определена для всех действительных чисел $x$.

Функции $y_1 = 5^x$ и $y_2 = 6^x$ являются показательными с основанием больше 1, поэтому они обе строго возрастают на всей числовой оси. Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x) = 5^x + 6^x$ является строго возрастающей.

Для решения неравенства найдем корень соответствующего уравнения $5^x + 6^x = 11$. Легко заметить, подобрав значение, что $x=1$ является корнем этого уравнения, так как $5^1 + 6^1 = 5 + 6 = 11$.

Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает и $f(1) = 11$, то:

• при $x > 1$ выполняется неравенство $f(x) > f(1)$, то есть $5^x + 6^x > 11$;
• при $x < 1$ выполняется неравенство $f(x) < f(1)$, то есть $5^x + 6^x < 11$;
• при $x = 1$ выполняется равенство $f(x) = f(1)$, то есть $5^x + 6^x = 11$.

Исходное неравенство $5^x + 6^x \ge 11$ выполняется при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

б) $3^{x-4} + 2^{x-2} \le 11$

Рассмотрим функцию $g(x) = 3^{x-4} + 2^{x-2}$. Эта функция определена для всех действительных чисел $x$.

Функции $y_1 = 3^{x-4}$ и $y_2 = 2^{x-2}$ являются показательными с основаниями 3 и 2 соответственно (больше 1), поэтому они обе строго возрастают на всей числовой оси. Их сумма, функция $g(x)$, также является строго возрастающей функцией.

Решим соответствующее уравнение $3^{x-4} + 2^{x-2} = 11$ методом подбора. Проверим целые значения $x$:

• при $x=4$: $3^{4-4} + 2^{4-2} = 3^0 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Это меньше 11.
• при $x=5$: $3^{5-4} + 2^{5-2} = 3^1 + 2^3 = 3 + 8 = 11$. Это корень уравнения.

Итак, мы нашли, что $g(5) = 11$.

Так как функция $g(x)$ строго возрастающая, то:

• при $x < 5$ выполняется неравенство $g(x) < g(5)$, то есть $3^{x-4} + 2^{x-2} < 11$;
• при $x > 5$ выполняется неравенство $g(x) > g(5)$, то есть $3^{x-4} + 2^{x-2} > 11$;
• при $x = 5$ выполняется равенство $g(x) = g(5)$, то есть $3^{x-4} + 2^{x-2} = 11$.

Таким образом, неравенство $3^{x-4} + 2^{x-2} \le 11$ справедливо для всех $x \le 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; 5]$.

11.81. При каких значениях $x$ график функции $y = f(x)$ располагается не ниже графика функции $y = g(x)$, если:

а) $f(x) = 25 \cos 2x - \sin^4 x$, $g(x) = 25 \cdot 5^{(\pi - x)^2}$;

б) $f(x) = 7^{1 - |6x - 5\pi|}$, $g(x) = \sin^2 x - \sin x + 7,25$?

а)

Требуется найти значения x, при которых выполняется неравенство f(x) ≥ g(x), где $f(x) = 25 \cos 2x - \sin^4 x$ и $g(x) = 25 \cdot 5^{(\pi - x)^2}$.

Рассмотрим функцию f(x). Преобразуем ее, используя тригонометрическую формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $:
$f(x) = 25(1 - 2\sin^2 x) - \sin^4 x = 25 - 50\sin^2 x - \sin^4 x$.

Поскольку $\sin^2 x \geq 0$ и $\sin^4 x \geq 0$, то сумма $50\sin^2 x + \sin^4 x \geq 0$.
Следовательно, $f(x) = 25 - (50\sin^2 x + \sin^4 x) \leq 25$.
Максимальное значение функции f(x) равно 25. Это значение достигается, когда $50\sin^2 x + \sin^4 x = 0$, что возможно только при $\sin x = 0$.
Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь рассмотрим функцию g(x).
$g(x) = 25 \cdot 5^{(\pi - x)^2}$.
Показатель степени $(\pi - x)^2$ всегда неотрицателен: $(\pi - x)^2 \geq 0$.
Так как основание степени 5 > 1, показательная функция $5^y$ является возрастающей. Ее наименьшее значение достигается при наименьшем значении показателя.
Наименьшее значение $5^{(\pi - x)^2}$ равно $5^0 = 1$. Это значение достигается, когда $(\pi - x)^2 = 0$, то есть при $x = \pi$.
Следовательно, наименьшее значение функции g(x) равно $25 \cdot 1 = 25$. Таким образом, $g(x) \geq 25$.

Исходное неравенство $f(x) \geq g(x)$ может выполняться только в том случае, когда обе части неравенства равны.
Мы установили, что $f(x) \leq 25$ и $g(x) \geq 25$.
Значит, неравенство $f(x) \geq g(x)$ эквивалентно системе уравнений:
$\begin{cases} f(x) = 25 \\ g(x) = 25 \end{cases}$

Из первого уравнения $f(x) = 25$ мы получили $x = k\pi, k \in \mathbb{Z}$.
Из второго уравнения $g(x) = 25$ мы получили $x = \pi$.
Единственным значением x, удовлетворяющим обоим условиям, является $x = \pi$ (что соответствует случаю $k=1$).

Ответ: $x = \pi$.

б)

Требуется найти значения x, при которых выполняется неравенство f(x) ≥ g(x), где $f(x) = 7^{1 - |6x - 5\pi|}$ и $g(x) = \sin^2 x - \sin x + 7,25$.

Рассмотрим функцию f(x).
$f(x) = 7^{1 - |6x - 5\pi|}$.
Выражение в модуле всегда неотрицательно: $|6x - 5\pi| \geq 0$.
Следовательно, показатель степени $1 - |6x - 5\pi| \leq 1$.
Так как основание степени 7 > 1, показательная функция $7^y$ является возрастающей. Ее максимальное значение достигается при максимальном значении показателя.
Максимальное значение функции f(x) равно $7^1 = 7$. Это значение достигается, когда $|6x - 5\pi| = 0$, то есть при $x = \frac{5\pi}{6}$.
Таким образом, для всех x выполняется $f(x) \leq 7$.

Теперь рассмотрим функцию g(x).
$g(x) = \sin^2 x - \sin x + 7,25$.
Сделаем замену $t = \sin x$, где $-1 \leq t \leq 1$.
Рассмотрим квадратичную функцию $h(t) = t^2 - t + 7,25$ на отрезке $[-1, 1]$.
Выделим полный квадрат: $h(t) = (t^2 - t + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 + 7,25 = (t - 0,5)^2 - 0,25 + 7,25 = (t - 0,5)^2 + 7$.
Это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $t = 0,5$.
Поскольку $0,5 \in [-1, 1]$, наименьшее значение функции $h(t)$ на этом отрезке достигается в вершине и равно 7.
Следовательно, наименьшее значение функции g(x) равно 7. Это значение достигается, когда $\sin x = 0,5$.
Таким образом, для всех x выполняется $g(x) \geq 7$.

Исходное неравенство $f(x) \geq g(x)$ может выполняться только в том случае, когда $f(x) = 7$ и $g(x) = 7$.
Это эквивалентно системе уравнений:
$\begin{cases} f(x) = 7 \\ g(x) = 7 \end{cases}$

Из первого уравнения $f(x) = 7$ мы получили $x = \frac{5\pi}{6}$.
Из второго уравнения $g(x) = 7$ мы получили $\sin x = 0,5$.
Проверим, является ли $x = \frac{5\pi}{6}$ решением второго уравнения:
$\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = 0,5$.
Условие выполняется. Следовательно, единственным решением неравенства является $x = \frac{5\pi}{6}$.

Ответ: $x = \frac{5\pi}{6}$.

●11.82. Найдите наименьшее и наибольшее целочисленные значения функции $y = 20 \cdot 5^{\sin 4x + \sqrt{3} \cos 4x - 1}$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего целочисленных значений функции $y = 20 \cdot 5^{\sin 4x + \sqrt{3} \cos 4x - 1}$, необходимо найти область значений этой функции.

Область значений функции $y$ зависит от области значений ее показателя степени. Обозначим показатель степени как $P(x) = \sin 4x + \sqrt{3} \cos 4x - 1$.

Чтобы найти область значений $P(x)$, преобразуем выражение $E(x) = \sin 4x + \sqrt{3} \cos 4x$ с помощью метода введения вспомогательного угла. Выражение вида $a \sin \theta + b \cos \theta$ можно представить как $R \sin(\theta + \varphi)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$.

В нашем случае коэффициенты $a=1$ и $b=\sqrt{3}$. Найдем $R$:

$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь преобразуем выражение $E(x)$, вынеся $R$ за скобки:

$E(x) = 2 \left(\frac{1}{2} \sin 4x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 4x\right)$.

Заметим, что $\frac{1}{2}$ и $\frac{\sqrt{3}}{2}$ являются значениями косинуса и синуса для угла $\frac{\pi}{3}$:

$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$

$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в выражение и применим формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$:

$E(x) = 2 \left(\sin 4x \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \cos 4x \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = 2 \sin\left(4x + \frac{\pi}{3}\right)$.

Область значений любой функции синуса, в том числе $\sin\left(4x + \frac{\pi}{3}\right)$, есть отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, область значений для $E(x) = 2 \sin\left(4x + \frac{\pi}{3}\right)$ есть отрезок $[2 \cdot (-1), 2 \cdot 1]$, то есть $[-2, 2]$.

Теперь вернемся к показателю степени $P(x) = E(x) - 1$. Его область значений:

Наименьшее значение: $P_{min} = E_{min} - 1 = -2 - 1 = -3$.

Наибольшее значение: $P_{max} = E_{max} - 1 = 2 - 1 = 1$.

Таким образом, показатель степени $P(x)$ принимает значения из отрезка $[-3, 1]$.

Рассмотрим исходную функцию $y = 20 \cdot 5^{P(x)}$. Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция $f(t) = 5^t$ является монотонно возрастающей. Это значит, что свое наименьшее значение функция $y$ будет принимать при наименьшем значении показателя, а наибольшее — при наибольшем.

Найдем наименьшее значение функции $y$:

$y_{min} = 20 \cdot 5^{P_{min}} = 20 \cdot 5^{-3} = 20 \cdot \frac{1}{125} = \frac{20}{125} = \frac{4}{25} = 0.16$.

Найдем наибольшее значение функции $y$:

$y_{max} = 20 \cdot 5^{P_{max}} = 20 \cdot 5^{1} = 100$.

Итак, область значений функции $y$ — это отрезок $[\frac{4}{25}, 100]$, или $[0.16, 100]$.

Согласно условию задачи, нам нужно найти наименьшее и наибольшее целочисленные значения из этого промежутка.

Наименьшее целое число, входящее в промежуток $[0.16, 100]$, — это $1$.

Наибольшее целое число, входящее в промежуток $[0.16, 100]$, — это $100$.

Ответ: наименьшее целочисленное значение функции равно 1, наибольшее целочисленное значение функции равно 100.