Страница 65, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию на монотонность:

11.26. а) $y = (\sqrt{3})^x$;

б) $y = 0.3^x$;

в) $y = 21^x$;

г) $y = \left(\frac{4}{\sqrt{19}}\right)^x$.

Для исследования показательной функции вида $y = a^x$ на монотонность необходимо проанализировать ее основание $a$. Характер монотонности функции зависит от того, больше или меньше единицы ее основание (при условии, что $a > 0$ и $a \neq 1$):

• Если основание $a > 1$, функция является строго возрастающей на всей области определения ($x \in \mathbb{R}$).
• Если $0 < a < 1$, функция является строго убывающей на всей области определения ($x \in \mathbb{R}$).

а) Дана функция $y = (\sqrt{3})^x$.
Основанием этой показательной функции является $a = \sqrt{3}$.
Сравним основание с единицей. Мы знаем, что $3 > 1$. Извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем $\sqrt{3} > \sqrt{1}$, что равносильно $\sqrt{3} > 1$.
Так как основание $a = \sqrt{3} > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: функция возрастающая.

б) Дана функция $y = 0,3^x$.
Основанием этой показательной функции является $a = 0,3$.
Сравним основание с единицей. Очевидно, что $0 < 0,3 < 1$.
Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Ответ: функция убывающая.

в) Дана функция $y = 21^x$.
Основанием этой показательной функции является $a = 21$.
Сравним основание с единицей: $21 > 1$.
Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей.
Ответ: функция возрастающая.

г) Дана функция $y = \left(\frac{4}{\sqrt{19}}\right)^x$.
Основанием этой показательной функции является $a = \frac{4}{\sqrt{19}}$.
Чтобы сравнить это основание с единицей, необходимо сравнить числитель $4$ и знаменатель $\sqrt{19}$. Для этого удобно сравнить их квадраты.
$4^2 = 16$
$(\sqrt{19})^2 = 19$
Поскольку $16 < 19$, то и $4 < \sqrt{19}$.
Так как числитель положительной дроби меньше ее знаменателя, то сама дробь меньше единицы: $0 < \frac{4}{\sqrt{19}} < 1$.
Поскольку основание $0 < a < 1$, функция является убывающей.
Ответ: функция убывающая.

11.27. a) $y = 2^{-x};$

б) $y = \left(\frac{2}{9}\right)^{-x};$

в) $y = 17^{-x};$

г) $y = \left(\frac{1}{13}\right)^{-x}.$

а) Чтобы преобразовать данное выражение, воспользуемся свойством степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n} = (\frac{1}{a})^n$. Применим это свойство к функции $y = 2^{-x}$.
В данном случае основание $a=2$, а показатель степени равен $-x$.
Следовательно, мы можем переписать функцию следующим образом:
$y = 2^{-x} = (2^{-1})^x = (\frac{1}{2})^x$.
Ответ: $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

б) Для преобразования функции $y = \left(\frac{2}{9}\right)^{-x}$ воспользуемся свойством степени $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$.
Здесь основание равно $\frac{2}{9}$, а показатель степени равен $-x$.
Применив свойство, получим:
$y = \left(\frac{2}{9}\right)^{-x} = \left(\frac{9}{2}\right)^x$.
Ответ: $y = \left(\frac{9}{2}\right)^x$.

в) Данная функция $y = 17^{-x}$ преобразуется аналогично пункту а). Используем свойство $a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n$.
Основание $a=17$, показатель степени $-x$.
Таким образом:
$y = 17^{-x} = (17^{-1})^x = \left(\frac{1}{17}\right)^x$.
Ответ: $y = \left(\frac{1}{17}\right)^x$.

г) Для преобразования функции $y = \left(\frac{1}{13}\right)^{-x}$ можно использовать два подхода.
1. Используя свойство $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$:
$y = \left(\frac{1}{13}\right)^{-x} = \left(\frac{13}{1}\right)^x = 13^x$.
2. Представив $\frac{1}{13}$ как $13^{-1}$ и используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$y = \left(\frac{1}{13}\right)^{-x} = (13^{-1})^{-x} = 13^{(-1) \cdot (-x)} = 13^x$.
Оба способа приводят к одному и тому же результату.
Ответ: $y = 13^x$.

11.28. a) $y = (\sqrt{12} - \sqrt{3})^x$;

б) $y = (\sqrt{75} - \sqrt{5})^x$;

в) $y = (\sqrt[3]{27} - \sqrt{8})^x$;

г) $y = (\sqrt{98} - \sqrt[3]{64})^x$.

а) Дана функция $y = (\sqrt{12} - \sqrt{3})^x$.

Упростим основание степени. Для этого вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{12}$:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для основания и выполним вычитание:

$\sqrt{12} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = (2-1)\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, исходную функцию можно записать в виде $y = (\sqrt{3})^x$.

Ответ: $y = (\sqrt{3})^x$.

б) Дана функция $y = (\sqrt{75} - \sqrt{5})^x$.

Упростим основание степени. Вынесем множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{75}$:

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$.

Подставим полученное значение в выражение для основания:

$\sqrt{75} - \sqrt{5} = 5\sqrt{3} - \sqrt{5}$.

Дальнейшее упрощение этого выражения невозможно, так как оно содержит корни из разных чисел. Таким образом, функция принимает вид $y = (5\sqrt{3} - \sqrt{5})^x$.

Ответ: $y = (5\sqrt{3} - \sqrt{5})^x$.

в) Дана функция $y = (\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{8})^x$.

Упростим основание степени. Вычислим значения кубических корней:

$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.

$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

Теперь подставим эти значения в выражение для основания:

$\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{8} = 3 - 2 = 1$.

Таким образом, исходная функция упрощается до $y = 1^x$, или $y = 1$.

Ответ: $y = 1$.

г) Дана функция $y = (\sqrt{98} - \sqrt[3]{64})^x$.

Упростим основание степени. Упростим каждый член в скобках по отдельности:

Для первого члена вынесем множитель из-под знака корня: $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}$.

Для второго члена вычислим кубический корень: $\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$.

Подставим полученные значения в выражение для основания:

$\sqrt{98} - \sqrt[3]{64} = 7\sqrt{2} - 4$.

Это выражение далее не упрощается. Таким образом, функция имеет вид $y = (7\sqrt{2} - 4)^x$.

Ответ: $y = (7\sqrt{2} - 4)^x$.

11.29. a) $y = -3 \cdot 12^x$;

б) $y = \frac{1}{(0.5)^x + 1}$;

в) $y = -9 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x$;

г) $y = -\frac{3}{4 + 2^x}$.

а) $y = -3 \cdot 12^x$

Для нахождения области значений функции проанализируем ее составляющие.
1. Выражение $12^x$ — это показательная функция с основанием $a=12$, где $a > 1$. Область значений такой функции — все положительные числа, то есть $12^x > 0$ для любого действительного $x$.
2. Данная функция представляет собой произведение выражения $12^x$ на отрицательный коэффициент $-3$.
3. Так как $12^x > 0$, то при умножении этого выражения на $-3$ мы получим отрицательное число.
Математически это можно записать так:
$12^x \in (0; +\infty)$
$-3 \cdot 12^x \in (-\infty; 0)$
Следовательно, область значений функции $y$ — это все отрицательные числа.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$

б) $y = \frac{1}{(0,5)^x + 1}$

Найдем область значений знаменателя.
1. Выражение $(0,5)^x$ — это показательная функция с основанием $a=0,5$, где $0 < a < 1$. Область значений этой функции — все положительные числа: $(0,5)^x > 0$.
2. Знаменатель дроби равен $(0,5)^x + 1$. Так как $(0,5)^x > 0$, то, прибавив 1, получим:
$(0,5)^x + 1 > 0 + 1$
$(0,5)^x + 1 > 1$
Таким образом, знаменатель всегда строго больше 1.
3. Теперь рассмотрим всю дробь $y = \frac{1}{(0,5)^x + 1}$. Пусть $t = (0,5)^x + 1$, тогда $t \in (1; +\infty)$. Нам нужно найти область значений функции $y = \frac{1}{t}$ при $t > 1$.
- Когда знаменатель $t$ стремится к $1$ (например, при $x \to +\infty$), значение дроби $y$ стремится к $\frac{1}{1} = 1$.
- Когда знаменатель $t$ стремится к $+\infty$ (например, при $x \to -\infty$), значение дроби $y$ стремится к $0$.
Так как знаменатель строго больше 1, значение дроби будет строго меньше 1 и строго больше 0.

Ответ: $E(y) = (0; 1)$

в) $y = -9 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x$

Решение аналогично пункту а).
1. Выражение $\left(\frac{3}{4}\right)^x$ — это показательная функция с основанием $a=\frac{3}{4}$, где $0 < a < 1$. Область значений такой функции — все положительные числа: $\left(\frac{3}{4}\right)^x > 0$.
2. Функция умножается на отрицательный коэффициент $-9$.
3. Так как $\left(\frac{3}{4}\right)^x > 0$, то при умножении на $-9$ результат всегда будет отрицательным:
$-9 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^x < 0$
Следовательно, область значений функции $y$ — это все отрицательные числа.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0)$

г) $y = -\frac{3}{4 + 2^x}$

Проанализируем функцию по частям.
1. Найдем область значений знаменателя $4 + 2^x$. Показательная функция $2^x$ принимает только положительные значения: $2^x > 0$.
2. Прибавим 4 к обеим частям неравенства:
$2^x + 4 > 0 + 4$
$4 + 2^x > 4$
Значит, знаменатель всегда строго больше 4.
3. Теперь рассмотрим дробь $\frac{3}{4 + 2^x}$. Так как знаменатель $4 + 2^x > 4$, то для обратной величины выполняется неравенство:
$0 < \frac{1}{4 + 2^x} < \frac{1}{4}$
Умножим на 3:
$0 < \frac{3}{4 + 2^x} < \frac{3}{4}$
4. Исходная функция имеет знак минус перед дробью: $y = - \frac{3}{4 + 2^x}$. Умножим полученное двойное неравенство на $-1$, не забывая поменять знаки неравенства на противоположные:
$-0 > - \frac{3}{4 + 2^x} > -\frac{3}{4}$
$0 > y > -\frac{3}{4}$
Запишем в привычном порядке:
$-\frac{3}{4} < y < 0$

Ответ: $E(y) = \left(-\frac{3}{4}; 0\right)$

ˆ11.30.

a) $y = 2^{-x+1}$;

б) $y = 5^{-2x} + 4$;

В) $y = \frac{1}{2^{-x+1}};$

Г) $y = 10^{-3x} - 2.$

а) $y = 2^{-x+1}$
Область определения ($D(y)$):
Показательная функция определена для любого действительного значения показателя. Выражение в показателе степени, $-x+1$, является многочленом, который определен для всех действительных чисел $x$.
Следовательно, область определения функции – это множество всех действительных чисел.
Область значений ($E(y)$):
Показательная функция с основанием, большим 1 (в данном случае основание равно 2), принимает только положительные значения. Выражение $-x+1$ может принимать любое действительное значение, когда $x$ пробегает все действительные числа. Это означает, что $2^{-x+1}$ будет принимать все значения из интервала $(0; +\infty)$.
Таким образом, область значений функции – это множество всех положительных действительных чисел.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (0; +\infty)$.

б) $y = 5^{-2x} + 4$
Область определения ($D(y)$):
Выражение $5^{-2x}$ определено для всех действительных чисел $x$, так как показатель $-2x$ определен для всех $x$. Сложение с константой $4$ не накладывает дополнительных ограничений.
Следовательно, область определения функции – это множество всех действительных чисел.
Область значений ($E(y)$):
Значение показательной функции $5^{-2x}$ всегда строго положительно для любого $x$, то есть $5^{-2x} > 0$.
Прибавив к обеим частям неравенства $4$, получаем: $5^{-2x} + 4 > 4$.
Таким образом, значение функции $y$ всегда больше $4$. Так как $5^{-2x}$ может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю (например, при $x \to +\infty$), то значения $y$ могут быть сколь угодно близки к $4$. При $x \to -\infty$, $5^{-2x} \to +\infty$, и $y \to +\infty$.
Следовательно, область значений функции – это все числа, большие $4$.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (4; +\infty)$.

в) $y = \frac{1}{2^{-x+1}}$
Область определения ($D(y)$):
Функция определена, если ее знаменатель не равен нулю. Знаменатель $2^{-x+1}$ является показательной функцией, которая никогда не обращается в ноль ($a^z \neq 0$ для любых $a > 0, a \neq 1$).
Следовательно, область определения функции – это множество всех действительных чисел.
Область значений ($E(y)$):
Используя свойства степеней, преобразуем функцию: $y = \frac{1}{2^{-x+1}} = (2^{-x+1})^{-1} = 2^{-1 \cdot (-x+1)} = 2^{x-1}$.
Получили показательную функцию с основанием $2 > 1$. Показатель $x-1$ может принимать любое действительное значение.
Следовательно, как и любая базовая показательная функция, $y = 2^{x-1}$ принимает все положительные значения.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (0; +\infty)$.

г) $y = 10^{-3x} - 2$
Область определения ($D(y)$):
Выражение $10^{-3x}$ определено для всех действительных чисел $x$. Вычитание константы $2$ не изменяет область определения.
Следовательно, область определения функции – это множество всех действительных чисел.
Область значений ($E(y)$):
Значение показательной функции $10^{-3x}$ всегда строго положительно: $10^{-3x} > 0$.
Вычитая из обеих частей неравенства $2$, получаем: $10^{-3x} - 2 > -2$.
Таким образом, значение функции $y$ всегда больше $-2$. Так как $10^{-3x}$ может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю (при $x \to +\infty$), то значения $y$ могут быть сколь угодно близки к $-2$. При $x \to -\infty$, $10^{-3x} \to +\infty$, и $y \to +\infty$.
Следовательно, область значений функции – это все числа, большие $-2$.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений $E(y) = (-2; +\infty)$.

11.31. Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу:

а) $y = 4x - 1;$

б) $y = 18^x;$

в) $y = -3x^2 + 8;$

г) $y = \left(\frac{4}{11}\right)^x.$

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $M$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $y(x) \ge M$. Проанализируем каждую из предложенных функций.

а) $y = 4x - 1$

Это линейная функция, её график — прямая линия. Область определения и область значений этой функции — множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Поскольку значения функции могут быть сколь угодно малыми (при $x \to -\infty$, $y \to -\infty$), функция не является ограниченной снизу.

Ответ: не ограничена снизу.

б) $y = 18^x$

Это показательная функция с основанием $a = 18$, где $a > 1$. Значения показательной функции всегда положительны, то есть $18^x > 0$ для любого действительного значения $x$. Область значений этой функции — $E(y) = (0; +\infty)$. Следовательно, функция ограничена снизу, например, числом 0.

Ответ: ограничена снизу.

в) $y = -3x^2 + 8$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, но не имеет наименьшего. Наибольшее значение достигается в вершине параболы: $y_{max} = 8$ при $x=0$. Область значений функции — $E(y) = (-\infty; 8]$. Так как значения функции уходят в $-\infty$, она не ограничена снизу.

Ответ: не ограничена снизу.

г) $y = \left(\frac{4}{11}\right)^x$

Это показательная функция с основанием $a = \frac{4}{11}$, где $0 < a < 1$. Как и любая показательная функция с положительным основанием, она принимает только положительные значения, то есть $\left(\frac{4}{11}\right)^x > 0$ для любого действительного $x$. Область значений этой функции — $E(y) = (0; +\infty)$. Следовательно, функция ограничена снизу, например, числом 0.

Ответ: ограничена снизу.

11.32. Укажите, какие из данных функций не ограничены сверху:

a) $y = -3x^2 + 1;$

б) $y = (0,6)^x;$

в) $y = (7,2)^x;$

г) $y = \cos x.$

а) Функция $y = -3x^2 + 1$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 < 0$), ветви параболы направлены вниз. Такая парабола имеет наибольшее значение в своей вершине. Координата вершины по оси абсцисс $x_0 = 0$. Максимальное значение функции равно $y_{max} = y(0) = -3 \cdot 0^2 + 1 = 1$. Таким образом, для любого значения $x$ выполняется неравенство $y(x) \le 1$. Это означает, что функция ограничена сверху.
Ответ: функция ограничена сверху.

б) Функция $y = (0,6)^x$. Это показательная функция с основанием $a = 0,6$. Поскольку основание удовлетворяет условию $0 < a < 1$, функция является убывающей на всей области определения. Область значений этой функции — $(0; +\infty)$. Это означает, что функция может принимать сколь угодно большие положительные значения (при $x \to -\infty$). Следовательно, функция не ограничена сверху.
Ответ: функция не ограничена сверху.

в) Функция $y = (7,2)^x$. Это показательная функция с основанием $a = 7,2$. Поскольку основание $a > 1$, функция является возрастающей на всей области определения. Область значений этой функции — $(0; +\infty)$. Это означает, что функция может принимать сколь угодно большие положительные значения (при $x \to +\infty$). Следовательно, функция не ограничена сверху.
Ответ: функция не ограничена сверху.

г) Функция $y = \cos x$. Это тригонометрическая функция. Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство $-1 \le \cos x \le 1$. Из этого следует, что $\cos x \le 1$, то есть функция ограничена сверху числом 1.
Ответ: функция ограничена сверху.

11.33. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на указанном промежутке:

а) $y = 2^x$, $[1; 4];$

б) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $[-4; -2];$

в) $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$, $[0; 4];$

г) $y = 2^x$, $[-4; 2].$

а) Дана функция $y = 2^x$ на промежутке $[1; 4]$.
Это показательная функция с основанием $a = 2$. Так как основание $a > 1$, функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения. Следовательно, на заданном отрезке $[1; 4]$ она достигает своего наименьшего значения на левом конце отрезка (при $x=1$), а наибольшего — на правом конце (при $x=4$).
Найдем наименьшее значение функции:
$y_{наим} = y(1) = 2^1 = 2$.
Найдем наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = y(4) = 2^4 = 16$.
Ответ: $y_{наим} = 2, y_{наиб} = 16$.

б) Дана функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ на промежутке $[-4; -2]$.
Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Следовательно, на заданном отрезке $[-4; -2]$ она достигает своего наибольшего значения на левом конце отрезка (при $x=-4$), а наименьшего — на правом конце (при $x=-2$).
Найдем наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = y(-4) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-4} = (3^{-1})^{-4} = 3^4 = 81$.
Найдем наименьшее значение функции:
$y_{наим} = y(-2) = \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = (3^{-1})^{-2} = 3^2 = 9$.
Ответ: $y_{наим} = 9, y_{наиб} = 81$.

в) Дана функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ на промежутке $[0; 4]$.
Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{3}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей. Следовательно, на отрезке $[0; 4]$ она достигает своего наибольшего значения на левом конце отрезка (при $x=0$), а наименьшего — на правом конце (при $x=4$).
Найдем наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = y(0) = \left(\frac{1}{3}\right)^0 = 1$.
Найдем наименьшее значение функции:
$y_{наим} = y(4) = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$.
Ответ: $y_{наим} = \frac{1}{81}, y_{наиб} = 1$.

г) Дана функция $y = 2^x$ на промежутке $[-4; 2]$.
Это показательная функция с основанием $a = 2$. Так как основание $a > 1$, функция является монотонно возрастающей. Следовательно, на отрезке $[-4; 2]$ она достигает своего наименьшего значения на левом конце отрезка (при $x=-4$), а наибольшего — на правом конце (при $x=2$).
Найдем наименьшее значение функции:
$y_{наим} = y(-4) = 2^{-4} = \frac{1}{2^4} = \frac{1}{16}$.
Найдем наибольшее значение функции:
$y_{наиб} = y(2) = 2^2 = 4$.
Ответ: $y_{наим} = \frac{1}{16}, y_{наиб} = 4$.