Страница 61, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите значение выражения:

11.1. а) $2^{5,3} \cdot 2^{-0,3}$;

в) $3^{6,8} \cdot 3^{-5,8}$;

б) $7^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{3,5}$;

г) $\left(\frac{3}{4}\right)^{3,7} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^{-0,7}$.

а) Чтобы найти значение выражения $2^{5,3} \cdot 2^{-0,3}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном случае основание $a=2$, а показатели степеней $m=5,3$ и $n=-0,3$.

Сложим показатели степеней: $5,3 + (-0,3) = 5,3 - 0,3 = 5$.

Следовательно, исходное выражение равно $2^5$.

Вычислим значение: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Ответ: 32

б) Чтобы найти значение выражения $7^{-\frac{1}{2}} \cdot 7^{3,5}$, применим то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Основание $a=7$. Для сложения показателей $m=-\frac{1}{2}$ и $n=3,5$ представим $-\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби: $-\frac{1}{2} = -0,5$.

Сложим показатели: $-0,5 + 3,5 = 3$.

Таким образом, выражение равно $7^3$.

Вычислим значение: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.

Ответ: 343

в) Чтобы найти значение выражения $3^{6,8} \cdot 3^{-5,8}$, используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Основание $a=3$, показатели степеней $m=6,8$ и $n=-5,8$.

Сложим показатели: $6,8 + (-5,8) = 6,8 - 5,8 = 1$.

Исходное выражение равно $3^1$.

Любое число в первой степени равно самому себе, поэтому $3^1 = 3$.

Ответ: 3

г) Чтобы найти значение выражения $(\frac{3}{4})^{3,7} \cdot (\frac{3}{4})^{-0,7}$, воспользуемся свойством $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Основание $a=\frac{3}{4}$, показатели степеней $m=3,7$ и $n=-0,7$.

Сложим показатели: $3,7 + (-0,7) = 3,7 - 0,7 = 3$.

Получаем выражение $(\frac{3}{4})^3$.

Возведем дробь в степень, для этого нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{3}{4})^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$.

Ответ: $\frac{27}{64}$

11.2. a) $(\sqrt{5})^{3.6} \cdot (\sqrt{5})^{-1.6}$;

б) $(\sqrt[3]{2})^{4.7} \cdot (\sqrt[3]{2})^{-1.7}$;

в) $(\sqrt{7})^{-0.2} \cdot (\sqrt{7})^{-3.8}$;

г) $(\sqrt[5]{3})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\sqrt[5]{3})^{\frac{31}{3}}$.

а) В выражении $(\sqrt{5})^{3,6} \cdot (\sqrt{5})^{-1,6}$ мы имеем произведение степеней с одинаковым основанием $\sqrt{5}$. Согласно свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, мы можем сложить показатели: $3,6 + (-1,6) = 3,6 - 1,6 = 2$. Таким образом, выражение упрощается до $(\sqrt{5})^2$. Возведение квадратного корня в квадрат дает подкоренное число. Следовательно, $(\sqrt{5})^2 = 5$.
Ответ: 5

б) Для выражения $(\sqrt[3]{2})^{4,7} \cdot (\sqrt[3]{2})^{-1,7}$ применяется то же свойство умножения степеней с одинаковым основанием $\sqrt[3]{2}$. Складываем показатели степеней: $4,7 + (-1,7) = 4,7 - 1,7 = 3$. Получаем выражение $(\sqrt[3]{2})^3$. Возведение кубического корня из числа в третью степень дает само это число. Таким образом, $(\sqrt[3]{2})^3 = 2$.
Ответ: 2

в) В примере $(\sqrt{7})^{-0,2} \cdot (\sqrt{7})^{-3,8}$ основание степени равно $\sqrt{7}$. Складываем показатели: $-0,2 + (-3,8) = -4$. Выражение упрощается до $(\sqrt{7})^{-4}$. Для дальнейшего упрощения представим корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt{7} = 7^{1/2}$. Тогда наше выражение примет вид $(7^{1/2})^{-4}$. По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $7^{\frac{1}{2} \cdot (-4)} = 7^{-2}$. Наконец, по определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем: $7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.
Ответ: $\frac{1}{49}$

г) В выражении $(\sqrt[5]{3})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\sqrt[5]{3})^{\frac{31}{3}}$ основание степени равно $\sqrt[5]{3}$. Складываем показатели: $-\frac{1}{3} + \frac{31}{3} = \frac{-1+31}{3} = \frac{30}{3} = 10$. Выражение принимает вид $(\sqrt[5]{3})^{10}$. Представим корень пятой степени как степень с показателем $1/5$: $\sqrt[5]{3} = 3^{1/5}$. Тогда получаем $(3^{1/5})^{10}$. Используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, перемножаем показатели: $3^{\frac{1}{5} \cdot 10} = 3^2$. Вычисляем значение: $3^2 = 9$.
Ответ: 9

11.3. a) $4^{3,5} : 4^3;$

б) $(\frac{1}{2})^{-6,3} : (\frac{1}{2})^{-2,3};$

в) $8^{2\frac{1}{3}} : 8^2;$

г) $(\frac{2}{3})^{2,4} : (\frac{2}{3})^{-0,6}.$

а) Чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Это свойство выражается формулой: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Применим это правило к выражению $4^{3,5} : 4^3$:

$4^{3,5} : 4^3 = 4^{3,5 - 3} = 4^{0,5}$

Поскольку $0,5 = \frac{1}{2}$, то $4^{0,5} = 4^{\frac{1}{2}}$. Степень с показателем $\frac{1}{2}$ эквивалентна квадратному корню:

$4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$

Ответ: 2

б) В этом примере основание одинаковое и равно $\frac{1}{2}$. Применяем то же свойство деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$(\frac{1}{2})^{-6,3} : (\frac{1}{2})^{-2,3} = (\frac{1}{2})^{-6,3 - (-2,3)} = (\frac{1}{2})^{-6,3 + 2,3} = (\frac{1}{2})^{-4}$

Отрицательный показатель степени означает, что нужно взять обратное число в соответствующей положительной степени: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{1}{2})^{-4} = (\frac{2}{1})^4 = 2^4 = 16$

Ответ: 16

в) Основание степени равно 8. Показатели степеней $2\frac{1}{3}$ и 2. Используем правило деления степеней с одинаковым основанием:

$8^{2\frac{1}{3}} : 8^2 = 8^{2\frac{1}{3} - 2} = 8^{\frac{1}{3}}$

Степень с показателем $\frac{1}{3}$ эквивалентна кубическому корню:

$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.

Ответ: 2

г) Основание степени равно $\frac{2}{3}$. Снова применяем правило деления степеней:

$(\frac{2}{3})^{2,4} : (\frac{2}{3})^{-0,6} = (\frac{2}{3})^{2,4 - (-0,6)} = (\frac{2}{3})^{2,4 + 0,6} = (\frac{2}{3})^3$

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель:

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}$

Ответ: $\frac{8}{27}$

11.4. a) $(\sqrt{0,6})^{2.7} : (\sqrt{0,6})^{0.7}$;

б) $(\sqrt{1,2})^{4.2} : (\sqrt{1,2})^{0.2}$;

в) $(\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6.3} : (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{-3.7}$;

г) $(\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{5.9} : (\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{2.9}$.

а)

В данном выражении $(\sqrt{0,6})^{2,7} : (\sqrt{0,6})^{0,7}$ мы делим степени с одинаковым основанием $\sqrt{0,6}$.

Воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).

Получаем:

$(\sqrt{0,6})^{2,7} : (\sqrt{0,6})^{0,7} = (\sqrt{0,6})^{2,7 - 0,7} = (\sqrt{0,6})^2$

Квадратный корень и возведение в квадрат являются взаимообратными операциями, поэтому:

$(\sqrt{0,6})^2 = 0,6$

Ответ: $0,6$

б)

В выражении $(\sqrt{1,2})^{4,2} : (\sqrt{1,2})^{0,2}$ основание степеней одинаковое и равно $\sqrt{1,2}$, а операция - деление.

Применяем правило вычитания показателей степеней при делении:

$(\sqrt{1,2})^{4,2} : (\sqrt{1,2})^{0,2} = (\sqrt{1,2})^{4,2 - 0,2} = (\sqrt{1,2})^4$

Теперь упростим полученное выражение. Можно представить $\sqrt{1,2}$ как $1,2$ в степени $\frac{1}{2}$:

$(\sqrt{1,2})^4 = ((1,2)^{\frac{1}{2}})^4 = (1,2)^{\frac{1}{2} \cdot 4} = (1,2)^2$

Вычислим квадрат $1,2$:

$(1,2)^2 = 1,44$

Ответ: $1,44$

в)

Рассмотрим выражение $(\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3} \cdot (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{-3,7}$.

В условии задачи указана операция умножения. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$(\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3} \cdot (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{-3,7} = (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3 + (-3,7)} = (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3 - 3,7} = (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{2,6}$

Данное выражение не упрощается до рационального числа. Вероятно, в условии допущена опечатка, и вместо знака умножения (·) должен стоять знак деления (:), как в остальных примерах этого задания. При таком предположении разность показателей ($6,3 - (-3,7) = 10$) оказывается кратной показателю корня (5), что приводит к простому ответу.

Решим задачу, предположив, что операция — деление:

$(\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3} : (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{-3,7} = (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3 - (-3,7)} = (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{6,3 + 3,7} = (\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{10}$

Упростим результат, используя свойство $(\sqrt[n]{a})^m = a^{\frac{m}{n}}$:

$(\sqrt[5]{\frac{1}{3}})^{10} = (\frac{1}{3})^{\frac{10}{5}} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

г)

В выражении $(\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{5,9} : (\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{2,9}$ мы снова делим степени с одинаковым основанием $\sqrt[3]{\frac{2}{7}}$.

Вычитаем показатели степеней:

$(\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{5,9} : (\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{2,9} = (\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{5,9 - 2,9} = (\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{3}$

Кубический корень и возведение в третью степень — взаимообратные операции, поэтому:

$(\sqrt[3]{\frac{2}{7}})^{3} = \frac{2}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7}$

11.5. a) $\left(2 \frac{1}{3}\right)^6$;

б) $\left(\left(\frac{1}{7}\right)^2\right)^{\frac{1}{2}}$;

в) $\left(3^{\frac{3}{2}}\right)^2$;

г) $\left(\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{-3}$.

а) Для того чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели перемножить. Это свойство степеней записывается в виде формулы $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Применим это свойство к выражению $(2^{\frac{1}{3}})^6$:

$(2^{\frac{1}{3}})^6 = 2^{\frac{1}{3} \cdot 6} = 2^{\frac{6}{3}} = 2^2 = 4$.

Ответ: $4$.

б) Используем то же свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
В данном случае у нас есть выражение $((\frac{1}{7})^2)^{\frac{1}{2}}$. Перемножим показатели степеней:

$((\frac{1}{7})^2)^{\frac{1}{2}} = (\frac{1}{7})^{2 \cdot \frac{1}{2}} = (\frac{1}{7})^1 = \frac{1}{7}$.

Ответ: $\frac{1}{7}$.

в) Снова применяем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Вычисляем выражение $(3^{\frac{3}{2}})^2$:

$(3^{\frac{3}{2}})^2 = 3^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 3^3 = 27$.

Ответ: $27$.

г) Для решения этого примера мы используем два свойства степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и свойство степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
Сначала перемножим показатели в выражении $((\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}})^{-3}$:

$((\frac{3}{4})^{\frac{1}{3}})^{-3} = (\frac{3}{4})^{\frac{1}{3} \cdot (-3)} = (\frac{3}{4})^{-1}$.

Теперь применим свойство степени с отрицательным показателем:

$(\frac{3}{4})^{-1} = (\frac{4}{3})^1 = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.